统计学-举例集中趋势

统计学-举例集中趋势

举例集中趋势众数例4：某年某月某企业工人领取奖金数据如表4－3，求工人奖金额的众数。表4－3工人奖金分布数列工人奖金额（元）x工人人数（人）f200以下10200－30060300－400300400－500550500以上80合计1000解：表4－3为等距数列，400－500元这一组频数为550人最大，故众数组为400－500元这一组。由下限公式计算可得工人奖金额的众数近似值为：MOLMO1dMO12＝400+550300×（－）＝434.72元(550300)(55050040080)例5：某年某地区职工家庭人均月收入资料如表4－4，求职工家庭人均月收入的众数。表4－4某年某地区职工家庭人均月收入人均月收入（元）x家庭数（户）f组距次数密度fm0300以下2721002.72300－4006641006.64400－600300220015.01600－100034724008.681000－150019455003.891500以上6455001.291\n合计10000－－解：次数密度＝家庭数÷组距，可以消除组距不同对每组内次数多少以及次数分布的影响。表4－4是异距数列，400－600这一组次数密度为15.01最大。故众数组为400－600元这一组。由下限公式计算可得职工家庭人均月收入的众数近似值为：MOLMO1dMO12＝400+15.016.64×（－）＝513.88元(15.016.64)(15.016004008.68)中位数例9：某年某月某企业工人领取奖金额如表4－6，求工人奖金额的中位数。表4－6工人奖金分布数列工人奖金额（元）x工人人数（人）f向上累计工人人数（人）Sm200以下1010200－3006070300－400300370400－500550920500以上801000合计1000-解：因为∑f=1000，为偶数，中点位置＝f＝1000＝500，由表4－6中22向上累计次数工人人数Sm可知，第500位和第501位均在第四组，所以－400500元组为中位数所在组，工人奖金额的中位数近似值为：f1000SMe1370MeLMe2dMe＝400+2×（500－400）＝423.64元fMe5502\n四分位数例11：某大学统计系10名教授的年龄分别为40、37、65、34、37、55、43、61、48、36（岁），求教授年龄的四分位数。解：因为数据项数为偶数（10）年龄排序（岁）：34、36、37、37、40、43、48、55、61、65数据位置：12345678910Q1的位置＝n1=101=2.75，则Q1=36+(37-36)×0.75=36.75岁；442的位置＝2(n1)＝2(101)＝5.5，则Q2＝（－）×＝41.5岁；Q4440+43400.53的位置＝3(n1)＝3(101)＝8.25，则Q3＝（－）×＝56.5岁。Q4455+61550.2530、在组距数列情况下求四分位数f12(f1)3(f1)Q1的位置＝，Q2的位置＝，Q3的位置＝4；44f2f3fSm11Sm214Sm31Q1＝L1+4×d1；Q2=L2+4×d2；Q3＝L3+×d3fQ1fQ2fQ3式中：L1、L2、L3分别表示第1、2、3个四分位数所在组的下限值；Sm11、Sm21、Sm31分别表示第1、2、3个四分位数所在组的前一组向上累计次数；fQ1、fQ2、fQ3分别表示第1、2、3个四分位数所在组的次数；3\nd1、d2、d3分别表示第1、2、3个四分位数所在组的组距。简单算术平均数例13：某企业某生产班组10名工人一月份工资额分别为：1500、1500、1620、1620、1620、1620、1620、1700、1700、1700元，求该班组工人平均工资。解：工人平均工资X＝x1x2x3...xxN＝NN＝1500150016201620162016201620170017001700＝162001010＝1620元加权算术平均数例4：某年某月某企业工人领取奖金数据如表4－3，求平均工人奖金额。表4－3工人奖金分布数列工人奖金额（元）x工人人数（人）f200以下10200－30060300－400300400－500550500以上80合计1000解：先取组中值为：150、250、350、450、550采用组中值计算有：xf工人奖金的加权算术平均数x＝f＝1501025060350300450550550801060300550804\n＝413000＝413元1000本例：MO＝434.72元，Me＝423.64元，x＝413元，左偏分布例16：某年某月某集团公司职工工资资料如表4－10。表4－10月人均工资（元）企业数（个）职工人数（人）1000以下210001000－1200540001200以上33000则用四种计算方法计算的该集团公司职工平均工资分别为：A.90011001300＝1100元3B.90021100513003＝1120元253C.90010001100400013003000＝1150元100040003000D.90021000110054000130033000＝1145元210005400033000请问正确答案是哪一个？为什么？答：本例是由平均数计算平均数。正确答案是C。例17：某商业公司报告期商品流通费用率资料如表4－11，求平均商品流通费用率。（或改为仅给出三个企业的流通费用率8.5、9.3、11.1％与销售额）表4－11商品流通费用率（％）组中值（％）商店数（个）商品销售额（万元）8.1－8.98.52400008.9－9.79.33150009.7－12.511.1412000解：因为商品流通费用率＝平均商品流通费用额÷平均商品销售额，故有：5\nxF平均商品流通费用率X＝F＝8.5%400009.3%1500011.1%12000＝612700＝9.14％40000150001200067000它说明该公司平均每个商店的商品流通费用率为9.14％，这也就是该公司的商品流通费用率。二、某地某年高考录取资料如下表：（单位：万人）性别男女学科报考人数录取人数报考人数录取人数文0.500.041.000.20理1.500.920.600.38合计2.000.961.600.58试计算分析哪种性别学生考得好一些？为什么？解：先分别计算男、女性别不同学科的录取率和分别计算男、女性别的总录取率。录取率=录取人数÷报考人数再分别计算男、女性别的各类学科报考人数所占比重。报考人数比重=某性别的某学科报考人数÷该性别全部报考人数计算结果见下表。从表中计算结果可知，各科录取率都是女生高于男生，但总录取率却是男生高于女生。两者不一致的原因在于男生报考录取率低的文科的人数所占比重较小，报考录取率较高的理科的人数所占比重较大；而女生报考录取率低的文科的人数所占比重较大，报考录取率较高的理科的人数所占比重较小。由于报考人数结构影响，使得男生总录取率高于女生总录取率，而各科录取率却是女生高于男生，即不论是文科，还是理科，都是女生考得好一些。这个结论是通过分组，计算组相对指标才得知的。某地某年高考录取率表（单位：万人）性别男女报考报考人数录取录取率报考报考人数录取录取率学科人数比重（%）人数（%）人数比重（%）人数（%）文0.5025.00.048.01.0062.50.2020.0理1.5075.00.9261.30.6037.50.3863.3合计2.00100.00.9648.01.60100.00.5836.36\n调和平均数例22：某商品早市价每500克2.50元，中市价每500克2.00元，晚市价每500克1.00元，求平均价格。解：若某人早、中、晚各买1元，则：平均价格XH＝N＝131＝3＝1.58元111.9x2.521显然，若某人早、中、晚各买500克，则：平均价格X＝x2.521＝5.5＝1.83元＝N33例23：抽样资料显示某种农产品收购价格资料如表4－13。求平均收购价格。表4－13地区收购价格（元）收购额（元）山区1.908740平原区1.954290湖区2.004000解：因为平均收购价格＝收购总额÷收购总量，所以：平均收购价格xH＝m＝874042904000＝17030＝1.93元18740429040008800mx1.901.952.00例25：某商业公司商品零售额计划完成情况如表4－15，求平均商品零售额计划完成程度。表4－15零售额计划完成程度（％）组中值（％）商店数（个）实际零售额（万元）100以下953570100－110105124200110以上11551725解：平均商品零售额计划完成程度＝平均实际商品零售额÷平均计划商品零7\n售额，故有：M平均商品零售额计划完成程度XH＝1Mx＝57042001725＝6495＝106.47％57042001725610095%105%115%●提问：本例如果将表4－15中的实际零售额改为计划零售额，又该怎样计算平均商品零售额计划完成程度？例26：某企业有三个流水作业的车间甲、乙、丙，生产某产品，其报告期车间产品合格率分别为92％、96.4％、98.1％，求平均车间产品合格率。解：因为三个流水作业车间产品合格率之间有相乘的关系，后一车间必须在前一车间生产的合格品量基础上进行加工，即：甲车间合格品量×乙车间合格品量×丙车间合格品量甲车间送检量甲车间合格品量乙车间合格品量所以，采用几何平均数公式计算平均车间产品合格率。平均车间产品合格率XG＝Nx＝392%96.4%98.1%＝95.5％例27：某企业报告期生产某产品，甲车间产品合格率为95％，乙车间产品合格率为92％，丙车间产品合格率为98％；甲车间产品送检量占三个车间产品送检总量的30％，乙车间产品送检量占三个车间产品送检总量的四分之一。则三个车间的平均产品合格率有四种计算结果：A.395%92%98%＝94.97％B.（95％+92％+98％）÷3＝95％C.95％×30％+92％×25％+98％×45％＝95.6％30%25%45%＝95.54％D.30%25%45%95%92%98%请问，哪个计算结果是正确的？为什么？8\n（答：正确答案是C。因为三个车间产品合格率的关系为：甲车间合格品量甲车间送检量乙车间合格品量乙车间送检量×三个车间送检总量+×甲车间送检量乙车间送检量三个车间送检总量+丙车间合格品量丙车间送检量×，是相加的关系，不是相乘的关系。）丙车间送检量三个车间送检总量例28：在某个五年期间某银行一年期存款利率为前3年为2％，后2年为3％，某人在这个五年期间的第1年初存入一年期定期存款10000元，到期后未取款，在此期间银行一直都给自动转存。求在这五年间的平均年利率，如果该人一直未取款，在存款五年后的本利和为多少？解：因为一年期存款自动转存，利率便是复利形式，先将利率改为本利率，即：102％与103％，所以：平均存款年本利率XG＝FxF＝32102%3103%2＝102.3988％故：平均年利率＝102.3988％－100％＝2.3988％存款五年后的本利和为：10000×（102.3988％）5＝11258.35元四分位数间距的计算公式为：IQR=Q3–1Q例33：某大学统计系10名教授的年龄分别为40、37、65、34、37、55、43、61、48、36（岁），求教授年龄的四分位数间距。解：因为数据项数为偶数（10）年龄排序（岁）：34、36、37、37、40、43、48、55、61、65数据位置：123456789101n11011=36+(37-36)×0.75=36.75岁；Q的位置＝=4=2.75，则Q49\n2的位置＝2(n1)＝2(101)＝5.5，则Q2＝（－）×＝41.5岁；Q4440+43400.53的位置＝3(n1)＝3(101)＝8.25，则Q3＝（－）×＝56.5岁。Q4455+61550.25所以，教授年龄的四分位数间距IQR=Q3–Q1＝56.5－36.75＝19.75岁例37：某企业两个生产班组工人的周奖金资料如表4－20和表4－21。表4－20甲班周奖金（元）工人数（人）40－501050－603060－7010合计50表4－21乙班周奖金（元）工人数（人）30－40240－501250－602460－70870－804合计5010\n试计算分析哪个班工人平均奖金代表性大些？xF解：根据表4－20计算有：甲班工人平均周奖金X1＝F＝451055306510＝2750＝55元10301050甲班工人周奖金的标准差(xX)2F1＝F＝(4555)210(5555)230(6555)210＝40＝6.32元103010根据表4－21计算有：乙班工人平均周奖金X2＝xFF＝35245125524658754＝2750＝55元212248450乙班工人周奖金的标准差＝(xX)2F2F＝(3555)22(4555)212(5555)224(6555)28(7555)242122484＝88＝9.38元对比甲、乙两班，在两班的工人平均周奖金相等（即X1＝X2＝55元）的前提下，因为甲班的标准差小于乙班的标准差（即1＝6.32元＜2＝9.38元），所以，甲班工人平均周奖金的代表性比乙班工人平均周奖金的代表性要大些。例40：某企业丙生产班组工人的季度奖金资料如表4－22。表4－22丙班季度奖金（元）工人比重（％）11\n600以下20600－72060720以上20合计100又知甲生产班组的工人周平均奖金为55元，标准差为6.32元；乙生产班组的工人周平均奖金为55元，标准差为9.38元。试计算分析哪个班的工人平均奖金代表性小一些？12\n解：由表4－22计算丙班工人的季度平均奖金为：X3＝F＝540×20％+660×60％+780×20％＝660元xF丙班的标准差为：3＝(xX)2FF＝(540660)220%(660660)260%(780660)220%＝75.89元因为甲、乙、丙三个班的平均数不等，计量单位不同。所以需要计算标准差系数：甲班：V＝6.32×100％＝11.5％x55乙班：V＝9.38×100％＝17.1％x55丙班：V＝75.89×100％＝11.5％x660由于乙班的标准差系数最大，所以乙班的平均奖金的代表性要小一些。13