计算机数学基础

计算机数学基础

教学大纲第一部分   大纲说明    一、课程的性质与任务 　　《计算机数学基础》(basicmathematicsforcomputer)是中央广播电视大学计算工程类计算机科学与技术专业专科升本科教学中最为重要的核心基础课程，它是学习专业理论中不可少的数学工具。　　通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，并初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法以及计算机上常用数值分析的构造思想和计算方法。同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力。    二、课程的目的与要求    本课程主要有数理逻辑、集合论、图论、代数系统和数值分析等内容，是一门理论性较强，应用性较广的课程。因此，通过本课程的学习，使学生：   1.掌握离散数学的基本概念和基本原理，进一步提高抽象思维和逻辑推理的能力；   2.熟悉数值计算方法的基本原理和基本方法，掌握常见数值计算的方法，进一步提高数值计算能力。　 三、课程的教学要求层次    教学要求中，有关定义、定理、性质、特征等概念的内容要求，由低到高分“知道、了解、理解”三个层次；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容要求，由低到高分“会、掌握、熟练掌握”三个层次。 第二部分   教学媒体和教学建议一、课程内容与要求Ø第一章：命题逻辑n理解命题概念，掌握判断语句是不是命题的方法。n了解六个联结词概念，掌握由它们构成的公式及真值表。n理解公式、公式解释、永真式(重言式)、永假式(矛盾式)和可满足式等概念。n了解析取(合取)范式概念，理解极小(大)项的概念和主析取(合取)范式概念，熟练掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取(合取)范式的方法。\nn了解有效结论(逻辑结果)的概念，掌握判断重言蕴含式(推理是否有效)的五种方法。Ø第二章：谓词逻辑n理解谓词、量词、个体词、个体域、原子公式、谓词公式和变元等概念。会将命题符号化。n掌握在有限个体域下消去公式的量词和求公式在给定解释下真值的方法。n掌握谓词演算的等值式和重言蕴含式，并进行谓词公式的等值演算。n了解前束范式的概念，掌握求公式的前束范式的方法。n了解谓词逻辑推理的规则：全量词消去规则(US规则)；全量词附加规则(UG规则)；存在量词消去规则(ES规则)；存在量词附加规则(EG规则)，会给出推理证明。Ø第3章：集合及其运算n理解集合、元素、全集、空集等概念。n理解集合的包含、子集、相等和幂集等概念，熟练掌握集合的表示方法和集合的并、交、补、差和对称差等运算，会用文氏图表示集合的各种运算。n掌握用集合运算基本规律证明集合恒等式的方法。n了解有序对和笛卡儿积的概念，掌握笛卡儿积的运算。Ø第4章：关系与函数n理解关系的概念：二元关系、空关系、全关系、恒等关系。掌握关系的集合表示、关系矩阵和关系图，掌握关系的运算。n掌握求复合关系和逆关系的方法。n理解关系的五种性质，掌握其判别方法(定义、矩阵或图)。n理解等价关系和偏序关系概念，掌握等价类的求法和作偏序关系哈斯图的方法。知道极大(小)元，最大(小)元的概念，会求极大(小)元、最大(小)元、最小上界和最大下界。n理解函数概念：函数(映射)，函数相等，复合函数和反函数。Ø第5章：图的基本概念n理解图的概念：结点、边、有向图，无向图、图的同构、简单图、完全图、结点的度数、子图、边的重数和平行边等。n了解通路与回路概念：通路(简单通路、初级通路和复杂通路)，回路(简单回路、初级回路和复杂回路)，会求通路和回路的长度。\nn了解无向图的连通性，会求无向图的连通分支。了解点割集、割点、边割集、割边、点连通度、边连通度等概念。n了解有向图的强连通强性；会判别其类型。n了解(有向图、无向图)关联矩阵、(无向图)相邻矩阵和(有向图)邻接矩阵的概念，掌握构造方法及其应用。n知道带权图、最短通路概念，知道关键路径概念。nØ第6章：几种特殊图n理解欧拉通路(回路)、欧拉图的概念，掌握欧拉图的判别方法。n理解哈密顿通路(回路)、哈密顿图的概念。n了解平面图的概念：平面图、面、边界、面的次数和非平面图。掌握欧拉公式的应用。n了解无向树、树叶、分支点、平凡树、生成树和最小生成树等概念。会求最小生成树。n了解有向树、根树、有序树、最优二元（叉）树等概念，会用哈夫曼算法求最优二叉树。nØ第7章：群n了解代数运算、代数系统和子代数系统等概念。掌握二元运算的性质：结合律、交换律、分配律、幂等律、吸收律。掌握求集合上代数运算的单位元(幺元)、0元和逆元的方法。n了解半群、群和子群等概念。掌握群的基本运算律及群的判别方法。n了解循环群、交换群和置换群的概念，掌握其判别方法。n了解群的同态与同构等概念，知道它们的主要性质。Ø第8章：其它代数系统n知道环和域的概念。n了解格的概念。n知道有界格、有余格、分配格的概念。n了解布尔代数概念，掌握其性质和运算。一、学时和学分    1.学时分配   本课程课内学时为144学时，电视录像学时为36学时。第一学期72学时，周学时为4学时；第二、三学期均为36学时，周学时均为2学时。其中，第一、二学期教学内容为必修，第三学期教学内容为选修。具体安排如下： 序号 内          容课内学时授课周次备注\n1数理逻辑 1   命题逻辑10  4增加 习题课 2   谓词逻辑82集合论 1   集合及其运算6 4增加 习题课  2   二元关系与函数123图论 1   基本概念3 3  增加 习题课 2   道路、回路与树12 3   平面图、图的着色及连通性84代数系统 1   群10 2增加 习题课 2   其他代数系统35 计算方法 1  数值计算中的误差2 1增加 习题课2  函数插值与最小二乘拟合8 23线性方程组解法72增加 习题课4  数值积分与微分7 25  方程求根51 增加 习题课 6  常微分方程数值解法72 6组合数学1 组合数学 36选修    说明：课内学时不包括上机实习和复习课，上机实习和期末复习另行安排，上机实习不要低于8学时，复习课不要低于2学时。   2.学分   本课程《计算机数学基础（1）》共3学分。    二、教材    1.本课程的文字教材有主教材和辅助教材。   主教材是学生学习的主要用书，它是教和学的主要依据。根据远距离教育要求和电大学生入学时水平参差不齐的实际情况，主教材以外，应配辅助教材。   文字教材是学生获得知识和能力的重要媒体，教材中对概念的叙述要直观无误，论证要清楚，要适合成人、以业余学习为主的特点，要便于自学。   2.电视录像教材是学生获得本课程知识的主要媒体之一。   本课程的电视课以重点内容系统讲授和非重点内容精讲相结合的方式进行。精讲是讲要点、讲方法，或解答疑难问题。\n   在电大多年录像教材的基础上，进行多种媒体的一体化设计，适当地多引入一些现代化教学手段，如计算机虚拟教室环境、动画、字幕、实镜等,强化教学效果。    三、教学环节    1.先修课程   高等数学，线性代数，概率与数理统计。   2.面授辅导或自学   本课程是一门理论性较强、内容较抽象的综合课程，因此面授辅导或自学，将是不可缺少的辅助教学手段，开设该课程的地方电大，要聘请有经验、认真负责的教师，为学生进行面授辅导或答疑，及时解答学生的疑难问题。   要求教师认真钻研教学大纲，认真备课，批改作业。   自学是电大学生获得知识的重要方式，自学能力的培养也是高等教育的目的之一，要注意对学生自学能力的培养，学生自己更应重视自学和自学能力的提高。   3.作业   本课程由于学时所限，理论推证和例题都较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉公式的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。这也是任何数学课多必须要求的。由此可见，独立完成作业也是学好本课程的重要手段。   该课的前四部分的重点是概念，必须多做练习，才能理解和掌握。因此，建议另外增加辅导课（或习题课），以课内学时数的二分之一为宜。数值分析部分要另外增加上机时间。   4.数值分析上机实习   用计算机语言编制程序，程序尽量通用、结构化，或用现成的数学软件完成至少两大题的数值计算，要求输出计算结果，并对结果进行分析。   5.考试   考试是对教与学的全面验收，是不可缺少的教学环节。   \n考试题目要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，难度和题量的梯度应按照教学要求的三个不同层次安排。不出难题，怪题。未作具体教学要求的内容不作考试要求。   期末考试中央电大统一出复习考试大纲和要求，全国统一命题，统一评分标准，统一考试时间，学生的本课程成绩以期末考试成绩为准。阶段测验可根据教学情况由各地电大自行安排。 第三部分 教学内容与教学要求 第（一）部分  数理逻辑第（一）部分数理逻辑第一章命题逻辑10学时学习内容:1.命题逻辑基本概念：命题，联结词，真值表，合式公式，重言式，命题形式化2.命题逻辑的等值演算和推理演算基本等值公式，命题公式与真值表的关系，联结词的完备集，范式，推理的形式结构，基本推理公式，推理演算教学要求：1.理解命题概念，会判断语句是否命题。2.掌握六个联结词的真值表，掌握公式与真值表的关系与构造方法。3.掌握命题的基本等值公式，并熟练掌握对合式公式进行等价变换的方法。4.掌握用主析取范式判断两个公式是否等价的方法，以及命题逻辑的判定问题。5.理解等价式蕴涵式与逻辑结论的概念。6.掌握：命题逻辑的推理演算方法。第二章谓词逻辑8学时学习内容：1.谓词逻辑基本概念\n谓词，个体词，命题函数，量词，自由变元和约束变元，谓词的合式公式，谓词的解释，自然语句的形式化。2.谓词逻辑的等值和推理演算谓词逻辑的等值式，范式，基本推理公式，推理演算。教学要求：1.理解谓词、量词、变元、个体域等概念。2.掌握用谓词、量词、联结词构造谓词逻辑公式的方法。3.掌握谓词公式在给定解释下求真值的方法。4.会将谓词逻辑化为前束公式。5.会将谓词逻辑作为工具，将命题符号化，并能用推理规则进行逻辑证明。第（二）部分集合论第三章集合及其运算6学时学习内容：1.集合的概念和表示方法2.集合间的关系和特殊集合3.笛卡儿积教学要求：1.掌握集合的两种表示法，理解集合的包含与相等、幂集等基本概念。2.熟练掌握集合的交、并、补、差、对称差等运算，并通过文氏图加深理解。会做笛卡儿积的运算。3.熟练掌握集合的基本运算，并能用以证明集合恒等式。第四章二元关系与函数12学时学习内容：1.二元关系的概念\n2.关系矩阵和关系图3.关系的性质4.关系运算5.等价关系和偏序关系6.函数的定义及其性质7.特殊函数（单射、满射和双射）8.函数的合成与逆函数教学要求：1.理解二元关系的概念及其性质。2.掌握二元关系的关系矩阵和关系图画法。3.理解等价关系和偏序关系的有关概念4.理解函数、单射、满射和双射的概念，并掌握其判定方法。第三部分图论第五章基本概念3学时学习内容：1.图的概念（图的表示，有向图、无向图、度、同构）2.图的矩阵表示（邻接矩阵，关联矩阵）教学要求：1.理解图的有关概念2.掌握图的表示方法第六章道路、回路与树12学时学习内容：1.道路、回路及其判定2.欧拉道路与回路\n3.哈密顿道路与回路4.最短路径5.关键路径6.中国邮路7.树的有关定义8.最短树与哈夫曼树教学要求：1.理解道路、回路的定义，掌握道路、回路的判断方法；2.理解欧拉图的定义，了解相关定理及应用；3.理解哈密顿图的定义，知道相关定理及应用；4.理解最短路和关键路的定义、了解相关定理及应用；5.理解树的等价定义，了解相关最短树与哈夫曼树的有关定理及应用。第七章平面图、图的着色及连通性8学时学习内容：1.平面图2.极大平面图3.非平面图4.对偶图5.色数与*色数多项式6.割点、割边和块7.点与边的连通度教学要求：1.理解平面图、极大平面图的定义及相关定理；知道非平面图的定义和判定定理；2.理解对偶图定义，知道它的应用；\n3.了解色数和色数多项式的定义，掌握相关的计算方法；4.理解割点、割边和块的定义；知道点与边的连通度。第四部分代数系统第八章群10学时学习内容：1.群、群的基本性质2.循环群、群的同构3.变换群和置换群*4.陪集和群的陪集分解，Lagrange定理5.正规子群与商群6.群的同态，同态基本定理教学要求：1.理解群的概念、性质；2.了解循环群、置换群的定义与性质；3.了解陪集、正规子群和商群的概念；4.知道同态基本定理；第九章其他代数系统3学时学习内容：1.环与域的定义2.格与布尔代数教学要求：了解环、域、格及布尔代数的概念。第（五）部分数值分析第九章数值分析中的误差2学时\n学习内容：1.误差分析的重要性。2.误差的基本概念。3.数值运算中若干准则。教学要求：1.了解误差分析基本意义及其重要性。2.知道误差产生的主要来源。3.了解误差基本概念：绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限、有效数字等。4.掌握数值运算中避免大误差产生的若干准则。第十章线性方程组解法7学时学习内容：1.高斯消去及高斯主元消去法。*2.高斯消去法的变形。3.迭代法。教学要求：1熟练掌握高斯主元消去法。2知道高斯消去法的变形。3掌握几种常用的简单迭代法。第十一章函数插值与最小二乘拟合8学时学习内容：1.插值概念。2.拉格朗日插值（插值公式及余项）。\n3.牛顿插值（均差，插值公式及余项）。4.分段插值（分段线形，分段三次埃米特及三次样条插值）。5.曲线拟合的最小二乘法。教学要求：1.理解插值概念。2.熟练掌握拉格朗日插值公式，会用余项估计误差。3掌握牛顿插值公式。4掌握分段低次插值的意义及方法。5掌握曲线拟合的最小二乘法。第十二章数值积分与微分7学时学习内容：1.引言（数值求积的基本思想.代数精度的概念）。2.等距节点求积公式（梯形辛普生及其复化求积公式）。3.高斯求积公式。4.数值微分。教学要求：1.理解数值求积的基本思想，代数精度的概念。2.熟练掌握梯形，辛普生及其复化求积公式。3.掌握高斯求积公式的用法。4.掌握几个数值微分计算公式。第十三章方程求根5学时学习内容：1.二分法。2.解一元方程的迭代法。\n3.牛顿法。4.弦截法。教学要求：1.理解方程求根的对分法和迭代法的求解过程。2.熟练掌握牛顿法。3.掌握弦截法。第十四章常微分方程数值解法7学时学习内容：1.尤拉法与改进尤拉法。2.梯形方法。3.龙格—库塔法。*4.二阶边值问题的数值解法。教学要求：1.掌握数值求解一阶方程的尤拉法，改进尤拉法，梯形法及龙格—库塔法。2.了解局部截断误差，方法阶等基本概念。3.知道：二阶边值问题的基本解法。选修内容：第（六）部分　　组合数学（36学时）教学内容１.排列与组合（循环排列、重复排列；组合、重复组合、组合数性质；多项式定理；排列与组合的生成算法）。２.容斥原理（公式及图解、重复组合数算法、移位排列和定位排列）。３.抽屉原理（简单形式、一般形式）。\n４.生成函数（概念、表示法、差分多项式、母函数）。５.递推关系（建立并求解）。教学要求　　１.理解排列、组合的概念，并能用其公式求解应用题。　　２.熟练掌握全排列和组合的生成算法。　　３.会用容斥原理并配以文氏图做应用计数。　　４.知道抽屉原理的简单形式。　　５.知道生成函数、递推关系。教学建议1.离散数学是理论性较强的数学学科，学习离散数学的关键是把握好概念。把握好概念就要：a)¬讲清概念；b)-多做练习。2.计算方法部分要侧重于数值计算的构造思想和方法的运用。3.数值计算结果的稳定性和收敛性与步长有关，教师在讲解时，需要给学生提一下。4.讲解排列与组合的生成算法可以编写语言上机进行。