应用统计学复习例题

应用统计学复习例题

例题1:某切割机正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10。5cm。今在某段时间内随机地抽取15段进行测量，结果为（单位:cm）：10.510。610.110.410.510。310。310。210。910.610.810。510.710。210.7假定金属棒长度服从正态分布。此段时间内该机工作是否正常（α=0.05）解：需要检验：H0:μ=10。5，H1:μ≠10。5，n=15，S=0.2356，=10.4867t0。025（14)=2.1448|t｜〈t0。025(14）,不能拒绝原假设,认为此段时间内该机工作正常。=统计的平均值，用计算器输入计算例题2：某种电子元件的寿命X（单位：小时）服从正态分布，今随机地抽取16只元件进行测量，结果为:159280101212224379179264222362168250149260485170问是否有理由认为元件的寿命大于225小时？(α=0。05）？解:需要检验：H0：μ≤225，H1:μ›225，n=16，S=98.7259，=241.5t0。05（15)=1.7613T〈t0。05（15)，没有理由认为元件的寿命大于225小时例题3：随机地挑选20位志愿者，分别服用甲、乙两种药,记录下他们药效时间（单位：分），得数据如下:服用甲药79。172.476.274。377.478.476.075。576.777.3服用乙药78.181。077。379。180。079.179.177.380.281。2假定药效时间分别服从N（μ1,σ12）、N(μ2,σ22）,显著性水平α=0.05，检验：1)H0：σ12=σ22，H1：σ12≠σ222）H0：μ1=μ2，H1：μ1〈μ2解：1)变量1变量2平均76.3379。33方差3.8401112。397889观测值1010df99F1.61455Fα/2（n1—1，n2—1)=F0。025(9,9）=4.03F1-α/2（n1-1,n2—1）=F0。975(9,9)=1/F0.025(9,9）=1/4.03=0.2481F1-α/2(n1—1，n2-1）〈F〈Fα/2（n1-1,n2—1），解:2）Sw2=3。1190，Sw=1。7661，变量1变量2平均76.3379.33方差3.8401112。397889观测值1010合并方差3.119假设平均值0df18Tstat-3.79838t=-3.7989，tα(n1+n2-2)=t0。05(18)=1.7341t<—tα（n1+n2—2)，故拒绝原假设\n不能拒绝原假设。认为σ12=σ22。例题4:三位操作工分别在四台不同机器上操作三天的日产量如下表。机器记为因素A，操作工记为因素B。设A、B水平的每对组合（Ai，Bj）的试验服从N(μij,σ2），且每次试验都是独立的。请完成如下的方差分析表:A水平\B水平B1B2B3A1151916151918171621A2171519171522171522A3151818171718161618A4181517201617221717解：方差来源平方和自由度均方F比判断因素ASAr-1,⑴，①①/④查表（0。05和0.01）横⑴竖⑷2.750030。916670。5323—因素BSBs-1,⑵，②②/④查表（0.05和0。01)横⑵竖⑷27.1667213.583357。8872＊*交叉作用A×BSI（r—1)（s-1)⑶，③③/④查表（0。05和0.01）横⑶竖⑷73。5000612.25007。1130**误差SErs(t—1)，⑷，④41.3333241。7222总和STrst-1144。750035自由度：r代表A的下标数字,s代表B的下标数字t代表A于B比较产生的数值，这里为3\n表格中的①—④，⑴—⑷代表计算出来的数值，为后续计算提供的数据。判断：F比的数值小于查表值用“—”,大于查表值用“**”，间于查表值“＊”例题5：设总体X的概率密度为:试求s的极大似然估计；并问所得估计是否无偏。解：例题6：设分别从独立总体N(μ1，σ2）和N（μ2，σ2）中抽取容量为m，n的两个样本，其样本方差分别为S12，S22。试证：对于任意常数a和b(a+b=1），Z=aS12+bS22都是σ2的无偏估计。并确定常数a和b，使D（Z）达到最小。\n解:例题7：设总体N(μ，σ2），其中σ2已知，问需抽取容量n为多大的样本，才能使μ的置信度为1—α的置信区间的长度不大于给定正值L.解：例题8：设总体N(μ，σ2)，其中μ，σ2未知，设x1，x2，…,xn为来自总体的一个样本。求关于μ的置信度为1-α的置信区间的长度L的平方的数学期望.解:例题9:试述一元线性回归模型。\n解：试述一元线性回归模型1、描述因变量y如何依赖于自变量x和误差e的方程称为回归模型2、一元线性回归模型可表示为：→y=b0+b1x+e（总体回归模型)◆y是x的线性函数(部分）加上误差项◆线性部分反映了由于x的变化而引起的y的变化◆误差项e是随机变量◆反映了除x和y之间的线性关系之外的随机因素对y的影响◆是不能由x和y之间的线性关系所解释的变异性◆b0和b1称为模型的参数例题10：网上查的试述单因子方差分析的数学模型：单因子方差分析模型如下:yij=μi+εiji=1,2，……，r；j=1，2，……t（8。2)εij～N(0,σ2)这里yi看成第i个水平下的试验结果，yi～N(μi，σ2),在Ai水平下做了t次试验，获得t个数据yij（i=1，……t）需检验假设:H0:μ1=μ2=……=μr（8.3)现把参数形式改变一下:记我们称μ为一般平均,αi为因子A的第i个水平的效应，r个效应满足关系式：于是单因子方差分析模型(8。2)可改写成：（8。4)所要检验的假设（8。3)可改写为：H0:α1=α2=……=αr=0(8。5）需指出的是在模型(8.4)或(8。2)中，观察到的是yij，而εij是观察不到的,通常称εij为随机误差或随机干扰。下面就来讨论(8.5）的检验我们首先分析引起yij波动的原因，有如下两个H0为真，波动由随机误差引起引起yij的波动\nH0不真导致今后我们的yij视情况不同可以表示随机变量，也可以表示观测数据,下面就从分解平方和入手，找出反映上述两个原因的量来，为此先引入（8.6）（8.7）称是从第i个母体抽得的子样的平均，常称为组平均值，而称为样本总平均值，我们称（8。8）为总偏差平方和。由于有，i=1，……，r所以故总偏差平方和有如下分解式(8。9）其中(8.10)称为误差的偏差平方和，它反映了观察yij时，抽样误差的大小程度（8。11）称为因子A的偏差平方和，在（8。5)所示H0为真时，它反映误差的波动，在H0不真时，它反映因子A的不同水平效应间的偏差.