方差分析-统计学原理

方差分析-统计学原理

t检验法适用于两样本平均数的差异检验，但需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时若仍采用t检验法就不适宜。处理这类问题通常采用方差分析方法。方差分析(Analysisofvariance简称ANOVA)用于推断多个总体均数有无差异\n例在饲料养鸡增肥的研究中，某饲料研究所提出三种饲料配方：A1是以鱼粉为主的饲料，A2是以槐树粉为主的饲料，A3是以苜蓿粉为主的饲料。为比较三种饲料的效果，特选24只相似的雏鸡随机均分为三组，每组各喂一种饲料，60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示：\n鸡饲料试验数据饲料A鸡重（克）A110731009106010011002101210091028A21107109299011091090107411221001A310931029108010211022103210291048\n本例中，我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为此，我们把饲料称为因子，记为A，而三种不同的配方称为因子A的三个水平，记为A1,A2,A3，使用配方Ai下第j只鸡60天后的重量用yij表示，i=1,2,3,j=1,2,,10。我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等，为此，需要做一些基本假定，把所研究的问题归结为一个统计问题，然后用方差分析的方法进行解决。\n方差分析又叫变异数分析，1928年由英国统计学家RonaldFisher首先提出来的，所以方差分析又叫F检验。第一节方差分析简介\n单因素方差分析（即完全随机设计资料的方差分析）、两因素方差分析（即随机区组设计资料的方差分析）和三因素方差分析（即拉丁方设计资料的方差分析）及多个样本均数间的多重比较。方差分析主要内容\n方差分析的基本思想借助以下例题予以说明：例：为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响，将18只大鼠随机分到甲、乙、丙3个组，每组6只，分别在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘，12周后测量大鼠全肺湿重（g），数据见表9—2，问不同环境下大鼠全肺湿重有无差别？一、方差分析的基本思想\n甲组乙组丙组4.24.55.63.34.43.63.73.54.54.34.25.14.14.64.93.34.24.7ni666\n从以上资料可看出，三个组的数据各不相同，这种差异（总变异）可以分解成两部分：即（1）组间变异：甲、乙、丙三个组大鼠全肺湿重各不相等（此变异反映了处理因素的作用，以及随机误差的作用）（2）组内变异：各组内部大鼠的全肺湿重各不相等（此变异主要反映的是随机误差的作用）\n各部分变异的计算：①总变异（全部试验数据间大小不等）用总离均差平方和来表示。其中\n②组间变异（由于所接受的处理因素不同而致各组间大小不等）用组间离均差平方和来表示。各组均数之间相差越大，它们与总均数的差值就越大，越大；反之，越小。\n③组内变异（同一处理组内部试验数据大小不等）用组内离均差平方和来表示。\n三个变异之间的关系：其中：\n离均差平方和只能反映变异的绝对大小。变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须除以相应的自由度，该比值称均方差，简称均方（MS）。的大小就反映了各部分变异的平均大小。\n方差分析就是通过比较组内均方和组间均方的大小关系来判断处理因素有无效应。检验统计量：如果各组的总体均数相等，即无处理因素的作用，则组内变异和组间变异都只反映随机误差的大小，此时组间均方和组内均方大小相当，即F值则接近1，各组均数间的差异没有统计学意义；反之，如果处理有作用，则组间变异不仅包含随机误差，还有处理因素引起的变异(组间变异主要反映处理因素的作用)，此时组间均方远大于组内均方，则F值远大于1，各组均数间的差异有统计学意义。故依据F值的大小可判断各组之间有无差别。\n可见，方差分析的基本思想就是根据实验设计的类型，将全部测量值总的变异分解成两个或多个部分，每个部分的变异可由某个因素的作用（或某几个因素的作用）加以解释，通过比较各部分的均方与随机误差项均方的大小，借助F分布来推断各研究因素对实验结果有无影响。\n方差分析的应用条件（1）各观测值相互独立，并且服从正态分布；（2）各组总体方差相等，即方差齐性。\n1用于两个或多个均数间的比较2分析两个或多个因素的交互作用3回归方程的假设检验4方差齐性检验方差分析的用途\n第二节单因素方差分析完全随机设计资料的方差分析一、完全随机设计完全随机设计是采用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个处理组，各处理组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。\n将衡量试验结果的标志称为试验指标。将影响试验结果的条件称为因素。因素在试验中所处的不同状态称为该因素的水平。只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素试验，相应的方差分析称为单因素方差分析。方差分析的基本概念\n二、变异分解完全随机设计资料的方差分析表变异来源自由度SSMSF总变异组间组内\n单因素方差分析表方差来源离差平方和自由度均方F值临界值Fα因素A（组间）SSAk-1SSA/(k-1)Fα(k-1,n-k)误差E（组内）SSEn-kSSE/(n-k)总变量SST=SSA+SSEn-1\n例1试根据表2试验结果，检验三组大鼠全肺湿重的总体均数是否相同。解：(１)建立假设,并确定检验水准。H0：H1：不等或不全相等三、分析步骤\n(２)计算F值表2三组大鼠的全肺湿重（g）\n本例，，以上计算结果代入方差分析表，并求出相应的MS及F值：表9-3例9-1的方差分析表变异来源SSvMSF值P值组间2.52821.2644.70<0.05组内4.035150.269总6.56317\n(３)查F界值表，确定P值并作结论。由附表5查得F0.05（2，15）=3.68，F=4.70>F0.05（2，15），故P<0.05，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为不同粉尘环境影响大鼠的全肺湿重。当g=2时，方差分析的结果与两样本均数比较的t检验等价，且有。\n单因子方差分析的统计模型只考察了一个因子，称其为单因子试验。通常，在单因子试验中，记因子为A,设其有r个水平，记为A1,A2,…,Ar。在每一水平下考察的指标可以看成一个总体，因为现共有r个水平，故有r个总体，\n1、每一总体均为正态总体，记为N(i,i2)，i＝1,2,…,r；2、各总体的方差相同:12=22=…=r2=2；(即，具有方差齐次性)3、从每一总体中抽取的样本是相互独立的，即所有的试验结果yij都相互独立。假定：\n我们要比较各水平下的均值是否相同,即要对如下的一个假设进行检验:H0：1=2=…=rH1：1,2,…,r不全相等如果检验结果为H0成立，因子A的r个水平均值相同，称因子A的r个水平间没有显著差异，简称因子A不显著反之，当H0不成立时，因子A的r个水平均值不全相同，称因子A的不同水平间有显著差异，简称因子A显著。\n单因子方差分析的统计模型：模型可以改写为H0：a1=a2=…=ar=0\n第三节两因素方差分析随机区组设计资料的方差分析一、随机区组设计随机区组设计（randomizedblockdesign），又称配伍组设计，是配对设计的扩展。具体做法是：先按影响试验结果的非处理因素将受试对象配成区组（block），再将各区组内的受试对象随机分配到不同的处理组，各处理组分别接受不同的处理，试验结束后比较各组均数之间差别有无统计学意义，以推断处理因素的效应。\n该设计的特点：（1）该设计包含两个因素，一个是区组因素，一个是处理因素；（2）各区组及处理组的受试对象数相等，各处理组的受试对象生物学特性较均衡，可减少试验误差，提高假设检验的效率。此类资料的方差分析，其应用条件同前：即资料满足正态性及方差齐性的要求。\n因为随机区组设计可以将区组间变异从完全随机设计的组内变异中分离出来以反映不同区组对结果的影响，所以随机区组设计全部测量值总的变异相应地就分成三部分。各种变异之间的关系是：其中：二、 变异分解\n（1）总变异：反映全部试验数据间大小不等的状况，（2）处理组间变异：甲、乙、丙三个组间测量值的均数大小不等，（3）区组间变异：12个区组间测量值的均数大小不等，（4）误差变异：反映随机误差产生的变异，\n表9-5随机区组设计的方差分析表变异来源自由度SSMSF总变异处理间区组间误差\n二、分析步骤结合例9-2：例9-2研究甲、乙、丙三种营养素对小白鼠体重增加的影响，已知窝别为影响因素。拟用6窝小白鼠，每窝3只，随机地安排喂养甲、乙、丙三种营养素之一种，8周后观察小白鼠体重增加情况，数据见表9-6。问：（1）不同营养素之间小白鼠的体重增加是否不同？（2）不同窝别之间小白鼠的体重增加是否不同？\n表9-6三种营养素喂养小白鼠所增体重（g）窝别号甲营养素乙营养素丙营养素164657325354593716879441463855058656424046\n（1）建立假设、确定检验水准。处理：H0：甲=乙=丙（三种营养素对小白鼠体重增加作用相同）H1：甲，乙，丙不全相等（三种营养素对小白鼠体重增加作用不全相同）区组：H0：1=2=…=6（窝别对小白鼠体重增加无影响）H1：1，2，…，6不全相等（窝别对小白鼠体重增加有影响）（2）计算检验统计量F值。计算各处理组的小计，各区组的小计，见表9-6。\n表9-6三种营养素喂养小白鼠所增体重（g）窝别号甲营养素乙营养素丙营养素区组合计(Bj)164657320225354591663716879218441463812555058651736424046128处理组合计(Ti)32133136010121789118845228365957253.555.260.056.22\n本例，\n表9-2例9-2方差分析表变异来源SSVMSFP处理组间136.778268.3894.24<0.05区组间2377.1115475.42229.49<0.01误差161.2221016.122总变异2675.11117\n①处理因素：查F界值表，，因，故P＜0.05。结论：按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为不同营养素对小白鼠体重增加有影响。②区组因素：查F界值表，，，F>F0.01（5,10），故P＜0.05。结论：按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为不同窝别对小白鼠体重增加有影响。（３）查F界值表，确定P值并作结论。\n随机区组设计的优点是，从组内变异中分离出区组变异从而减少了误差均方，使处理组间的F值更容易出现显著性，即提高了统计检验效率。当g=2时，随机区组设计方差分析与配对设计资料的t检验等价，有t2=F。\n第四节三因素方差分析拉丁方设计资料的方差分析一、拉丁方设计完全随机设计只涉及到一个处理因素；随机区组设计涉及一个处理因素和一个区组因素。若实验涉及一个处理因素和两个控制因素，而且每个因素的水平数相等，此时可采用拉丁方设计来安排实验，将两个控制因素分别安排在拉丁方的行和列上。\n拉丁方是由g个拉丁字母排成的g×g方阵，每行或每列中每个字母都只出现一次，这样的方阵称为g阶拉丁方。拉丁方设计是在随机区组设计的基础上发展的，它可多安排一个已知的对实验结果有影响的非处理因素，提高了效率。应用时，根据水平数g来选定拉丁方大小。\n3×34×45×5ABCCABBCAABCDDABCCDABBCDAABCDEEABCDDEABCCDEABBCDEA\n例9-3研究A、B、C、D四种食品，以及甲、乙、丙、丁四种加工方法对小白鼠增体重的影响。拟用4窝大鼠，每窝4只，每只小白鼠随机喂养一种食品、随机采用一种加工方法；8周后观察大鼠增体重情况。实验结果如表9-9所示。问：（1）食品种类是否影响大鼠体重增加？（2）食品加工方法是否影响大鼠增体重？（3）不同窝别的大鼠体重增加是否不同？区组号甲乙丙丁180(D)70(B)51(C)48(A)247(A)75(C)78(D)45(B)348(B)80(D)47(A)52(C)446(C)81(A)49(B)77(D)表9-9四种食品及四种加工方法喂养大鼠所增体重（g）\n4×4ABCDDABCCDABBCDA\n二、变异分解表9-8拉丁方设计资料的方差分析表表中C为校正数，、、分别为不同处理、行区组、列区组的合计。\n三、分析步骤例9-3问：（1）食品种类是否影响大鼠体重增加？（2）食品加工方法是否影响大鼠增体重？（3）不同窝别的大鼠体重增加是否不同？表9-9四种食品及四种加工方法喂养大鼠所增体重（g）\n解：(1)建立检验假设，确定检验水准H处理0：A=B=C=D即四种食品对大鼠体重增加相同H处理1：A，B，C，D不全相等即四种食品对大鼠体重增加不全相同H行0：1=2=3=4即不同窝别大鼠体重增加相同H行1：1，2，3，4不全相等即不同窝别大鼠体重增加不全相同H列0：甲=乙=丙=丁即不同加工方法对大鼠体重增加相同H列1：甲，乙，丙，丁不全相等即不同加工方法对大鼠体重增加不全相同=0.05\n（2）计算检验统计量=62772-59292.25=3479.75(2232＋2122＋2242＋3152)-59292.25=1726.25(2492＋2452＋2272＋2532)-59292.25=98.75(2212＋3062＋2252＋2222)-59292.25=1304.25=3479.75-1726.25-98.75-1304.25＝350.5\n表9-10例9-3方差分析表变异来源SSVMSFP处理间1726.253575.4179.85<0.01行区组98.75332.9170.56>0.05列区组1304.253434.7507.44<0.05误差350.50658.417总3479.7515\n（3）确定P值，作出推断结论①对处理：以处理=3和误差=6查F界值表，F0.05（3,6）=4.76，F0.01（3,6）=9.78，得P<0.01，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为食品种类能影响大鼠增重。②对行区组：以行=3和误差=6查F界值表，F0.05（3,6）=4.76，F0.01（3,6）=9.78，得P>0.05，按=0.05水准不拒绝H0，差别无统计学意义，尚不能认为不同窝别可影响大鼠增重。③对列区组：以列=3和误差=6查F界值表，F0.05（3,6）=4.76，F0.01（3,6）=9.78，得P<0.05，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可认为食品加工方法会影响大鼠增重。\n拉丁方设计的要求：①一定是三因素，且三因素水平数相等；②行间、列间、处理间均无交互作用；③各行、列、处理的方差齐。拉丁方设计的优缺点：优点是可同时研究三个因素，减少实验次数。从组内变异中不但分离出行区组变异，而且还分离出列区组变异，使误差变异进一步减小。缺点是要求处理组数与所要控制的两个因素水平数相等，一般实验不容易满足此条件，而且数据缺失会增加统计分析的难度。\n第五节多个均数间的两两比较经过方差分析，若拒绝了检验假设H0，只能说明多个总体均数不等或不全相等。若要得到各组均数间更详细的信息，应在方差分析的基础上进行多个样本均数的两两比较。SNK-q检验、LSD-t检验和Dunnett-t检验。多重比较常用的方法有：\n一、SNK-q检验SNK（Student-Newman-Keuls）检验，亦称q检验，适用于多个均数两两之间的全面比较。检验统计量q的计算公式为：\n例1经F检验结论有统计学意义，试用SNK-q检验方法对三组均数进行多重比较。解：(1)建立假设，确定检验水准。H0：（对比组总体均数相等）；H1：（对比组总体均数不等）；\n（2）计算检验统计量q值。①计算差值的标准误：本例nA＝nB＝6，MS误差＝MS组内＝0.269②将三个样本均数从小到大排序，并赋予秩次：均数3.8174.2334.733组别甲组乙组丙组秩次（R）123③列表计算检验统计量q值：表9-12例9－1的3个样本均数两两比较的q检验\n（3）确定P值，作出推断结论以误差＝15及组数a查q界值表，并确定P值，填入表9-12。结论：甲组与丙组（“1与3”）比较P<0.05，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，有统计学意义，可认为甲组（办公楼）全肺湿重小于丙组（矿井）；其余对比组之间比较均P>0.05，按=0.05水准不拒绝H0。因此，可认为矿井下环境会造成肺功能损害。\n二、Dunnett-t检验Dunnett–t检验适用于多个实验组与一个对照组均数差别的多重比较。检验统计量为：\n例2中甲组是对照组，研究目的是比较乙营养素和丙营养素是否比甲营养素多增加体重，经F检验结论有统计学意义，试用Dunnett-t检验方法对三组均数进行多重比较。解：（1）建立假设，确定检验水准。H0：（所比较实验组与对照组总体均数相等）H1：（所比较实验组与对照组总体均数不等）（2）计算检验统计量Dunnett-t值。①本例nT=nC=6，MS误差＝16.122，则差值的标准误为2.318\n②列表计算tD统计量，如表9-13所示。（3）确定P值，作出推断结论。以及处理数T=2查Dunnett-t检验界值表，并确定P值，填入表9-13。丙组与甲组比较P<0.05，按=0.05水准拒绝H0，接受H1，有统计学意义，可认为丙营养素比对照组体重增加更多。但乙组与甲组比较P>0.05，没有统计学意义，按=0.05水准不拒绝H0，尚不能认为乙营养素与对照组增加体重不同。表9-13例9－2的2个处理组与对照组均数比较的tD检验\n三、LSD-t检验LSD-t检验即最小显著差异t检验，适用于一对或几对在专业上有特殊意义的样本均数间的比较。检验统计量t的计算公式为:LSD-\n例3中食品种类是否影响大鼠增体重，研究目的只为比较A食品与B食品，C食品与D食品便可；多组间经F检验结论有统计学意义，试用LSD-t检验方法对这两对均数进行多重比较。检验步骤为：（1）建立检验假设，确定检验水准H0：A=B即所研究的两个对比组的总体均数相等H1：A≠B即所研究的两个对比组的总体均数不等=0.05(2)计算检验统计量①本例nA＝nB＝4，MS误差＝58.417，＝误差＝6\n②计算统计量LSD-t值，如表9-14所示。（3）确定P值，作出推断结论以误差＝6查t界值表，并确定P值，填入表9-14。由表9-14得A食品与B食品比较P>0.05，按=0.05水准，不拒绝H0，无统计学意义，还不能认为A食品和工食品增体重不同。但C食品与D食品比较P<0.01，按=0.05水准，拒绝H0，有统计学意义，可认为C食品增体重不如D食品。表9-14例9－3的两个对子均数比较的LSD-t检验\n第五节多组样本的方差齐性检验方差分析的一个应用条件是相互比较的各样本的总体方差相等，即具有方差齐性，这就需要在作方差分析之前，先对资料的方差齐性进行检验，特别是在样本方差相差悬殊时，应注意这个问题。本节介绍多个样本的方差齐性检验方法，Bartlett检验法和Levene检验法。\n一、Bartlett检验检验统计量为：\n例7对例1资料，检验其是否满足方差齐性？解：H0：H1：不全相等=0.10表15例1的方差齐性检验计算表\n首先计算各样本方差Si2和合并方差SC2，再计算2。ν=3－1=2查2界值表，，2<，P>0.10，按=0.10水准，不拒绝H0，差别无统计学意义，尚不能认为不同环境下大鼠全肺湿重的方差不齐。\n注意事项：1．当2值仅略大于某一临界值时可计算校正2值，减少偏倚。计算公式为2．Bartlett检验法要求资料具有正态性。\n二、Levene检验与Bartlett检验法比较，Levene检验法在用于多样本方差齐性检验时，所分析的资料可不具有正态性。检验统计量为\n检验过程：1.建立假设、确定检验水准。H0：（即三个总体方差相等）；H1：三个总体方差不等或不全相等；2.计算检验统计量W值3.查F界值表作结论Levene法的计算量较大，一般借助于统计软件来完成。\n第七节数据变换当数据为偏态或方差不齐时，有时可通过数据转换的方法改善。常用方法有对数变换、平方根变换、倒数变换、平方根反正弦变换等。\n第七节数据变换变量变换是将原始数据做某种函数变换。其目的是：①使各组达到方差齐性；②使资料转换为正态分布，以满足方差分析和t检验的应用条件。③曲线拟合时曲线的直线化。常用变换有：1．对数变换(logarithmictransformation)2．平方根变换（squareroottransformation）3．平方根反正弦变换4.倒数变换（reciprocaltransformation）\n\n\n平方根变换常用于：①使服从Poisson分布的计数资料或轻度偏态的资料正态化；②使方差不齐且各样本的方差与均数间呈正相关的资料达到方差齐的要求。\n\n当各处理标准差与其平均数的平方成比例时，可进行倒数转换；对于一些分布明显偏态的二项分布资料，进行的转换，可使x呈良好的正态分布。