当代数学哲学与逻辑哲学入门

当代数学哲学与逻辑哲学入门

第1页第一编数学哲学\n\n第3页第一章导论提起“数学哲学”，使人想起解放前的一本畅销书《罗素算理哲学》（傅种孙、张邦铭合译）。笔者曾于年前后在旧书店购得一册，书上印着“第一批抢救图书”字样。这是怎么一回事呢？读者想必看过《列宁在十月》这个电影。其中有个镜头提到，起义士兵在进攻冬宫时面临着一个问题，即冬宫中的古希腊艺术珍品是“资产阶级性质”的还是“无产阶级性质”的该不该保留和保护？聪敏的布尔什维克的指挥官果断地作出合理决策，先保留它，具体问题到革命胜利之后再去讨论、争论。中国也碰到了类似的情况。年革命胜利之后，出于历史的需要销毁一大批反动或黄色的书刊。但《罗素算理哲学》作为被“抢救图书”保留下来了，而且是在“第一批”中就被抢救出来。不难推想到，当时军管会的负责书报检查的同志是何等聪敏，何等富于先见之明他必定注意到书中的数学性内容，想到社会主义也需要有自己的数学和“数学哲学英国共产党的理论家康福斯（他的《辩证唯物主义》一书在五十年代就有中译本），后又有新著《马克思主义与语言哲学》，对分析哲学派的语言哲学采取“批判性改造”的方针。我们对于数学哲学为什么不能也这样做呢？今译数学哲学，译算理哲学，数理哲学。\n第4页傅、张译本《罗素算理哲学》用的是半白话文，夹杂很多“之乎者也”和吾人”这样的话，专名也很不规范（如函数”“、函项”被译为“从元”“，数列”被译为“，现代读者阅读起来多有不便。好在年晏成书教授的新译本《数理哲学导论》，译文准确，文笔流畅，大大方便了读者。尽管罗素的《数理哲学导论》是作为他和怀特海的《数学原理》的预备读物来写的，但它的内容还是比较专门的。基于我国解放前的历史状况，数理逻辑远不如今天这样普及，数论和数学基础研究尚限于职业数学家的圈子里，因此，那时在我国真正懂得罗素关于数论、数学基础所作的哲学思考的人，其实为数十分有限。这本书在解放前畅销主要只由于罗素闻名之故。另外，罗素的数学哲学只代表逻辑主义一家之言，并未认真介绍形式主义和直觉主义的数学哲学。而且几何学的哲学问题几乎完全没有提及。因此，整个说来，尽管“数学哲学”早已引进到我国，然而却是不全面的并且实际影响不大。现在的情况根本不同了，科学文化的背景知识完全改观了。作为数学哲学的必备知识的，非欧几何在逐步普及，形式逻辑、数理逻辑（首先是中学里的逻辑代数）在普及，初等数论、集合论和悖论研究在普及，如此等等。因此，今天我们要介绍数学哲学，条件要比以前任何时候都好。在这种情况下，要做到清楚明白和有可接受性完全是有可能的。实际上，所谓数学哲学，无非是对数学的哲学分析，特别是认识论分析。数学是关于“数”和“形”的科学，因此数学哲学，就包括关于“数”的哲学分析和关于“形”的哲学分析。第一编就是围绕数学哲学的基本问题一几何学的起源和几何知识的本性问题、几何真理是唯一的\n第5页还是多元的、数学对象是真实的存在还是抽象的存在、数学真理的基础是在于逻辑、在于形式还在于人的直觉等等而展开的，不同学派对这些问题有不同理解，作了不同的回答。这涉及到数学哲学的两个部分：第二、三章讨论几何学哲学；第四章讨论数论以及数学基础的哲学。几何学哲学的中心问题是几何学真理的性质问题。欧氏几何曾经争得过“普遍、必然、唯一”真理的王位，并在数学思想界统治二千余年。非欧几何的出现破除了迷信，打破了欧氏几何的垄断。问题的焦点在于，相互对立的“真理”能否同时成立？几何学究竟是否研究真理？数论和数学基础的哲学的重要问题是，数究竟是作为“物理实体”直接存在还是作为“逻辑实体”抽象地存在？还是作为“心智结构的产物”在概念上直觉上存在？还是纯粹的形式或符号？数学真理的本质是什么？是必然的逻辑真理？还是只是一种心智的合理结构？还是只是纯粹的形式真理，没有客观内容？对于以上这些数学哲学问题，除非用辩证唯物主义观点是得不到合理解答的。无论用单纯的经验主义或是单纯的理性主义都无法正确回答，无论用朴素的唯物主义反映论，或是用主观的或客观的唯心主义都无法正确回答。辩证唯物主义历来认为“，数”和“形”的概念归根结蒂是现实世界原型的反映。然而，这种反映决不是直接的、单一的、镜子式的，而是需要通过极其曲折的途径，通过一系列抽象过程。具体的反映形式是灵活多变的，认识的能动作用和多面性使得多种不同的映象同样可能获得合理性。在以下各章的讨论中，我们将会具体、实际地表明，唯有辩证唯物主义及其能动反映论才能提供解开数学哲学许多疑难问题的钥匙。为了便于阅读，下面我们先对第一编数学哲学部分\n第6页的各章各节将要论述的主要内容和主要线索作一种概略的论述。在本编第二章我们探讨欧几里得几何的起源及其与逻辑和哲学的关系。第一节通过历史性的考察，描述从古埃及的经验性的大地测量术到古希腊的理性的几何学的发展。分别阐明欧氏几何先驱者们塔利斯、毕达哥拉斯、柏拉图和亚里士多德的有关贡献以及早期的数学哲学思想。为欧氏几何的产生提供背景资料。第二节通过对欧氏几何的公理化性质的考察，说明几何与逻辑的密切联系。欧几里得是古代演绎系统化理想的初步完成者，《几何原本》为后世许多科学领域提供了共同的逻辑模式。本节通过列举《原本》中最有代表性的定义（包括原始概念）、基本公理和公设等，展示欧氏几何的基本轮廓。还通过对欧几里得的方法论目标以及所采用方法的特点的考察，进一步说明欧氏几何的理性特征。第三节进一步转入与欧氏几何有关的哲学问题的探讨。几何学哲学的根本问题是几何学知识的本性问题。几何学知识究竟是经验性的还是非经验性的？是演绎性的还是归纳性的？是分析性的还是综合性的？经验主义与理性主义的分歧很大。康德为解决这种“二难之争”提出了自己的解决办法。实际上，这个问题只有用辩证唯物主义观点，才能得到正确的结果。另外，公理化体系表现形式的多样性也是能动反映论的鲜明例证之一。第三章探讨非欧几何及其哲学问题。第一节表明，从欧氏几何转向非欧几何的过渡环节就是第五公设的研究。欧氏几何第五公设所包含的关于平行线的疑难，带来了一系列的问题。二千年来几何学家们作出了不懈的努力，希望证明或反证这一公设。托勒密、普罗克鲁斯、瓦利斯和勒让德等人试图用直接法证明它，结果发现了\n第7页一批与第五公设等价的几何命题。萨开里、伦培特则尝试用间接法反证它。萨开里在深入展开推论的过程中，无意之中得到了一系列非欧几何命题伦培特则认识到有可能存在多种无矛盾的几何学。这就为非欧几何的正式诞生奠定了思想基础。第二节论述非欧几何的正式诞生以及非欧几何的基本特征和特异性质。非欧几何是著名的“同时发现”现象之一。罗巴切夫斯基、小鲍耶和高斯在同一时期都对罗氏非欧几何作出了程度不同的贡献。本节概略介绍罗氏新平行公设以及平行线、平行角等新概念。通过列出欧氏几何与罗氏几何命题的局部对照表，展示罗氏非欧几何中诸如“平行线不止一条”“、内角和小于等一系列最有代表性的奇特结论。还约略介绍由黎曼所提出的另一种更有特异性的非欧几何。第三节到第五节探讨由非欧几何所引起的哲学问题。第三节先是提出问题。非欧几何显然是几何学思想革命的催化剂。欧氏几何曾引导人们对几何学的二重性作初步的哲学思考，非欧几何则大大深化了这种认识。平行线唯一性与非唯一性能够同时为真吗？三角形内角和等于。或小于。或大于。能够同时成立吗？明显地相互对立的欧氏几何与非欧几何能够相容吗？这个疑难似乎对各种真理观都是个考验。在本节中，我们通过罗氏几何在极限条件下向欧氏几何的过渡，说明两者之间的对立统一关系。第四节我们进一步从逻辑角度解答上述疑难。介绍关于非欧几何相容性的两种证明方法。一是模型解释方法，使一个几何系统借助于模型展示直接显示为真；二是不同几何系统的相互翻译方法，彭加勒的翻译方法能够很有说服力地表明罗氏几何相对于欧氏几何的相容\n第8页性。由于第一种模型方法极清楚地展示了非欧几何的现实原型，因而非常适合于用唯物主义反映论精神来说明非欧几何。第五节我们讨论抽象演绎观点的起源以及几何学的两重性。在非欧几何与欧氏几何两种理论激烈的相互竞争之中，对逻辑严密性的要求极大地提高了。非欧几何直观上难以置信而推理却正确无误的事实，迫使几何学家们在认识论上逐步走上完全撇开直观形象，只注意单纯的逻辑关系的道路。这就是抽象演绎观点的由来。几何学家们在关于几何学真理的本性的长期研究中，终于总结出富于辩证意味的两重性概念“：非解释系统”与“解释系统。前者是未赋予解释的抽象的纯形式系统，没有真假。后者赋予经验解释，有真假之别。科学家可根据不同处境作出不同“约定”或“解释”，都能恰到好处地反映客观现实，在这里能动性大有用武之地。第一编第四章我们开始讨论数论、数学基础的哲学问题。第一节阐述从数学的“算术化”到数学的“逻辑化”的发展进程。人们终于认识到“，数”的数学（算术、代数、微积分等）象“形”的数学（几何学）一样可以建立在公理化的基础上。使数学“逻辑化”的第一步是数学的“算术化”。皮阿诺第一个实现了自然数理论的公理化：，数，后继等概念以及五个基本公设是他的出发点。弗雷格进一步将这些算术概念还原为逻辑上更为单纯的概念，他实质上采用集合论的方法定义了皮阿诺的原始概念。第二节进一步推进数学的“逻辑化”，用罗素的关系理论实现各种广义数的“化归”。首先我们画龙点睛地勾划了罗素“关系理论”的轮廓，介绍其中最重要的基本概念，如一一对应，关系，相似，序列，归纳数等。然后，借助于关系理论一步一步地从自然数定义分数，定义有\n第9页理数，定义实数乃至复数。或者换句话说，将各种广义数化归为自然数。当然，这是抽象地形式地以纯逻辑方式作考察的。前两节算术化、逻辑化所用的是固定范畴，第三节通过数域扩充的动态过程和各种运算之间的相互转化说明使用流动范畴的必要性。前两节算术化、逻辑化涉及很多技术性的问题，而第四节到第六节则着重于对数的本质作哲学思考。这三节分别介绍了数学哲学中最有影响的三大学派：直觉主义、逻辑主义和形式主义学派。直觉主义派在哲学上继承了康德强调直觉能力的概念论，在方法论上重视可构造性即能行性，禁止使用经典逻辑的排中律，结果不适当地限制了数学的许可范围。逻辑主义派在哲学上继承了柏拉图式的实在论，追求抽象的逻辑实体的实在性。在这种错误的哲学动机驱使下，他们竭力将数学化归为逻辑。结果倒也做了不少好事，在将逻辑本身公理化过程中展开了数理逻辑，并推进了数学基础的研究。形式主义派又自有特点。他们在方法论上比逻辑主义更进一步，采取纯形式化观点，目的在于确立一个系统仅仅依靠逻辑形式而有效的绝对相容性。形式主义派对发展形式化方法，建立证明论等都有贡献。他们也汲取了直觉主义派可构造性方法的某些长处。但是认为“数学的本质只是符号游戏”的极端形式主义的哲学却是十分荒谬的。总之，三大学派中每一派都对人类数学认识的某一方面有所贡献，同时又因将人类认识的一个成分（如逻辑成分、直觉成分或形式成分）加以神化而陷于荒谬。以上三个学派对数学的理解都不够辩证，而数学和数学推理在实质上却是辩证的。因此，在第七节我们将讨论数学推理的这种本性。数学在一般人眼里是纯粹的\n第10页演绎真理，数学定理只是重言式。然而，本世纪越来越多的数学家和数学哲学家认识到数学推理具有两重性，它既有演绎的一面，又有归纳的一面。所以我们说，数学推理的本性是辩证的。以上三个学派实质上都是理性主义的，但单纯的理性主义不能解决数学所面临的问题。于是，近年来在数学哲学中出现“经验主义复兴”的潮流。这就是本编最后一节（第八节）所要讨论的。这一节通过简要的历史回顾说明，从朴素经验主义到理性主义再到更高层次的“拟经验”主义的发展是出于历史的必然。这不是简单地复旧，而是一种螺旋式的进展。本节扼要介绍了当代数学哲学家拉卡托斯的“拟经验”理论的要点（数学的拟经验性、可检验性以及辩证的发展模式）。我们认为，“经验主义的复兴”预示着，可以期待在数学哲学中将会出现一种理性主义和经验主义的“辩证的综合”\n第11页第二章几何的起源、逻辑特征和几何知识的本性从实验几何到推理几何以及早期的数学哲学几何学是数学中最早成熟的部分。一开始几何学只是经验性的东西，后来才变成理性的财富。公元前世纪以来，由于大量土地、建筑和生产的需要，几何学不断发展起来。古希腊学者欧第姆斯（在公元前世纪）说过：几何学是埃及人发现的，从测量土地中产生的。因为尼罗河水泛滥，经常冲去地界，所以这种测量对埃及人是必需的。这门科学和其它科学一样，是从人类的需要产生的，对于这一点是没有什么可惊异的。任何新产生的知识都是从不完善的状况过渡到完善的状况。知识通过感性的感觉而产生，逐渐成为我们考察的对象，而最后变成理性的财产。”古埃及人通过观察和实验，根据归纳法，积累了大量关于各种几何图形的计算技术和计算规则，多得简直令人眼花缭乱。然而，古埃及人似乎并不打算把它们制订成一个严密的逻辑体系。完成这项工作的是古希腊人。古埃及的几何学被人称作“实验几何学”，而古希腊的几何学则被称作推理几何学”。古埃及人把几何对象看作可触可见的感性存在（如房屋、土地、金字塔），对它的认识就必须通过感官的经验来感受，而且他们只是根据实际效益来评价几何学；反之，古希腊人则把几何\n第12页对象看作抽象的一般的实在、本质或共相，对它的把握就得运用理性的抽象思维，而且他们只是根据理论兴趣来评价几何学。相对地说，前一种研究方式是经验主义的，后一种研究方式则是理性主义的。整个说来，希腊哲学家的基本研究方式是，着重考察事物之中的统一性和普遍性，着重从总体上把握事物，他们喜欢从第一原理出发逻辑地进行演绎，但比较缺乏实验精神。对于数学研究也没有例外。古希腊人不满足于古埃及人或巴比仑人所得到的经验法则，而着力于寻找空间的普遍法则及其严格的演绎证明。经过几个世纪的积累，所发现的几何定理和证明越来越多。古希腊第一个享有世界声誉的学者塔利斯（公元前是公认的希腊哲学家的鼻祖，又是推理几何学的先行者。他在几何学上的划时代贡献是开始了命题的证明，这就是借助于一些公理或真实性已确定的命题来论证某一论题的真实性的思想过程。他最早证明了一些相似三角形和恒等三角形的定理，从而为推理几何学开辟了道路。在几何学中引入逻辑证明，这在数学史上是一个不寻常的飞跃。毕达哥拉斯（约公元前继承了老师塔利斯的学术事业，创立了自己的学派，毕达哥拉斯可说是古希腊第一个数学哲学家。因为他提出了一种特殊的“数”的哲学。毕达哥拉斯学派的数学哲学的基本研究纲领是：数是万物之本原”。他们注意到，在我们周围的自然界存在富有意义的秩序，并且自然规律之中必定存在一个数学核心，而这种数学核心正是自然秩序的根源。例如，他们发现，几根同质的弦只当弦长互成简单的整数比的时候，它们在拨动下才发出和谐的声音。这个整数比正好构成了声的规律的核心。毕达哥拉斯学派这种“数”的哲学是\n第13页科学发现的重要的启发性原则，在科学史上有深远影响。他们还研究了在建筑、雕刻等造型艺术中，按什么样比例才能产生美的效果，提出了著名的“黄金分割”，即认为只当宽与长之间具有最佳比例时矩形才是最美的（最佳比例就是现代优选法中经常出现的关键数字。总之，毕达哥拉斯学派认为几何学具有深刻的理性意义，它意味着纯洁、抽象、美和秩序。这个学派对数学的实际发展也有贡献，他们发现了“勾股定理”，发现了无理数的存在），还利用平行线的性质证明了三角形内角和的定理。他们对数学发展的最大贡献就是赋予数学以演绎的性质。柏拉图（公元前）发展了毕达哥拉斯的数学哲学思想，认为打开宇宙之谜的钥匙是数和形。柏拉图学派对几何学有深刻的研究，传说柏拉图学园门口挂着不研究几何者不得入内”的牌子，不过他们主要是从逻辑和哲学角度关心几何学。在柏拉图看来，科学的任务就在于发现自然界的几何结构，并把它在演绎系统中表述出来。柏拉图在《蒂迈欧篇》中认为，构成宇宙万物的基本元素，是一些具有高度对称性的基本几何结构，如正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体等规则多面体。后来以“柏拉图立体而闻名于世。毕达哥拉斯和柏拉图这种关于“数”和“形”的哲学思想，对于近代科学确实是有相当的启发性价值的。开普勒在长期的天文学研究中，就深受这种思考方式的影响，他力图寻找与数学和谐性相一致的宇宙秩序和规则性。在年所发表的《宇宙结构的奥秘，开普勒骄傲地宣称他成功地洞察了宇宙创造者的原始设计思想。他发现，来自然界是按照一个精致的几何模型来塑造太阳系的。用前述五种“柏拉图立体”一层一层地镶嵌起来，正好能\n第14页“柏拉图立体”开普勒的宇宙模型够用来分隔开已知的六大行星（水星、金星、地球、火星、木星和土星）离太阳的距离。正好能说明诸行星轨道距离之间的比例关系为什么不是别的样子（与哥白尼时代的观测精度居然有较好的符合）。开普勒的这一研究为他日后发现行星运动三大定律打下了基础。伽利略曾说过“：哲学写在这部宏伟的书（我指的是宇宙）中，这部书始终对我们开放着，但它很费解，除非人们首先学会理解这部书所使用的文字。它是用数学语言写的。它的文字是三角形、圆以及其他几何图形，没有这些图形，人们甚至根本不可能理解这部书中的一个词。”这段话被认为是对上述“数”与“形”的哲学及其对科学的适用性的一种极好的说明。柏拉图在数学的本体论问题上采取了实在论的立场，这是一种客观唯心主义观点。“实在论”这个词容易给人一种印象，似乎它接近唯物主义。其实并不一定如此“。科学实在论”确是唯物主义性质的，因为它承认作为科学研究对象的物理实体（如电子）的客观实在性。然而，数学和逻辑中的所谓实在论，却要求人们承认数学或逻辑中的“抽象实体”的独立实在性。柏拉图的“理念论”是数学哲学中的实在论的最初形式。在柏拉图看来，\n第15页方、圆、三角形和多面体等等概念不仅仅是思想的范畴，不仅仅存在于人心之中，而是独立存在于事物和人心之外的实在。他把这种一般概念称作“理念”。所有的理念构成了一个独立存在的“理念世界”，这是唯一的真实世界。至于我们的感官所接触的具体的许多个别事物所构成的世界，反而是理念世界的幻影和不完备的摹本。可见，关于物质与精神、存在与意识的相互关系完全被弄颠倒了。柏拉图在《理想国》中有一段话说明他关于数学的演绎结构的想法。他说：“你们知道几何、算术和有关科学的学生，在他们的各科分支里，假定奇数和偶数、图形以及三种类型的角等等是巳知的；这些是他们的假设，是大家认为他们以及所有人都知道的事，因而认为是无需向他们自己或向别人再作任何交代的；但他们是从这些事实出发的，并以前后一贯的方式往下推，直到得出结论”这就表明，柏拉图已经清楚地认识到，从方法论上看，数学要求根据一些公认的原理作出前后一贯的演绎证明。柏拉图的后继者亚里士多德和欧几里得分别从逻辑和几何角度发展了柏拉图的思想。柏拉图有许多定义和个别定理，后来被欧几里得的《几何原本》所采纳。柏拉图的学生亚里士多德（前是古希腊最伟大的哲学家之一。他讨论了定义、公理和公设，并把公理和公设加以区别，认为公理是一切科学所共有的真理（诸如等量加减等量后结果相等的公理，以及现在被称作矛盾律和排中律的逻辑原理），而公设则只是为某一门科学所接受的第一原理（例如，他认为“，绝对真空不可能存在”应当看作物理学中的第一原理）。亚里士多德的公理化思想是欧几里得的先导。当然，亚里士多德的最\n第16页重要贡献是创立逻辑学。他最早把推理作为研究对象，并由此建立三段论。亚里士多德是从研究“证明的推理，走向三段论学说的（三段论是他的逻辑的核心和主体）。他的《工具论》（我们将在本书第七章第一节作进一步讨论）是作为科学的逻辑方法论提出来的。他并没有把逻辑列入哲学学科，而把它看作一种基础知识，看作一切科学的通用工具。实际上，由于亚里士多德逻辑的特殊性质’它对后世的教育、各种学术研究以及科学方法论的发展都有深远的意义。在数学本体论问题上，亚里士多德认为，数学对象不能看作独立于具体事物的真实存在，而只是作为人类抽象思维结果的抽象的存在。他批评柏拉图把“理念”当作与个别事物分离的独立实体，而认为只能在个别事物之中去寻找它。亚里士多德还把无限看作“潜在的”存在而不是现实的存在，因为无限永生永灭、没有完成。欧几里得几何与公理化方法欧几里活跃于公元前年前后）是古希腊推理几何学的集大成者。固然，在毕达哥拉斯学派和柏拉图学派的周围已经培养出一批数学家。然而，在古希腊只有欧几里得才称得上第一个完成“推理几何学”的人。古希腊后期的首府不在本土，而在埃及的亚历山大里亚。欧几里得曾在那里教书，并创办了一所学校。据说，国王托勒密一世曾问过他“：有没有国王学习几何学的捷径？”欧几里得的回答是“：没有欧几里得原先也曾在柏拉图学园学习过。在他的划时代著作《几何原本》中，他第一次系统地把公理化方法应用于几何学。欧几里得把许多分散的定理和证明方法（有欧多克斯的，有柏拉图学园的，也有毕达哥拉斯学派的，甚至还有古埃及人和巴比仑人的）从各方面搜集拢\n第17页来，从少数定义开始，并在公理、公设基础上建立定理，通过一步一步的证明构造出演绎的公理系统。这样，就把古代关于几何学的知识真正系统化。然而，《几何原本》的深刻意义远远超出几何学本身，更重要的是，它还有逻辑方法论的意义。因为《几何原本》也是应用公理化方法研究数学和科学理论的典范。这样，欧几里得不仅是几何学理论的奠基人，而且也是公理学、公理化方法的创始人。他的这种贡献是划时代的。或许有人会说，《几何原本》中的许多定理都是属于前人的，欧几里得只是作了整理编排，这样说是不公道的。要知道，对于特定公理的选择，定理的特殊的排列次序，许多定理的无懈可击的论证，都应当归功于欧几里得，而没有深刻的方法论思想就决不可能完成这样精彩、严密的论证，并具有这样高超的技巧。两千年来人们在原则上几乎不能为欧几里得的原理增添什么新东西，形形色色的中学几何教科书（不同版本），只不过是《几何原本》的通俗改写本而已。欧几里得著作的生命力的真正源泉就在于他独创的公理化方法。直至今天，欧氏几何仍然是现代数学哲学感兴趣的研究课题之一。欧几里得所追求的目标是什么？欧几里得方法的最根本特征在哪里？为了了解这一点，让我们考察一下如下事实。众所周知，人们在实际测量中常常会发现观测结果偏离了几何定理（例如发现三角形内角和并不正好等于）但是，每当出现这种情况时，人们总是首先埋怨自己“线拉得不直”，或是出了其它什么差错，而决不会将误差或错误归咎于几何定理本身。借此我们可以体会出欧几里得思考方法的特征：几何定理被表现为绝对严格真（如三角形内角和严格等于），而决不是近似真，或往往真、非常可能真，或以很高的概率真\n第18页（近似等于或非常可能等于）。欧几里得力求以最普遍的形式将几何法则公式化；与古埃及人不同，他不关心任何特殊的、实际的线和形的属性，而只关心一般的、理想化的所有这类线和形的属性；他不满足于罗列真命题，而重视逻辑证明和系统化；他重视证明的演绎严格性，而从不关心如何用经验的观察或测量的实验归纳地支持他的推论。正因为欧几里得所关心的只是以最普遍的形式将几何法则公式化，因此相应地他所处理的必定是理想化的个体。例如，欧几里得所考虑的“线”是“没有宽度的”，而我们实际上所碰到的无论是木尺或细绳都不可能达到这一点，根据公设的要求，欧几里得的理想化的“线段可以无限延伸”，可是我们在日常生活中所见的实际线段的延伸必定会碰到房屋、山河之类的障碍物（当然，几何学所关心的只是这种延伸对于思想来说有没有障碍）。值得指出，中国古代的名家也是一批重视概念的逻辑分析的思想家，他们早就认识到几何学研究的这种特点。他们提出了“规不可为圆”“，矩不方”的著名怪论。意思是，几何学所研究的理想个体一真正的圆和方是圆规直尺划不出来的。这种佯谬（似非而是的论断）之中包含着非常深刻的数学哲学思想。因为它清楚地刻划出数学中的理想概念与现实世界物理原型之间的本质区别。实际上，对现代人来说不难理解，在运动场上、体育馆里、在蓝球、排球比赛场地上所见的圆和方都不可能由“没有宽度的线”划出来的，而且都不可能没有误差。然而，几何学中理想化的圆和方却能更普遍、更纯正地代表实际的圆和方的一般性质和关系，而且能避免各种偶然的、非本质成分的干扰。《几何原本》共卷。第一篇先给出书中第\n第19页用的概念的定义，尔后列出五个公设和公理。公设和公理是不加证明地被采用的出发点，而且被认为是自明的真理，公理适用于一切科学，而公设只适用于几何学。作为实例可以举出以下的原始概念和定义：〔定义〕点是没有部分的。线是没有宽度的长度。线这个字指曲线。线的两端是点。直线是同其中各点看齐的线。圆是包含在一曲线里的那种平面图形，使从其内某一点连到该线的所有直线都彼此相等。平行线是这样的一些直线，它们在同一平面内，而且往两个方向无限延长后在两个方向上都不会相交。说到欧几里得的几何学中的定义，使人联想起我国古代的墨子（公元前世纪）学派。墨子是古中国逻辑的创始人。后期墨家的《墨经》中包含许多科学的定义，也包括一些几何学概念。例如，《墨经》作者用十分简洁的语言对“圆”和“平行线”下了确切的定义。他说“：圆，一中同长也。平，同高也”。意思是说，圆是只有一个中心而半径处处相等的图形。平行线是其间距离处处相等的直线对子。这里，圆的定义与欧氏的定义只有词语上的差别，而平行线的定义则与欧氏定义有异曲同工之妙。欧几里得使用公理化方法的动机就在于加强所研究的几何知识的严密性，即建立几何定理的逻辑基础，并揭示体系内部的逻辑联系。要建立一个比较理想的公理年月笔者访问詹剑峰老先生时，詹老重申《墨经》基本上是墨翟一人所作的观点但大部分学者认为那是后期墨家所作经》中原文用圜字。\n第20页体系实际上会受到两种相互对立的选择压力：一方面是，公理体系所挑选的原始词项、公理越少，整个体系就越精致；另一方面是，原始词项、公理过分少了，整个体系就缺乏演绎力量，能够推导出来的定理系列就太不丰富了，有许多真命题将会推不出来。只有兼顾上述两种对立因素，才能作出最佳的选择，构成相对地最经济又最有演绎力量的公理体系。那末，欧几里得体系是否满足上述要求呢？回答是：并不满足。这是因为欧几里得考虑了直观可接受性等要求，因此尽管他的系统是足够丰富的、有充分演绎力量的，然而并非最经济的。欧凡里得为自己的公理系统列举了如下基本公设和公理：〔公设〕从任一点到任一点可作一直线。有限直线可以无限延伸。以任一点为中心和任一距离〔为半径〕可作一个圆。所有直角彼此相等。若一直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。〔公理〕跟同一个量相等的一些量，彼此也相等。等量加等量，总量仍相等。等量减等量，余量仍相等。彼此重合的东西是相等的。整体大于部分。从现代观点看，几何公理化显然是以如下两个决择\n第21页为条件的：在几何学的几十个词项中挑选哪些词项作为特定体系的原始词项；选择若干几何公设和普遍公理（现统称公理），即未经证明的而且在系统内不可证明的假定作为原始前提。欧几里得对第二种选择理解得十分清楚。他认识到，定理必须借助于原始前提方能得到严格证明，假如没有这种原始前提势必陷入无穷倒退的推理或者陷入循环论证的推理。然而，在欧几里得之前，人们却缺乏这种认识。亚里士多德告诉我们，曾经有一些人认为根本不可能有任何证明，而另一些人却主张证明可能是循环的。这就间接地表明，欧几里得前的早期几何学著作在人们的头脑中引起了某些混乱。这就是说，很可能不同作者选择了不同的公理，各人用不同的方法将几何命题安排在自己的演绎系统中。这样一来，在某个系统中是原始前提的命题，可能在另一个系统中却是推导出来的定理。究竟哪个推出哪个？究竟哪个更原始、更基本？人们一下子给搞糊涂了。因此对于那些一知半解的人来说“，证明”就必定是很可疑的。欧几里得澄清了所有这些糊涂观念，肯定了证明的可能性以及未经证明的原始前提的必要性，这无疑是一个巨大的进步。还有一点也是值得一提的：欧几里得独立提出的第五公设是很特别的。这个公设有一定的复杂性，看起来似乎更象定理（有的定理，如“对顶角都相等”，比它还要简单些）。欧几里得能认识到用第五公设作为一个原始前提的必要性，足以显示出他的出众的才能。当时有不少希腊人反对这一公设，因为它不是自明的，不那么一望可知。然而，从欧几里得时代起，近二千年来，证明第五公设的种种尝试和努力，全都归于失败。在下一章讨论非欧几何时，我们还要谈到它。如上所述，欧几里得清楚地理解选择原始前提的必\n第22页要性。然而，相比之下，欧几里得似乎尚未充分认识到，在公理系统中必须有未定义的“原始词项”。为了准确地使用概念，为了使公理系统中的概念始终保持清晰和意义稳定，欧几里得总是在使用之前首先对词项下定义。这样做当然有助于防止发生逻辑错误。欧几里得注意提防着，不让未定义者不知不觉地潜入推理、证明和定理。然而欧几里得或许没有意识到，正象证明不能无穷倒退或恶性循环一样，定义也不能无穷倒退或恶性循环，定义也有自己的极限。正因为如此，欧儿里得力图定义公理系统中的全部词项。不过，在他的体系中实际上还是出现了并没有真正定义的词项。例如，“点是没有部分的”，“线是没有宽度的”之类，这些本应列入未定义词项条目。这些所谓“定义”实际上在逻辑上不起任何作用，至多只是借用物理概念来作解释，使人联想起它们的直观意义。从现代观点看，欧几里得没有充分重视未定义词项的必要性，这应当看作他的公理系统的缺点之一。欧几里得几何有关的哲学问题从欧几里得时代到康德时代，人们历来认为，公理系统的公理和原始词项的选择完全是由学科题材所决定的，而且几乎是唯一地决定的。亚里士多德就认为，每一门科学都有第一原理和原始词项。他认为，甚至对每一词项恰有一个定义它的正确方法。到了现代，亚里士多德的这种“一元论”的公理化观点，终于被“多元论”的公理化观点所替代。换句话说，关于公理化的现代观点认为，对于同一题材所作的不同选择（挑选不同的原始词项和公理作为公理系统的出发点），可以同样是正当的。例如，同是欧氏几何这一题材的形式化、公理化，现代学者就作出了几种不同的体系：\n第23页希尔伯特的几何体系，包含点、线、平面、事件、之间、全等这样六个原始词项。）奥斯瓦尔德的几何体系，则是只以点、之间、全等为原始词项。亨丁顿的公理体系又有不同。它以球面、包含为原始词项。它们最终都能证明全部欧氏几何定理，因而都是完全正当的公理化。（只是在简单性、审美特性上有所差异。）公理化的这种多元性在哲学上说明了什么问题？我们认为，对同一几何题材（同一现实原型）可以采用不同公理系统作几乎同样好的刻划，最好不过地印证了辩证唯物论的能动反映论的正确性。数学中的各种“形”的概念归根结蒂是从现实世界得来的。纯数学是以现实世界的空间形式和数量关系为背景资料的，但这些现实的资料却又以高度抽象的形式表现出来的，因为只有这样人们才能在更纯粹的状态中去研究这些形式和关系。同时，也正因为纯数学采用高度抽象的形式反映现实原型，才更有可能选取不同的抽象方式、从不同角度加以研究。正因为反映形式具有多样性，数学家的能动性就大有用武之地；又正因为所反映的是同一实在，所以能取得异途同归的结果。这就是辩证的能动的反映论在数学哲学中的一种体现。人们普遍认为，欧氏几何体系是古希腊的最高的理智成果之一，但也带来了不少的哲学疑难。特别是几何知识的性质问题，几何学与真理的关系问题以及与之相关的其它问题。数学哲学家们反复考虑的一个问题是，几何知识究竟是经验性的还是纯粹理性的？是分析性的还是综合性的？是归纳性的还是演绎性的？古埃及人的几何知识显\n第24页然是经验性的、归纳性的和综合性的，因此可称之为“实验何学”；而希腊人的几何知识（特别是由欧几里得所完成的那种形式）则看起来更象是理性的、演绎性的和分析性的，因此可称之为“推理几何学”。认识对象和认识方法的性质问题历来是认识论的重要问题。经验主义者把几何对象看作用感性方法能够把握的有形实在；理性主义者则把几何对象看作用理性方法才能把握的抽象存在。到近代，理性主义者笛卡几把几何形看作想象的对象，认为公理的确实性可以单凭理性的力量来证实。后来经验主义者穆勒（或译弥耳）则把几何形看作物理的对象，认为几何公理“都是实验真理，都是观察的概括”两种意见各走极端，互不相容。尽管如此，多少世纪以来大家公认的是，几何学的公理、定理都是有意义的命题，或者为真，或者为假，两者必居其一；而欧几里得几何学则被看作关于物质空间本质的科学，是对物质空间及其图形性质唯一正确和唯一可能的描述，因而是确定不移的真理。这样一来，许多数学家很希望把数学的其它分支建立在几何的基础之上，因为唯有几何的逻辑基础和真理性最可信。世纪时牛顿的导师巴罗列举了确信欧氏几何为真的八条理由：概念清晰、定义明确，公理直观可靠而且普遍成立，公设清楚可信而且易于想象，公理数目少，量的导出方式易于接受，证明顺序自然，避免未知事物。牛顿的经典力学名著《自然哲学的数学原理》就是以欧氏几何的公理化模式构造起来的。还有一条极重要的理由，使得牛顿力学与欧氏几何的关系变得更加亲密。这就是，牛顿的时空观所要求的各向同性、均匀平直的“绝对空间”恰恰是欧几里得空间。因此，世纪几乎所有欧洲哲学家，著名的如霍布斯、洛克和莱布尼兹\n第25页等人都说，数学定律和欧氏几何一样，是宇宙设计中所固有的。不过，休谟却认为欧氏几何只能是归纳性、经验性的科学，而归纳法的逻辑基础根本是靠不住的。不管怎么说，到世纪上半叶多数哲学家都会同意：欧氏几何的公设、定理是普遍、必然和唯一真的。它无需再由感觉经验直接验证，也不可能为任何新的实际经验所否证。康德因此称之为“先验知识”。他感到，欧氏公设、定理与经验概括似乎存在本质上的区别，前者是普遍、必然的，后者则不然。例如任意三角形内角和必然等于。但是，根据经验既无法穷尽所有实际的三角形（都去量一量多少度），也无法避免测量误差（不能保证都正好。经验概括总是或然性的、不完善的，观察证据总是有待于补充的。那末，欧氏几何究竟属于分析知识还是综合知识呢？按照康德的划分，分析知识与综合知识的区别可以有两种说明方法：）分析的一单纯根据对词的意义的理解而必然知其为真综合的一单纯根据对词的意义的理解不足以知其为真）分析的一单纯根据形式（词的结合方式）而知其为真，即可以归结为单纯的逻辑真理综合的一单纯根据形式不足以知其为真，即不能归结为单纯的逻辑真理世纪上半叶的主要思想家也会同意：欧氏几何不能归结为单纯的逻辑真理，不能单纯根据对词项的字义的理解而知其为真。康德因此又称之为“综合知识”。这就是康德所谓“几何知识是先验综合知识”的说法的真正来\n第26页源。康德对几何学的两重性质或多或少有所猜测，但他的所谓“先验综合知识”是对几何学的辩证性质的一种极不恰当的概括，我们想要从康德那里学习辩证法真是白费力气的。当然，康德的观点反映出在他所处的时代，人们开始对几何学的双重性质已有初步的朦胧认识，并企图摆脱理性主义与经验主义之间的两难困境。我们认为，几何学知识也象世界上任何事物一样具有两重性。感性与理性，经验与“先验”，归纳与演绎，分析与综合之间全都是相反相成的。作为从生产实践中总结出来的实用几何学自然是感性的、经验的、归纳的、综合的；另一方面，作为与理想化的模如”点”没有大小，“线”没有宽度等）相适应的纯粹几何学则是理性的、非经验的、演绎的、分析的了。这种情况实际上并不是几何所独有的。例如物理学也有两重性，它划分为“实验物理学”和理论物理学”两个方面。很显然，实验物理学主要是感性的、经验的、归纳的、综合的，相反，理论物理学（例如量子力学中高度抽象的形式化的公理体系）则主要是理性的、非经验的、演绎的、分析的了。表面看理论物理学与实验物理学两者的性质似乎是完全对立的，其实两者是“相反相成”的。对此，彭加勒在《科学与假设》中作了一个生动的比喻。他指出，物理科学好比一个“大图书馆’，自然界是取之不尽的“货源”，实验物理学家好比“图书采购员”，而理论物理学家则相当于“图书编目员”。增加“藏书知识财富）要靠实验家到大自然去“采购，要使读者很好地使用丰富的藏书则要靠理论家的“编目”了。我们认为，这个道理对欧几里几何学同样是适用的。关于几何学的两重性，我们将在下一章第五节作进一步说明。\n第27页第三章几何多元化倾向和抽象化观点的发展非欧几何的起因：第五公设的研究欧几里得进行演绎系统化工作的最初目的，是以一个清晰、精致的方法展示几何学原理在逻辑上的相互关系。然而第五公设的特殊复杂性，与上述目的似乎非常不相称，使人容易把它看作定理。读者可能要问，现在中学几何教科书中的平行公设（关于通过直线外一定点存在唯一的平行线）不是并不复杂吗？不过那已经不是欧几里得的原始表述（原来的形式见上一章第节），它已是由一位月光协会会员、著名地质学家赫顿的好友普雷菲尔（）所发现的一种最方便、最可信的等价形式。非欧几何的历史，开始于消除对欧氏第五公设的怀疑的那种努力。第五公设这个引起后世几何学家争议的主题，也是引起几何学革命的导火线。亚里士多德在《物理学》一书中已经指出，拒绝接受三角形内角和等于两直角的定理，必将导致否定第五公设。他第一个看出（除欧几里得本人之外）这两个命题之间所存在的逻辑联系的密切性，但他未能进一步引伸出非欧几何的可能性。从公元前世纪到世纪初，存在着两种基本的研究途径。一种是用更简单、更有自明性的公设来替代欧氏平行公设；另一种是试图从欧氏的其它九个原始前提（五个公\n第28页理和其它四个公设）推导或反推出平行公设来。这些尝试如能取得成功，那末欧氏平行公设将会转变为定理。第一个有意义的尝试是罗马时代著名天文学家托勒密给出的。他关于平行公设的论文表明，他试图从其它九个原始前提以及与平行公设无关的欧氏定理至来证明平行公设（因为在欧氏《几何原本》中，从定理起才开始用到平行公设）。然而，托勒密不自觉地引入了其它一些原始前提，如假定“两直线不能包围整个空间”等。世纪时普罗克鲁斯也明确地赞同把平行公设看成定理，而反对把它看作一个公设。不过，他指出了托勒密的证明中所存在的问题。他自己的证明中则引用了亚里士多德所提出的一个原理（亚里士多德用它来证明，无限性只能是一种“潜在的”可能性，而不能是真实的存在）。原理说，若一个角的两边无限延长，则相间距离趋向无限大。普罗克鲁斯的证明步骤基本正确，但仍不免引进一个代替平行公设的新的原始前提。英国数学家瓦利斯在年也作了一些关于平行公设的研究。他的证明是根据这样一个假设性前提：假设对于任意一个三角形，存在一个三角形与原三角形相似，两三角形的边长之比等于任何给定值。瓦利斯认为这个前提才是明显的、不证自明的。著名的法国数学家勒让德（）在大约二十年的时间内反复研究过平行公设。他的研究结果，特别体现在他的《几何原理》的各个版本中（第版年，第版年），他一次又一次地认为自己已经给出了平行公设的证明，但每次总是存在缺点，因为暗中假定了未经证明的新假设。在他作为原始前提的一批新假定中有“：存在不同大小的相似三角形”“、三角形内角和等于两直角”的相关假定和“三点决定一圆”等等。大家公认，欧氏第五公设的最简单的替代原理是\n第29页番恩提出的“两相交直线不能同时平行于第三直线”）或者普雷菲尔所提出的平行线的唯一性公设。从此以后第五公设也被称作“平行公设”。多少世纪以来，许多怀疑或不满欧氏平行公设的思想家，力图将它从全部公理公设中清除出去，或者用真正自明的真理替代它，或者把它当作定理证明出来。形形色色的尝试失败了，或者推理有错，或者在暗中引进了同样复杂（甚至更复杂）的另一种假定。然而，错误之中包含着正确的因素，失败的尝试也带来新的希望的曙光。我们已经看到，有一批与第五公设等价的命题出现了：诸如“平行线的唯一性”、“存在不同大小的相似三角形”“、三点决定一圆”等等千变万化的原理。它们之中的任何一个与其余欧氏公设的结合，同样可以推演出全套欧氏几何的定理。关于平行公设的多种等价物的存在，说明尽管归根结蒂几何学理论是对现实世界空间形式和数量关系的反映和模写，但是这种反映和模写却不是单一的、机械的、镜子式的，而可能是在形式上灵活多变的、能动的、多方面的和多样化的。几何学家选择不同角度作为出发点去刻划同一个现实原型，有时候能在整体上取得同样的效果。在这里，我们的“自觉的能动性”大有用武之地。另一方面，对于欧氏第五公设的深入研究，又促使一部分数学家逐渐走出否证或抛弃这一公设的试探性的一步。起先，人们（如托勒密）只是从其它原始前提出发进行直接证明。后来人们考虑到用间接法进行推导。所谓间接法是从假定某些与原来命题（这里是欧氏第五公设）相矛盾的论断出发，并试着从一组新的前后相继的定理系列中导出矛盾来。例如，我们可以从假定某个与“存在唯一的平行线”相矛盾的论断出发（比如“至少存在\n第30页两条平行线，平行于原直线”的论断）而进行一系列推导。最终，假如真能推出矛盾的话，那末反过来就表明，当初我们不该作“不止一条”的假定，而“只有一条”的论断就得到证明。这方面最重要的努力是意大利数学家萨开里（）和瑞士数学家伦培特（）所进行的。世纪初，萨开里企图用归谬法对欧氏第五公设作出间接证明。他的具体办法是承认欧氏的前四个公设为真，而假定第五公设为假，然后看看究竟会发生什么矛盾？他从研究“双直角等腰四边形后人称之为萨开里四边形，见图）开始。其中＝直角，且，容易证明现在欧氏第公设就相当于“和为直角”，假萨开里四边形定它为假，就得考虑两种可能：钝角假设：和为钝角。）锐角假设：和为锐角。在钝角假设下，萨开里推出了与“直线可以无限延伸”相矛盾的结果，因而他认为这是不可能的（其实顺着这条道路走下去将会得到黎曼几何）。于是转向考虑锐角假设。在锐角假设下，他深入系统地展开推论，证明了许多有趣的新定理，得到了包含个几何新命题的复杂系统。除最后的命题比较明显地与直觉不合外，其它命题既看不出任何逻辑上自相矛盾的迹象，也看不出不合情理之处。由于最后的命题涉及“共面的两条不相交直线可以在无穷远的公共点处存在公垂线”，因此他判定锐角\n第31页假设是不可能的（其实这里并不存在任何自相矛盾）。萨开里之所以想不通自己所发现的新命题，只是由于自己无根据地将有限图形的性质，直接照搬到无限领域中的缘故。实际上，萨开里所得到的一系列异乎寻常的推论正是属于非欧几何（罗氏几何）的。可惜，他本人没有意识到。他在自己的论著欧几里得无懈可击》中，还以为已经用间接法证明了欧氏第五公设。无怪乎有人比拟说：哥仑布开辟了新航线，发现了新大陆，而自己却不知道（还以为到了印度）；萨开里深入到了非欧几何的领域，发现了许多新定理，自己也是不知道（以为违背直觉就是不可能的）。伦培特在《平行线理论》（成书于年）中做了与萨开里相似的分析工作（他讨论了“三直角四边形”，对第四个角，也做了三种假设：这个角是锐角或直角或钝角）。但他的研究更为深入了一步，而且他对几何学的看法十分先进。他从钝角和锐角假设出发分别推出有益的结果。他认为钝角假设即使确实推出了“矛盾”，仍然是有价值的。因为它们的定理恰好和球面上的图形相应的定理相符合。由此他猜想，锐角假设得出的定理或许可以应用于虚半径的球面上的图形。伦培特认识到，任何一组几何公设如果不导致矛盾的话，一定提供了一种可能的几何。这种几何是一种正确的逻辑结构，虽然它可能对真实的图形作用很小。他主张不应当限制逻辑上可能发展的千差万别的几何。伦培特这种关于几何学理论的总的看法，与其说是一种数学观点，不如说是一种数伦培特四边形\n第32页学哲学。伦培特的这种数学哲学与科学哲学中的多元主义方法论有一定的相似之处。那种多元主义主张不应当限制科学中可能发展的相互竞争的形形色色的科学理论和科学方法。从数学哲学角度看，由于伦琣特的观点比同时代几何学家更为深刻，他站得高看得远，因此他实际上已经明确预言了非欧几何的可能性。非欧几何一种特异的几何的诞生非欧几何正式产生于世纪年代。到世纪数学家们终于逐步理解了欧氏第五公设的特殊的逻辑地位，即对于其它公设的独立性。这就意味着在逻辑上有可能存在以非第五公设为基础的其它无矛盾的几何体系。这种认识为非欧几何的诞生奠定了思想基础。任何较大的科学分支甚或较大的特殊科学成果，都不大可能只是某一个人的工作，充其量可能某些决定性步骤的发现或证明可以归功于个人。对于非欧几何，情况也正是如此。非欧几何的发现属于当代科学哲学家库恩（）所说的典型的“同时发现”现象之一。如果说萨开里和伦培特等人可以列为非欧几何的直接先驱者，那末应当说非欧几何的真正创造者是俄国的罗巴切夫斯基（匈牙利的鲍耶（以及德国大数学家高斯（世纪年代，罗巴切夫斯基和小鲍耶相互独立地从否定第五公设而得出了无矛盾的非欧几里得的公理体系。罗巴切夫斯基在一系列论文中作出了非欧几何的研究。年那一篇已经失传；遗留下来的第一篇名为《论几何基础》；最能清楚地刻划新几何思想特征的是第二篇，名为具有完全平行线理论的新几何原本》。小鲍耶的《绝对空间的科学》）作为他父亲的数学著作的附录而出版。很可惜出\n第33页版时间迟于罗巴切夫斯基。实际上小鲍耶在年（当时仅岁）就写信告诉他父亲：“我坚决地决定出版自己关于平行线的著作，⋯⋯我已经从乌有中创造了整个世界。”老鲍耶针对这一发现预言“：许多事情似乎都有一个时代，时代到了，它就到处可以同时发生。正象紫罗兰一样，一到春天，遍地皆是了。”真的，人们认识非欧几里得空间的时机成熟了，发现非欧几何的时代到来了。这种新型的几何，现称罗氏几何，它与欧氏由《原本》所系统表述的几何有极大的区别。当然，罗氏几何还是有许多定理是与欧氏几何相同的，这是因为这些定理可以不依赖于平行公设而得到证明，而欧氏的前四个公设也是罗氏所承认的。在罗氏的《新几何原本》的第七章中，罗氏果敢地放弃了欧氏第五公设，采取了“至少存在两条不相交线（对原直线的新公设。这是罗氏几何所以有特异性的总根源所在。具体说，罗氏作出如下假定：给定一条直线和线外一点，通过点的直线对原直线而言可分成两类，一类与原直线相交，称作相交线；另一类与原直线不相交，称作不相交线；相交线和不相交线都可能是无限多的；与属于不相交线，并构成不相交线与相交线的边界，称作平行线。更确切地说，若是与直线的垂直距离为的一个定点，于是存在一个特定的角（（注意这是非欧几何中用的标准记号，这里不表示圆周率），使得所有过的直线与垂线所成的角小于时将与相交；其它过的直线则不与罗氏的平行线与平行角\n第34页相交。由于与成角的临界直线称作平行线，相应地（称作平行角。从科学方法论角度讲，发现罗氏几何所采取的是转换方法（我在《科学研究的艺术》一书第四章“类比与转换”中，对转换的方法、模式及其有效性原则作了详细分析）。转换方法主要适用于常规理论向非常规理论的过渡。先行理论是常规性的，后继理论是非常规性的。先行理论与后继理论之间有一些相同或相似的原理相连接，但更重要的是新的非常规理论引进了特异性原理。这是转换方法的关键。在目前所论事例中，先行的常规理论是欧氏几何，后继的非常规理论是罗氏几何。连接两个理论的共同原理是欧氏第一至第四公设。关键的特异性原理是罗氏平行公设。转换的模式可记为〔变革前后的理论〕〔相似或相同的原理〕先行理论（欧氏几何）公设，，后继理论（罗氏几何）公设，〔相异的原理〕待替的原理（欧氏公设特异的原理（罗氏公设导出后继理论诸新定理、新概念由于罗氏几何引进了新的平行公设这样的特异性原理，因此数学家用来观察世界的理论框架发生了根本性的转变，原来的概念关系之网被全新的概念关系之网替代了。原先在欧氏几何中认为不可能的事，有许多在罗氏几何中变得是可能的。在新的需要下，原先不加区别的概念（如平行线与不相交线）现在分清了，原先没有的①张巨青主编《科学研究的艺术》，湖北人民出版社年版\n第35页概念现在产生了（如平行角、分界垂线等）。几何学的有效定理集也发生了出人意料的根本性变化。罗巴切夫斯基等人实际上向人们展示了一个非欧几里得的“新世界为醒目起见，下面我们列出了罗氏几何与欧氏几何的局部对照表。罗氏几何与欧氏几何对照表\n第36页续表表中所有那些“古怪”的罗氏几何定理，没有一个是自相矛盾的，没有一个是与罗氏几何体系内部的其它任何公设或定理不协调的，因此完全合乎逻辑。但“古怪”只是陌生的代名词而已，那又算得了什么呢？被誉为“数学王子”的高斯实际上更早地独立地发现了罗氏非欧几何，只是未敢公开发表。原因在于高斯充分认识到非欧几何的革命性，害怕因新几何违背康德哲学的空间观念并触犯教会而带来不良后果。高斯的谨慎的胆怯当然是不足取的，但高斯的认识却是深刻的。高斯认识到欧氏几何并非必然是物质空间的几何，即未必有必然的真理性。高斯的特殊贡献在于，他认识到，非欧几何同样可能应用于物质空间，并认为鉴别非欧几何与欧氏几何在应用上的优劣将是一个实验问题。他还实测了由勃罗肯、霍赫哈根和印塞斯贝尔格三个山峰所构成的三角形的内角和。尽管实验误差太大未能得出满意的结果，然而却使他领悟到，或许地球的空间尺度仍“太小”，还不足以显示非欧几何的特异性。\n第37页年，德国数学家黎曼（）提出了另一种非欧几何，现称“黎曼几何”。这种几何比罗氏几何的革命性更强。因为黎曼几何断言：“根本不存在任何平行线（”反对欧氏第五公设）“；两点之间的直线不止一条’，（也反对欧氏第一公设！）；“任何直线都不可能无限延长还反对欧氏第二公设！）。与此相应，黎曼几何也有自己的独特的定理，如三角形的内角和＞，角盈（即内角和比。盈余的值）与三角形的面积成正比；圆周率小于，而且面积越大比率越小等等。非欧几何所引起的一些哲学问题罗氏非欧几何和黎曼非欧几何的出现，使原先认为欧氏几何是“实在空间唯一可能的表现形式”的观点受到极大的冲击。康德以为只有唯一的几何真理，即欧氏几何法则，它是普遍必然和绝对不变的。现在看来未必如此。非欧几何不仅带来几何学的革命，而且带来人类认识能力和理解力的革命！数学家和哲学家们不得不对有关几何学的性质作深刻的反省。非欧几何与欧氏几何果真是互不相容的吗？相互对立的几何理论究竟能否同时为真？几何真理究竟是否是唯一的？逻辑上无矛盾的几何公理体系与现实世界的空间形式的关系究竟如何？数学家究竟是否在追求关于空间的真理？如此等等。总之，由于非欧几何的刺激，引起了一系列的数学哲学问题。两千年来，欧氏《几何原本》在几何学家和普通人心目中的地位，简直可以与《圣经》在它的虔诚的信徒心目中的地位相比。样神圣的信条怎能对它发生怀疑呢？逻辑上这样严密的理论怎么可能被反驳呢？因此，非欧几何刚出现时引起了固守传统几何的保守主义者的震惊、怀疑和困惑，那是很自然的。既然欧氏几何被当作\n第38页必然真理，而真理又是唯一的，那末其它的与之“矛盾”的论断就必定是假的。例如，保守主义者认为，既然平行线真是唯一的”，那末罗氏几何说“至少有两条不相交线”和黎曼几何说“根本不存在平行线”就都是错的；既然“三角形内角和果真等于，那末非欧几何说“三角形内角和小于或大于，角亏或角盈与面积成正比”就是胡说，如此等等。另一方面，反对者们猜想非欧几何的异端邪说中必定包含某种隐蔽的逻辑错误，可是他们之中没有一个人当真能够揭示出那怕是一个逻辑错误来。归纳起来说，保守主义者的怀疑包括两方面：其一是怀疑非欧几何与欧氏几何相互“矛盾”（这所谓“矛盾”里边大有文章可做）、互不协调或互不相容；其二是怀疑非欧几何本身内部有矛盾。以上这种怀疑，其实不是坏事而是好事。哪里有没有解决的疑问，那里就会找到解决问题的办法。非欧几何与欧氏几何真是不相容的吗？真是相互矛盾的吗？这个疑问大大促进了几何学的“相容，的研究，促进了一般公理系统的“相容性”的研究，首先是促进了“相对相容性”的研究。在下一节我们将对此作深入探讨。这里应当指出，当人们说到非欧几何与欧氏几何相互矛盾时，“矛盾”两字的意义是不够明确的。几乎所有的形式逻辑和辩证逻辑的著作都反复强调“辩证矛盾’，与“逻辑矛盾”的根本区别。简括地说，一切辩证矛盾在逻辑上决不自相矛盾，在思维中自觉地再现现实中的辩证矛盾是思想深刻的表现，而在思维中不自觉地陷入逻辑矛盾却是低能的表现。非欧几何与欧氏几何的每一对应命题之间的相互关系（如前文罗氏与欧氏两种几何的“局部对照表”所列，见本书第页），都显现出辩证矛盾的性质，而决不是什么“逻辑矛盾\n第39页非欧几何创始人之一黎曼相信几何学是描述物理世界的。他发现，欧氏几何、罗氏几何和黎曼几何并不象看起来那样截然对立，而是可以在一定条件下统一起来。欧氏几何相当于各区域曲率为零的空间的几何；罗氏几何相当于各区具有负曲率常数的空间的几何；而黎曼几何则相当于各区具有正曲率常数的空间的几何。改换德国数学家克莱因（的另一种概括说：欧氏几何是抛物型度量的几何，罗氏几何是双曲型的，而黎曼几何则是椭圆型的。黎曼的观点是符合唯物主义反映论的，因为他断定了几何理论是外部世界的模写，断定了几何真理的客观内容，而且他确实找到了非欧几何和欧氏几何的现实原型。现在让我们进一步来分析，非欧几何的各个命题与欧氏几何的相应的“根本对立”命题之间是怎样相互过渡的。就罗氏几何而言，它常被看作一种平行线理论。罗氏平行公设是它的特异性原理，而平行角可说是罗氏几何特异性的标记。可是当定点到原直线的垂距逐渐减小并趋近于时，相应地平行角增大且趋于特别，当（。时，罗氏平行公设竟会自动退化、还原为欧氏平行公设。这就是说，“可作两条平行线”的断言，随着平行角的变为直角，会自动演变为“只能作一条平行线”。从哲学角度看，这是一种“从量变转化到质变”的过程，最终，非欧几何公设与欧氏几何公设两者实现了“对立面的同一”。类似地，我们可以说明每个罗氏几何定理与每个根本上对立的欧氏几何定理是“怎样能够成为同一”的。最典型的是三角形内角和定理。欧氏几何断言，三角形内角和恒等于。罗氏几何却断言，三角形内角和小于，而且角亏（即比。小的那部分值）与面积成正比。这样两种看来极端矛盾的\n第40页论断怎么统一得了呢？不用着急，办法自会有的。让我们先对角亏问题作一个通俗的解释和分析。设有一个底角为。的等腰三角形，我们从顶点作一条中线将它平分为两个较小的三角形。问题是：每一小三角形的内角和是否也等于大三角形的内角和？假如三角形内角和等于，将会怎样？假定不等于，又将会怎样？我们已经知道，在第一种情况下，大三角形小三角形，这就是大家在欧氏几何中所熟悉的。然而，在第二种情况下，我们将会发现，小三角形的内角和完全不同于三大角形的内角和。由图可见，在有角亏情况下，大三角形的内角和＋（角亏为，小三角形的内角和（角亏为。如果将分割继续下去，就不难看出，三角形越小角亏也越小，而它的内角和就越大（越接近于。从这里，我们可以同时体会到两个道理。一是，罗氏几何的内角和定理中关于“角亏与面积成正比”的道理。二是，罗氏几何的内角和定理，当垂距，平行角。时，确实能够从渐变到突变，转化为对立的欧氏几何的内角和定理。其它相对应的诸定理也无一不能在极限条件下相互转化而成为同\n第41页一。可见，辩证法的基本规律（如对立统一、量质互变等）对于非欧几何仍然有效。进而言之，它对于几何学的哲题有效，对于数学哲学有效。关于非欧几何相容性的两种证明方法上面我们对于非欧几何与欧氏几何是否“相互矛盾”或是否“同时为真”以及何以能“同时为真”的问题给出了一种“辩证的’，解答。这是哲学上的解答，还只是整个问题的一半。现在我们转向逻辑上的解答。在这里，“相容性证明”是头等重要的，因为任何真理都必须是不自相矛盾的。通常存在着两种基本的证明或解释方法：一种是模型解释方法，即寻找一种模型，使得非欧几何（罗氏几何或黎曼几何）的所有公理和定理在模型中展示出来，充分显现为真（但必须知道它确实为真）。另一种是相互翻译的解释方法，即制订一套翻译规则（“辞典，规定非欧几何的新概念（如点、直线、交角）对应于欧氏几何的哪些概念，使得非欧几何的公理、定理，通过翻译转变为特定条件下的欧氏定理。这样一来，如果非欧儿何本身之中包含着自相矛盾的论断（这是反对者们十分希望有的事），那末这两个相互矛盾的定理经过翻译也就自动地变成两个相互矛盾的欧氏几何定理，从而欧氏几何也就是自相矛盾的了（那是非欧几何的反对者和欧氏几何的信奉者们十分不愿意承认的事）。人们既然承认欧氏几何没有矛盾，那末只要不否认逻辑的有效性，就得承认非欧几何也没有矛盾。后一种方法称作“相对无矛盾性”证明（或译作“相对相容性”证明）。先讲第一种方法：模型解释。黎曼几何就有一个非常现实的模型球面（包括理想的地球表面）。设图中①相容性一致性或无矛盾性是同一个意思。\n第42页和分别表示地球的北极和南极。我们考虑由赤道和两条子午线（经线）所围成的任意三角形。由于子午线与赤道是垂直的，因此这个三角形就至少已经有两个直角，只要这两条子午线不重迭，就还有一个极角（＞），因球面：三角形内角和＞此它的内角和显然超出了。当极角取为。时（这也是可能的，此时两条子午线所在平面相互垂直），三角形内角和等于固守欧氏几何的保守主义者可能会指责说：你所谓的“直线”其实并非真正的直线而只是地球的大圆弧，你所谓的“三角形”其实只是球面三角形，这样做太不实际了！可是黎曼几何拥护者会反驳说：其实您是把话说颠倒了！因为黎曼几何比欧氏几何更为脚踏实地。当然任何几何理论都要进行抽象和理想化，但黎曼几何所作的理想化比欧氏几何更切实际。只要看看测地工作者实际怎样干的就能明白这一点。这对任何一个愿意开动脑筋的人都是显然的。罗氏几何也有一个非常现实的模型喇叭面，更确切地说是伪球面。这个模型是贝尔特拉米找到的。所谓伪球面就是由曳物线绕定轴子旋转而产生的旋转面。它的方程式是：\n第43页伪球面上的“直线”，即两点间的最短程线，也称作“测地线”。由它所组成的“三角形”满足内角和小于。的定理。以上举例说明的模型解释方法充分表明，尽管非欧几何这种理论体系的出现一开始表现为创建者的思想劳动的成果，它的产生有其逻辑伪球面：三角形内角和。上的推动力。然而，非欧几何理论有其客观内容。它的存在根植于现实世界，因而能在现实世界找到它所反映的对象即非常合适的原型。非欧几何是物质空间和此空间内图形性质的正确理想化。简单地说，非欧几何是现实世界“空间形式”的间接反映（罗氏几何是以伪球面为代表的负曲率空间形式的反映，而黎曼几何则是以球面为代表的正曲率空间形式的反映）。接下来再讲第二种方法：翻译解释法。举例说，我们可以采用彭加勒方法，制定一套关于几何语言的翻译规则（“辞典”见页），把罗氏几何的词项和陈述翻译成属于欧氏几何性质的词项和陈述。这样，即使原先不够熟悉罗氏几何内容的人们，也可以借助于这种转述方法，从自己所熟悉的欧氏几何内容引伸出一些结论来（一般说，这些结论比较具体、实际因而容易想象）。以上基本词项的翻译规则是人为地设定的，但是两种几何语言中不同陈述的相互翻译，却是在此基础上合乎逻辑地推出来的。人们理所当然地把注意力放在罗氏\n第44页彭加勒辞典\n第45页罗氏几何的欧氏化表述十分明显，借助于彭加勒方法，罗氏非欧几何的公设和定理都能通过翻译还原为欧几里得化的陈述。这样一来，不仅罗氏几何与欧氏几何之间在逻辑上的相容性得到证明，而且罗氏几何本身的无矛盾性通过欧氏几何的无矛盾而得到间接证明。这种相对无矛盾性的证明，对于坚信欧氏几何的直观可信性和无矛盾性的人们来说是极有说服力的并使他们都得极大的精神满足。假如把这种翻译方法深入下去，欧氏几何借助于笛卡几的解析几何，又可以转译为代数的陈述，其翻译规则是每一个中学毕业生所熟悉的（点、直线、圆等等所有几何概念全可以用代数语言译出）。代数是建筑在自然数论基础上的，而自然数论又可以用集合论语言表述出来。然而，不管怎样翻译来、翻译去，所得到的只是非欧几何和欧氏几何相对于数论、集合论的相容性，而不是绝对的相容性或逻辑无矛盾性。对于这种绝对相容性的进一步追求，带来了一些逻辑的、认识论的和数学哲学的后果。\n第46页抽象的演绎观点的起源以及几何学的两重性在科学哲学中经常谈到不同的或对立的科学理论之间的相互竞争。在很多情况下，两种相互竞争的理论（例如光的微粒说和波动说），各有自己的优点和缺点，经过相互批评和竞争，不断完善起来，并有可能走向较高层次的统一理论（例如郎之万将光的量子说看作微粒说和波动说之间的“辩证的综合”。因为新学说既承认光子不可分又承认频率、波长等特性）。在数学哲学中的情况也十分相似。在数学史上，非欧几何与欧氏几何是在相互竞争中发展起来的。欧氏几何的严密性曾经被认为是无与伦比的。但到世纪，随着严密性标准的提高，欧氏几何的缺陷变得越来越明显。欧氏几何的主要缺陷是易于因直观可信性而洋洋自得，放松了逻辑密性的要求。有时候证明不是单纯依靠逻辑推理，从给定的前提推出结论，而是过多地求助于直观性的暗示。例如在证明两三角形全等时常常用到“重合”方法，暗中假定了图形移动时的不变性”。提到直线与圆弧相交时，暗中假定了交点处的“连续性”。另外，由于缺乏顺序公理，对图形中“不可能的位置顺序”不能作出有效的限制。这个问题在非欧几何与欧氏几何的相互竞争中变得更加激化了。由于新生的非欧几何处于“在野”地位，它本来就容易成为怀疑的对象，而且它还得不到直观上的帮助，因此它不得不加倍磨练自己的逻辑严密性，以提高自己的理论信誉。正是在这种相互竞争之中，构造演绎体系的更加严密的方法，仅仅根据逻辑形式而有效的证明方法，观察演绎体系的纯粹抽象的观点形成了。有趣的是，一个几何理论的优点与缺点竟是相反相成的。欧氏几何的优点在于直观可信性，然而它的危险恰恰在于直观可信性易于导致想象上的错误。相反，非欧几何的短处在于逻\n第47页辑上的有效推论在直观上却往往不可信，这就迫使它加倍重视并提高逻辑严密性。因此，从认识论角度看，唯一的出路在于采取纯抽象的观点，干脆摆脱直观的牵连，将注意力完全集中在公理系统的原始词项、原始前提与定理之间的纯粹的演绎关系上。这就要求作出两方面的抽象：一是不注意公理、定理本身是否为真；二是不注意原始词项的意义。反正证明的逻辑有效性与几何术语的具体意义无关，而且并不直接依赖于公理、定理的真假（只依赖于它们之间有无必然联系）。这里，我们所讲的是纯粹抽象的演绎观点的真正起源，认识论意义上的起。应当看到，有些数学家和哲学家以纯粹抽象的演绎观点为借口，得出了极端形式主义的结论，那是不符合实际情况，在认识论上是片面的。因为抽象的演绎观点的目的只是在于，构成这样的公理系统，使得能够仅仅根据逻辑形式由推理关系得出全部定理。换句话说，这种抽象观点为的是对公理系统的逻辑有效性起保证作用。不注意公理、定理、词项的具体含义，并不表示它们是绝对无意义的。为了合理地解释由非欧几何引起的有关几何学的本性和真理问题，现代数学哲学家终于逐步地自发地形成了关于几何学双重性质的辩证概念。其实，科学家和科学哲学家更早就引进了类似的概念，即“纯粹几何学”和“物理几何学”。这两个概念是以公理系统本身与其在经验中的应用之间的区别为前提的。例如物理学家赫姆霍兹（他是黎曼几何的另一发现者）强调，各种几何学系统本身缺乏经验内容。只当它们与某些力学原理相结合时，才产生经验上有意义的命题。按照他的意见，必须事先规定，在几何定理中出现的象点、“线”、”之类词项怎样与测量过程联系起来，才谈得上在经验中的应用\n第48页彭加勒的几何哲学思想也是现代几何哲学思想的一个重要来源。他很早就认清了几何学的双重性质，即既有形式的、纯逻辑的一面，又有经验的、物理的一面。布里奇曼也划分了纯形式的“公理学定义”和有物理解释的“操作定义”。在近几十年内，数学哲学家进一步明确表述了解释几何”和“解释几何”这一对对立概念。数学哲学家所谓的非解释几何，是指这样一种抽象的几何体系，它被看作既非真又非假的纯形式的知识，只考虑从什么推出什么的纯逻辑问题。另一方面，所谓解释几何，则是指这样一种经验的几何体系，它被看作仅考虑关于自然（即物理世界）的真或假的经验假说，确定它的唯一方法是观察和实验。这两种对立概念是可以相互转化的：当我们作出“约定”时，也就是把特定含义赋予原始词项时，就使得自己从“非解释”观点转到“解释”观点，同时使得几何学的抽象语句变为关于物理世界的经验解释。当我们舍弃其经验性含义时，就反过来从“解释”观点转回到“非解释”观点。任何一种几何体系，都是“一身兼二任”的，既可以看作非解释几何（无真假的），又可看作解释几何（有真假的）。欧几里得几何在通常情况下被看作有确定含义的解释几何，但当我们寻求这个体系的严密逻辑结构时则应当把它看作非解释几何。非欧几何往往被看作非解释几何，看作无确定含义的抽象系统，但又可以借助于种种物理解释赋予它经验意义。例如，在非欧几何中的“直线”可以有几种不同的经验解释：短程线两点之间的最短距离。光线光粒子沿着均匀媒质（折射率相同）运动的轨迹。①解释几何的含义是指作了经验解释的几何；非解释几何的含义是指不作任何经验解释的几何。\n第49页。拉紧弦线的路径。物体质点按照惯性运动所走的路线。这些解释对于各自的特定条件都是合理的。在此基础上，我们对欧氏几何与非欧几何孰真孰假，对几何学的真理性问题，可以有比以前更为深刻的认识。如果我们对宇宙空间按牛顿力学作物理解释，则欧氏几何为真，而非欧几何为假。如果我们按爱因斯坦广义相对论的时空观作解释，则黎曼几何为真，其它为假。一种几何系统，可以通过物理模型解释显示其真和无矛盾性，也可以通过数学模型解释显示其相对无矛盾性。例如按照本章第四节彭加勒的一种解释，将罗氏直线解释为特殊的欧氏半圆。那末，罗氏几何与欧氏几何可以有条件地同时为真。因此，抽象空泛地说一种几何为真或为假的提法是混乱的、不科学的。应当具体地说，对哪种解释为真，对哪种解释为假。辩证唯物主义历来认为，真理永远是具体的，真假是相对的、有条件的、可变动的。形式逻辑使用固定范畴，真假值是严格不变的，辩证逻辑使用流动范畴，真假值是辩证地可变动的。谁曾预料，与非欧几何有关的真理疑难可以在辩证唯物主义意义下得到合理的解释。谁曾预料，数学哲学中关于真假相对性的论断又是与辩证逻辑遥相呼应的呢！\n第50页第四章数学的逻辑基础和关于数学本性的不同理解从数学的“算术化”到数学的“逻辑化”现在让我们从几何学的哲学转向数论、数学基础的哲学问题。我们先从“数”的数学的公理化谈起。几何学由干古希腊传统（毕达哥拉斯、柏拉图、欧几里得等）的影响历来是用公理化方式来表述的。然而，算术、代数和微积分等按照传统习惯却不是用公理化方式来表述的，而是以计算符号和规则的集合表现出来的。这就是说，关于“形”的数学（几何等）和关于“数”的数学（代数等）存在着明显的不对称性。这可能由于几何学的逻辑性比代数的逻辑性更容易被认识到。无怪乎有许多人以为学好代数主要依靠掌握计算规则和技巧，而学好几何则主要依靠逻辑。世纪的数学家首先认识到数的数学和形的数学一样应当建立在更坚实的逻辑基础之上，也应当采用公理化表述，他们开始发展统一的数论。数学的发展是可以沿着两个相反的方向进行的。第一种方向是构造性的、建设性的，如从算术、初等代数到微积分和高等代数；从整数到分数，从有理数到无理数，从实数到复数等；从加减乘除到微分积分和矩阵乘法等。或者换句话说，这是数学领域向高度和宽度方向伸展。第二种方向是分\n第51页析性的，它是由分析我们所断定的基本概念和命题，而进入越来越深刻的抽象和逻辑的单纯，从一级本质深入二级本质等等。或者换句话说，这是数学领域向深度方向伸展。采取后一种方向时，人们不问开始时所断定的概念、命题能推演出什么，却反过来追问方才当作出发点的前提在逻辑上如何进一步归结到更普遍的概念和原理。前一种研究方向是普通数学的研究方向，用不到多加分析，因为那是学生们从小学、中学到理工科大学学习时必经之路；而后一种研究方向则是数学基础和数学哲学的方向，这才是我们讨论的主题。后一种研究无疑是人类认识较高阶段的产物。对“数”的数学作逻辑分析的第一步是，认识到全部传统数学可以“化归”到自然数理论。这就是说，所有传统的纯粹数学，包括解析几何在内，全可看作是有关自然数的命题所组成的。（考虑到解析几何是联系代数与欧氏几何的桥梁，就知道欧氏几何也可以化归为自然数理论，它们之间都具有上一章所提到的“相对相容性可以相互翻译。）换句话说，一切数及其运算都可以由最基本的数即自然数及其运算推演出来。当然推演过程中还要加上纯逻辑的概念和命题。正象生物进化论所表明的，一切生物都源于共同的祖先，自然数理论也表明，各种类型的“数”同属于一个家族，同源于一个亲系。尽管毕达哥拉斯学派早就猜测到，整个数学或许都能从自然数中推导出来，但真正发现这一点只是世纪的事。毕达哥拉斯学派的“数”的哲学，包含着“数字崇拜”的神秘成分。例如，他们赋予各个基本自然数一定的哲理意味。一表示理性，因为理性是不变的；二表示分歧和意见；四表示公平，因为它是第一个平方数，是两个相等数的乘积；五表示婚姻，因为它是一个简单的\n第52页奇数和偶数的结合（一不在考虑之列，因为它是一切数之源）。认识到传统数学可化归到自然数理论后，下一步就是把这个理论化归到最小一组原始前提和未定义的词项。这种将自然数理论公理化的工作是由意大利数学家皮阿诺（）首先完成的。他的《算术原理新方法》表明，算术可以建立在用新的逻辑记法所表达的九条公理集合的基础之上。其中四条是关于相等的公理（包括自反、对称和传递等公理），另外五条是关于自然数的特设公设：是一个数。）任一数的后继是一个数。）没有两个数有同一个后继。不是任何数的后继。任何性质，如果有此性质，又如果任一数有此性质，它的后继必定也有此性质；那末所有的数都有此性质。五个基本公设的最后一条就是数学归纳法原则。皮阿诺后来将公设中的”改写为。在年到年，他相继发表了五篇解释“数学公式”的论文，每次都采用他的五个基本命题（但用代替）作为算术的基础。因此概括起来说，皮阿诺的自然数理论中最有特色的是，引进了三个原始词项和五个特殊基本命题。那三个原始词项是：数，后继。其中“后继”是指在自然次序中一数的次一数。比如，的后继是的后继是，以此类推。有了这套原始词项和前提，我们可以定义想要达到的任何自然数，可\n第53页以定义两数之和以及两数之积，并且可以证明任何普通的初等算术命题。在数学史上，皮阿诺的工作被称作“数学的算术化”。尽管它本身还不够彻底，只代表较低层次的逻辑，却为“数学的逻辑化”开辟了道路。他的原始词项实际上还可以进一步还原为逻辑上更为单纯的概念，而数学哲学的目的正是尽可能地寻求逻辑上更单纯的概念以解释我们已有的概念。德国耶拿大学的数学教授弗雷格（）第一个成功地将数学“逻辑化”，提出了算术的逻辑理论，从而比皮阿诺的数学“算术化”的工作前进了一大步。弗雷格开辟了数理逻辑的新方向，这个方向与数学基础的说明很有关系。弗雷格写了好几部重要著作，有《概念演算》，旧译“表意文字，算术基础）和算术的基本法则》（卷一，；卷二，）等。他的著作以精确细致为特点。遗憾的是，他所使用的符号无论对数学家、逻辑学家或是普通人都太复杂又太陌生了，所以他的思想直至罗素重新发现时才为人所知。弗雷格在《概念演算》中给出了逻辑本身的公理化基础，也就是把逻辑建立在明确的公理之上。接着他的《算术基础》就向他的真正目标即数学的“逻辑化”进军，作为逻辑的扩展去建立数学。他把算术概念还原为逻辑概念（其实是集合论概念）。于是，数的定义和规律就从逻辑（或集合论）的前提中被推导出来。皮阿诺把“数”“、”“、后继”列为原始概念，就是说把它们当作不可定义的。现在弗雷格则要使用特殊的逻辑技巧把它们分别定义出来。弗雷格是怎样做的呢？关于“数”的集合论定义。大家都知道什么是数，可是在弗雷格以前却没有一个人在逻辑上真正成功地严格地给“数”下定义。现代读者对“集合论”的基本概念是比\n第54页较熟悉的，因为在高一的代数中就介绍过集合、子集、并集、交集和补集等概念，但在弗雷格时代并不如此。弗雷格的同时代人康托尔（）首创了集合论，但是当时接受他的思想的人并不多。弗雷格注意到“，数”就是将某些集合，即那些有给定项数的集合，归类归在一起的一种方法。例如我们可以假定成双成对的东西都归为“一起”，所有三个一组的东西又归为另“一起”，如此下去。这样我们得到各种不同的一起一起的集合，每“一起”由给定项数的集合所组成。每“一起”是一类，它的元素是集合，也就是类；因此每“一起”是一个“类的类”。弗雷格还注意到，实际去发现“两个集合是否有相同的项数”比对它们下定义在逻辑上要简单得多。他在《算术基础》中举例说：“如果一个侍者想要布置得使桌上的刀子和盘子恰好一样多，那末他并没有必要去数桌子上的刀子和盘子；他必须做的只是直接将一把刀子放在每一个盘子的右边，他所注意的就是桌子上的每一把刀子是否直接在一个盘子的右边（”餐桌上刀子和盘子的关系就是所谓“一一对应”关系。如果有一个“一一对应”关系，使一类中的每一项与另一类中的一项相对应，则称这两类“相似”或“等数具有相同的基数）“。一一对应”或“相似”的概念在逻辑上说比计数更为单纯，因为它既不要求一个排列顺序，也不要求限制在有穷类。反之，计数却需要有次序，并且不能数尽无穷类。不过，在日常生活中人们对计数更熟悉些罢了。弗雷格最后得到了这样的定义：“一个类的数就是所有与之相似的类的类”。这个经典定义本身很抽象，但若联系实际就会变得更明白些。\n第55页例如，要问“对子两个一组）的数是什么？那就是所有各种“对子（”如夫妇、一对鸽子、一双筷子等等）的共同的东西，即所有“对子”的“类”。弗雷格进一步推出，更一般地，一个数是一个集合，在此集合中任一元素所有的项数即是这个数；或者更简单地说：“所谓数就是某一个类的数”。这个定义从字面上看似乎循环，其实不然。某“一个类的数（”后文称作“基数”）可以根据“一一对应”给出，并不需要具体计数，不必用到一般的数。这样，弗雷格借助于精致的逻辑技巧，将“数”的概念还原为“类的类”即“集合的集合罗素独立地发现了数学的“逻辑化”。罗素的许多表述方式比弗雷格更容易接受些。按照罗素的说法，数是一个没有元素的类的项数，亦即，所谓“空类”的项数。写成纯逻辑的定义是：是以空类为唯一元素的类”。最后，剩下的是“后继”这一概念。罗素指出，给定任何数，令为有个元素的类，又不是的一个元素，那末以再加上所形成的类就有＋个元素。因此可以将“后继”定义如下：“类所有项数的后继，就是与任何不属于的项一起所构成的类的项数”至此，我们已经将皮阿诺的三个基本概念“数“”“、后继”全部化归为逻辑的（其实是集合论的）概念。这样就大大增强了数学演绎的清晰性。罗素的关系理论和实数、复数的化归将数学“逻辑化”下一步要解决的问题，是如何定义更高级的数，将较高级的数逐步还原（化归）为逻辑上更\n第56页单纯的概念。化归程序包括一系的步骤：第一步是建立有理数的理论。基于自然数、集合、序、关系等概念，定义正负整数、分数乃至一般的有理数。第二步是建立实数理论。以有理数（分数）为基础，将数的概念作一个推广，推广包含有理数又包含无理数的实数。这种定义，在逻辑上需要相当的技巧。第三步是在实数理论基础上再定义复数。集合论和关系理论是整个化归程序的基础。在这里，先有必要对罗素的“关系理论”的基本概念作一概略的介绍。一个类或者一个集合可以用两种不同的方法来定义：第一种是列举其组成元素的定义，称为“外延”定义；第二种是提出一个特性的定义称为“内涵”定义。从逻辑上说，内涵定义较为根本。列举的定义，不仅对无穷类来说是不可能的，而且对于大数类来说也是不方便的。例如谁都知道什么是“上海居民”，可是谁也不会一个个地完全地列举他们。“一一对应”关系是一种十分重要的关系。所谓“一一对应”关系，就是：如果对有所说的关系，则没有其它的项对有这种关系；并且对以外的任何项也没有同样的关系。只满足两个条件中的第一个的关系称为“一对多”关系；反之，只满足第二个条件的关系称为“多对一”关系。自然数与偶数的关系是一一对应关系。在一夫一妻制社会，丈夫对妻子的关系是一一对应的。在多子女家庭，父亲对子女的关系是一对多关系，子女对父亲的关系（上述关系的逆关系）则是多对一关系。独生子女对母亲的关系是一一对应关系。父亲是父子关系的前本方），儿子是父子关系的后域（对方）。前域和后域合起来组成整个关系的域。\n第57页具有一一对应关系的两个类是“相似”的。相似的类具有三个特性：）自反性：自己对自己相似；）对称性：相似于，则反过来亦相似于传递性：若相似于相似于，则亦相似于序列的概念在数学中非常重要。不仅自然数有序，整数有序，就是有理分数和所有实数也都有一个大小的次序。序的概念是可以逻辑地加以定义的。序是一种关系，序的关系有三个重要的特性：）非对称性：在之先，则必不在之先。）传递性：如果先于先于，则先于。除了“先于”关系之外“，小于”“、早于”、“在左”等关系可以作出同样解释。但在球类比赛中，“胜于”关系并不总是有传递性，例如队胜于队，队胜于队，但队有时却输给队。）连通性：指给定按一种关系（如大于）所排列的一类中的任意两项，该关系必定在某一方向上成立。例如，任意两个实数，总是一大一小的；而任意两个复数则不然。换句话说，“大于”关系在实数域是连通的，在复数域不是连通的。又如由十个人围成一圈，则“在左”关系是连通的，因为任何一人都在另一人之左；但是如果由十个人排成一直线，则“在左”关系就不连通了，因为最左的人没有人比他更“在左”，最右的人没有人能使他显得“在左一种从开始满足数学归纳法的数，称作归纳数。自然数就是归纳数。归纳数有两个本质特点：一是一个性质如果对序列中某一项为真，那末，作为逻辑的必然，对该项的后继项也为真。二是该性质必须对该序列的第一项（）为真。第一种性质被罗素称作遗传性，很显然这是将自然数的序列与生物的进化相类比的结果。第二种性质为数学归纳法提供了一个实际的立足点。这两种性质合起来称作归纳性（意即合乎数学归纳法）。\n第58页现在我们转向各种推广的数的逻辑定义。换句话说，是用关系理论去解释负数、分数、无理数和复数等，以具体实施将数学化归到逻辑的计划。第一步是有理数理论。先从正负整数讲起。稍微动动脑筋就能明白，与－是正一和负一，又是加一和减一）其实必定都是关系，而且互为逆关系。明显而又充分的定义是：是＋对于的关系，反过来－是对于＋的关系。更一般地，假如是任何归纳数，对于任何而言，是＋对于的关系，反过来－是对于的关系。根据这一定义，只要是一个基数并且是一个归纳基数，就是一个“一一对应”关系。罗素强调指出，从数理哲学眼光看“，＋无论如何不能混同于，因为不是一个关系，而是许多类的一个类。诚然，从任何一点看都和不同，正如－和不同一样”。有趣的是，尽管罗素十分不喜欢黑格尔的辩证法，然而，罗素数理哲学中论述与的关系的话，竟与黑格尔《小逻辑》中的话有惊人的相似之处。黑格尔说：“说不是＋必是－；但这话事实上已经说出了一个第三者即，它既非＋，亦非一，它既可设定为正的，亦可设定为负的”“排中律是进行规定的知性所提出的原则，意在排除矛盾，殊不知这种办法反使其陷于矛盾（”见这里“，说不是＋必是－”的话既是罗素所反对，也是黑格尔所反对的。而“既非，亦非－，等话既是罗素所赞成的，也是黑格尔所赞成的。依我看，罗素所回避的辩证法在暗中显灵了接着再讲分数。根据关系理论，我们可以将定义为，当时，两归纳数之间的一种关系。假\n第59页定都不为零。是一种一一对应关系，则是它的逆关系。分数中只有零和无穷不是一一对应关系。零是一对多的，无穷（是多对一的关系。分数可以按照大于或小于关系排成一个序列，零是最小的一项，无穷是最大的一项。分数序列是处处稠密的、紧致的，因为不论两个分数如何接近，在它们之间总有别的分数。正负分数可以用类似于定义正负整数的方法而定义。首先可以定义出两个分数与之和等于（、然后可以将＋定义为对于的关系，此处为任何分数；至于－，自然就是的逆关系。至此，我们已经用关系理论定义了各种有理数，从而完成了有理数的化归问题。下一步是建立实数理论，实现无理数的化归，这种问题更有意思。第一个无理数的发现，使毕达哥拉斯学派“对整数的崇拜”出现信仰危机。正方形的对角线和一边的长度竟是不可通约的，这似乎是自然界向算术的挑战，向理性的挑战。传说希帕索斯因泄露这个毕达哥拉斯无法解释的疑难而被抛进大海处死。其实，“无理数”这个名词并不能说明大自然真是不合理性的，相反，倒说明当时的理性对于正确理解这种数还有很大的困难。很显然，我们可以找到一些分数，它们的平方趋近于；可以构成一个递增的分数序列，所有这些分数的平方都小于，而较后的一些分数和的差值又可以小于任何给定的数；同样也可以构成一个递减的分数序列，所有这些分数的平方都大于，而较后的一些分数和的差值也迟早会小于任何给定的数。换句话说，我们可以得到理想精确度的不足近似值或过剩近似值，却达不到本身。弗雷格的同时代人狄德金（）为了解决“捕获的问题，发表了划时代论文《连续性与无理数》\n第60页，创造了著名的“狄德金分割法”。如果将所有的分数按照其平方是否小于而分割为两段，那末就可以发现那些平方不小于的分数就是平方大于的分数（并没有平方等于的分数）；在平方小于的分数中没有极大，在平方大于的分数中没有极小。狄德金发现，分数序列由于不存在平方等于的分数而出现了“空隙”，后来它被称作狄德金“空隙（”或裂痕）。但是狄德金想到，空隙只是对分数或有理数而言的，如果假定一个无理数的极限存在，空隙就可以填补起来。用这种方法，狄德金最后得到了“实数”和“无理数”“、有理数”的定义如下：一个实数即是以大小为序的分数序列中的一节一个无理数即是以大小为序的分数序列中无边界的一节。一个有理数即是以大小为序的分数序列中有边界的一节。这样，就借助于关系理论，将“实数”、无理数”等统统化归到分数。最后剩下的是复数。复数，按照关系理论，可以简单地定义成有先后次序的一对实数，而它具有这样的性质：只当一个复数所包含的第一个实数（实部的）与另一个复数所包含的第二个实数相等，以及第二个实数（虚部的）与第二个实数相等时，两复数才相等。复数虚部中的即负一的平方根）取作虚数单位。为了得到复数的其它所需要的性质，还必须定义出加法和乘法的相应法则。我们需要这样的性质：加时＋）乘时：＝）＋＋\n第61页因此，给定有先后次序的两对实数（）和（我们将它们的和定义为一对实数（，而将它们的积定义为一对实数（。这是普通高中生也能理解的。至此，按照关系理论，复数化归为实数，实数、无理数化归为分数，分数又化归为整数，正负分数化归为正负整数，正负整数化归为关系。一切高级的数都被认为还原到“纯逻辑的”概念之中。虚数概念刚出现时，情况与无理数、负数概念刚出现时有些相似。当初人们曾经不能理解为什么“除不尽的数”还能存在？为什么“比零还小的数”还能存在？无怪乎后来对于新发现的（即那类既未找到现实原型又无法直接比较大小的数，更觉得虚无漂渺了。对于现代人来说，理解以上任何一种数，都不存在实质上的困难。即使虚数也可找到非常实在的含义，例如收音机里的电感、电容，其中电流或电压位相的超前或落后多少就得用虚数来表示。可是，远在物理学家找到现实原型之前，虚数概念就已经在数学家的“自由想象”中率先产生了出来。因此，虚数的概念（有人将它与“鬼空间”联系在一起）曾经在数学本体论上和认识论上给予朴素的“实在性”观点很大的冲击（它使人怀疑数的概念究竟有没有客观内容，是不是现实世界数量关系的反映）。当然从现代观点看，正象无理数并不无理一样，虚数也并非虚无的“。无理”和“虚无”的名称只是一种历史遗迹，一种认识论上的信念危机的烙印。“数”的数学也需要使用流动范畴上一节所述罗素的关系理论主要使用“固定范畴”。它适合于对各式各样的数作静态的逻辑解释。然而，当我们需要对形形色色的数的形成、数与数之间的能动联系，\n第62页对数域的扩充作动态描述时“，固定范畴”就不够用了，辩证法的“流动范畴”就开始发挥作用了。今天的代数与韦达以前的算术的根本区别在于对“不可能”的态度的转变。世纪以前的数学家赋予“不可能”一词以绝对的意义。对于他们来说，算术的正运算加、乘、乘方是全可能的；而逆运算减、除、开方则是在限制条件下方可能的。现在知道“可能”和“不可能”是一种流动范畴，各自只具有相对的意义。“不可能”只是对于特定数域的限制而言的。去除了这种限制，把数域扩充，不可能就变成可能了（参看〔美丹齐克《数，科学的语言》，页）例如，若要使减法成为全可能的，只须把零和负整数加到自然数的序列中就够了。由此而创造出来的数域称作一般的整数域。同样，若要除法成为全可能的，只须将正负分数加到整数域中。这样产生出来的广义数正负整数、正负分数和零就构成了有理数域。可见，即使这少数几个事例就已经足以显示出在数学中可能与不可能、有意义与无意义诸范畴的流动性了。这里存在着本来意义的辩证法。因此，我们说数学哲学需要辩证法。即使辩证模式的数学哲学远没有取得支配地位，但它是有生命力的，因而我们相信它将会有远大的前途。恩格斯可说是辩证模式的数学哲学的开拓者之一。他认为，无论高等数学和初等数学都充满着辩证的矛盾。他在《反杜林论》和《自然辩证法》数学札记中作过许多精辟的论述。在这里，我们并不打算逐字逐句地复述恩格斯的原话。而只打算根据对恩格斯的辩证模式的理解，作一些初步的发挥。\n第63页在代数中存在着三级运算：加与减（第一级）；乘与除（第二级）；乘方与开方（第三级）。代数中的辩证矛盾首先表现在，每一级中的正运算与逆运算不仅相互依存（互为存在条件），而且无不在一定条件下向自己的对立面转化“。负数”的引进，使减法可以转变为“代数加法”。，减某数变为加其负数。“倒数”的引进，使除法可以有条件地转变为乘法。，除以某数变为乘以其倒数。“分指数”的引进，使开方可以有条件变为乘方。，开方就是分指数乘方。引伸一步说，不仅同一级运算内部，正反两个方面可以相互转化，而且较高一级的运算可以向较低一级的运算有条件地转化。人们从指数的研究中受到启示：这就是说同底幂相乘，对应的指数相加，这里边暗含了乘（除）法变加（减）法的可能性。如果把“对应指数”（“对数”概念的本意）作为独立研究对象，这种可能性就变为现实。实际上，“对数”的引进，使乘除真的有条件地转变为加减。，两数乘积的对数等于两数的对数之和。对数表和对数计算尺的实用意义（指在电子计算器出现之前）就在于“乘除变加减有条件），化繁为简。“分指数”也是数学中辩证转化得力的辅助工具。由于“分指数”的引进，使得第三级的正逆两种运算都可以通过指数中的分子、分母而表示出来。这样一来，不仅解决了开方向乘方的转化问题，而且在一定程度上解决了乘方、开方（第三级运算）向乘除（第二级运算）的转化问题。使得烦琐的根式运算降级为指数中较简单的通分、约分问题。例如\n第64页不仅在初等数学中，各级运算内部和各级运算之间在一定条件下可以相互转化，而且在高等数学中也存在类似的情况。微分与积分也是因一定的条件可以相互转化的。在不同的数学或物理问题中，同一个量，有时当作积分量处理，有时却当作微分量处理。例如，当我们求圆环的周长时，把圆环上的弧元素当作微分量，而把整个圆环当作积分量；当我们求圆盘的面积时，却把圆环当作微分量，而把整个圆盘当作积分量。同是圆环，既可以作为微分量处理，也可以作为积分量处理。令人惊奇的是，甚至微分、积分也能在一定条件下转变为乘除法，微分方程在一定条件下可以转变为代数方程。世纪时就有许多数学家从事“算子方法”的研究，将的阶微商（导数）看作微分算子在）上连续作用”次的结果（相当于乘），而积分认为是算子作用于的结果（相当于除）。从而建立了利用算子进行“形式运算”的方法。这就是，把微分、积分运算形式地当作乘除法来做，把线性微分方程当作代数方程来解。无线电工程师亥维赛居然用这种方法取得了很大成绩。不过，直到本世纪年代，上述方法才找到了合理的理论基础（拉普拉斯变换）。恩格斯不把各种数学运算之间的辩证转化看作无聊的文字游戏，而是看作实用上化繁为简的有力杠杆。同时又借此阐发数学是“辩证的辅助工具和表现形式”的主题思想。\n第65页数学哲学中的直觉主义派在几何学的哲学中，一个几何学的公理系统，既可以作为“非解释系统”看待，也可以作为“解释系统”来看待。现在，在数论的哲学中情况也十分相似。本章前两节对自然数的公理系统，主要是作为“纯形式系统”，以抽象的逻辑方式作考察的。另一方面，我们也可以对自然数的，或者更一般地，对数的存在和本质究竟是什么，对数的真理是什么，作一种哲学的反省（反思）。按照对“数和数的真理”的不同理解，数学哲学中划分为三大主要流派：直觉主义、逻辑主义和形式主义。本节先讨论直觉主义派。直觉主义派的思想起源于关于“数”的概念论。数”和“集合”都被看作由思考而产生的抽象实体”，而不看成独立的实体。由于从某种意义上说，数学所研究的“思想对象”，因此这种观点对许多人来说有一定吸引力。康德哲学是直觉主义思想的一个重要的理论来源。直觉主义派最有影响的人物布劳威说过：“我们可以在康德那里找到直觉主义的一种古老的形式。”在康德看来，数的法则是先验的（不依赖于具体经验的）又是综合的（不能归结为分析地真的逻辑真理）。空间和时间是两种感性直观（即直觉）的纯粹形式。在康德看来，欧氏几何依赖于用纯想象进行构图的认识能力。与此相对应地，康德认为，关于“数”的知识，则依赖于对自身进行重复计算的能力，例如借助于直觉力能认识这样的所谓“先验综合真理”。康德的以计数直觉为基础的算术概念意味着，一个数，只当它可以由计算结果达到时才是真正存在的。无限数是数不完的，因此康德不承认“实无限”。同样道理，康德认为，追溯无限的过去，就是想换一个方向，由数到无穷大，那也是不可\n第66页能完成的。布劳威于年在阿姆斯特丹大学就职演说中，承认康德的空间观点由于非欧几何的兴起而失效，但他坚持关于时间直观即计数直觉的观点，认为这是自然数理论乃至整个数学的基础。布劳威及其学生有时说，他们所说的直觉正是人心对它本身所构造的东西的清晰理解。他们的基本口号是：“存在必须被构造”。这个学派的主要成员之一海丁还说：直觉主义的数学在于⋯⋯心智的构造；一个数学定理表现一个纯粹经验的事实，即某一构造的成功。”可见，直觉主义者的“直觉”观念与“存在”观念都与可构造性有密切联系。由于他们将可构造性看作心智的构造，并将它置于存在之上，因此这在哲学上是本末倒置的。另一方面，他们在数学中所主张的概念和方法的可构造性又有一定的积极意义。所谓主张概念和方法上的可构造性，说穿了就是承认按固定的机械的方式经有限步骤能够定义的概念和能够实现的方法才是有效的。可构造性其实也就是能行性。这一概念在电子计算机的理论研究中有重要的地位。直觉主义派的直接先驱者克洛尼克明确提出并强调能行性的作用，主张没有能行性者就不得承认它的存在性。直觉主义派关于直觉和可构造性的基本观点决定了他们的其它观点。在无限性问题上，布劳威继承了康德（甚至亚里士多德）的所谓“潜无限”的观点。这就是说，亚里士多德和康德都认为，无限只能是“潜在的”而不能是“实在的”。因为我们可以说，数数，连续不断往下进行在原则上是可能的，并且爱数到多大就多大，可是如果要说实际上能数完无限数却必定是自相矛盾的。布劳威在数学哲学中发挥了康德的“潜无限”和纯粹直觉”的观点。从能行性要求看，任何有限多步骤\n第67页决不可能构造完成全体自然数或任何一个无穷集合。直觉主义派另一代表人物威尔说：“布劳威使这一点明确了，就是没有任何证据能够证明所有自然数的整体的存在性，⋯⋯自然数列⋯⋯它永远停留于创生的状态之中，而绝不是存在于自身之中的事物的封闭领域。”从直觉主义基本观点推论出来的直觉主义逻辑，是根本背离经典逻辑的一种新逻辑（我们在后文“逻辑哲学”部分，还要进一步讨论各种非经典逻辑与经典逻辑的相互关系）。直觉主义逻辑有两个显著特点，一是认为经典逻辑的某些定律（如排中律）不能无条件地应用于无限性论域上；二是认为逻辑并不是适用于所有论题的基本推理形式，逻辑的普遍性次于数学，而不是反过来。早在年布劳威就发表了《论逻辑原理的不可靠性》，此后从年以来他又发表了一些文章主张在数学中“禁止使用排中律关于经典排中律所面临的挑战，在后文“逻辑哲学”部分还要作进一步的讨论）。在这些文章中，布劳威明确表示，直接从直觉中推导出来的数学并不预先假定一个普遍有效的逻辑系统，相反这样的数学倒是逻辑原理的一个源泉。因为在他看来，只有经过适当的直觉的确立之后，逻辑原理才能以一般形式加以阐述。这样，他就对数学与逻辑的关系作出一种与众不同的说明。至于经典逻辑的基本定律为什么并非总是普遍有效的呢？布劳威解释说，通常人们总是与有限集合打交道，直觉表明经典逻辑的原理对于这些集合的推理是正当的，但当人们把这些原理当作绝对的原理，并毫无直觉根据地应用到无限集合的推理上去，问题就产生了。例如圆周率的小数展开式，，要问是否在若干位以后将会出现无限个连续的整数数字对（如），我们既不能否定也不能肯定它。因为从直觉主义\n第68页观点看，这个展开式是尚未构造完成的。换句话说，在这里，排中律不再适用。更进一步说，不再继续有效的经典逻辑原理还不止排中律一个。请看下例：在经典逻辑的谓词演算中，对于“存在句］和全称句”），下）两个蕴涵式都成立：读作：若并非存在而且非，则对于所有并非而且非。它的逆否定律是：读作：若并非对所有，并非而且非，则存在而且非然而，在直觉主义逻辑中，式成立时（）式却不再成立，原因在于，从构造性观点看，如果成功地反驳了一个全称句（即（式左边），并不意味着几乎已经找到这样的东西，对它可断定而且非（即（）式右边）。人们无权作出这种断定，这种推理是非构造性的。直觉主义者否认逆否定律（式实质上等于放弃排中律和消去双重否定律的结合形式。直觉主义者的构造性观点的一个严重后果是排斥了古典数学中的构造性”部分。不幸的是，在实数理论中被看作“非构造性”的方法太普遍了。例如，在狄德金理论中，一个实数被认为是有理数的一个实无穷集合，即使最简单的定理（如比较两实数的大小）也要靠预设关于这种集合的“排中律”才能作出证明。直觉主义者关于真假、存在都有独特的标准。说一个数学陈述真，对他们来说，就必须有构造性的证明；说一个数学陈述假，就必须有构造性的否证；如果断言某类数存在，就必须知道如何在有限步骤内去计算或构造它。按照觉主\n第69页义的标准来衡量，康托尔的“超穷数理论”就得被剔除，不仅超穷数理论中的“悖论”应当避免掉，就连理论本身也不能存在。康托尔是集合论的创始人之一。他所谓的“超穷数，也就是“无穷数”。他从与弗雷格不同的出发点出发，独自建立了完整的无穷基数与无穷序数的理论。莱布尼兹已经注意到，偶数的数目必定与全部整数数目相等等数”）。请看下面这两个数列：⋯，，⋯⋯上下两列一一对应，因此这两个数列（集合）的项数（基数）必定相等，奇怪的是，下列却是由上列的一半项数构成的“。部分等于整体”被认为是包含“矛盾”的，莱布尼兹企图据此证明无穷数不能存在。康托尔也发现了同样的事实，但他并不害怕接受这个真理。他机智地倒转过来处理问题：就用这个奇特的性质来定义无穷集合。他还发现，自然数集合与看来数目多得多的有理数集合也是等数的（有理数用分数表示）：有理数：自然数：康托尔在发展无穷数理论时，完全合乎逻辑地推出了不少奇妙的结论：每个非空集（包括有限、无限的），子集比原集包含更多的元素，具有更大的基数（项数）。即使最大的基数（大全集的基数）也还有更大的基数。所有这些性质“，矛盾”，却全部是事实。这不能不引起那些把“矛盾法则”视作哲学的精髓的辩论证者的强烈兴趣。同时也不能不引起不遗余力地排除逻辑矛盾的逻辑学家和数学家的深思（。在本书最后一章“悖论”中我们将作进一步\n第70页分析。）按照直觉主义的标准来衡量，甚至某些比康托尔理论更为基本的古典数学定理，也得被。例如，数学分析中有一个“存在定理”，断言所有实数的封闭集存在一个最小上确界。这个定理要用到一种直觉主义者所忌讳的“自指定义自己说到自己），被定义的上确界或许也属于实数这个集。直觉主义为什么要排斥“自指定义”呢？因为“自指定义”涉及这样一种集合，它的元素不能事先确定，因而这种集合是尚未“构造完成”的。打个比方说，“武汉大学研究生中的最优者”这样一个概念，若要定义“最优者”就得涉及“武汉大学研究生”总体，而这个总体本身却又包含未定义的“最优者”在内。因此，从构造性观点看这种定义是不可取的、不能在有限步内完成的。总的说来，直觉主义由于把直觉置于存在之上因而在哲学上是本末倒置的。直觉主义通过否定某些古典数学的推理方法和基本命题，带来了破坏性的后果。对古典数学进行重审和全盘改造的工作将是困难重重的和难以奏效的。数学哲学中的逻辑主义派直觉主义是激进的革新派，主张对古典数学动大手术，割除非构造性成分，甚至重砌炉灶。相反，逻辑主义是保守派，主张竭力维护古典数学，并为它设立一个牢固的逻辑基础。逻辑主义派最有影响的人物是弗雷格和罗素。逻辑主义的基本纲领是：“将数学化归为逻辑”。本章第一、二节所表明的工作主要是由逻辑主义者及其先驱者们所完成的。逻辑主义思想的哲学背景是实在论。实在论者对“数\n第71页的存在和本质”的态度，与概念论者、直觉主义者大不一样。概念论者只承认“数”在头脑中、概念中存在；实在论者则非常干脆地欢迎大量“抽象的实体”的存在，也包括“数”在内。这种思想最早源于柏拉图。柏拉图相信“理念世界”中的抽象实体的存在是客观的，比现象世界更实在。世纪时，捷克数学家波尔查诺在数学哲学中发展了柏拉图的实在论，提出有一种离开人类作为独立实体而存在的所谓“逻辑意义上的判断”，如这种判断，不管有没有人在作判断活动，它总是真实存在的。罗素在他的早期著作中也说过：“算术恰恰以哥仑布发现西印度群岛同样的意义上被发现的”。换句话说，他认为数学家并不创造或发明他的研究对象。逻辑主义者与直觉主义者不同，认为抽象实体（“数”“、集合”等等）的存在不受头脑创造力、直觉能力的限制，它自身存在着，不是被构造出来的。可见，实在论、逻辑主义在某种意义上也是强调客观性的。然而，我们再次提醒说，数学哲学中的这种“实在论”本质上属于客观唯心主义的范畴（它强调的只是抽象实体的实在性），不同于科学哲学中的“科学实在论”“。科学实在论”肯定电子、中微子等物理实体的实在性，属于唯物主义的范畴。不过，我们仍然看到了，实在论者在反对直觉主义的概念论时，在强调客观性时，做了对唯物主义者有利的工作，因为一般客观唯心主义在反对主观唯心主义时都对唯物主义有利。弗雷格是“数”的实在论观点的最明确的表述者和提倡者。他主张可以用“理性的眼晴”看到数的实在性的永恒结构。当然，“理性的眼睛”的说法不是新发明，比如中世纪圣维克多修道院的经院哲学家就主张过。弗雷格关于数学真理的新提法是，认为数的全部法则都是分析性的，都是因形式而真的逻辑真理，“对于理性而言是\n第72页完全透明的”。并且数学知识依赖于理性的洞察力。弗雷格和罗素都在“实在论”基础上主张逻辑主义。其实，辩证唯物主义者也承认逻辑对于数学的巨大作用，不过这种作用的存在是由于人类认识的能动性，而并不需要假设一个“抽象的逻辑实在”。关于逻辑主义派的具体观点，弗雷格主张算术可以化归为逻辑。罗素、怀特海则又比弗雷格进了一步，主张一切数学都可以化归为逻辑。罗素和怀特海在《数学原理》（简称）作出了详尽无遗的推演，以表明怎样从逻辑出发一步一步地过渡到数学。在《数学的原理简称中罗素则对这一思想作了概要的说明。逻辑主义派所需要做的主要事情是：一是系统地论述逻辑法则；二是对“数论”（首先是自然数理论）的关键词项下一系列定义，使得数”的法则能够从逻辑法则中推导出来。逻辑主义派确实提出了比亚里士多德首创的传统逻辑更严密更强有力的推理系统。逻辑主义派所采用的是公理化方法，他们在将数学公理化的同时将逻辑本身也公理化了，因为他们认为逻辑是数学的基础。作为逻辑公理化的出发点，《数学原理》中引进了一些原始词项：基本命题，命题函项，真，否定，析取等。在命题之间最重要的关系是蕴涵，它表示一种真前件不会导致假后件的关系。《原理》中引进了如下基本的逻辑公理：）一个真基本命题所蕴涵的命题为真。（）由的肯定和的肯定可得的肯定\n第73页其中是析取号，是蕴涵号。）相当于“分离规罗素和怀特海从这些公理出发推导出逻辑的定理，并且终于导出算术和分析。就连传统逻辑中的“三段论法则”也可以作为定理而出现。作为逻辑主义纲领的副产品，逻辑本身也被形式化。请看《数学原理》的开头几个定理：（）其中～是否定号。这就是“归谬原理”。读作：若前提蕴涵着是假的，则就是假的。（这是“三段论”的一种形式。读作：如果蕴涵，那末就有：若蕴涵，则蕴涵（）这就是“排中律”：或者是真或者是假。（这是用蕴涵式表示的双重否定律。读作：蕴涵着非是假的。（（（这是“逆否定律”。读作：若蕴涵，则非蕴涵非逻辑主义派对于发展数理逻辑的贡献，由此可窥其一斑。逻辑主义派对数学基础的“逻辑化”也是有贡献的，罗素和怀特海在《数学原理》中所建立的定理有其真理性，王浩曾在年代初用电子计算机证明了其中三百多条定理。应当说，逻辑主义与实在论哲学的结合，的确为弗雷格、罗素等人的研究工作提供了智力上的巨大动力。然而，我们不能说他们的纲领或目标真的实现了。《数学原理》要从逻辑推出数学，其中至少需要添加两个公理：一是无穷公理；二是乘法公理（亦称选择公理）。这两条\n第74页公理是集合论性质的公理。罗素在《数理哲学导论》中是这样表述“无穷公理”的：“若是任一个归纳基数，则至少有一个类有个个体。（”第章）如果这个公理是真的，自然可推出，有许多类有个个体，而世界上个体的总数不是一个归纳数。换句话说，这个公理实质上承认宇宙间个体个数是无穷的。否则，连最简单的自然数也无法构成。罗素在《数理哲学导论》中是这样表述“乘法公理，的：“给定一个类的类，它的各元素互相排斥，并且没有一个是空类，那末至少有一个类，这个类和给定的各类恰好有一项是公共的。第章）这个公理等价于“：仅当至少一个因子为零时，乘积才为零。”这就是称之为“乘法公理”的缘由。如果没有这两个公理，那末全部数学就根本无法推出。现在的问题是，集合论算不算逻辑？从传统逻辑观点看它是不算逻辑的。但数理逻辑通常把公理集合论算作自己的一部分（四大部门之一）。不过，这已经是扩充的说法。所以，一般认为，逻辑主义者并没有真正实现将“数学化归于逻辑”的原定目标。当然，在我们看来，“绝对分明的界限”本来就是不存在的，一切对立都通过中间环节而相互过渡。对于“逻辑”与“数学”的关系也决不例外。这是符合事物的本来意义的辩证法的。数学哲学中的形式主义派罗素在年发现一个集合论中的悖论，这使弗雷格大为震惊。弗雷格在《算术的基本法则》（卷二，的后记开头部分中写道（年月写）：\n第75页“对于一个科学家来说，最不幸的事莫过于：当他完成他的工作时，发现他的知识大厦的一块基石突然动摇了。正当本书的印刷接近完成之际，罗素先生给我的一封信（提出了“罗素悖论”—引者使我陷入这种困境。”罗素所发现的悖论说明，即使在集合论那样的严密的学科中，那些看来似乎是意义自明的基本原理中仍可能包含着隐蔽的矛盾。这件事对数学家和逻辑学家的刺激很大，促使他们重新关心相容性问题。以前所提到过两种方法（见欧几何哲学问题”那一章），一是通过模型解释使公理、定理显示为真，二是公理系统相对相容性的证明。第一种方法当涉及事物的无限系列时就显得十分可疑。第二种方法只是证明相对的无矛盾性，却不能证明绝对的无矛盾性。因此，给人“隔靴抓痒”或“远水不救近火”之感。于是，由希尔伯特所倡导的“形式化方法”或“元数学方法”发展了起来。形式化方法看待演绎系统的观点比我们前面在几何哲学中所提到的“非解释观点”更为抽象。以前只是把几何学词项（如点、直线、平面等）看作非解释性的，而所有的逻辑词项、符号被认为保持正常的意义。现在不仅把非逻辑词项看作非解释性的，而且所有的逻辑词项、符号也都看作非解释性的。这是更完全、更彻底的，全然不顾词项的日常意义的“纯粹形式化”的方法。创立这种方法的认识论上的动机在于不满足于“相对的相容性”，力图寻求逻辑上更纯的、绝对的相容性的证明，也就是逻辑上更可靠的基础。与这种“形式化方法”密切相联系的数学哲学学派被称作形式主义派。尽管希尔伯特本人并没有采取极端形式主义的立场，但形式主义派确认自己的思想都源于希尔伯特。年时希尔伯特开始发展这种数学哲学。他\n第76页的出发点正是想给数系提供一个不用集合论的基础（免得牵涉到集合论悖论），并希望确立算术的绝对相容性。那时，他已经将几何的相容性的证明化归成算术的相容性，因此算术相容性就成了问题的关键。希尔伯特所倡导的形式主义派，主张对古典数学作“形式化”的处理，使之成为形式化的公理系统，这种系统本身必须被证明为相容的。他们认为，数学的任何基础都必须重视逻辑的作用。数学有许多部门，而每一部门都有它自己的公理基础，其中必定包含着逻辑和数学的项和原理。逻辑是一种形式化的工具，一种符号语言，它能使得数学理论形式化公理化。也就是说，它能把数学语句表达为公式，并且用形式程序表示推理。借助于“形成规则”，可以决定公理系统的句子如何由各种不同的符号构造起来。借助于“变形规则”，可以规定如何将给定的句子变形为其它句子，也就是怎样可以从已知公式推出新的公式。如今，前提与结论之间、公理与定理之间的推理关系空前地被突出了，一切与逻辑的形式关系无关的具体含义、内容和解释都被舍弃了。形式化观点的战略目标在于，使数学构造一个纯形式的严密的演绎系统，使全部定理只凭借逻辑形式就能被推出。公理系统的相容性表现在它不可能同时包含一个定理及其逆命题。这是一种纯逻辑的、绝对的相容性。贯彻这种形式化思想的方案，被称作“希尔伯特规划”。其主要内容有：证明古典数学的每个分支都可以公理化（包括被直觉主义派排斥的无限数领域在内）。）证明每一个这样的系统是完全的，即任意一个系统内可表述的陈述都可以证明或否证。\n第77页）证明每个这样的系统都是相容的。（证明每个这样的系统所相应的模型都是同构的。）对任一命题，寻找一种在有限步骤内判定其可证明性的方法。看来形式主义派同时汲取了其他两个学派的长处。如第一点关于数学公理化的主张，是与逻辑主义相一致的。第五点寻找有限步骤可判定之法则，表明它有节制地采用了直觉主义的可构造性原则，但不把这个原则推向极端。对于希尔伯特来说，中心问题在于用有限性方法证明从古典数学中提练出来的形式理论的无矛盾性。一般说来，形式主义派采取比直觉主义派更稳健的立场，它竭力维护古典数学的基本概念，承认超越直觉的“实无限”；它在证明论中坚持了有限性方法，却又允许“无限性成分”作为理想元素而占有一定地位；它竭力维护经典逻辑的最基本定律，如希尔伯特认为，“禁止数学家使用排中律，就象禁止天文学家用望远镜或拳师用拳一样”是不适当的。然而，极端形式主义者的主张却包含谎谬绝伦的东西。彻底的形式主义派把数学体系看作一种“符号游戏一定的符号串，是按照确定的规则从其它符号串中推演出来的。按照这种观点，“数学体系除了形式结构之外什么也不是”。这样一来，关于“数的存在和本质”，数学定理是否“真理”之类的问题全被一笔勾销。事实上，关于数学系统的“意义”和“真理”的概念成了他们最厌恶的东西。由于形式主义派将“形式化”方法神化、绝对化，他们陷入了数学唯心主义。）—（两条受到哥德尔不完全性定理的冲击，见本章第七节。\n第78页在辩证唯物主义者看来，现代数学的确包含着高度的“逻辑性”、直觉上的“可构造性”以及高度“形式化”的要素，但不能简单地归结为“逻辑主义”“、直觉主义构造主义）和“形式主义”。根据列宁《谈谈辩证法问题》的基本观点来看，从认识论根源讲，数学哲学三大学派确实是把现代数学中的某一个特征、方面和部分，片面地、夸大地和无限制地发展为脱离了现实原型的“神化了的绝对”“。逻辑主义”对建立数学的逻辑基础作出了巨大的贡献，却把逻辑要素神化，信仰什么抽象的“逻辑实在“直觉主义”对发展数学的构造性程序作出了不懈的努力，却把直觉要素神化，把可构造性归结为智的结构’“形式主义”对发展数学的“形式化”方法具有不可磨灭的功绩，却把“形式”要素奉若神灵，把数学归结为“符号游戏”。总之，数学哲学中所有这三个主要流派，在数学方法论思想上包含着许多有价值的成分（每种方法论又各有自己的片面性和局限性），而其背后的形而上学则完全是不足取的。从认识论上可以引出的教训是：违背认识过程的辩证法，必将走向唯心主义。数学推理的辩证本性数学推理的本质是什么？是演绎的还是归纳的？是或然的还是必然的？大多数人似乎都认为数学推理具有逻辑的必然性，数学和逻辑一样是严格的演绎科学。俄国血统的美国数学家丹齐克在《数，科学的语言》年修订版）中说：“演绎法是数学推理的特征（”页）“科学研究上还使用着另外一种方法，其性质与演绎法截然不同：这就是归纳法它通常被描述为由特殊到一般的方法。它是观察和实验的结果页）这种归纳过程是一切实验科学的基础，可是它永远不\n第79页容于严格的数学不但用它来证明数学命题是个笑话，就连用它来确证某个已成立的真理，也是不可接受的”页）“数学是一种演绎科学，而算术则是数学的一个分支这里归纳法是不容许的算术的命题，例如即使在最简单的计算中也起着重要作用的运算的结合、交换、分配等性质，都必须用演绎法来论证页）可见在丹齐克眼里，归纳法在数学中没有任何地位。实际情况果真是这样吗？当然并非如此。匈牙利出生的美国著名数学家乔治波利亚（？）对归纳法在数学中的作用作了深刻的研究。他的杰作《数学与猜想》）具有世界性的影响。该书第一卷着重研究“数学中的归纳和类比”，第二卷更一般地研究“似真推理模式”。波利亚认识到，数学也是研究归纳推理的最合适的实验材料。在数学发现中归纳推理与类比推理起着主要的作用。他用数学中的丰富事例雄辩地证明了这一点。波利亚把推理划分为两种：一是论证推理，二是似真推理。似真推理是一种探索性的推理，它是冒风险的、有争议的和暂时的，它属于非演绎的或然性的推理，却又是创造性工作赖以进行的那种推理。归纳推理只是似真推理的一种特殊情况，尽管它出错的机会极多，有时却能导出重要的真理。波利亚着力于探索提高数学中所经常使用的归纳推理的结论可靠性的方法、规则和基本模式。波利亚对数学所具有演绎和归纳的双重性格有辩证的理解。他在《怎样解题》一书序言中说：“数学有两个侧面，它是欧几里得式的严谨科学但它也是别的什么东西用欧几里得方式提出的数学看来象是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学看来却象是一门实验性的归纳科学\n第80页他在《数学与猜想》第二卷序言中又提到数学中“归纳推理的两重性和互补方面有时当作“客体”，有时当作“主体的概念。可见，数学推理的辩证性质已经受到波利亚的注意。实际上，在波利亚之前，法国数学家彭加勒更早注意到数学推理具有演绎与归纳的双重性格。年彭加勒发表了题为《数学推理的本质》的论文，后来经修改又收入年的《科学与假设》一书。彭加勒认为，数学这门科学的可能性本身就象包含着一个似乎不可解决的矛盾（依我们看，这是典型的辩证矛盾！）：如果说数学的演绎性质是虚假的，那末哪会有那种无可怀疑的彻底严格性呢？另一方面，如果说数学仅仅是演绎性质的，那末数学岂非可以还原为一个庞大的重言式，还原为同一律。而那充满在卷帙浩繁的著作里的数学定理，岂非变成的各种迂回的说法了吗？彭加勒深刻地指出，当人们随便打开一本数学书，便知道其中的矛盾（依我们看，这又是一个辩证矛盾令人更为惊奇；著作者在每一页里都包含推广已知命题的意图。这样看来，数学的方法岂非也是由特殊推到一般的吗？为什么人们只是把数学说成是演绎的呢？彭加勒推论说，如果数学果真是纯粹的分析真理，那末总会有特别聪敏的人一眼就能看穿全部真理，并且将来总有希望发明一种简单的语言来表述这种真理，使普通人也一目了然。但事实上会有这种可能吗？彭加勒认为，事实上数学推理具有创造性，与三段论有实质上的区别。彭加勒指出，数学归纳法的实质是递归推理法，它实在是最完善的数学推理。它既有演绎的性质，又有归\n第81页纳的性质。说它有演绎的性质，是因为它可以包含无数个三段论，可以看作无限个三段论式的浓缩；说它又有归纳的性质，是因为它与物理的归纳推理步骤趋于一致，都是从特殊推到普遍，都能从已知到未知，具有创造性。彭加勒还说，由有限数进到无限数的推理工具就是递归推理法即数学归纳法。我们看到，彭加勒在数学推理的本质这个问题上，反复围绕着归纳与演绎、特殊与普遍、有限与无限那样几对辩证矛盾在打转。彭加勒根据自己对科学工作的深刻体验，部分地猜测到和接触到了其中的辩证法。然而康德的先验论特别是“先验综合知识”观念的影响束缚了他，妨碍了他的视线。经验主义在最近数学哲学中的复兴近年来，数学哲学中经验主义的“复活”，不应当看作是向古代朴素的、原始的经验主义的简单回归。数学哲学史上从古代经验主义理性主义⋯⋯到现代“拟经验论”的发展历程是一种“否定之否定”的过程。最古老的数学是从经验中来的，无论作为“形”的数学的几何或是作为“数”的数学的算术，不是与大地测量、建筑有关，就是与天文观测和历法之类有关。几乎没有人会否认古埃及和巴比伦的数学是“实验性的”数学。然而，即使在古代，数学的朴素经验主义解释也碰到困难。关于“形”的数学，正如我们在第二章所述，欧几里得几何所处理的“理想化的个体”，是与直接的经验对象存在本质的区别的。因此，欧氏几何表现为“推理性的”几何学。至于“数”的数学，读者不妨回忆一下自己在幼年学习数数的情景。很少有人顺着次序数完过上百万的数，可是几乎每一个人都异口同声地说自己早就学会了数任何的数。任何学数数的过程都包含着某个\n第82页“理解力飞跃”的时，在这一时刻学习者忽然把握了十进数的结构。，，，⋯；⋯。人们或迟或早会达到“理解力飞跃”的关节点。到那时，一个学习者才第一次有资格宣布：“我已经学会数何的数了。”由于数的无限性，任何人都不可能经验所有的数，然而借助于理性的力量，却可能理解任何的数。可见，即使数数这样简单的事，单纯的经验主义也已经不够用了，因为数数的认识包含着从感性到理性的飞跃过程。这并不是说，经验主义在数学界没有市场。近代数学和近代自然科学一起是适应生产技术的需要发展起来的。许多近代数学家本身同时又是自然科学家或技术家。许多科学技术中的实际问题直接促成了新的数学方法或理论的发明。科学创作的经验表明：自然界是数学发现的最丰富的源泉，数学应当是物理世界的真实描述。直到年，古典归纳主义的最后代表约翰斯图亚特穆勒在《逻辑体系》（即旧译穆勒名学中还写道：“说具有独特的准确性是几何学第一原理的特性，这种看法显然是虚妄的有待研究的是我们相信公理的理由究竟是什么它们所依据的证据究竟是什么我回答：它们都是实验真理，都是观察的概括。”这是经验主义派数学哲学的宣言。然而，世纪数学界的总的趋势却是，数学先验论的观点替代了以前的朴素经验主义的观点。原因在于，当时数学已经发展到抽象性程度更高的阶段，出现了“虚数”、维空间”“、群论”、欧几何”等等更抽象的概念和理论，远离了人们的感性直观，超越日常经验。因此，数学家们越来越感到，逻辑上完美的理性思维创造物应当在数学上占有优势的地位。朴素的经验主义解释不\n第83页了数学的高度抽象性因而败下阵来。康德关于“先验综合知识”的学说作为调解经验与理性、分析与综合的矛盾的一种应急措施，似乎给过数学家一种暂时的满足。世纪初，数学哲学中的反经验主义倾向有增无减。逻辑主义、直觉主义、形式主义三大学派，可以分别看作理性主义在不同方向上畸形扩展的结果。他们分别使得理性思维中的逻辑成分、直觉成分和形式化成分得到充分的甚至过度的发展。他们完全脱离数学的经验来源，把数学真理归结为纯“逻辑真理”，或者只取决于心智构造的“直觉真理”，或者没有客观内容的“形式真理”。一种数学哲学在数学界能否找到自己的市场，是否受到欢迎，在数学上也有它自己特殊的理由。直觉主义派由于排斥古典数学的合理部分而不受数学家的欢迎。逻辑主义和形式主义派都曾给数学家带来过希望。可是，哥德尔的“不完全性定理”）给他们的打击实在太大。哥德尔的著名的“不完全性定理”是：如果包含初等数论的形式系统是无矛盾的，那末它就是不完全的（即在该系统中总可以找到一个形式命题，使得与的否定在系统中都是不可证明的）。这个定理深刻地揭示了形式化方法的局限性。逻辑主义和形式主义解决数学基础可靠性的方法是，按照欧几里得方式重组古典数学，使之构成一个理想的演绎体系。然而，哥德尔的“不完全性定理”却表明：逻辑公理系统不可能完全容纳全部古典数学，它总有遗漏，总是不完全的；形式系统不可能解决自身的无矛盾性问题。这无论对逻辑主义或形式主义来说，都是致命的打击。于是，数学哲学家们不得不重新考虑关于数学真理的性质的根本问题。数学家和数学哲学家们重新注意到数学的经验性和归纳性。哥德尔认为，对数学公理本身是“通过归纳方\n第84页法考察它的成功”。莫斯托夫斯基说“；数学的概念和方法都扎根于经验之中”年，在一次国际会议上，卡尔马发表了《数学基础向何处去》的讲演，列举大量事实证明数学是一门经验科学，与实践密切相关。即使实在论者贝尔奈斯也承认“，数学研究具有经验的性质”，不过他所指只是智的经验，当代著名的数学哲学家和科学哲学家拉卡托斯，顺应数学哲学的新思潮，提出了“拟经验论”的独特学说。年所发表的短文《经验主义在数学哲学中的复兴》，是这种观点的代表作。拉卡托斯是波普的学生，他的“科学研究纲领方法论”，在科学哲学中是独树一帜的。由于拉卡托斯在匈牙利时受过马克思主义哲学熏陶，依我个人之见，他的科学哲学和数学哲学思想中包含一定的辩证法因素。拉卡托斯注意到，数学理论既有演绎的性质又有经验的性质。他发明了“拟经验的或译“准经验的”）一词，意思是说，类似于经验性的却又不完全是经验性的。拟经验性理论的特点，通过与欧几里得式的纯粹演绎系统的对比可以显示出来。纯粹演绎系统是一种封闭式的系统，具有决定意义的是“，真”值可以通过演绎渠道从公理流向定理并布满整个系统，所用的是证明性推理法。拟经验理论则是一种开放式的系统，具有决定意义的是，“假”值可以倒流，从定理（结论）反过来传递到公理（前提），所用的是批判性的推理法。要知道，在自然科学（即经验性科学）中，由经验事实表明为假的结论可以反过来否证（即证伪）前提。拉卡托斯在《证明与反驳》和《数学发现的逻辑，当时未发表）中提出了数学理论的辩证的发展模式。他认为数学的理论研究从问题开始，接着\n第85页是大胆解决问题，然后是严峻的检验和反驳。数学理论进步的媒介是大胆的猜想、批判、对立理论之间的竞争、问题的转换。拉卡托斯进一步认为，他的数学方法论的目标在于寻找具有高度解释力和启发力的大胆而富有想象力的假说。不难看出，拉卡托斯的数学哲学与波普的科学哲学以及他自己的科学研究纲领方法论有密切的联系。拉卡托斯还将“可误论”观念引进到数学的真理观中。在科学哲学中，知识可误论的观点逐渐代替了知识无误论。科学不再被认为是神圣不可侵犯的（费耶阿本德），没有任何科学理论可以永远免于被证伪（波普），科学理论经过科学革命而得到根本性的改造（库恩）。现在，知识可误论的观点正在向数学哲学中渗透。从前人们认为，数学是涉及严格演绎性的必然真理的特殊领域之一，它似乎具有天生的认识论上的保险性。而在拉卡托斯看来，这只是一种不切实际的幻想。任何数学家关于数学真理的认识和信念都有可误性，没有任何一种数学理论可以担保永远免于修改或被证伪。拉卡托斯说，数学不是一种“先验的、重言式的（同语反复的）、无误的科学，而是一种后验的、内容丰富的、可误的科学”。在逻辑哲学中，形式理论与非形式理论之间的关系是这样的：逻辑来源于科学和日常生活。逻辑的形式化论证是科学和日常语言中的实际有效的论证的提练和重构。拉卡托斯认为，在数学哲学中，形式理论与非形式理论之间也存在类似的关系。如果数学的形式理论中的一个定理为非形式理论中的对应命题所否定，那末就可以说形式理论被反驳、被证伪了。由于这种非形式命题的证伪作用。拉卡托斯称之为“启发式证伪者”，并认为这对表明“数学的可检验性”有决定作用。\n第86页总起来，拉卡托斯所说的数学理论的拟经验性（这一条最根本）、可检验性和发展模式这三方面是相互联系的。拉卡托斯的拟经验论给封闭式的纯粹演绎系统打开了缺口，有力地打击了在本世纪曾经很有影响的诸理性主义的数学哲学流派（包括概念论与直觉主义、实在论与逻辑主义，以及形式主义）。拉卡托斯试图从总体上把握数学性质的两重性，他既把数学理论与经验事实联系起来，同时又肯定了数学理论的演绎性质。他还初步提出了数学理论发展的辩证模式，考虑到对立理论的相互竞争。实际上，在他的科学哲学中，已对科学发展模式作了进一步改进，将理论与经验事实的双方关系改变为相互竞争的理论与经验事实之间的三方关系。但这些成果没来得及吸收到数学哲学中，他就过早去世。拉卡托斯的数学哲学还是很不完善的。事物发展是螺旋式的。以拟经验论为标志的数学哲学中复兴经验主义的潮流，并不意味着简单地复归到朴素经验主义。历史不走回头路。拟经验论的出现表明，任何一种形式的理性主义（无论直觉主义，或者逻辑主义和柏拉图式的实在论，或者形式主义）都已经说明不了数学中的新事实、新问题；还表明需要有一种经验主义和理性主义在更高阶段的某种“辩证的综合序幕已经开始，好戏还在后头。历史将以更大的耐心期待着辩证法的胜利。\n第87页第二编逻辑哲学\n\n第89页第五章导论逻辑哲学的基本任务就是研究逻辑中所提出的特殊的哲学问题。对逻辑来说关键问题是在于区别有效论证与非有效论证。数理逻辑的语句演算和谓词演算的目的就在于提供于有效性的纯形式准则和精确规则。但在逻辑中确实存在着许多具有哲学特性的问题。如为什么存在着多种逻辑？各种新逻辑是怎样产生出来的？逻辑的现实基础是什么？形式论证与非形式论证的关系如何？不同形式系统之间的关系如何？有效性的实质是什么？它是对形式系统还是对系统外成立的？各种逻辑联词在多大程度上符合它的日常用法？逻辑与非逻辑如何划界？逻辑的范围和目标是怎样的？如此等等。逻辑哲学和元逻辑都是以逻辑为研究对象的、比逻辑层次更高的理论。但元逻辑着重于从纯形式角度研究逻辑系统的性质（如完全性、一致性、可判定性之类），而逻辑哲学则着重于从哲学角度探讨逻辑问题。那末，什么样的形式系统可以看作为逻辑呢？一般地说，按照比较宽容的观点看，如下形式系统都可以被看作是逻辑：（一）传统逻辑一般以亚里士多德的三段论系统为代表。（二）标准的数理逻辑（简称标准逻辑）二值的语句演算和谓词演算。\n第90页（三）非经典逻辑（或称非标准逻辑）在逻辑哲学中，它被划分为两种类型：扩展逻辑，不触动经典逻辑的基本公理和规则，但增添新的算子以及相应的公理和规则。异常逻辑，使用与经典逻辑相同的词汇，却从根本上修改公理和规则。例如：扩展逻辑有：模态逻辑一在完全接受经典逻辑的基础上，增添“可能”“、必然”等算子时态逻辑增添“过去是”“、将来是”“、现在是，，等算子道义逻辑增添“应该”“、相信”等算子选择逻辑增添“宁愿”等算子祈使逻辑适合于祈使语句的扩展疑问句逻辑适合于疑问句的扩展等等异常逻辑有多值逻辑真值至少有三个（包括真、假以及一个或多个中间真值）模糊逻辑为适应实际存在的“模糊语句”而发展起来的逻辑，“属于”关系被多值化，真值被模糊化。量子逻辑为适应量子力学中“不确定原理”而发展起来的逻辑，修正排中律。归纳逻辑尽管逻辑的根本目标、形式没有变，但修正了经典元概念，“证据支持”概念被形式化、概率化。“自由’，逻辑需要一个虚构的实体域的逻辑（“自由”是指本体论承诺上的随意性）等等。现代逻辑涉及许多新分支和新领域。我们参照《现①为了论述方便，本书约定把传统逻辑与标准数理逻辑合称经典逻辑，而与非经典逻辑相对。\n第91页代逻辑启蒙》一书选列如下一些名目：命题演算与谓词演算；自然演绎系统；模态逻辑；多值逻辑；直觉主义逻辑；语义学；量子逻辑；模糊逻辑；道义逻辑；优先逻辑；时间逻辑；祈使逻辑；自然逻辑；问句逻辑；相信逻辑（信念句逻辑）；断定逻辑；内涵逻辑；相干逻辑；现代归纳逻辑；逻辑与计算机；悖论研究等等。有的现代逻辑读物往往标以“哲学逻辑”的名称，意思是所讨论的是富有哲学意味的多种逻辑新分支。请注意不要把两个名称混淆起来：“哲学逻辑”是逻辑；而“逻辑哲学”却属于哲学。现代逻辑书中一般不讨论哲学。然而，它为研究逻辑哲学提供了必不可少的背景材料。过去，大部分初学逻辑的人，都认为学逻辑与学哲学是两码事，因此学哲学对学逻辑并无多大帮助。然而，我们相信，大多数读者在读完本书以后将会改变那种看法。他们将会发现，逻辑哲学能提供理解各种新逻辑的钥匙。本书逻辑哲学篇的主要内容归纳起来，可以约缩为几句话：逻辑有其现实来源；各种新逻辑的产生都是有原因的；真理必须是形式正确而实质妥当的；但“悖论”的产生有其特殊的根源。第六章逻辑与反映论，是按唯物主义反映论的基本观点，对逻辑理论进行多方面的分析。第一节讨论逻辑联词及其现实原型之间的相互关系。逻辑的各种基本联词、量词和有效的形式论证，莫不来源于科学与日常生活。基本联词出自对日常语言中①杨百顺主编，即将由中国青年出版社出版\n第92页连接词等词项的选择、调整和形式化。否定词、析取诃和蕴涵词等都与日常原型之间存在密切联系并存在程度不等的区别。逻辑对现实原型的反映是能动的，不是呆板的、镜子式的。对同一日常连接词有时可以作出不同的形式化处理，提练出不同的逻辑联词。有时不同联词组合可以有同等的表达力。第二节讨论形式系统内外的有效性。整个逻辑哲学，按反映论观点看，都是围绕逻辑系统内有效的形式论证是否与系统外现实原型相符合这个中心问题而展开的。逻辑上的有效性不凭借修辞和心理的吸引力，而取决于推理的力量。本节要讨论一系列与有效性相关的重要的逻辑哲学基本概念：如演绎有效性，归纳强度，必然真理，句法上有效，语义上有效，有效推理与健全推理，以及从自发逻辑发展到自觉逻辑，构造形式论证的基本方法等。第三节“量词的形式表述及其非形式解读”，讨论量词的重要作用，说明量词也有非形式的日常原型，给出一些基本的永真谓词公式的非形式解读法，分析形式语言与自然语言相互关系的四个层次，讨论量词的对象解释和替换解释及其相关的哲学意义。第四节“正确的逻辑是唯一的吗？”这个问题有三种不同的回答。逻辑一元论者说“是”，逻辑多元论者说“否”，工具主义干脆取消问题本身，认为逻辑只是“方便的工具”。多元论者又分为局部多元论者和整体多元论者。整体多元论主张逻辑仍对一切论域整个地正确，但众多的形式系统可以在不同意义上正确。关于形式论证、非形式论证及其在系统内、外的有效性，这四者关系，整体多元论的解释模式比较灵活，比较符合能动反映论的精神。\n第93页第七章讨论经典逻辑和多种非经典逻辑。第一节“经典逻辑的产生”，强调对经典逻辑不该神圣化，它在历史上也曾经是一种新发明，而且不是一成不变的。亚里士多德的经典著作《工具论》诸篇所表明的思想是逐步形成的；被后世所确认的“传统逻辑”基本思想，是由原先相互对立的亚里士多德派与斯多噶派的逻辑思想逐渐融合而成的；被看作传统逻辑的继续的数理逻辑思想也有它的形成过程。第二节讨论逻辑理论的可误性。科学哲学中的知识可误论观点已经逐步扩展到逻辑和逻辑哲学中去。逻辑理论没有天生的不会出错的保险性。逻辑是可修改的，而修改往往意味着进步。第三节讨论修改经典逻辑时值得考虑的各种策略。温和派或激进派的逻辑学家，面对要求改造经典逻辑的压力采取极不相同的对策。温和的对策有三种：对经典逻辑进行适当扩充；调整经典逻辑内部，增加辅助假说；限制逻辑的许可范围（简单地排除难处理问题）。激进的对策也有三种：修改经典逻辑基本定律；）对经典的元逻辑概念提出挑战；对逻辑的目标、范围的经典概念提出革命性挑战。由此可以合理地解释各种逻辑理论为什么会产生。从第七章第四节至第六节，以及整个第八章，都是用具体例子从不同角度讨论形形色色的非经典逻辑（既有不太激进的扩展型逻辑，也有激进的异常型逻辑）的由来和特性。第四节以时态语句为例，说明扩展型的时态逻辑是怎样创造出来的，说明对于同一个现实原型，持经典逻辑和非经典逻辑立场的人采取截然不同的形式处理方法。时态逻辑发明者面对日常语言中存在时态性的现实，\n第94页采取扩展逻辑策略，引进时态算子，使用真值可因时态而变的新型语句，因而发明新逻辑。相反，奎因作为经典逻辑的维护者采取更保守的策略，让经典逻辑通过特别变形，适应时态性的表述。奎因在经典逻辑范围内所采用的辅助理论是：让时态借助于时间量词而得到特别表述，使得正统的语句真值不变性得到维护。第五节把辩证逻辑看作一种异常的非经典逻辑。辩证逻辑对经典逻辑的那些最重要的基本概念和基本定律提出了根本性的挑战。辩证逻辑使得经典逻辑的固定范畴流动化，使得真假概念可转化。辩证逻辑对同一律、不矛盾律、排中律、内函外延反比律的否定，只是一种辩证的否定，扬弃之中有保留。最根本的如揭示辩证矛盾的辩证矛盾律在逻辑上并不自相矛盾。第六节讲现代归纳逻辑。由于引进概率概念，由于将前提对结论的证据支持关系概率化，由于重视估计、假设检验和贝耶斯推理等统计推理，从而发展起另一种异常的非经典逻辑。第八章“多值逻辑的起源、特性及其启示作用”，是更详细地剖析又一种典型的非经典逻辑。第一节是从认识论角度看待多值逻辑的产生，分别通过将来偶然命题的分析、量子力学中的不确定性、数学中的不可判定值、悖论语句的非真非假性质等不同案例，说明引进中间真值的必要性以及多值逻辑发明者们各自具有不同的认识论动机。第二节通过简单展示卢卡西维茨、克雷恩、鲍契瓦尔、莱欣巴哈等典型的三值系统，说明三值逻辑相对于经典二值逻辑的特点以及诸系统各自的特异性质。其中，第三真值部分象“真”而部分象“假”的那种“亦此亦彼”性质，以及由三值量子逻辑中否定词所体现的辩证性质，\n第95页是我们的重点分析对象。第三节通过具体分析表明，在形形色色的多值逻辑系统中，经典逻辑原来的排中律、矛盾律不再是普遍有效的了。第四节“辩证论者所得到的启示”，借助于多值逻辑与二值逻辑相互关系的分析，来加强把辩证逻辑看作一种特异的非经典逻辑的观点，并表明建立一种既保持逻辑确定性和前后一贯性而又能体现“亦此亦彼”性质，体现辩证法的流动性的新逻辑是可能的。第九章讨论逻辑哲学所关心的真理理论。第一节概述真理论中互斥几种理论。指出三种主要的真理理论，一是强调真理要符合实在的符合论，二是强调真理在逻辑上不自相矛盾的一致论，三是强调真理必定具有实用性的实用论，此三者都有各自的合理方面。马克思主义的真理概念是最全面的，它应当是客观性、逻辑一致性、实用性等多种规定性的辩证的综合和统一，应当批判地汲取前人成果的积极方面。第二节讨论塔斯基因语义悖论而采取的对策。塔斯基创立真理的语义理论的动机在于，避免语义悖论（自相矛盾），用现代逻辑和语义学手段无矛盾地重建亚里士多德的客观的真理符合论。它可以看作符合论与一致论在现代的某种合理的逻辑综合。塔斯基的语言层次理论包含着对经典真值概念的革新，通过真值相对化有效地克服了悖论。第三节是分析真理定义的实质妥当和形式正确条件。第四节采用递归方法，从语义学角度先定义“满足”进而定义“真理”。总起来说，对真理概念作语义方面和逻辑方面的细致研究，也是把握合理的真理概念的不可缺少的一个方面。“悖论”看起来是与真理直接对立的，但悖论的产生\n第96页有其认识论的根源。第十章专门研究悖论。第一节“形形色色的悖论”，首先指出了悖论的真实含义是从“一般可接受”的前提（问题往往出在背景知识上）通过有效推理导致矛盾。其中列举了说谎者悖论、自指悖论、贝理悖论、罗素悖论、最大基数悖论和最大序数悖论等最典型的语义的或逻辑一数学的悖论。第二节展示了围绕着悖论的各种解救办法，主要是：罗素的类型论（划分类型和不同等级）以及哲学方面相应的“恶性循环原则”；）塔斯基的语言层次理论；克里普克的语义“基础性”理论止集合论悖论还有别的思路：策梅罗借助于“限制集合存在”的假说，把引起悖论的不守规矩的“坏集合”排除掉；）冯诺意曼通过“限制做元素的资格”，来阻止悖论；）直觉主义者用“可构造性”来卡掉悖论。第三节“关于悖论本质的不同认识”。归纳起来，不同看法主要有如下几种：悖论辩证判断，特殊的客观真理；悖论地地道道的逻辑矛盾；悖论”似悖非悖的假相；悖论＝认识中主客观脱节的表现。我们认为：悖论背后隐藏着辩证矛盾，但悖论本身不等同于辩证矛盾。悖论是有待澄清的形式矛盾，推出矛盾不能怪有效推理，而应归咎于背景知识的缺陷。细致的逻辑分析既有助于形式矛盾假相的解除，又有利于揭示并合理解释背后的辩证矛盾。按照我们的观点，追求逻辑的确定性，决不妨害辩证性质的显示，也决不构成产生悖论的主要原因\n第97页第六章逻辑与反映论逻辑的联词及其现实原型哲学的根本问题是思维与存在何者为第一性、何者为第二性的问题，以及思维能否正确认识存在的问题（即我们能不能在关于现实世界的表象和概念中正确地反映现实）。逻辑哲学不是一般哲学原理的简单重复，它是密切联系逻辑的实际来讨论哲学问题并将哲学原理的基本精神融化在其中。正如数学的“数”和“形”的概念是从现实世界中得来的，逻辑的各种联词、各种词项和推理论证也是从现实生活中得来的。逻辑扎根于日常生活和科学实践。从唯物主义反映论观点看，逻辑认识能够提供日常和科学中的现实原型的正确映象或模写。既然，逻辑的“形式论证”来源于日常语言和科学语言中未经形式化的实际论证，即形式论证”。那末，逻辑哲学理应重视这种“形式论证”及其对应的“非形式原型”的相互关系的研究。逻辑的形化式的目的就在于概括和简化，在于增加精确性和严格性。日常语言和科学语言中，有许多实际所使用的联词、量词和形式论证”在直观上就是可行的，逻辑的形式化应当对此进行提练和合理的重构，以便抓住某种本质特点，舍弃其它方面。我们的具体分析将从逻辑联词开始。逻辑的基本联词来源于对日常语言中的连接词等诃\n第98页项的选择、提练和整修，并使之形式化。逻辑联词中否定词（非）和合取词与）的性质最为单纯，它们最能恰当再现其现实原型的本质方面而又不引起误解。例如，用否定词可以使语句转变为否定句：若表示语句：是一个正整数。则表示否定句：不是一个正整数。在任何时候，人们说出一个语句的否定，其意思是：这个语句是假的。如果这个语句事实上是假的，那末它的否定便是真的；如果这个语句事实上是真的，那末它的否定便是假的。这些都是一目了然的。不过，逻辑的否定词并不反映日常语言中的否定词的复杂性和曲折性的方面。例如，在日常语言有这样的话：“不报此仇，誓不为人！（”《玉娇龙》）誓不”“、决不”“、千万不要”之类，与一般的否定在程度上有明显区别，但这在否定词（非）中却是完全体现不出来的。至于析取词（或）与蕴涵词（如果，那末），与日常语言的差别就更为明显。在逻辑中用于可兼的、不相排斥的意义，而在日常语言中“或”既可用于可兼的意义，也可用于相互排斥的意义。例如，无锡汽车站规定：教师或军人可以到特别窗口优先购票这个“或”用于可兼的意义，因为这个规定并不想表示：在解放军工程学院当教师的军人不能优先。又例如，从悬崖上摔下来的人：或者摔死或者重伤那个“或者”就用于相互排斥的意义（生死不可兼）。但是，在数学和逻辑中，“或”这个词项总是用于可兼的意义，正因为如此，数理逻辑（原意：数学逻辑）中的析取\n第99页词（或）就自然用于可兼的意义上了。与析取式相比，逻辑中的蕴涵式的用法与日常语言所对应的用法的区别就更大些。即使这样，我们仍能寻找到其现实原型。通常，蕴涵式读作：蕴涵，或者读作：如果那末。其中称作前件，称作后件。通常规定，在以下三种的任一种情况下：真，真；假，真；假，假；蕴涵式本身都是真的。只有在第四种可能情况下，即前件真而后件假（真假）时整个蕴涵式才是假的。这样规定的蕴涵式称作实质蕴涵式。之所以对真假作出这种规定，主要由于数学推理的需要。比较起来，第一种“真蕴涵真”而蕴涵式为真的情况是最接近日常习惯的。日常所用的许多“如果，那末”都象是这种性质的。第二种“假蕴涵真”而蕴涵式为真的情况是初学者最感反常的。不过，在数学中并不反常。试看：如果偶数不能为整除，那末奇数（更）不能为整除。前半句显然为假，后半句显然为真，而整个句子显然为真。仔细想想，日常语言中偶尔也可以使用这类表达方式。因为这种蕴涵式实际上是断定，假如一件假的事情可以当真，那末另一件真的事情更可以当真。这种推理还是合理的。至于第三种“假蕴涵假”而蕴涵式为真的情况，则更是数学中常用的。这也许是因为数学家喜欢使用反证法的缘故。但在日常生活中有时也可以使用这类表达方式。\n第100页例如当一个人试图去解决他实际上根本无法解决的问题时，旁人就可以这样对他说：如果你真能解决这个问题，那末“太阳将会从西边出来这个蕴涵式的前半句、后半句都显然是假的（他决不会解决这个问题，太阳也决不能从西边出来），然而整个推理却是正确的。由于作为形式化手段的“实质蕴涵”完全舍弃了陈述的具体含义，只把注意力集中在真假上。这样一来，下列三个蕴涵式：如果（真），那末纽约是大城市（真）；）如果假），那末纽约是大城市（真）；）如果假），那末纽约是小城市（假）。如果从纯形式的观点看，都应当为真。因为，，，真，假）全都为真。不过，在科学和日常生活中所用的大多数果，那末”，前后件之间往往存在意义相关性。看来，上述用法偏离日常习惯太远，弄不好就会闹出怪论来。因此，“相关逻辑”倡导者批评实质蕴涵式没有反映出前件与后件之间实际存在的相关性，刘易斯则批评实质蕴涵式不能真正代表从前件到后件的衍推关系，认为必须有“严格蕴涵当然，一般说来，正统的数理逻辑家对基本逻辑联词的选择是慎重的、经过深思熟虑的并大致适合于数学的（数学的特点是精确和理想化）。数理逻辑所采用的联词（如，等）具有精确性和真值函数的特性（真值被处理成一种特殊的函数，亦称“函项”，复句的真值取决于它的成分的真值），真值关系可以用真值表清楚地列出，以便于演算，便于按机械程序作出处理。各种联词按照结合力的强弱的秩序可排列如下：\n第101页；；；；（否定（）合取（）析取（）蕴涵（）等值）分别读作“，与”，“或”“，如果，那末”和“当且仅当”。对应于的真假的不同可能，相应的各种基本表达式的真假可用真值表来表示（真，假）：将五种联词都当作基本联词的系统是不精简的。由于不同联词之间存在一定的互导关系，通常只需选择两个联词作基本联词就足够了，其它作为导出的。这里所谓“足够”是指，某联词的集合能完全地表达所有函项，没有遗漏，没有在系统内表达不出来的函项。这种性质也称作功能完全性。奇怪的是，必须选择否定词作为两个基本联词之一，否则功能就不完全。因为没有否定词就难以构成否定语句，而只有正语句没有否定语句的语句演算，正象没有母亲的家庭一样，必定是残缺不全的。借用费尔巴哈在别处说过的一句话说：“单一性是不能产生东西来的，只有两重性、对立才能产生事物来。’，这是符合辩证法的。万物都从“阴阳”（矛盾）中产生出来，语句演算使语句从原始语句及其否定语句中产生出来。以下几种基本联词的不同组合，表达力是相等的：｛，｝；｛，｛，｝它们都是功能完全的，其中否定词是不可缺少的。然而，终于有人发现，所有五个联词可以用一个初始的缩合联词（有两种）来代替：｛｝或｛｝此语出自费尔巴哈《宗教的本质\n第102页并非既又（即不相容）；既非又非“不相容”联词是由舍弗尔所发明的。有了这一初始联词，其它联词全可导出：否定式：（自己与自己不相容析取式：合取式：（蕴涵式：（“不相容”联词包含深刻的哲学意义。它的主要优点在于，不用借助于别的联词，既能表达两个语句之间的关系，又能表达同一语句自身的否定（兼有否定词的作用）。换句话说，“不相容”联词具有两重性和自身否定的特性。因此，它才是功能完全的。值得指出，两重性和自身否定的特性恰恰是辩证法的最重要的规定性。形式系统内外的有效性逻辑的核心问题是在于分清有效推理与非有效推理。因此经典的语句演算（命题演算）和谓词演算旨在提供有效性（即正确性）的精确规则和纯形式标准。与此相适应，逻辑哲学则是围绕着逻辑系统内有效的“形式论证与系统外的非形式原型的符合这个中心问题展开的。从反映论观点看，这是十分自然的。这样，“有效性”概念必然成为逻辑哲学中值得作专门分析的重要的基本概念。对推理论证是否有效或者是否有说服力作出评价的方法是多种多样。其中主要有：逻辑的评价。考虑前提和结论之间是否存在着合理联系，即证据支持关系。（关于实质性内容的评价。考虑前提和结论的内容的真析取式读法：或化为，非与非不相容，又化为，“与自己不相容”和“与自己不相容”两者也不相容。其余类推。\n第103页实性。）修辞的和心理的评价。考虑推理论证是否能吸引听众或感动听众，能够抓住听众的心理。早在春秋战国末年，由于政治斗争形势的需要，产生出一批善辩的政客，其中最有代表性的是苏秦和张仪。苏秦成功地劝说齐、楚、韩、魏、赵、燕六国结成联盟抵制秦国。因此，谋得了兼任六国宰相的高位。但在后来，张仪又凭他的“三寸不烂之舌”，离间六国之间的关系，分别骗取了六国君主的信任，却又有效地瓦解了他们的统一战线。十分明显，古代政客游说取得成功并非依靠逻辑的力量。相反，他们经常使用诡辩。不过，他们确实非常机巧圆滑，善于迎合他们所要说服的对象的心理。也许修辞和心理方面是“论辩术”不可忽视的要素，但逻辑的评价并不考虑这些方面。现代的例子可举“文革”中演说和辩论的场合。每一个经历过“文革”的人都有切身体会。有些“造反派头头，”和“政客”说起话来的确带有极大的煽动性。他们善于有效地利用群众的情绪，利用群众的爱与恨，挑起武斗，制造内乱。但他们所依靠的同样不是逻辑的力量。我国古代逻辑的创始人墨子在著名政论《非攻》（反对兼并、侵略战争）篇中，作出了精彩的类比推理。墨子是这样说的（今译文）：“现在有一个人闯进别人的果园，偷他人的桃子、李子、大家听到了就都说他不好，政府官吏捉到了他，就要处罚他。这是为什么？因为他损害了别人来为自己谋利。至于偷别人鸡狗猪羊的，他的不义更超过闯进人家果园偷桃子、李子的人这是为什么？因为他损害别人越多，他的不仁就越大，罪就越重。至于窜进别人的牛圈马棚，偷别人的牛马，他的不仁不义更超过偷鸡猪羊的人这是为什么？因为他损害别人的越加多了。如果损害别人的越多他的不仁就越\n第104页大，罪也就越重至于杀死没有罪过的平民，剥夺衣服，强抢刀剑，他的不义更超过窜进别人牛圈马棚偷走牛马的人。这是为什么？因为他损害别人的更加多了如果损害别人的越多，他的不仁就越大，罪就越重。对于这些，天下的君子都知道反对，骂他是不义可是到了做出象侵略别国那样大的不义。却不知道反对，反而赞美他，称他是义。这样，可以说是懂得义和不义的分别吗？”①墨子的上述推理和论证是极有说服力的，它所凭借的主要是逻辑的力量。在逻辑哲学中，“有效性”概念是可以确切地加以定义的（“归纳强度”概念是它的推广）。逻辑的形式系统在科学和日常语言中可以找到现实原型。在日常语言中，非形式论证的有效性是可以这样地定义并作出推广的：“不可能前提真而结论假”的推理、论证是有效的（或演绎地有效的）。“不大会前提真而结论假”的推理论证是归纳地有力量的（或有足够归纳强度的）。当我们把非形式论证的有效性观念运用于单个陈述时，就得到了“不可能假的陈述，，即“必然真理”的概念。有些人误以为逻辑也管推理前提的真假。其实，逻①《非攻》中的原文是：“今有一人入人园圃，窃其桃李，众闻则非之上为政者得则罚之此何也？以亏人自利也至攘人犬豕鸡豚者，其不义又甚入人园圃窃桃李。是何故也？以亏人愈多，其不仁兹甚，罪益厚至入人栏厩取人马牛者，其不仁又甚攘人犬鸡豚此何故也？以其亏人愈多苟亏人愈多，其不仁兹甚，罪益厚。至杀不辜人也，拖其衣裘，取戈剑者，其不义又甚入人栏厩取人牛马此何故也？以其亏人愈多茍亏人愈多其不仁兹甚矣，罪益厚当此，天下之君子皆知而非之，谓之不义。今至大为攻国，则弗知非，从而誉之，谓之义。此可谓知义与不义之别乎？”\n第105页辑所重视的只是结论与前提之间的联系，即证据联系的强弱。管前提本身的真假属于具体科学的事（如“所有乌鸦都是黑的”是否为真属于动物学的事，不是逻辑学的事）。为了准确起见，逻辑哲学把有效的推理论证与健全的推理论证明确地加以区分：有效的推理论证（已如前述）是结论与前提之间的证据联系得到保证的，但前提的真并未得到保证。健全的推理论证，不仅结论与前提之间的证据联系得到保证，而且前提的真也得到保证。作为非形式原型的反映的、形式系统中的有效性也可以确切地加以定义。既可以在句法上，也可以在语义上加以定义：从句法上说，在系统中是有效的（即是定理），仅当根据的推演规则，可从的公理推出（记作从语义上说，在系统中是有效的（即是逻辑真理），仅当在的一切解释中都为真（记作其中记号“”和“”中的下标都是提醒人们：这种有效性是对系统而言的。有了以上这些围绕有效性的确切定义，我们在上一节所述的反映论就可以深入一步。逻辑哲学高度重视有效推理论证在形式系统内外的相互联系。形式逻辑力图把非形式论证加以形式化。从唯物主义反映论的观点看，逻辑哲学可接受的形式逻辑系统在于：如果有一个给定的非形式论证，通过某种形式论证在这个形式系统中得到表述，那末恰恰当非形式论证在系统外意义上实际上有效（不前真而后假）时，对应的形式论证在该系统中才应当是有效的（即从句法上看应当是定理，从语义上看应当是逻辑真理）。逻辑学家总是在逻辑论著中直接摆出他的公那系\n第106页统，而并不想告诉你他是怎么得出这套公理系统的。然而，逻辑哲学则要涉及形式系统如何创立的一些问题，如创建、调整过程的一般特征，直觉在这一过程中的定向、引导作用等等。我们可以用“自发逻辑”这四个字来形容科学和日常语言中实际有效的非形式推理。之所以用“自发”二字，是因为这种推理是未经反思的。我们又可以用“自觉逻辑”那四个字来形容在专门的逻辑的形式系统中有效的形式化推理。之所以用“自觉”二字，是因为那种推理是经过充分反思的“。自发”与“自觉”的区别有些象黑格尔常说的“自在”与“自为”的区别。从唯物主义反映论观点看，“自觉逻辑”是“自发逻，的反映和概括。逻辑学家开始发展一种形式系统时，总是先有一定的直观基础，这是关于非形式论证在系统外的有效性。直觉表明，在日常和科学实践中这些论证实际上往往是有效的。于是，逻辑学家想用符号表述这些论证，设计一些推演规则，使论证对应系统内的形式表述有效。但是有可能最初设计的规则也会使另一些直观上非有效的论证在系统内也有效（混杂进来）。这时，他就应当修改系统内的规则，或者修改关于非形式论证有效性的意见，或者修改表述方式是否合适的看法。⋯⋯经过多次的反馈和调整，在直觉引导下，逐步确立合要求的形式系统。关于“自觉逻辑”对“自发逻辑”的反映，可以按初步的最简单形式图示如下：自发逻辑：自觉逻辑：非形式论证形式论证形式化在系统外有效在系内有效我们可以列举几个构造形式推理论证的简单实例。\n第107页如：每一个素数都不是偶数（不计在其中），而且每一个素数都大于。因此，每一个素数都不是偶数并且大于这是自然语言中的非形式推论。此例在语句演算中可表示为如下的形式推论：这样表述并没有错，只是没有把应有的逻辑结构刻划出来。同一实例在谓词演算中可表示为（这样做就能恰到好处地展开实际的形式论证”中的形式结构，不过多也不过少。其中（读作对于所有是素数，表示不是偶数，表示大于又如，有人是排球女将，有人是长江第一漂流者。若由此断定有人既是排球女将，又是长江第一漂流者。则这种形式论证”是近乎荒谬的，在直观上就是非有效的。然而在形式论证中，表面上与之相似的推论却是有效的：问题在于这个形式论证并不能恰当反映前述的非形式论证。因为“有人”是不确定的个体，并不唯一地专指谁。如果改写如下形式：（其中（读作存在是人，表示是排球女将，表示是长江第一漂流者。竖的倒钩记号（表示“限定摹状词”，意即“这个如此这般的。现在这个谓词演算的形式论证就更恰当地反映了相应的实际的形式论\n第108页证”。而且，从形式结构上能更明显地显示这种论证的非有效性。词的形式表述及其非形式解读上一节我们已经接触到量词。其实，读作对于所有的，就是全称量词；读作存在的，就是存在量词。从表面上看，传统逻辑的主宾式语句中也有量词。所有都是（全称肯定所有都不是（全称否定有的是（特称肯定有的不是（特称否定其中“所有”“、有的”似乎分别相当于全称量词与特称量词。可惜的是，由于传统逻辑限于“主宾式语句”，特别由于它缺乏“变元”概念，以致量词作用的发挥受到极大的牵制。莫绍揆教授对此作了生动的比喻。他借用司马迁的话说：“猛虎在深山，百兽震恐”。老虎的威力要在自由的深山老林里才能充分发挥，关在动物园的笼子里是不行的（见数理逻辑初步》第页）。塔斯基也非常重视量词的作用。他指出，量词往往可以了解为运算子即算子）。他还着重指出：“只有明显地或隐含地应用运算子，才能使一个包含有变项的表达式变为一个语句，那就是说，变为一个确定的命题。在数学定理的表述中，如果没有相应的运算子，变项的应用是不可能的”（。《逻辑与演绎科学方法论导论》第页）量词是数理逻辑史上的重要突破口。量词的引进，使得关于谓词的演算取得重大进展。再明确一下，量词分为“全称量词”和“存在量词”两种。全称词，记作（或者记作存在量词，记作（，或者\n第109页：任何都使得具有性质，即所有个体使成立。读作：有使得具性质，即存在使成立的个体。量词符号里的（如、后的称作量词的指导变元，称作量词的辖域，辖域中的称作约束变元（如，后面的受同名指导变元约束）。反之，没有同名指导变元约束的，称作自由变元（如中是未约束的）。在一阶谓词演算中，量词约束个体变元等；在二阶谓词演算中，量词可以约束谓词变元等。诸如此类的概念，读者可以通过数理逻辑书籍熟悉它们。关于量词有许多永真公式，它们对于个体变元谓词变元的每种指派永远取真值。形式语言中的永真公式，是日常语言中实际上普遍有效的非形式论证的一种反映。这里，可以列举若干重要的永真的谓词公式，并把相应的日常语言（非形式）解读附在后面①：非形式解读：如果所有都使真，则有使真。）非形式解读：所有都使）真，等价于：没有使假。）非形式解读：并非所有都使）真，等价于：有体）假。）非形式解读：所有均使假，等价于：没有①若能注意到：即并非所有，即不存在或没有，即假，则各个公式就不难理解了。\n第110页使）真。非形式解读：并非所有都使假，等价于：有使）真。所有这些谓词公式的永真性或有效性，都在日常语言中具有直观基础并容易判明它们的真理性。更一般地说，逻辑哲学分四个层次看待语句演算和谓词演算：形式语言的符号系统中的推理规则和公理；）上述系统的形式解释（如真值表集）；是）的日常语言（非形式）解读；是）的非形式解读。其中（）使用形式语言；）使用自然的非形式语言；）属于句法性质，）属于语义性质；）属于形式语义学（即纯粹语义学））属于非形式语义学（即“不纯”语义学）。从反映论观点看，形式语言与非形式的“自然”语言的关系，是映象与现实原型之间的关系，反映与被反映的关系。关于量词存在着两种不同类型的解释，一种是对象解释，另一种是替换解释。对象解释被看作量词的标准解释，这种观点主要求助于变元的值（实际上是取其为值的对象），以奎因和戴维森为主要代表。或记为解释为对论域中所有对象满足或记为解释为在论域中至少存在一个对象，满足替换解释被看作另一种有竞争力的量词解释，但它的可靠性有待研究。这种观点主要求助于变元的替换者\n第111页（即能替换变元的表达式），以梅茨和马尔库斯为主要代表。解释为对所有）的替换实例都真。解释为至少存在一个）的替换实例为真。量词的解释问题在哲学上与本体论存在密切联系。奎因认为，量词化的形式能更明显揭示理论的“本体论承诺”如”的形式背后承诺了“存在某物⋯”。奎因的本体论观点是两个关键性口号或观念的产物。其一是“存在是变元的值”，这个口号引进了本体论上承诺的标准，即能检验一个理论说什么存在。其二是“没有同一性则没有实体”，那个口号引进了本体论上的可容许性标准，即只容许满足同一性标准的实体。奎因支持对象解释，他只限于一阶量词化，拒绝二阶量词化。因为根据对象解释，一阶量词化只意味着对个体的存在的承诺，而二阶量词化则不得不承诺“抽象实体”了，这是奎因所反对的。另外，量词的替换解释则回避了本体论问题，它只是直接涉及替换实例，而不直接涉及对对象的存在的承诺。正确的逻辑是唯一的吗？正如由于非欧几何的出现，几何真理唯一性的观念受到冲击。同样，近几十年来由于形形色色新逻辑系统的出现，逻辑真理唯一性的观念也受到冲击。换句话说，由于逻辑系统的多元性，引起了逻辑哲学家对逻辑本身的地位的反思。正确的逻辑系统是否唯一的？到底什么叫做“正确”呢？过去认为“不成问题”的问题，重新引起了逻辑哲学家们的注意。对于“是否存在唯一正确的逻辑系统”这样的问题，在逻辑哲学上有三种极不相同的回答：一元论的回答：是的，只有一种正确的逻辑。这种观念在许多人头\n第112页脑中是根深蒂固的，一般初学形式逻辑的人也都愿意接受它。）多元论的回答：不，正确的逻辑系统并不止有一种。或多或少接触过不同形式的逻辑系统的读者比较乐意接受这种逻辑上的多元主义。工具主义的回答更加干脆：根本无所谓什么“正确”的逻辑，逻辑生来就是一种思考的工具，仅此而已。于是，合理的说法被认为只能是说一种逻辑是否实用、有成效或者方便。从唯物主义反映论观点看，正确性概念建立的基础在于形式系统内外相符性的比较，即要求形式系统中逻辑地真的“合式公式”或有效的形式论证与系统外在实际上必定真的陈述或有效的非形式论证相符合。作为映象、模写的形式系统必须符合它的非形式原型。逻辑一元论或逻辑多元论的观点都可能用反映论来解释。然而，工具主义观点却从根本上取消了形式系统内外的比较问题，逻辑只被单纯地当作规则、程序的集合。因此，“正确”“、真理”之类概念对它不适用。如果用到真理概念，那也只是在实用主义意义上用的。这种情况与数学哲学中形式主义派对待数学真理的态度是十分相似的。与“逻辑是否唯一”相关的另一个问题是“，异常型，，的非经典逻辑（比较激进的一种）是否必定与经典逻辑相冲突？这个问题与数学哲学中欧几何”是否必定与欧氏几何相冲突的问题是相似的，与物理学哲学中非经典物理学（如量子力学）是否必定与经典物理学相冲突的问题也是相似的。在逻辑哲学中，逻辑的多元性是从经典逻辑向非经典逻辑发展过程中产生的非经典逻辑有两种基本形式“：扩展型”的表现为对经典逻辑的改良、补充和扩展，不触动基本定律“；异常型”的表现为对经典逻辑更激进的革新和挑战，触动或改变基本定律（如“直觉主义逻辑”抛弃排中律）。在下一章中，我们能对\n第113页“扩展逻辑”和“异常逻辑”这两类非经典逻辑作进一步的探讨。“异常逻辑”与经典逻辑究竟是否必定势不两立、相互排斥？对此，逻辑一元论的态度是：是，异常逻辑（如直觉主义逻辑不要排中律）与经典逻辑（主张排中律必不可少）必须二者择一，因为两者不相容；另一方面又认为扩展逻辑（如模态逻辑是在经典逻辑基础上的扩展）与经典逻辑彼此相容，因此都可以作为“正确逻辑”的一部分。逻辑多元论的态度是：也认为经典逻辑及其扩展都是正确的，不仅如此，即使异常逻辑与经典逻辑的主张相反，然而“势不两立”只是表面的。这种情况，又与数学哲学中非欧几何与欧氏几何的“对立”十分相似。之所以“势不两立”是表面的，是因为同名概念的解释是极不相同的。多元论又分为两支：局部多元论和整体多元论。局部多元论主张，不同论域需要有自己的独特的逻辑，不同的逻辑都可以是局部地正确的。例如经典逻辑和经典力学对宏观论域成立（排中律、古典分配律适用），量子逻辑和量子力学对微观论域成立（排中律或古典分配律不适用）。整体多元论主张，逻辑仍然必须对任何论域一概地整体地正确，然而“多元性”却可以通过“多角度”或“多方面”性来得到体现。异常逻辑与经典逻辑可以在不同的意义上同时成立。正象罗氏几何的“平行线不唯一”的公设与欧氏几何的“平行线唯一”的公设可以在不同意义上同时成立一样。实际上，在逻辑中，印刷上相同或相似的合式公式“，有效“逻辑地真”等概念在不同形式体系中并没有真正在相同涵义上被使用。因此，形式相似或相同的合式公式并未代表同一个①指）其中合取号省略。\n第114页非形式陈述。关键的问题在于语义解释上可能会有实质性区别。这样看来，异常逻辑与经典逻辑的关系，象非欧几何与欧氏几何的关系那样，并不是真正势不两立的。我们还是用唯物主义反映论的眼光来看待形式论证、非形式论证、系统内的有效性以及系统外的有效性这四者之间的关系。逻辑一元论者的反映模式可以简单概括为如下图式：）形式论证（合式公式）它在系统内有效）反映（）与之相应）反映（）非形式论证（陈述）它在系统外有效这就是说，按照一元论观点，“形式论证”对“非形式论证”的反映，其目的在于，使得“系统中的有效性”对于“系统外的有效性”在一种唯一正确的逻辑中相符合。一元论者坚信存在着这种唯一的逻辑，并且努力寻找它。其他人怎样看待这种图式呢？工具主义者不可能接受反映论的观点，因为他们不承认现实原型的必要性，拒斥系统外的有效性”。在真理论中他们是实用主义者。局部多元论者把“系统外的有效性”相对化、局部化，把它限制于特殊论域。在真理论中他们容易成为相对真理论者。如果把这种相对主义因素推向极端，那末就会出现认为不同逻辑“公说公有理，婆说婆有理”的情况，容易转变为工具主义。整体多元论者否认“形式论证”与“非形式论证”之间（之间）或是“系统内有效”与“系统外有效”之间（之间）存在唯一的联系通道。因此，可以允许异常逻辑与经典逻辑在不同意义上成立。我们倾向于逻辑哲学中的整体多元论立场，并主张在\n第115页辩证唯物主义能动反映论的意义上对此进行重新解释①。列宁说过：“逻辑形式和逻辑规律不是空洞的外壳，而是客观世界的反映”。我们明确地反对工具主义立场，并确认逻辑在现实世界可以找到原型，因而承认“系统外有效性”概念的必要性。逻辑的整体多元论者的反映模式可以塑述如下：形式论证（合式公式）它在系统内有效反映）与之相应反映）非形式论证（陈述）它在系统外有效这就是说，按照整体多元论的观点，“形式论证”对“非形式论证”的表示法不应当是唯一的，相应地“，形式系统内的有效性”对“系统外的有效性”的反映角度和描述方式也不是唯一的，应当可以允许异常逻辑与经典逻辑在不同的特定意义下同时成立。不难理解，这确实是符合辩证唯物主义的能动反映论的。逻辑系统是日常和科学实践中实际有效的非形式论证的反映，而且是能动的反映。因此，有可能同时存在几个不同的逻辑系统，从不同侧面正确反映了“非形式论证”，因而在被解释的涵义上都是正确的。然而，不能忘记，整体多元论者既是多元论者又是整体论者。我们已经说过，他们坚持逻辑仍然必须对任何论域一概地整体地正确的。这是因为，归根结蒂，还是“真理只有一条”。举例说，持整体多元论观点的量子逻辑家认为，量子逻辑并不只适用于量子力学有关问题①我并不认为整体多元论可以直接等同于辩证唯物论实际上在唯心主义者的队伍中也可以有整体多元论者或逻辑一元论者别的方面他可能会同意你的看法但在一个根本点上唯心主义者会坚持：科学和日常谈话中的有效论证决不是客观世界的反映。《列宁全集卷，第页。\n第116页而是普遍地一概地正确的，否则就不成其为逻辑。包言不确定值的逻辑在日常谈话中也是对的，只是在日常情况下不确定性不太明显，古典逻辑作为一种近似（或特例），已经足够解决问题罢了。这种情况与物理学中所碰到的情况是相似的：量子力学并非只对微观物体有效，对宏观物体也是有效的。只是宏观物体的“测不准性”是微乎其微的，因此古典力学作为一种近似，尸经足够解决问题。由于承认“真理归根结蒂只有一条”，因此整体多元论实质上是与逻辑一元论相通的，当然整体多元论在表现形式上更带有灵活性、能动性。工具主义从根本上说是错误的，但它比较注意方法的多元化，在这一方面它又是接近逻辑多元论的。以上三种不同的态度，可以简要地概括为如下图式：一个逻辑系统能够成为正确的或不正确的吗？能不能只有一种正确的逻辑吗？工具主义的解答是的不是的逻辑只是有用、方便的思考工具，无所谓“正确不正确”一元论的解答多元论的解答整体多元论局部多元论逻辑仍必须对一切逻辑可以只对某论域整个地正确，个论域局部地正但可从不同角度在确。不同意义上“正确”（用能动反映论解释）附带地说，前述逻辑联词的不同组合如｛，｝，｛，｝，或｛｝具有同等的表达能力，这也是能动反映论在逻辑哲学中的一种体现。\n第117页第七章经典逻辑与非经典逻辑经典逻辑的产生初学形式逻辑的人容易把经典逻辑神圣化、绝对化、固定化。但从历史上看，经典逻辑理论也有自己的形成过程，它也曾经是一种“新发明”。亚里士多德的《工具论》曾被奉为逻辑学的“圣经他的三段论体系是经典逻辑在古代最有代表性的体系（当然，中国的“墨辩”和印度的“因明”也各有一定的特色）。《工具论》是亚里士多德的学生在他逝世后搜集并编纂起来的，其中所搜集的是亚里士多德关于推理的一组论文。它表明，亚里士多德本人的逻辑思想也有一个形成发展过程。一般都同意，《工具论》中《范畴篇》第一章至第八章是最早成文的，《范畴篇》涉及谓词类型的分类学说（实际上主要是对于词项所指称的事物进行分类）。作为这种范畴理论在逻辑上的直接后果，传统逻辑所作的讨论局限于主谓式语句。因为亚里士多德把“第一性实体能独立存在的实体）作为断言的最高主词来强调，因此命题的主一谓形式特别受到重视，这就导致《命题篇》的四重分类法。通常表为：全称肯定，即：所有都是；①在第五章我们已经说过，经典逻辑指传统逻辑与标准数理逻辑的合称。\n第118页全称否定即所有都不是；特称肯定，即：有的是特称否定，即：有的不是这种关于基本命题性质的过分简单化的观点，甚至在莱布尼兹时代仍然限制着逻辑的发展。《论辩篇》及其附录《辨谬篇即论诡辩式的反驳），是从对论辩、论战的考察出发的，其主题是阐述“论辩的推理”以及“证明的推理”。证明要求有“真的初始前提”，而论辩的出发点只是“一般所接受的意见”。《论辩篇》是公认的指导人们从事公开论战的指南。从逻辑哲学观点看，对论辩的（非形式的）推理论证在论战中取胜的实际兴趣，必定导致对逻辑的（形式的）有效推理论证的理论兴趣。因为对于正直的人们而言，论证能取胜的最可靠方法就是陈述一系列有效推理。《论辩篇》同时涉及逻辑、心理和语言方面，但其中的逻辑成分，后来结晶在《命题篇》和《前分析篇》中。《命题篇》或名为“论解释”。十分自然，由于研究“论辩的推理”的实际需要，促使亚里士多德对于“对立的陈述句”发生兴趣。在日常论辩中，进行非形式论证的主要方式是持相反意见者的对话，所以对于“何种语句是给定语句的矛盾句”的问题进行研究就很有意义，因为论辩的根本问题在于必须确定在哪一点上讲话者驳倒了他的论敌。这个问题导致了“对当关系”的学说（《命题篇》的主要目的在于决定，什么样的一对陈述句是对立的，以及在什么方式下对立），这就是《命题篇》对逻辑的主要贡献。《前分析篇》和《后分析篇》是极重要的论著，因为这两篇包含着亚里士多德最成熟的逻辑思想。《前分析篇》是按照论证的“形式三段论的“格”和“式”来分析论证的，这是亚里士多德逻辑思想中最有创造性的部分是\n第119页他对整个逻辑的最主要贡献。《后分析篇》是研究证明的特殊要求的。可以看出，亚里士多德主要是从研究他称之为“证明的推理如几何的证明是其一例，这种推理与“论辩的推理”相对）而走向三段论学说的。他注意到，三段论学说特别有助于人们看清“证明的推理”的结构。从他最后成形的观点看，他已经认识到三段论的形式理论并非必定要和证明相关联的。因为三段论不仅适合于“证明的推理”，也适合于“论辩的推理”。亚里士多德的三段论原先区分成三个格，由他的高足德奥弗拉斯特在第一格中加进五个间接的式。后来那五个式又被独立为第四格。亚里士多德之所以没有列出现在称作第四格的那些有效论证，并不是由于他的疏忽，而只是由于他的划分方法稍有不同，亚里士多德的做法在他自己所解释的意义上也是正确的。亚里士多德对归纳法、模态理论、关系理论等方面也都有一定考虑，只是那些方面并未得到充分发展。正象许多人曾经把欧氏几何看作“普遍、必然、唯一真的”一样，亚里士多德逻辑也容易被人看作“普遍、必然、唯一真的”。其实，早在古希腊就有与亚里士多德学派相对立的逻辑流派存在。那就是麦加拉学派以及其后从麦加拉学派发展而来的斯多葛学派。亚里士多德的逻辑理论似乎主要是“证明的推理”研究所引起的。这种研究方式符合柏拉图学园重视几何学推理研究的传统。亚里士多德继承发展其逻辑方面，欧几里得继承发展其几何学方面，同时也受亚士多德的某种影响。然而，麦加拉学派则主要是全神贯注于芝诺的论辩术和日常生活中的论证性的论战，论辩术是日常的和政治的论战理论结晶。\n第120页麦加拉学派对逻辑发展作了三大贡献：发现了一些著名的有趣的怪论和悖论（如“说谎者悖论”“，秃顶怪论”拔去一根头发不会变成秃顶等）；重新考察了模态概念；以及开创了关于条件句性质的重要讨论。亚里士多德学派所重视的是名词逻辑，而麦加拉学派和斯多噶学派则采取了一条根本不同的研究路线，实际上他们是在探讨命题逻辑。他们对于“如果，那末”“，并且”和“或者”这些联词的意义给予很大的关注。在斯多噶学派中，条件命题的理论是克吕西波（公元前的逻辑的核心，而费罗则被看作实质蕴涵的最早发明者。尽管亚里士多德派和斯多噶学派相互论战给人留下了似乎互不相容的印象，但这两个学派的理论实质上是互补的。大约到公元二世纪中期，斯多噶成分和亚里士多德成分实际上已经混合在一起了。在现在我们称之为传统的逻辑里边不纯是亚里士多德的贡献，其中也保存了一部分斯多噶学派的贡献。正统的数理逻辑常被认为是经典逻辑的现代形式。数理逻辑的发展是从布尔（）和德摩根（的著作才真正开始。这两个人几乎同时发现并发展了逻辑代数的基本规律。在现代，逻辑代数已经列为高中教材的一部分。在本书第一编数学哲学部分，我们已经介绍过逻辑主义者弗雷格、罗素等人。他们对数理逻辑具有决定性的贡献。弗雷格的最大成就在于他发明了数理逻辑。最成功地表述逻辑演算的灵活的符号系统是由罗素首先作出的，并在他和怀特海合著的《数学原理》中充分展开。随着这部著作的出版，正统的数理逻辑就定型了。或者说，标准逻辑或经典逻辑定型了。逻辑理论的可误性在科学哲学中，知识可误论的观点渐替代了知识\n第121页无误论。彭加勒曾经在《科学与假设》）中对科学中的“无误论”观点作过一番描述（带有批判眼光的描述）：“大凡科学的真理，对一位肤浅的观察者是无可怀的；科学的逻辑是永固的，至于学者们有时会犯错误，那是因为他们不知其中的规则一切数学的真理，是用一连串正确的推理从少数明显的命题推演出来；不但是我们不得不服从这些真理，就连自然界本身亦复如此它们好象能支配‘造物主，，只许它在比较上很少的解答中能有所选页）（导言第诚然，常识往往把“科学理论”看作神圣不可侵犯的。但科学史的事实一再表明，科学认识是可误的，科学上的信念、理论、方法都是可误的。人们“看到”太阳天天从东方地平线升起，但事实上却是地球围绕太阳在转；自从牛顿以来，人们总以为“反作用定律”是不会错的，可是电磁相互作用信号速度（光速）的有限性却表明“同时相互作用”不可能；多少年来，“质量守恒定律”和“牛顿第二定律”被认为是自然科学不可动摇的基石，可是爱因斯坦的相对论却表明质量是随速度而变的。多少年来，“万有引力定律”被认为是支配着宇宙万物的不可怀疑的基本力学定律，可是年爱丁顿的日食观测却表明它还是可误的。因此，以波普、库恩、费耶阿本德等为代表的现代科学哲学家都接受知识可误论。辩证唯物主义者在客观真理论意义上也承认知识可误论。因为如果不承认科学理论具有可误性，即科学认识是对自然的相对的、不完全的、近似的反映，那就不是辩证论者。可误论扩展到逻辑了吗？回答是，目前可误论的观点正在向逻辑哲学中渗透。然而，由于习惯势力的影响，①详见我在自然科学认识论问题》（张巨青主编）第九章真理论部分所作的分析湖南人民出版社年版。\n第122页逻辑知识可误论比科学知识可误论更难于被人所接受。很典型的是，在科学哲学中坚决主张可误论的波普，却在无形之中预设了逻辑方面的无误论。一般人往往误以为，逻辑是关于“必然真理”的特殊领域，它似乎具有天生的认识论上的保险性。然而，我们必须指出，事实并非如此。人类的逻辑信念也是具有可误性的。例如，即使排中律，是必然的，人们仍可能相信“（是必然的；反过来，即使排中律的反语句“（是必然的，人们实际上仍可能相信排中律“是必然的。这里有意选择尚存争议的排中律为例，对于说明逻辑的可误论是特别方便的。经典逻辑的卓越代表人物的理论真是准确无误、不可修改的吗？康德曾以为亚里士多德逻辑是已经完成的，正象欧氏几何一样，以后不再会有原则上的新东西可以被发现。后来，事实表明这只是一种不切实际的幻想。弗雷格曾认为算术可以化归到自明的逻辑真理，在认识论上能得到可靠保证。可是罗素就在弗雷格系统中找出了悖论。这里我们举例所说的是亚里士多德逻辑和弗雷格逻辑的可误性。它表明，被人当作逻辑真理的信念并没有想象的那种必然性和自明性。许多现代逻辑哲学家明确主张逻辑知识可误论。越来越多的人认识到，逻辑是可修改的，修改意味着进步。说到底，任何逻辑学家关于逻辑真理的认识和信念都具有可误性，没有任何一种逻辑理论可以担保永远免于修改或被证伪。值得指出，逻辑知识的可误论是每一个逻辑革新论者的必不可少的思想基础。当然，无可否认，在可误论的队伍中也有主张小改小革的改良论者。修改经典逻辑时值得考虑的各种策略\n第123页事实上，形式的逻辑系统有许多种。自从经典逻辑创建时起，就不断有人提出要改进、修正甚至替代它。众多的逻辑系统是怎样产生出来的？经典逻辑工具面临着什么样的疑难？受到了什么样的促使它进行修改的压力？逻辑学家采取了什么样的对策来解决问题？修改的基本途径、方法是怎样的？当经典逻辑工具在应用或解释中不能恰当地表述直观上有效的非形式论证时，逻辑学家们面对要求改造经典逻辑的压力采取各种对策。从根本上说，可能的对策包括两大类：第一类是温和的、改良的对策；第二类是激进的、革新的对策。温和的对策包括以下几个方面：对经典逻辑工具进行扩展的反应。不触动经典逻辑的基本公理和推论规则，保留原有的基本算子，并增添一些新算子，从而构造成扩展型的非经典逻辑，即“扩展逻辑”。这一种是最根本的。例如模态逻辑增添“可能”“、必然”等模态算子，时态逻辑增添“过去”“、现在”“、将来”等时态算子及其支配有关算子的公理／规则。经过这样的扩展，就可以获得一个能适应于“模态性语句”和“时态时语句”的新的形式系统，而对这两类语句经典逻辑原先是无法加以形式处理的。尽管作了上述扩展，但逻辑的基本定律没有任何变化。）经典逻辑的“保护带变形”策略。整体上保留经典逻辑的工具，但作出某些特别调整（辅助假说）。或者对难处理的非形式论证设法作出特别表述，或者不修改句法但修改语义解释，使得难处理的论证最终得到妥当的表述。逻辑哲学中的这种对策与科学哲学中拉卡托斯在\n第124页《科学研究纲领方法论》里所说的“保护带变形”的策略是相似的。当一个科学研究纲领受到“反例”威胁时，为了维护核心理论定律（“硬核”），就必须对核心理论外层的辅助假设即“保护带”作些调整、变形，使“反常”重新得到合理解释，使新事实被消化、吸收。例如，罗素为了对付经典逻辑所遇到的三个疑难一“同一悖论如孙悟空＝孙行者，但知道孙悟空知道孙行者）“、排中律悖论“当今的法国国王”是秃顶的或不是秃顶的，都不对）以及“负存在句”问题（“福尔摩斯不存在”有意义而特别设计、发明了辅助经典逻辑的“摹状词理论”。这就是对难处理的非形式论证作“保护性反应”的典型事例，罗素的目的是维护经典逻辑的基本内核，关起门来在内部解决问题。这个问题也是语言哲学感兴趣的课题。这里不再详细讨论。又如，经典逻辑还遇到这样的“反常”，即有的表达式包含“没有指称的单独词项”，因此缺乏真值。如果允许这种词项出现，在替换时把它和有指称词项同等看待，这就是把“空词项”看作特殊的词项，好比把“”看作数一样。这样，经典逻辑中的“单独词项”的语义解释就翻新了。为逻辑的许可范围划界的反应。干脆将经典逻辑工具无法适用的非形式论证从逻辑的许可范围中排除出去。例如否认胡说逻辑（”即“无意义语句逻辑”）是逻辑，理由是真正的逻辑只能处理有意义语句。激进的对策则包括以下几个方面：对经典逻辑工具进行限制的反应。保留经典逻辑的词汇、却触动、限制、修正其基本公理或推论规则。这样就能得出异常型的非经典逻辑，即异常逻辑。这一条是最根本的。例如，在经典语句演算中分配律是无人怀疑的：\n第125页比如，今天天晴而明天将有雨或后天将有雨，这就等于说，今天天晴而明天将有雨，或者，今天天晴而后天将有雨。等式显然成立。可是在量子逻辑（冯诺意曼方案）中，经典分配律失效。以电子自旋为例（通俗地说，电子不仅绕核公转，还有“自转”，它是“量子化”的）。若以表示“自旋轴分量向上”、表示“自旋轴分量向上，，、表示“自旋轴分量向下”。结果：）为什么等式不成立？因为左边表达式有意义，而右边表达式却无意义。为什么右边无意义？因为由“测不准原理限制，自旋分量与分量“不可能同时有确定值”，所以（）无意义，）也无意义。于是分配律在冯诺意曼的量子逻辑中失效。这就从根本上触动了正统数理逻辑的基本定律！因此量子逻辑是一种异常的非经典逻辑。）对经典元概念的挑战。异常的形式系统的创立常伴随着元逻辑层次上的新概念的发明。例如莱欣巴哈的量子逻辑方案对经典的真、假概念提出挑战，引进了不确定”这个真假之间的中间真值。又如安德孙和贝尔纳普的相关逻辑，强调结论与前提之间的“相关性”，认为脱离相关性的推论不能真正有效，相关性的形式化是可能的。同时，否定了经典逻辑意义上的“有效性”概念（如＋蕴涵雪是白的”之类的论式不是真正有效的）。模糊逻辑甚至表现出与经典逻辑根本背离的倾向。它不仅不把“含糊性语句”当作不合格语句简单地从逻辑中清除出去，相反构造一种新的形式系统适应“含糊性语句”的现实。它使“属于”概念等级化、多值化（不再只取或\n第126页，而取到之间的连续的无穷值）。它不仅有模糊化的真值（真、很真、不很真、有点真等等）和模糊真值表，而且推理规则的有效性是近似的等等。）对有关逻辑的范围和目标的经典概念提出挑战，即修改逻辑范围的反应。例如，直觉主义者认为，逻辑并不适用于所有论题（已如本书数学哲学部分所指出），经典排中律对无限数不适用，逻辑的适用范围应当比原先所想象的要小些，而数学倒是比逻辑更基本、更普遍的推理形式。根据所采取的修改经典逻辑的策略来看，直觉主义逻辑、量子逻辑和相关逻辑都属于激进的异常逻辑。值得指出，这些逻辑革新论者的激进对策，是针对经典逻辑存在着他们所看到的“不正确性”。对经典元概念的挑战或者对有关形式化目标的经典概念的挑战，是人们提出激进的异常逻辑的思想基础。另一方面，那些逻辑改良论者的温和对策，则是针对经典逻辑存在着他们所看到的“不恰当性”。他们并不认为有必要对经典逻辑的根本性概念提出挑战，而认为改良和扩充已经足够解决问题。这就从哲学角度解释了为什么形形色色的“扩展型”的和“异常型”的非经典逻辑会产生出来，以及为什么经典逻辑内部会出现特别变形从而得到新的辅助理论。对时态语句的不同逻辑处理日常生活为逻辑理论提供了十分丰富的现实原型。但对同一现实原型，不同逻辑学家可以作出截然不同的形式化处理。关于“时态性谈话”的逻辑处理问题，就是一个合适的例子。在日常语言中，时态性谈话是不可忽视的因素。在西方语言（如英语）中，通常动词都有时态形式。在语\n第127页中动词本身并没有时态形式，然而，通过时态助词“着”、“了”“、过”和时间副词“现在”“、将来”“、过去”以及“正在”“、曾经”“、已经”“、经常”等特别语词能够同样准确地表述时态性谈话。总之，时态性谈话是实际存在着的。但是，对于包含时态动作的语句及其相应的推理，标准的数理逻辑并未加以探讨，也未能提供合适的工具。这是因为数理逻辑的创建者主要考虑的是数学论证。数学所处理的主要是非时间性语句。如：是一个正整数。正方形对角线与边长之比是。不过，日常语言中不仅包括时间上确定的语句，还包括时间上不定的语句。前一种语句的真值不随时间而变，后一种语句的真值取决于说话的时间。如：我正在看书；西安曾名为长安；台风将要来了。包含时间上不定的语句的谈话就是“时态性谈话”。面对着经典逻辑原有工具处理不了的“时间上不定的语句”，逻辑学家采取两种不同的对策：一种是维护经典逻辑的对策，通过特别变形，在经典逻辑框架内消除“反常”；另一种是扩展经典逻辑，以适应“时态性谈话”。这就得到所谓“时态逻辑”这样一种非经典逻辑。奎因所采取的是第一种对策；普里奥所采取的第二种对策。奎因的方案是：通过将谓词演算的变元解释为对“时区”取值，而不是对个体（它占有空间并在时间中延续）取值。这样一来，“时态性谈话”就可以通过特别表述而重新纳入经典逻辑的框架之内。普里奥的“时态逻辑”方案则是：在原有经典逻辑基础上进行扩展，增加新的时态算子，将经典逻辑发展为扩展逻辑，并认为只有这样才能\n第128页容纳时态性谈话。为了把时态语句形式化，必须引进如下三个时态算子：表示将来时态算子，读作“情况将是表示现在时态算子，读作“情况正是’表示过去时态算子，读作“情况曾是’前述实例可用这些时态算子改写为：分别读作“：情况正是：我在看书’“情况曾是：西安名为长安”；“情况将是：台风来了”。其中小写斜体字母和表示基本语句。这两种处理方案的主要区别和对立可概括如下：奎因竭力维护正统的数理逻辑，他主张保留严格的符号系统，因此他使用真值不变的“永久语句”（。数学和自然科学正是习惯于使用“永久语句”的。）从而他主张使用“时态上中立”的动词再加上“时间量词（如“现在”“、在此刻之前”“、在此刻之后”等）来取代“带时态的动词”。于是，按照奎因方法，普通时态性语句可以这样改写：\n第129页“带时态的动词”转译“无时态动词”＋“时间量词”例如，本节中前述实例可以这样改写：我正在看书现在我在看书西安曾名为长安是此刻之前，并且在时，西安名为长安）台风将要来了（是此刻之后，并且在时，台风来了）以上每个用箭头连接的公式，右边着重号所标明的语词组合“正在看”“、曾名为”“、将要来了”相当于有时态动词（看作一个整体），右边着重号所标明的“在看”“、名为”、“来了”相当于时态上中立的动词。实际上，汉语中相当于“有时态动词”的那个东西本来就是一个松散的结构，可分可合，比英语的有时态动词更灵活。去除量词、助词的单纯动词，在汉语中本来时态上就是中性的如“在看（书）”的前面加“现在”“、过去”“、将来”都可以。因此，从汉语角度看，奎因的处理方式是容易理解的。带箭头公式右边的表达式在规定的时区内真值保持不变。这样，经典逻辑的真值不变性不再受破坏，而非形式论证的有效性与时态相关这一点也在形式系统得到合理表述。奎因的维护经典逻辑的处理方式与普里奥发明时态逻辑的处理方式（他给出了支配三个时态算子的公理集）各有长短，同样有竞争力。作为一种非经典逻辑的辩证逻辑在年的全国第二次辩证逻辑讨论会上，我在《量子逻辑对应原理对辩证逻辑的作用》一文中提出了一种观点，认为辩证逻辑可看作一种特异的非经典逻辑。①收入张巨青主编《辩证逻辑与科学方法论研究》，湖北人民出版社年版\n第130页那时我主要通过类比得出这一结论：在物理理论中，量子力学相对于经典的牛顿力学而言，是一种特异的非经典力学，因为量子力学引进了经典力学所没有的特异概念和原理；在逻辑理论中，量子力学的新逻辑（即量子逻辑）相对于经典的亚氏逻辑而言，是一种特异的非经典逻辑。因为量子逻辑对经典的排中律提出了异议，修改了逻辑的基本定律。那末，辩证逻辑究竟对哪些经典逻辑概念、关系和基本定律提出了严重的挑战呢？实际上可以说，辩证逻辑几乎对于经典逻辑的每一概念、每一关系、每一基本定律全面地提出了根本性的挑战。从元逻辑层次看，经典逻辑的真假值是固定不变的、绝对的，而辩证逻辑的真假值却是相对的、可变动的、有条件地可转化的。从逻辑哲学角度看，经典逻辑所使用的是固定范畴，而辩证逻辑所使用的却是流动范畴（请不要误解，流动范畴不是不要逻辑确定性，相反，它是要把握“流动性”现象之中的逻辑确定性）。经典逻辑的概念以“内涵外延的反比关系”为根本，可是辩证逻辑却主张以“正比关系”取而代之。辩证逻辑认为：在概念的运动、变化和发展过程中，概念的内涵和外延是同时正比地增长的。关于数的概念的发展历史就是这种正比关系的直接见证。数的概念是人们根据生产和生活上的实际需要逐步产生并发展起来的，数的含义不断在丰富，数的范围不断在扩充。最先，人们在实践中所接触的数只限于自然数，后来逐步认识到负数、分数也是数，无理数、虚数也是数。只要我使用流动范畴，在动态过程中考察问题，就不难看出，数的概念的内涵和外延是同时正比地增长的。不矛盾律在经典逻辑中是核心规律。与此针锋相对\n第131页地，辩证矛盾律在辩证逻辑中占有核心的地位。《对应原理》一文把辩证矛盾律表述为：从流动范畴着眼，应当在概念、判断、推理等思维形式中再现现实中的辩证矛盾，但不陷于自相矛盾。排中律在经典逻辑中是不可缺少的基本定律。与此针锋相对地，在辩证逻辑中应当有一个排中律”。《对应原理》一文把“非排中律”表述为：辩证思维应当恰如其分地再现现实中的“亦此亦彼”现象，但并不陷于模棱两可。莱欣巴哈的量子逻辑证据和直觉主义逻辑所引证的数学方面的证据都可以作为支持它的理由。（在本书第八章第三节，读者可以找到多值逻辑方面的证据。）正象整体多元论者所看到的，说到底逻辑理应对任何论域一概地正确，至于异常的非经典逻辑与经典逻辑之间的那种“势不两立”只是表面的，因为它们可以在不同的意义上同时成立。同样道理，辩证逻辑与经典逻辑也决不是“势不两立”的，它们可以借助于“对应原理”合理地衔接起来。作为一种非经典逻辑的现代归纳逻辑①亚里士多德的三段论系统是演绎逻辑，标准的数理逻辑也是演绎逻辑，因此经典逻辑基本上是演绎逻辑。尽管亚里士多德对归纳法有所研究，但只是初步的；尽管从培根到穆勒的古典归纳主义者大大推动了归纳逻辑的发展，但远未达到足以与演绎逻辑分庭抗礼的程度。与经典的演绎逻辑相对，世纪的归纳逻辑作为一种异常的非经典逻辑发展成独立的系统。从前人们只是简单地把归纳说成从特殊到一般的推理，把演绎说成从一般到特殊的推理。随着现代归纳逻辑研究的进展，人①若要对现代归纳逻辑有更深入的了解，请参看江天骥《归纳逻辑导论》，湖南人民出版社年版。\n第132页们对归纳和演绎的认识加深了，对逻辑的认识也加深了。从现代观点看，逻辑主要是研究有效推理规则的学科，它研究推理的前提和结论之间的关联性及其证据支持的强度。这就是说，推理可以有不同的支持强度：前提百分之百地保证结论真：称演绎地真。）前提在相当程度上是结论真的好的证据，却不能百分之百地保证它真：称归纳地真（证据支持的程度越高，则归纳的强度越高）。按照上述观点，演绎的实质就是，必然的推理“，决不会前提真而结论假”的推理，这种推理完全依靠形式而有效。归纳的实质就是，或然的推理，“前提真而结论假是低概率的”那种推理（“低概率”是“不怎么可能”的较确切的定量化表述），这种推理之所以带或然性，是因为结论超出前提所断定的事实材料之外。现代归纳逻辑观点的主要特征是引进了概率的解释（概率一词英文。习惯上，数学中译为概率，物理学中译为几率、可几性，哲学中译为或然性。概率含有可能性程度的意味）。因此，归纳推理实际上就是概率性的推理，资料（前提）真时，不能事先知道结论是否必定真，不能绝对担保得到真结论。不象演绎推理一旦接受前提，可独立于前提的真假，必然地推出结论。现代归纳逻辑还引进了“置信度推理者对某一命题的信念、相信程度）的概念。于是，演绎推理可以重新解释为这样一种推理，在这种推理中，对前提的充分的置信（接受），必然地、百分之百地转移到对结论的充分置信（接受）。归纳推理则可以重新解释为那样一种推理，在那种推理中，对前提的置信度只是部分地转移到结论中去。演绎推理中前提对结论有最大的支持关系，归纳推理中的支持关\n第133页系则稍逊些。现代归纳逻辑由于引进概率概念，而使逻辑与统计理论密切相关。所谓统计推理就是根据关于样本（即总体的一部分）的知识推断关于总体的知识。统计推理是把概率观念运用到归纳推理上去。它的基本思想是一个归纳假定（齐一性原理）：世界是齐一的。因此，我们考察某类事件的一部分（样本）就可以推知整类事件的情况。例如，从栗堆中随机抽出一批栗子样本，如有虫蛀了，由此可推出整堆栗子大致虫蛀了（。考虑有个小的误差。）这种估计推理以及对某个统计假说进行检验的推理是统计推理的最典型形式。现代归纳逻辑中的贝耶斯主义派，还把概率论中贝耶斯定理的一种形式看作新型的统计推理，看作归纳推理的模式。换句话说，把归纳推理看作在接受新信息后以新证据修正原有概率、原有置信度的过程，把贝耶斯定理看作给定证据计算后验概率的工具。与经典逻辑相对照，现代归纳逻辑在元逻辑层次上（请注意元逻辑以逻辑理论本身为研究对象）发生了概念的革新。其中最有特征性的是“，证据支持”概念被形式化、概率化。世纪归纳逻辑的先行者皮耳士较早认识到，归纳逻辑作为检验假说的操作，只能根据其结果作出评价。归纳评价决不是演绎证明，假设只能从证据得到某一程度的支持。在现代归纳逻辑中，根据背景知识、证据对假设进行评价有多种方式：概率、似然值、①这种形式的贝耶斯定理记作）〔！其中！即相对的后验概率，它与的先验概率和的似然值）成正比，而与的先验概率成反比②如置信函数，表示证据对假设的置信程度为概率\n第134页置信水平、归纳支持、证认、逼真度等等。这或许可说是对证据支持关系的不同方面的说明。在关于归纳逻辑的哲学问题中，最著名的疑难是休谟问题。休谟最早发现归纳法似乎缺乏合理的基础。因为归纳推理和自然的齐一性原理是相互支持的。归纳推理以自然的齐一性原理为基础，而自然的齐一性原理却又是通过归纳推理而得来的。这样做是否会引起逻辑循环呢？看起来非常象是这样，但实际上并不这样。问题在于我们不应当固守经典逻辑的立场，不应当要求归纳推理具有演绎推理那样的性质，我们只能要求归纳推理有适合于自身的证据支持关系，这才是真正合情合理的。\n第135页第八章多值逻辑的起源、特性及其启示作用从逻辑哲学观点看，多值逻辑属于非经典逻辑。并且，它是值得作专门分析的典型案例。经典逻辑是二值的，换句话说，它只有真、假两个真值。从亚里士多德（在中国古代还有墨子）首创的传统逻辑到弗雷格、罗素的数理逻辑系统，经典逻辑的二值性质并没有改变。然而，多值逻辑却是作为一种非经典逻辑出现的，因为它可以具有三个或三个以上的真值。那末，多值逻辑（首先是三值逻辑）是怎样产生并发展起来的呢？三值逻辑的创建者们在认识论上的动机是什么？三值逻辑有哪几种最常见最简单的形态？经典逻辑碰到了什么样的疑难和压力？经典逻辑的二值特性为什么需要改进？为什么要引进中间真值？经典逻辑的矛盾律和排中律是否继续有效？多值逻辑的新运算子有哪些特异性？多值逻辑与经典逻辑的相互关系究竟是怎样的？辩证逻辑可以从中学到些什么？让我们从逻辑哲学观点来讨论这些问题。从认识论角度看多值逻辑的产生逻辑来源于日常生活和科学。随着社会生活和现代科学的发展，人类思维日益复杂化了。恰如经典物理学定律对微观、高速运动的物理对象（如电子）的失效，经典逻辑中的此即彼”模式越来越显得不充分了。\n第136页回顾历史，实际上，自从经典二值逻辑创建时起，就不断有人提出要改进、修正甚至替代它，即使亚里士多德本人对逻辑的二值性也持保留态度。而本世纪初逻辑学家麦柯尔则对如何克服二值逻辑所引起的困难提出过形式方面和哲学方面的改进建议。不过，最早的多值逻辑系统却是卢卡西维茨）和波斯特（所创建的。此后，越来越多的学者认识到经典二值逻辑的局限性，并积极多方面地探索摆脱此即彼”模式的新途径。多值逻辑的倡导者中有逻辑学家、数学家，也有科学哲学，他们各有自己特有的认识论上的动机。这里，请读者把注意力集中在哲学方面而不是逻辑方面，我们是以逻辑为材料说明哲学，而不是倒过来。这是由逻辑哲学的特点所决定的。波兰逻辑学家卢卡西维茨第一个充分认识到，需要用一种新的、非经典逻辑来代替经典二值逻辑。他在分析关于“将来的偶然陈述”时注意到，仅仅用真、假二值来表述在逻辑上是不充分的。例如“，明年月日中午我在华沙对于我们来说把“华沙”换为“北京”就更明显些），这一陈述是未定的，现在既不能说它真也不能说它假。一般地，非必然的有关将来的陈述，都是至今尚未成真或成假的，应当是可能的而且是未定的，不是简单地非此即彼的。除非对于“将来必然陈述”，才能在现在就断定其真假。为了便于理解，我们可以把天文学关于最近的将来即将出现的一次月蚀或日蚀的预言看作“将来必然陈述”，并在现在就能断定其为真。卢卡西维茨认为，如果对所有的有关将来的陈述现在就断定其真假，那就无异于承认“一切都是必然的宿命论）。为了在逻辑上恰当地表述“将来偶然陈述”，他认为有必要在真、假二值之外，引进第三值“未定的”。在此基础上，他建立\n第137页了三值逻辑乃至一般的多值逻辑。逻辑经验主义派的科学哲学家莱欣巴哈从量子力学角度提供了支持卢卡西维茨三值逻辑的新证据量子力学碰到了什么样的新情况、新问题呢？经典逻辑在这些问题上碰到了什么样的困难呢？简单点说，在经典力学中，当一个小球向前滚动时，如果面对着大小适中的左右两个狭缝，那末它不是通过左狭缝，就是通过右狭缝。对于说“小球通过了某狭缝”的论断是否正确的问题，用真、假两种真值来描述是充分的，经典逻辑是足够的。然而，在量子力学中由于出现了一个电子（或一个光子）能同时穿过双缝的新事实，关于“粒子通过某狭缝”的论断，有时说“真”也不妥，说“假”也不妥，弄得左右为难，因为还有第三种可能存在。经典逻辑只用真、假两种真值的描述方式已经不够用了。换句话说，电子等微观粒子的“波粒二象性”和“测不准”特性等新奇性质，使得习惯于按照“非真即假”、此即彼”模式思考的物理学家们在认识论上陷入了困境。莱欣巴哈的解救办法是引进非经典的三值逻辑。莱欣巴哈论证的基本点在于：如果用经典逻辑去解释量子力学实验中所特有的“测不准”或“不确定”现象，必然会导致“因果反常’即在解释因果关系方面出现逻辑混乱；然而，如果用真、假、不确定三个值的新逻辑来描述量子力学实验则能作出合理解释，不触犯因果律（在逻辑技巧上，他除了引进第三个真值“不确定”之外，还增加了新的否定词、蕴涵词等）。莱欣巴哈说：莱欣巴哈的三值逻辑是量子逻辑的种还有其它不同方案关于量子逻辑，有兴趣作进步钻研的读者，请参考：（１）拙作“量子逻（八千字），载杨百顺主编《现代逻辑启蒙》，中国青年出版社将出拙作“量子逻辑（二万字）载王雨田主编《现代逻辑导论》（下册）中国人民大学出版社１９８８年版\n第138页“要构造一种三值逻辑，即具有一个不确定的中间真值的逻辑是可能的：在这种逻辑中，陈述或是真，或是假，或是不确定的。”“非此即彼被亦此亦彼所代替了（原文如此！着重号是原有的）⋯⋯二重性解释被视为物质结构本性的一种不可避免的后果。”①后一句话表明，莱欣巴哈已经认识到新逻辑带有某种“亦此亦彼”性质。苏联逻辑学家鲍契瓦尔出于克服“语义悖论”的需要也考虑了一种三值逻辑方案（。他发觉，对于象“这个语句是假的”那样的语句（通常称作“说谎者悖论”），断定其真则为假，断定其假则为真。鲍契瓦尔看出，这类语句并不具有通常所要求的“非此即彼”的性质。实质上，从我们的观点看，这个例子对于说明辩证逻辑的元逻辑概念“真”与“假”的流动性是恰到好处的。与经典逻辑不同，辩证逻辑不是从固定的真假值出发的，而是将真、假看作有条件的、可变动的、因一定具体条件而转化的。当然鲍契瓦尔只是从多值逻辑角度，而并不是从辩证逻辑角度考虑问题。按照他的处理方式，对“这个语句是假的”之类，根本不应当指派真、假值，而应当赋以第三个新的真值“无意义”，或“悖”。鲍契瓦尔所构造的三值逻辑系统旨在避免悖论。他的确克服了一般的语义悖论，却对付不了变形之后“强化了的说谎者悖论”。这里不再深究了。斯迈尔提出了一种支持鲍契瓦尔三值逻辑的新证据。这就是，逻辑上可以允许存在“没有指称的涵义”。读者一定记得，我们在第一编数学哲学中提到过，①《科学哲学的兴起》，英文年版，第页\n第139页亚里士多德已经注意到，否认“三角形内角和等于势必导致否认欧氏第五公设，但他却不敢设想有非欧几何。现在在逻辑哲学中情况也十分相似。弗雷格早已发现，包含没有指称的单独词项的表达式本身就缺乏真值，因而包含无真值的组成部分的复合句就没有真值。他还进一步看出，如果允许没有指称的词项的出现，必然导致非经典逻辑。然而，弗雷格不敢设想有非经典逻辑，也不能允许有“无指称词项”。这是弗雷格持正统观点的必然结果。微妙的是，现在斯迈尔却指出，问题应当倒转过来看。只要敢于设想有可能出现非经典逻辑，那末为什么不能设想有“无指称词项”呢？斯迈尔指出，鲍契瓦尔的三值逻辑恰恰可以合理地解释为允许“无指称词项”的一种非经典逻辑。按照他的看法，将第三值指派给一个合式公式，并不表明它具有未定值，而应当解释为根本没有真值。尽管斯迈尔的“第三值”在逻辑上没有象真、假那样强的独立意义，但是他关于允许“无指称词项”的三值逻辑解释方案，在认识论上仍是对“非此即彼”模式的一种特殊方式的冲击。数学家克雷恩（）对经典二值逻辑提出了另一种异议。他在研究与数学证明有关的问题时察觉到，许多数学陈述实际上并不具有此即彼”的性质。例如，１对于，并非只有真、假两种可能性。当处于到之间它为真；当且或有时它为假；当时它无定义即不可判定。第三种情况既不真又不假。这就表明，在实际的数学思维中存在不可判定的语句，而合理的逻辑结构应当把这种情况形式地刻划出来。仅仅用真、假二值是不够用的，必须引进第三值“不可判定”。由此构造新的三值模型，以容纳不可判\n第140页定的数学语句。克雷恩的构造原则是：含有不可判定部分的合式公式本身可以被判定，只要其它部分的值足以保证整个公式有确定的真、假。有人怀疑这个构造原则真能行得通。但当我们看一看以下实例就能消除疑虑：一个析取式，只须其中一个析取项为真就为真（），另一项即使为“不可判定”值（也无妨。记为：当／时，只须／就有／最后结果读作：析取式或”为真。从逻辑哲学观点看，这一实例以及克雷恩的构造原则充分表明，废止了真假二中择一、非此即彼原则的非经典逻辑（这里是允许“不可判定”的中间值），仍然可能保持逻辑上的确定性。上述所有学者，尽管具体出发点各不相同，然而却有一点是共同的：从认识论上说，他们一致地看出了经典二值逻辑此即彼”模式的某种局限性。他们或者从自然科学角度、或者从数学、语言分析、纯逻辑的角度，都积极尝试突破“非此即彼”模式，探索适当地允许“亦此亦彼”的新模式。当然这并不排斥有人只是把自己的多值逻辑方案看作一种权宜之计。应当看到，并非每一种多值逻辑都必定要求承认真、假以外的额外真值，要求在逻辑上真正排斥二值性。例如，普里奥对自己的“四值”逻辑的真值作了如下解释：值＝真的并且已知将要成真；值＝真的但未知将要成真；值假的并且已知将要成假；值假的但未知将要成假。这表明，他的四值逻辑可以还原为更基本的二值逻辑。又例如，米开斯基塔在为植物疾病分类编程序时甚至提出“十二值”逻辑。不过，他的解释无非是：\n第141页值＝植物红斑的出现在月为真；值＝植物红斑的出现在月为真；值＝植物红斑的出现在月为真。很显然，在这种情况下，多值逻辑中的标准真值”实质上只是变相的标准真值而已。然而，在一般情况下，各种多值逻辑中的非真非假的中间真值的出现，在认识论上确是对“非此即彼”模式的不同程度的冲击。几种典型的三值逻辑系统及其特异性质多值逻辑可以用形式语言确切地加以定义。形式地说，仅当是一个系统的特征真值表的最小真值个数时，该系统是值的。例如，三值逻辑系统的特征真值表中出现了许多真值，但重复的不算，最小真值个数只有三个：（真）假）和（第三值）。很显然，只当才能称得上多值逻辑。三值逻辑（）是多值逻辑的最简单的一种。所有的三值逻辑系统都对经典逻辑的限制有所突破，都在某种特定意义上显示出“亦此亦彼”的性质。然而，它们的具体表现形式却是各不相同的，每一种三值逻辑各有自己的特异性。以下我们挑选几种最有名的三值逻辑系统来作分析：卢卡西维茨的三值系统，记作。它的特性集中表现在真值表上：\n第142页它可以解释如下：卢卡西维茨引进的第三真值的特异性在于它的含义为“未定的”，它被赋值于“将来偶然陈述”之中。三个真值按递减顺序排列（即真、未定的、假），或者记作就更明显。卢氏三值逻辑的所有逻辑运算的特异性都源于未定值。）在经典逻辑中，否定运算最典型地表现出非真即假、非此即彼的性质。而在卢氏三值逻辑中，否定运算却已经不是单纯地“非此即彼”的了。这是因为：否定运算虽仍给出原真值（真、假）的相反真值（假、真）。然而，未定值的否定，按其原始含义却也是“未定的”。这样，在真值表中就出现了一个真值“既是自己又是自己的否定”的特殊现象。无可否认，未定值具有“亦此亦彼”的性质（它以逻辑的方式体现出哲学上的“对立面的同一。由此引出了许多奇特的性质。在卢氏三值逻辑中，合取、析取、蕴涵和等值运算，对于经典逻辑的同名运算的性质都有所继承而又有所突破。继承经典逻辑的方面在于：（）合取（与时，唯有合取项都真，结果才为真；（）析取（或）时，除非析取项都假，结果才为假；）蕴蕴式“（如果，那末）仍被规定为与析取式“（或者非或者）同义；等值式等值于）仍被规定为与蕴涵而且蕴）同义。突破经典逻辑的方面在于：由于可能取真假二值以外的未定值合取项不都为真时，结果却不一定为假；）析取项不都为假时，结果却不一定为真；蕴涵式中补充规定了，前件为真后件为未定值时蕴涵式本身为真，记作：当／时，等值式中，未定值与未定值的等值为真，未定值与\n第143页真、假等值时结果取未定值等。这些都是在经典逻辑中闻所未闻的。然后，考虑到未定值的原始含义是“真假未定”，这些结论却是不难理解的。）在经典逻辑中，同一律、矛盾律和排中律都是不可触动的，似乎是与逻辑本身共存亡的。然而，在卢氏三值逻辑经典的逻辑定理却并不必定普遍有效。例如，当为未定值时，排中律或者非和矛盾律并非（而且非）也都取未定值，因而不是永真式，所以它们不再是定理。克雷恩的三值逻辑系统（。如果将克雷恩系统与卢卡西维茨系统相比较，就可以看出，这两种三值逻辑既有许多共同点，又有各自的特异性。共同点中第三值的“亦此亦彼性质是根本的。不可判定值与未定值一样，“既是自己又是自己的否定”。否定词的真值表完全相同。另外，合取词、析取词和等值词的真值表也完全相同。至于特异性则主要表现在蕴涵词真值表有不同。这是由于第三值的不同的特殊含义所引起的。克雷恩将第三值规定为“不可判定”，是出于数学证明的需要。引进这种新含义后带来了如下新特点：当蕴涵式的前、后件取不可判定值时，整个蕴涵式本身也不可判定。表示为：当／时，。对比之下，在卢氏系统中，未定值蕴涵未定值时，蕴涵式却为真（这是由第三值的含义所决定的）。即表示为：当\n第144页／／时，。与第三值的新含义相适应，克雷恩提出了自己的构造原则：当复合句的某一部分的真假足以确定全句的真假时，整个复合句就应当取那个值，并且可以被判定。这一结果是富于哲学意义的。它说明，尽管克雷恩的逻辑理论中复合句可以包含不可判定部分，尽管不可判定值具有“亦此亦彼”的性质（自己与其否定是同一的），然而他的三值系统仍可以合理地构造起来，仍可以保持逻辑上的确定性。鲍契瓦尔的三值逻辑系统（记作这是为了处理语义悖论而提出的。第三值被解释为“无意义”即“悖，，。悖值的否定仍是悖值，因此它也具有“亦此亦彼”的性质。鲍契瓦尔的构造原则是：如果复合句的某一部分取悖值，则整句也得取悖值。鲍契瓦尔的三值逻辑系统的真值表为：在鲍契瓦尔系统中，否定、合取是基本的，其它是导出的。逻辑联词是这样被定义的：否定词与卢卡西维茨系统相一致；）析取词根据德摩根定律定义为：＝（，读作：或，可定义为，并非非而且非蕴涵词定义为：＝（读作：蕴涵，可定义为，并非而且非（其中已经考虑了析取词的定义）；）等值词定义为：）八。这些并没有什么特别之处。很显然，所有这些定义都对经典逻辑有所继承。\n第145页值得注意，由于鲍契瓦尔系统中第三值的特殊含义以及特殊的构造原则，因而在合取、析取和蕴涵真值表中都表现出别的系统所没有的特异性质。这主要是）当合取式（与）中有一项无意义时整个式子就无意义。比如，当／／时，。形象地说，鲍氏的第三值具有传染性，它极容易在整句中扩散。第三值的传染性还使得蕴涵式将在以下几种情况下得出无意义’的结果：当／时，）当／时，）当／时，这些特性是与前述几种三值逻辑都不相同的。莱欣巴哈的三值逻辑系统（记作。为了刻划量子力学现象所特有的不确定性，莱欣巴哈采取了决定性的步骤，他在真假二值之间引进了“不确定”值，相应地扩充了基本真值表，修正并扩充了基本逻辑联词。换句话说，他用新的真值表重新定义了一整套内容更为丰富的逻辑联词，规定了在量子力学的逻辑中占有特殊地位的十种真值函项。莱欣巴哈系统有三种否定词表：循环否定，直接否定，完全否定。\n第146页莱欣巴哈系统有三种蕴涵：依次为标准蕴涵选择（二中择一）蕴涵和准蕴涵；有两种等值：标准等值和选择（二中择一）等值莱欣巴哈的三值逻辑系统，是一种特异性很强的非经典逻辑，它是适应量子力学的需要而发展起来的。在量子力学中，经典逻辑的简单的此即彼”模式根本行不通。例如，单个光子尽管在能量上不可分，却能同时通过双缝。说它通过左缝而不通过右缝，通过右缝而不通过左缝，这两种说法都不确切。因为出现了第三种可能，一个光子同时与双缝相关。这里需要有“亦此亦彼”的模式，而且这种“亦此亦彼”在物理上有确切的含义。在量子力学的新逻辑中，莱欣巴哈设计了三种否定、三种蕴涵和两种等值运算。其中最能体现“亦此亦彼”性质的是三种否定词：在“直接否定”中，不确定值同时又是自己的否定；在“循环否定”中，不确定值一方面作为“真”的否定而出现（这一点象经典逻辑中的“假，另一方面它的否定却不是“真”而是“假（”那又象经典逻辑\n第147页中的“真”）。因此，它部分象真又部分象假）在“完全否定”中“，真”一方面是作为“假”的否定而出现的，另一方面又是作为“不确定”值的否定而出现的。凡此种种特性，称之为“亦此亦彼”性质，恐怕最恰当不过了。总之，逻辑否定的结果不再是真假二中择一、非此即彼。尽管如此，这种在三值逻辑中否定运算中所潜藏的“辩证法的流动性”却并不会使我们的思维陷入混乱或自相矛盾，也并不会使逻辑的确定性蒙受任何损失。事实上，清晰性、确定性和无矛盾性等特征在真值表中是一目了然的。无论如何，在量子力学的新逻辑中，否定词的变革包含着深刻的哲学含义，并且能敏感地反映出对于经典逻辑模式的革命性改造。经典的矛盾律、排中律与多值逻辑在经典逻辑中，矛盾律和排中律都是基本定律，它们的地位曾经被认为是不可动摇的。然而，在多值逻辑等异常的非经典逻辑出现之后，人们可以毫不犹豫地说，经典的矛盾律、排中律在逻辑中的地位不应当被绝对化。我们先讨论矛盾律。众所周知，矛盾律是经典逻辑的核心原则。因此，要突破经典逻辑的此即彼”模式，不能不触及矛盾律。事实上，企图超越经典矛盾律的动机正是发展多值逻辑的主要动机之一。经典的矛盾律的最常见形式如下：而且非将被当作逻辑地假或矛盾命题而被排除。（并非而且非”）将被当作逻辑真理或重言命题而被接受。由此可以得出几个推论：①更彻底地突破矛盾律的是新兴的次协调逻辑”参看拙作《什么是次协调逻辑》，载《逻辑与语言学吗\n第148页〔推论和非两者必有一假”。〔推论和非两者不能同时为真〔推论〕有关某个命题同时既采取某个真值，又采取另一个不同的真值的说法永假。以上各个结论在真假二中择一的经典逻辑中是同样有效的。然而，在多值逻辑中情况却大不相同了。例如，在卢氏、鲍氏和克雷恩的三值逻辑中，由于带有鲜明的特异性的第三真值未定值、悖值或不可判定值的引进，相应地出现了某种“亦此亦彼”的性质。如第三真值同时又是自己的否定，第三真值与第三真值的合取仍为第三真值（既不真也不假）。因此，”并不永假，八一”并不永真，经典的矛盾律不再是定理。一般地说，矛盾律在多值逻辑中不再普遍有效。又如，矛盾律的推论之一和非两者必有一假”，这个结论对于各种多值逻辑都显然不能成立。因为真、假二值之间可以存在一系列中间真值⋯⋯，，而某一个中间真值的否定可能取其它中间真值，所以中间真值及其否定两者并非“必有一假”，然而，中间真值及其否定的存在却并不违背和非两者不能同时为真”的要求，即推论的要求。我们再讨论排中律。排中律在经典逻辑中占有特殊的地位，这是因为排中律与“非此即彼”模式存在最直接的联系。因此，要突破经典逻辑的旧模式，不能不首先从排中律入手。事实上，企图克服经典的排中律的努力正是发展多值逻辑的最主要的一个动力。经典的排中律的最常见的形式是：①经典的矛盾律如果削弱到推论的形式，能为大多数多值逻辑听承认。这并不奇怪正如经典力学的牛顿第二定律改写后也能为相对论所接受。\n第149页或者，或者非）永真。除第三者原则”：一个命题必须是或真或假的。表为：／／，或者，／／这个“排除第三者原则”，实际上排除了真、假之外的任何其他真值。它是对经典二值逻辑的“非此即彼”模式的最典型的特征描述！因此，这样的原则在任何一个多值逻辑系统中都无法保留。诚然，故意摆脱这个原则正是构造多值逻辑系统的基础和理由。排中律可以有如下形式的推论：〔推论和非两者至少有一个真”。〔推论一个命题为真当且仅当它的否定为假，反之亦然。以上以不同方式表述的排中律及其推论，在真假二中择一的经典逻辑中是同样有效的。然而，在多值逻辑中情况却大不相同了。例如，在卢氏、鲍氏和克雷恩的三值逻辑中，由于第三真值的“亦此亦彼”性质，”并不永真，即排中律不再是定理。一般地说，排中律在多值逻辑中不再普遍有效。这种情况比矛盾律更为严重。又如，和非两者至少有一个真”这个推论在多值逻辑中也不能一般地成立。这是因为中间真值具有某种“亦此亦彼”的性质，它的否定可以仍是中间真值而不为“真见下表中否定（）的位置不一定填值）。值逻辑的否定词真值表之一\n第150页然而，中间真值的存在却并不妨害“一个命题为真当且仅当它的否定为假⋯的原则，如附表中所示的方式，实际上几乎回避了中间真值问题（但莱欣巴哈的循环否定、完全否定仍不计在其中），推论有时被看作排中律弱化的形式。辩证论者所得到的启示根据本章前几节所作的分析，从逻辑哲学角度，我们可以引伸出以下几点结论：一、多值逻辑是一种非经典逻辑，并且在多数情况下，它是异常的非经典逻辑，它不是经典逻辑简单的扩展或修正，而是对经典逻辑作了激进的革命性改造。尽管多值逻辑保留了经典逻辑的基本词汇，然而经典逻辑的某些元概念（如真、假）受到挑战，有的最基本定律受到触动（如排中律），它们两者具有截然不同的有效推论集或定理集。对比之下，辩证逻辑也可以看作一种异常的非经典逻辑。而且它比多值逻辑更加激进，因为它更广泛、更深刻地向经典逻辑的每一个元概念（如真假、同一、矛盾等）提出了根本性挑战，并触动了它的每一个基本定律。二、多值逻辑突破了经典逻辑狭隘的此即彼”模式，它除了“非此即彼”又适当地承认“亦此亦彼”。在这一点上，辩证逻辑与多值逻辑的大目标是一致的。只是多值逻辑所选取的突破口是特殊的，那就是引进未定值或不确定值或不可判定值等形形色色的中间真并使经典逻辑的“排除第三者”原则失效。对于辩证逻辑来说，富于启发性的是：多值逻辑引进带不确定性的中间真值，其结果并未使逻辑确定性蒙受损失。事实上我们已经看到，莱欣巴哈引进“不确定值”的目的，正是为了恰到好处会刻划量子实验中实际的测\n第151页不准性（这是经典逻辑难以做到的）。换句话说，借助于“不确定值”可以把握经典逻辑无法处理的特殊现象中的“逻辑确定性”。同理，克雷恩引进“不可判定值”恰恰是为了更好地判定数学问题。依我们看来，一切多值逻辑学者都通过带不确定性的中间真值，追求“亦此亦彼”的“不确定”现象中特有的逻辑确定性。多值逻辑中所出现的“亦此亦彼”性质，是出于科学与日常的实际需要的，而决不是凭空生造出来的。鉴于多值逻辑与辩证逻辑在这方面的目标的一致性，多值逻辑的处理技巧无疑是值得借鉴的。三、多值逻辑的先例启示我们：经典排中律、矛盾律失去普遍有效性并不可怕。经典逻辑定律并不是直接可违背的，但它们可以被超越。在经典逻辑定律失效之后，在新的非经典逻辑中，思维结构的正确性不会遭受任何损失。换句话说，逻辑的确定性、条理性和前后一贯性依然如故。在诸种多值逻辑中，各种新旧逻辑算子的真值表就是清晰、明确而无矛盾的最好的证明。作为极端例子，在否定词表中，即使不确定值与其否定同值（从而体现“亦此亦彼，但也没有陷入逻辑混乱。四、多值逻辑的先例，也为我们提供了非经典逻辑与经典逻辑相互关系的范例。在多值逻辑中，经典逻辑的基本模式被突破了，经典逻辑诸定律以及诸种逻辑运算不能原封不动地被保留。形形色色的特异的中间真值和新运算子出现了。然而，经典逻辑决不是简单地被抛弃了，经典模式仍不失为应用非经典模式作对应性研究的一种有力的辅助框架。新的非经典逻辑对经典逻辑既有所突破又有所继承，突破之中包含继承。我们在各种不同运算子的真值表中可以在不同程度上看出这一点。即使已经失效的经典定律，在新的非经典逻辑中仍然可\n第152页能找到它的“影子（”充分弱化的形式）。如果把辩证逻辑也看作一种非经典逻辑，那末多值逻辑与二值逻辑的相互关系就能成为理解辩证逻辑与经典逻辑的相互关系的一把钥匙。五、多值逻辑的先例启示我们：辩证逻辑如想构造一种含有辩证意味的“否定词”，并想有朝一日进入计算机运算，而不是产生“出错马上被赶出来，那末就得从“循环否定、直接否定和完全否定”中学到有益的东西。六、多值逻辑的先例启示我们：辩证论者，特别是辩证逻辑研究者所追求的应当是“流动性”和“逻辑确定性的对立统一，而不应当只以单纯的“流动性”为满足。来自逻辑学家方面的对只以“流动性”为满足的某些辩证法家的批评，有其合理的一面：没有确定性就无逻辑可言。可是我们必须补充说，多值逻辑已经向我们预示着：要建立一种清晰、明确而无矛盾的表现“不确定”现象的逻辑确定性的新逻辑是可能的。辩证逻辑研究者，应当而且可以向一切企图突破经典逻辑局限性的“非经典逻辑”学习，从中汲取新的思想营养。只要我们愿意学习和善于学习，我们一定能从中学到许多对辩证逻辑有用的西东。①近年来，国际逻辑学界出现了一种新型的非经典逻辑次协调逻辑它与辩证逻辑（及其形式化问题）关系甚密请参看我与朱志方合著的《对话：次协调逻辑的起源与辩证逻辑的形式化》，载中国辑学会主办《辑学术讯》\n第153页第九章逻辑哲学所关心的真理理论真理论中互斥互补的几种理论概述真理问题向来是哲学家们所关心的课题，当然也是逻辑哲学家和科学哲学家们所关心的重要问题。在哲学史上，有三种关于真理本性的一般类型的理论一直是彼此相互竞争的：符合论，照它看来，当且仅当命题或信念“与实在相符合”时才是真的；）一致论，对它来说，当且仅当命题或信念与其它命题或信念（至少是与它们的绝大多数“）相一致”时才是真的；实用论，它认为，当且仅当命题或信念“发生效用”时才是真的。符合论所强调的是命题与实在的符合性；一致论所强调的是命题自身以及命题之间在逻辑上的无矛盾性；实用论所强调的则是实用性可以作为真理的主要标志。符合论、一致论和实用论在科学和日常生活中都有直观基础，但以符合论为一方，而以一致论和实用论为另一方，它们所考虑的直观根据是极不相同的。符合论偏重于考虑真理有不依赖于人们的认识的独立实在性，对一个真理尽管有许多人掌握很多“理由”不相信它为真，然而它仍然可以为真；另一方面，一致论和实用论则偏重于考虑命题的“真理”与相信那个命题的“理由”之间的密切联系，甚至明确把“真理”直接规定为“相一致”或“发生效用”。符合论肯定了真理的独立性，却容易忽视关于相信命题的“理由”与命题的真理性之间的联系的说\n第154页明。一致论和实用论懂得“理由”与“真理”的联系的必要性，却又容易将信念的理由绝对化，忽视真理可以不依赖于相信的理由。实质上“，理由”与“真理”是互补的。相应地，在以符合论为一方，以一致论和实用论为另一方的理论竞争之中，一方的优点正是另一方的缺点，竞争的双方实际上也是互补的。马克思主义者历来反对对人类知识采取虚无主义的全盘否定态度，历来主张批判地汲取人类知识中的一切积极成果。现代马克思主义者尤其是这样。辩证唯物主义者是客观真理论者，因此是亚里士多德物主义的真理符合论的继承者，但坚决反对对“命题与实在的符合”作主观解释；辩证唯物主义者当然不否认“真理决不能自相矛盾的”，但不能归结为逻辑主义的一致论，因为任何辩证矛盾在逻辑上都是一致的而且意味着更深刻的真理；辩证唯物主义主张“实践是检验真理的标准”，强调真理在客观性基础上的实用性，但不能归结为实用主义。辩证唯物主义不仅认为真理理论必须实质上妥当，而且必须在形式上正确。因此，从语义学角度对“真理”概念作出细致分析的工作也是必要的。因此，真理的语义理论也是有研究价值的。总起来，真理与实在的相符性、真理的无矛盾性、实用性以及真理概念在语义学上的形式正确性等诸种性质，都是合理的真理概念的不可缺少的组成成分，它们是辩证地相互联系的。当代科学哲学家夏皮尔在《理由与真理探究》一文中注意到，在实际的科学研究中，关于真理的“符合论”、“一致论”和“实用论”，有时呈现出较为复杂的关系，而不可以直接地简单地肯定或否定哪一种理论。例如，有时或许存在着怀疑一个科学理论是错误的或可能是错误的\n第155页有力的具体理由，然而，对于完善地说明它所管辖的那个领域，它仍然可以是成功的。相反，当一个理论对于完善地说明它的领域或许是不够成功时，也还可能存在着有力的具体理由认为它是正确的。对于前一种情况，我们可以举例说，人们已经掌握着怀疑牛顿力学的有力的具体理由，但是牛顿力学在那宏观低速领域仍是极为成功的。对于后一种情况，我们可以举例说，孟德尔时代已经发现，进化论在解释遗传现象时是不够成功的，但仍有足够的理由认为进化论是正确的。在夏皮尔那里，真理论中的“符合论”“、一致论”和“实用论”概念，联系到科学哲学而被具体化了。他的两个关键概念是这样定义的：成功一个领域的科学理论应能完善地解释该领域的所有项目。没有怀疑理由一个领域的科学理论应能解决背景兼容的所有问题。夏皮尔尽量使三个不同的真理理论按照互补的方式协调起来，并在科学认识中发挥作用。他简要地列表总结如下：夏皮尔是科学实在论者，立足于现代科学，承认物理世界的真实性和规律的客观性。他的科学哲学和真理论具有综合各家之长的倾向。这对辩证唯物主义者来说\n第156页无疑是值得借鉴的。本书作者曾在别处，在讨论自然科学认识论问题时，力图从辩证唯物主义观点出发，仔细分析真理的“符合实在’与“逻辑一致”之间的互补性。关键的问题在于区别出两种不同的检验方式：直接检验与间接检验。大多数场合下，特别是复杂场合下，直接检验（凭借观察和实验，将待检陈述直接与现实相对照）的方式是不够用的。或者由于客观限制或技术限制无法直接检验，或者由于理论陈述按其本性可以推演出无限多的事实陈述，在原则上只能作间接检验。因此，间接检验方式在对科学理论的实践检验中占有特别重要的地位，而任何间接检验都可以分解为“直接检验”和使用假说演绎法进行“逻辑推理”两大环节。这两大环节是互补的，缺一不可的。真理符合论着重于强调最后的“直接检验”，而一致论则着重于强调“没有一致性的推理，就得不到真理”，两者都是合理的真理理论的必不可少的构成要素。归根结蒂，实践是检验真理的唯一客观标准，但实践检验不应与“直接检验”简单混同起来。否则，就会将“实践检验”与“逻辑证明”机械地对立起来，不能合理解释两者之的真实联系，同时无法认识真理符合论与真理一致论之间的互补关系。在逻辑哲学中，除了符合论、一致论、实用论之外，还有塔斯基的真理的语义理论以及兰姆赛的真理的多余论。前三种真理理论认识论意味较强，后两种真理理论更重视逻辑技巧方面。真理的多余论是什么意思？兰姆赛的基本想法是这样的：谓词“真”和“假多余的，或者说，它们可从①载于张巨青主编《自然科学认识论问题》，湖南人民出版社年版，第页。\n第157页所有的语境中消除掉而又没有语义损失。他说，是真的”意思就等于“；而“是假的”意思就等于。对于稍复杂的情况，例如，“他所说的总是真的”，不能直接消去“真”，但可以改变方式为“对于所有，如果他断定，那末，从而消去“真”。为了应付真理的多余论所碰到的疑难，还有许多技术性的措施。在逻辑哲学中，塔斯基所提出的真理的语义理论，借助于精致的逻辑技巧，较好地实现了“符合论”与“一致论’，的某种形式的综合，因而影响较大并且较广泛地被接受。下面我们将阐述这种真理理论。塔斯基因语义悖论而采取的对策塔斯基真理理论的主要目的在于用现代逻辑手段克服悖论，重建古老的亚里士多德的真理定义。他的出发点是亚氏《形而上学中的一段名言：“把非说成是，把是说成非，那是假的；把是说成是，把非说成非，那是真的。”塔斯基在《真理的语义概念与语义学基础》一书中对此作了解释：“如果我们想用现代哲学语言来讲的话，也许可以用下述常用的表述来表达这一概念：句子的真实性在于它与现实相一致（相符合）。⋯⋯如果一个语句指谓一个存在着的事态，则它就是真的。第页）不难看出，塔斯基的基本立足点是在客观真理论一边，他是维护亚里士多德以来的唯物主义真理观的传统的。然而，塔斯基对亚里士多德的真理定义并不满意。这是因为尽管它的基本精神正确，但在逻辑表述上并不严密，容易引起误解，甚至产生“语义悖论塔斯基在《真理的语义概念与语义学基础》一书中作了这样的分析：\n第158页这一悖论的明显形式，可以用下列句子说明：‘本书第页第行印着：那个句子是假的、。为了简短起见，用字母‘来代替这个句子。按照‘真’这个词在习惯用法中的约定，我们可以断定下述常被称作通式的等式：’是真的，当且仅当本书第页第行印着：那个句子是假的。另一方面，若记住符号‘’的意义，就可以经验地确立下述事实：，和印在本书第页第行的那个句子是同一的。根据人们所熟知的同一律，从（）可以得出，可以用符号‘来代替表达式‘印在本书第页第行的那个句子”，由此可以得出：是真的，当且仅当是假的这样，我们就遇到了一个明显的矛盾（”第页）塔斯基详尽地研究了各种语义悖论，得出结论，我们的语言之所以出现这些悖论，关键的问题在于假定了以下两个前提：一是一般逻辑规律成立；二是使用“语义上封闭”的语言系统，在这种系统中，层次是不分明的，它既包含表达式本身，又包含表达式的名称以及用以评述表达式的象“真”“、假”那样的词项。而且还暗中假定了，所有那些决定这种词项的适当用法的句子能够在这种语言系统自身内部被断定。塔斯基认为，逻辑规律是必不可少的。因此，产生悖论的症结在于语言层次不分明。明白了这一点之后，若再回顾前述语义悖论的实例，①在英文原文中所指页码与实际相符原书为第页第行，为了便于理解中译文改为本书实际页码。\n第159页那末只要细心分辨就可以看出，在日常用法中往往又把“那个句子是假的”本身也称作“那个句子”，这就是混淆了不同的层次。塔斯基和罗素的做法是一致的，他也通过区分出语言的层次来消除这种“语义的封闭性”。第一个层次上的语言称作对象语言，它是用来谈论外界对象的性质以及其间关系的，其主要词汇包括指称对象的名称以及性质和关系谓词（如“上海”“、是中国最大的城市”“、位于武汉之东”等等）。第二层次上的语言称作元语言，它比对象语言高一个层次。元语言所指称的是对象语言，而不是直接的外界对象，它的词汇主要包括指称对象的名称，以及指称对象语言性质的谓词（如“真”“、假”等）。还可以有更高层次的语言。如为了给元语言判定真假，就必须用更高一级的元元语言等等。这样就可以构造一个开放的多层次的语言系统。在这种“多语言”系统中，低层次的语言相对于高一层次的语言，就是对象语言，高层次的语言相对于低一层次的语言，就是元语言。这就说明，“对象语言”与“元语言”之间的区别，既是严格的、确定的，又是相对的、有条件的、可变动的这种开放的多层次语言系统不同于日常的封闭语言系统的一个显著特征，就是“真”“、假”不再被看作是不分层次地普遍适用的性质谓词，而是相对于不同的语言层次被定义。在评价对象语言中语句的真假时，就自然地超出了原来的层次并进入了更高的层次。如果把对象语言称作，而把它的元语言称作，那末“在中为真”就属于更高层次中的谓词。一般地“，在中为真”就属于高一层的中的谓词。塔斯基的理论显然蕴含着对经典的元逻辑概念\n第160页（“真”“、假的革新和挑战。经典逻辑向来认为真、假是绝对固定不变的，而塔斯基却认为真、假既是严格确定的（在特定层次上有确定的真假），又是相对的、可变动的（在不同层次上的真、假所指不同，不能混为一谈）。有了塔斯基的多层次语言中的崭新的真假概念这种武器，语义悖论中的“自相矛盾”就不攻自破了。对于语句：那个句子是假的如果用来表示，并且它属于层次的语言，那末在中被判定为假的“那个句子”应当属于较低的语言层次那个句子应当用来表示（“下标”用来标记层次的相对高低、次序）。于是前述表达式（）所表示的语义悖论就变为：是真的，当且仅当是假的。这样，语句的真、假固然是可转化的，但是“自相矛盾”却不复存在了。真理定义的实质妥当和形式正确条件塔斯基在区分出不同层次的语言的基础上，提出了真理定义的实质妥当和形式正确条件。首先，实质妥当条件规定了一个可接受的真理定义的内容限制。其次，形式正确条件则将规定一个可接受的真理定义的形式限制。作为实质妥当条件，塔斯基提出了下面这个（通式（也称）等式）：是真的，当且仅当这里，，可以由对象语言中的任何语句替换，，可以由”的名称（属元语言）替换，下面就是）通式的一个有名的替换实例：“雪是白的’真的，当且仅当雪是白的。\n第161页）通式包括两个基本部分，等式左边是元语言部分，等式右边是对象语言部分，右边句子为左边所对应的带引号句子所指称。塔斯基要求，一切实质上妥当的真理定义都应具备通式的形式。因而有许多人将（）通式误以为就是塔斯基的真理定义。其实，）本身只是一个语句格式，而并不直接是一个语句。）通式本身及其任何特殊的替换实例（如“雪是白的”当且仅当雪是白的）包含着片段的真理定义，但不能被认作就是真理定义。现在我们转向形式正确条件的讨论。形式正确条件要求，给出真理定义的那种语言结构应当是形式上可说明的，定义中所使用的概念和形式规则应当是清楚的。换句话说，必须运用现代逻辑中的形式化、公理化方法。借助于这种方法可以建立合乎要求的形式语言。这种形式语言的结构可以大致说明如下（先说明对象语言）：对象语言的句法对象语言的表达式：变元：⋯等等谓词字母：等等语句联词：（否定）。（合取）量词：（存在量词）括号：（）以上是这种形式语言的原始词项，其它真值函项、联诃以及全称量词等都可以由此导出。为了找出对象语言中的合式公式，首先必须定义基本语句。一个基本语句就是一个具有个变元的位谓词所组成的一串表达式。于是：所有基本语句都是合式公式）如果为一个合式公式，则\n第162页也是一个合式公式如果为合式公式，则）也是一个合式公式）如果为合式公式，则也为合式公式）不能化为上述形式中的任何一种的公式，不是合式公式。相应的元语言结构可说明如下：元语言包括：（对象语言的表达式及其转译（）句法词汇，包括对象语言初始符号，联词，以及辖域内表达式变项名称）通常的逻辑工具塔斯基所说的“下定义规则”主要有如下限制性的规则：在被定义项中未出现过的自由变项不得在定义项中出现例如：是不允许的，因为容易引起自相矛盾。）在被定义项中不能出现相同的自由变项。例如：是不允许的，因为被定义项无法消除。总起来说，按照塔斯基关于真理的语义理论，任何一个可接受的真理定义，都必须满足实质妥当和形式正确条件，也就是要求：必须具备）等式的所有实例；）必须具备一种可说明的语言结构。在此基础上，塔斯基提出了他的真理定义（真理从语义角度看即真语句）。用递归方法定义真理如上所述，等式只是一种语句格式，不能直接认\n第163页作真理定义。实际上，塔斯基是通过更迂回的途径，采取递归的方法，借助于“满足”这个中间概念间接地定义真理。我们已经看到，）通式的每一实例都标示了一个特定语句的真值条件，因为它可以看成一个片断的真理定义。人们容易猜想到，）通式所有实例的合取似乎应当构成一个完全的真理定义。然而，塔斯基却发现，由于实例语句个数的无限性，事实上无法给出这种合取定义。塔斯基同时也证明了，不可能通过全称量化的办法把（）通式变为一个完全的真理定义，因为对引号实行全称概括是无意义的。这就是他必须选择其它更迂回的途径的理由。塔斯基的真理定义是分两个步骤给出的。第一步，他定义了“在对象语言中得到满足’第二步，再以此来定义“在对象语言中真”。为什么要通过“满足”来定义“真”呢？因为他考虑到，复合的闭语句并非直接由基本闭语句构造出来，而是从语句函项中构造出来的。然而，语句函项（如“是白的”）无所谓真假，而只能说它为对象所满足或不满足（如“雪”能满足“是白的”，而“煤”则不能满足它）。塔斯基的主要思路是这样的：他通过递归方法来定义“满足”，即先给出那些最简单的语句函项被满足的条件，再给出复合语句函项被满足的条件。最后，他把闭语句当作语句函项的一种特例（自由变元数为的语句函项），同时把“真”当作“被满足”的一种特例，这样就给出了他的真理定义。具体地说，令为一对象序列，为对象语言中的语句，则对“满足”可作如下定义：对于一元谓词，满足，当且仅当\n第164页为中第个位置的个体）；）对于二元谓词，满足当且仅当与具有关系和分别为序列中第和位置上的个体）对于三元谓词，满足，当且仅当三者具有关系和分别表示各下标所示位置上的个体）。一般地说，一个具有几个自由变元的语句函项为有序元组所满足或不满足。如果对象序列有超过个的对象，则对超过部分看作无关，不予考虑。满足“当且仅当不满足满足“，当且仅当满足并且满足满足当且仅当至少有一个个体，使满足借助于“满足”这一辅助概念“，真”的概念在语义学上可以定义如下：对象语句中的一个闭语句，当且仅当它为所有序列所满足时才是真的。总起来说，关于真理的语义理论，我们可以得出以下几点结论：第一，真理的语义理论继承、汲取了真理一致论纲领中的合理内核，高度重视真理的“无矛盾性”的重要性。不把“悖论”当作机智的诡辩和儿戏，充分认识自相矛盾对逻辑和数学基础的危害性，尤其是对于真理性的危害性。认真研究语义悖论，找出了问题的症结所在和解救办法。第二，真理的语义理论也与传统的真理符合论存在着密切的联系。它继承了客观的真理符合论的基本内核，亚里士多德唯物主义的真理定义是它的基本出发点。这样看来，真理的语义理论是真理与实在的符合性和自身\n第165页无矛盾性有机结合的一种产物，是符合论与一致论的特殊形式的综合。换句话说，它动用现代逻辑工具重建亚氏的真理定义，它是真理符合论按现代语义理论重新表述的精形式。第三，逻辑语义学的中心问题是研究语言表达式以及它与表达式意义之间的关系。塔斯基正是在解决作为真语句的真理的精确定义的过程中，首创了在一个形式的元语言中论述一种语言的方法，并确立了真正现代形式的逻辑语义学的基础。\n第166页第十章悖论形形色色的悖论在上一章论述塔斯基的真理理论时，我们已经遇到过“语义悖论”。另外，在第七章论述非经典逻辑时所提到的“实质蕴涵怪论”和“严格蕴涵怪论”有时也被不甚恰当地称作“悖论”。那末，究竟什么是悖论呢悖论”这个词（英语：）含有如下几种意义：）违反公认看法的信条；）看起来不合常识，其实又可能为真（似非而是）的陈述初看起来为真，其实自相矛盾（似是而非）的陈述；）通过有效的推演，从通常认为可接受的前提导出自相矛盾的结论的推论。）并不是我们真正要讨论的悖论。作为（）的实例，比如我有两个弟弟都已经岁，可是只过了几次生日。这件事听起来很怪，其实可以是真的。因为他俩是双生子，都生在阴历闰五月，所以要好多年才能过上一次真正的生日。但逻辑哲学所要讨论的悖论主要指，特别是（因为（）比（更确切）。悖论具有以下几点性质：我们只能说某种陈述或推论是一个悖论，而不能说某种人或物是一个悖论。①悖背）字在汉语中指违背道理\n第167页一个悖论初看起来总是没有问题的，可以接受的。如果一望便知是自相矛盾的，那只是普通的逻辑矛，而不是悖论。从一个（或一组）可接受的前提到矛盾的结果的推演是有效的逻辑推演。这就是说，结果的矛盾性不是来自推演的逻辑错误，而是来自所接受前提本身的特殊性质。这种前提，从形式逻辑角度看，具有某种固有的“缺陷”。悖论中的矛盾主要表现在某论断自己与自己相矛盾，是语言本身所包含的。在名著《堂吉柯德》中提到过中世纪欧洲流传的一个故事，这个故事涉及一个“悖论”。故事大意是这样的：有一个霸道成性者把守了一个交通要道，在那儿设立了一个断头台，还设立了一个绞架。每个经过此地的人，都要受盘问，如果回答的是真话则杀头，如果用假话来回答则上绞架。看来路过此地的人必死无疑了。后来，出现了一个聪明的过路人说“：我去上绞架”。这就使得把守者左右为难，束手无策。因为若是让他上绞架，他的话就成真话，而说真话不该上绞架；若是让他上断头台，他的话就成假话，而说假话不该上断头台。总之，这个故事中聪明的过路人所说的那句话，真假值是可变动的。它既象真话又象假话，但既不是真话又不是假话。从而有效地破坏了那条“法令”。更典型的悖论是著名的“说谎者悖论”。它最早是由古希腊哲学家克里特人埃匹曼尼德说“所有的克里特人都撒谎”而引起的。后来它演变为不同的形式。上一章塔斯基所列举的形式就是其中之一。最经典的形式涉及语句：这个句子是假的\n第168页设是真的，那末它所说的能够成立，这个句子就是假的；反之，设是假的，那末它所说的不能成立，这个句子就不是假的，也就是说它只能是真的了。总之，是个奇怪的句子，断定其真却推出其假，断定其假出其真。格里林悖论或“自指悖论”涉及指称自己或不指称自己的概念。例如“，汉语的”“、黑色的”这两个形容词是指称自己的，因为确是汉语的、黑色的。另外，用英语表示“日语的”）“、斜体字的”却不是自指的，因为并非日语的、斜体字的。格里林在年想出一个悖论。他想到，自指的”这个形容词是否自指的呢？显然，如果它是自指的，那就承认了它是非自指的；如果它是不自指的，那就通过双重否定肯定了它是自指的。于是陷入了自相矛盾。贝理悖论可以用汉语表述为如下形式“：至少用十五个字来表达的题目”本身却不到十五个字。理查德悖论只是它的一种变形。理查德在年发现，竟能用有限文字表示“不能用有限文字表示的自然数”（。它还有别的表述法。）集合论中的罗素悖论具有特殊的重要性。因为集合论是现代数学的基石并与现代逻辑存在密切的关系。因此集合论中出现的矛盾使数学和逻辑受到根本性的威胁。罗素的悖论涉及“不包含自己在内的集合的集合”。谁都知道，马的集合不再是一匹马了，这是不包含自己在内的集合。我国古代名家思想家就曾初步思考这一类问题。公孙龙子的“白马非马”说的是集合（马）和它的真子集（白马）是有区别的。不仅“真子集”与“集合”不能混同，而且集合的“元素”和“集合”本身也不能混同。例如，鸡的“右足”和“左足”是“鸡足”集合的元素“，黄马”和“黑\n第169页牛”是“动物”集合的元素。如果元素和集合可以混同，那末必定会推出“鸡三足”和“黄马、骊牛：三”的古怪结论。公孙龙的这些怪论中包含着集合论思想的萌芽。罗素的考虑当然要深刻得多。罗素注意到，“不包含自己的集合的集合”具有非常特殊的性质。它是否包含自己呢？如果包含的话，就有该集合的性质，即不包含自己；如果不包含的话，那就合乎相反的“包含自己的集合的集合”的性质，即包含自己。因此，所有“不包含自己的集合的集合”包含自己，当且仅当它不包含自己。矛盾！类似的悖论还有康托的“最大基数悖论”以及布拉里一福蒂的“最大序数悖论”。康托悖论是指这样的推论：首先，集合论中的康托定理是，任一集合的所有子集所组成的集合（称作“幂集，其基数必定大于原集合的基数。现按照概括原则构造一个“由一切集合所组成的集合”（称作“大全集，根据康托定理，大全集的基数也必定小于其幂集的基数。另一方面，由于大全集是包容一切集合的集合，因此这样的集合的基数理应是“最大”的基数，不可能再有更大的基数。于是构成矛盾。布拉里福蒂悖论是指这样的推论：集合论中有一个序数定理说的是，一个由序数所组成的良序集本身的序数必定大于作为元素的任一序数。现按照“概括原则”构造一个“由一切序数所组成的良序集。这个集合既然是由一切序数所组成的，因此理应包含“最大”序数在内。然而，根据序数定理，的序数却又比包含在中的本应是“最大”的序数还要大。于是构成矛盾。以上所举种种实例，对于阐明在逻辑哲学和数学哲学中克服悖论所必须处理的问题已经足够有代表性。悖论虽然早已为人所知，但被当作智力游戏而没有得到应有的重视。直到年发现罗素悖论，人们才认识到\n第170页的重要的哲学意义。在本书数学哲学部分，我们已经表明，在将算术化归为逻辑”的研究纲领指引下，逻辑主义者弗雷格已经把算术还原为语句演算、谓词演算和集合论然而，罗素却表明，罗素悖论恰恰是弗雷格系统的一条定理，因而该系统不是无矛盾的。这一发现无疑在认识论上给弗雷格的理想极大的打击。这样看来，罗素悖论对于那些试图创立逻辑上无矛盾的集合理论的人，自然成为一种关键性的遏制因素。在上一章我们已经看到，语义悖论对于建立逻辑上无矛盾的真理的语义理论，也具有十分类似的作用。于是，按照性质的不同，悖论可以区分为“逻辑数学悖论”和“语义悖论”两大类型。罗素的学生兰姆赛首先作出了这种区别“。逻辑数学悖论”，如罗素悖论、康托（最大基数）悖论、布拉里福蒂（最大序数）悖论等，只有借助于逻辑和数学的符号才能构造起来语义悖论，，，如说谎者悖论及其变种、格里林悖论、贝理悖论和理查德悖论等，本质上包含有“可定义的”“、真”“、假”等语义学词项。正象世界上任何事物都有两重性一样，悖论的出现也有两重性。语义悖论的出现，一方面威胁到语言科学的原有基础，另一方面却又促进了新的理论语义学的建立。相应地，逻辑－数学悖论的出现，一方面威胁到逻辑和数学的原有基础，另一方面又促进了逻辑和数学的无矛盾的形式化研究。悖论的破坏性和促进性这两个方面是相反相成的。正因为如此，塔斯基一方面清楚地意识到悖论的出现对人类思维的危害性，另一方面又特别强调它对现代演绎科学基础的确立所起的促进作用。塔斯基在《真理的语义概念与语义学基础》一书中说“：正如集\n第171页合论悖论，尤其是罗素悖论（关于所有那些不是自己元素的类的类）是逻辑和数学无矛盾地形式化的成功尝试的出发点一样，说谎者悖论以及其它悖论导致理论语义学的建立。（”第页）围绕着悖论的各种解救办法悖论的症结在于，根据看来十分健全的推理（即根据看来完全可接受的前提，加上逻辑上的有效推理）得出了矛盾。为此，对于合格的解决方案可以提出两种要求，即逻辑形式方面的技术上的要求和实质方面的哲学上的要求。悖论的解答应给出一个无逻辑矛盾的形式理论，在形式上它能阐明那些表面严密的推理，其实它的前提并非真正可接受的；在哲学上它能阐明为什么这些前提表面上“天衣无缝”而实际上却“有隙可击”。进一步的要求是：悖论的解答应当刚好能限制、堵死所有相关的自相矛盾论证，而不至于削弱应保留的有关的有效推理。第一种著名的典型的解答方案是罗素的类型论。弗雷格受到罗素悖论的打击几乎泄了气，而罗素则自信能使集合论恢复无矛盾性，并使数学家能够接受。作为哲学上的解答，罗素认为悖论的根源在于，违背了所谓“恶性循环原则”的有效原则。即：“如果能构成一个总体的某种集，将有依据这个总体才能确定的元素，那末这种集就没有总体”例如，古希腊的说谎者悖论涉及所有克里特人所说的话这个总体；康托悖论涉及所有基数这个总体：布拉里福蒂悖论涉及所有序数这个总体；罗素悖论涉及所有不是自己元素的集合的这个总体等等。罗素和怀特海在《数学原理》中采用类型论，其目的正在于对“恶性循环原则”给以在逻辑形式上的严密而系统的阐述。罗素的类型论的基本思想在于：一是“类的划\n第172页分”，即个体、集合、集合的集合分别属于不同类型的论域，相应地对形成规则也作了限制；要成为合式公式，必须是比更高的一个类型。二是“级的划分”，这是对类型划分的一种补充“。类的划分”对于避免罗素悖论和其它逻辑数学悖论已经足够，但对避免语义悖论还不充分。于是又增加“级的划分”，对真、假也划分不同等级，评价级命题的真、假已经是级的命题。这样就能避免说谎者悖论以及诸如此类的语义悖论。罗素认为，所有悖论的通病都是陷入恶性循环，这个原则促使他在形式理论方面作出“类型划分”和“级的划分”，因而为类型论提供了哲学上的基础。不过，罗素的解答方案也存在困难。因为罗素的限制既克服了悖论，却也限制了必要的数学证明（如自然数无限性的证明等）以及必要的集合论定律（如“全集”与“空集”互为补集），还有被恶性循环原则所排除的循环并不都是恶性的。另外，罗素的类型论（称作“分支类型论显得过分烦琐。后来兰姆赛把它简化为“简单类型论”，保留其精华，作了些改进。例如，保留“类型划分”，仍禁止类型的混淆，但允许直谓定义”方法（如“武汉大学研究生中的最优者”），因为这种循环并非真正恶性的。第二种典型的解答方案是塔斯基的语言层次理论，我们已经在上一章作了分析。概括地说，塔斯基认为，真理应当在语义上开放的语言系统中进行定义，否则语义悖论是不可避免的。他参照罗素的类型论，划分了语言的层次：对象语言元语言（包括指称中表达式的手段，以及谓词“在中真（假）；元言可如法炮制）。这样一来“，这个语句在中假”本身必须是非直谓”的含义是，不直接说如不直接说一个个体而借某个总体间接、兜圈子地说到一个个体。\n第173页中的语句，不能在中真。悖论就消除了。克里普克提出了克服悖论的另一种解答：强调语义上的“基础性”。克里普克企图寻求关于悖论根源的更好的解释。他认为“，基础性”是个关键概念，它可以合理地解释普通语句如何指派真值，以及异常语句（悖论）为何不能取值。实际上，读者在听到关于克里特人说谎的故事或是《唐吉柯德》中过路人的故事时，往往会产生这样一种感觉，故事中悖论语句的真假值仿佛是飘在空中的、没有着落的。用克里普克的话说，就是缺乏基础性。基础性的直观概念可以形式地定义为：如果一个合式公式在最小固定点上有一个真值，则这个合式公式是有基础的，否则就是无基础的。例如，从“‘雪是白的’是真的”扩展到“‘真理的语义学概念’中有些语句是真的”被认为是有基础的。因为“雪是白的”是真的，这句话是实实在在的。悖论都是无基础的。当然，克里普克也看到，并非无基础的语句都是悖论，例如“这句话是真的”是无基础的但并不自相矛盾。克里普克的解答在形式方面不如罗素的类型论那样具体。罗素的类型论，无论如何对数理逻辑是个巨大的贡献，因为它解决了《数学原理》的一致性问题。不过，它有点因噎废食，使得某些传统数学定理难以证明。为了既维护集合论又避免悖论，作为构造集合论的方法还发展了几条完全不同的思路：第一，由现代公理化集合论奠基者策梅罗首创并由弗朗克所发展的克服悖论的方法。主要是提出“限制集合存在”的假说。策梅罗意识到，悖论的产生是由于使用了过分大的不加限制的集合，特别是“大全集”。因此他认为应当否认如下原则：对每一个想象得到的可陈述条件来说，实际上都存在一个集合，这个集合的元素必定满足\n第174页那个条件。换句话说，想象得到的集合并非总是实际上可以存在的。这样就可以限制住罗素悖论和康托悖论等集合论悖论。在策梅罗的公理化集合论中，集合的性质是由公理所规定的。策梅罗注意这样地选择公理：仍保留那些不会引起悖论的公理，尽可能多地演绎出有关集合所需要的定理。策梅罗等人所得的是所谓公理系统，包括对偶公理、并集公理、幂集公理、分出公理、无穷公理、替换公理、基础公理、外延公理、空集存在公理和选择公理等基本公理。系统只允许“行为正常”的集合，不允许“行为反常”的集合。作为悖论病根的大全集在系统中不能得到构造。第二，冯诺意曼采取了另一种避免悖论的方法。他不是限制集合的存在，而是限制做元素的资格。他认为，悖论产生的真正根源不在于使用了过大的集合，而在于把那些过大的集合再用作其他集合的元素或自身的元素。因此，他认为有必要采取措施阻止那些过大的集合再充当其他集合的元素或自身的元素。他的“限制做元素资格”的基本方法是，把集合划分成两类（：类，例如全集，不能成为其他集合的元素；）真集合，可以成为其他集合的元素。冯诺意曼所首创，并经贝尔纳斯、哥德尔等人发展的公理化集合论系统，称作系统。它的基本特点就是如此。第三，直觉主义者也不需要罗素的类型论，因为他们有自己的避免悖论的方法。从直觉主义立场看，类型论排斥“非直谓定义”的做法是正确的，因为这种定义会引起循环，无法在直觉中构造完成。另一方面，类型论有时限制过严而有时限制又过宽。例如，类型论不允许“所有空集的集合”，但从直觉主义立场看却是可构造的。然而，类型论所允许的可化归公理和选择公理，从直觉\n第175页主义立场看却是非构造性的。从直觉主义立场看，数学上的真、假固然是构造性的，但非真非假也是可能有意义的，真与假并不必然相互冲突，我们没有义务非得遵守“排中律”不可。可见，直觉主义者有自己的避免陷入悖论的非常独特的方法。关于悖论本质的不同看法对于悖论的本质，存在着形形色色的不同看法。归纳起来，主要有以下几种：第一种观点认为，悖论是一种有意义的矛盾，或者就是辩证判断。例如杨熙龄先生在《悖论研究八十年》一文中说：“悖论在逻辑学上的重大意义，是在于它是形式逻辑系统中出现的辩证判断”。罗马尼亚逻辑学家瓦尔德在《辩证逻辑导论》中认为，悖论是辩证逻辑研究的重要对象。现代科学家所面临的许多辩证判断，如辐射现象是粒子也是波，光速是常数也是变数等，都是悖论。瓦尔德还认为，重言式（同语反复）是最低限度的认识，而悖论则包含最大限度的知识，甚至最伟大的真理，在其最初出现时都具有悖论的形式。悖论其实并非与真理相矛盾，而是与常识相矛盾。保加利亚哲学家彼特洛夫在《黑格尔的矛盾真理命题》一文中说：“一部分辩证对立在逻辑悖论中得到了反映或表达。不是所有的自相矛盾命题都可以被宣布为一种先验的错误。”他的结论是，尽管逻辑悖论违背不矛盾律，但不就是谬误，而可以是特殊的客观真理。第二种观点认为，悖论是地地道道的逻辑矛盾，决不是辩证判断。有人非常明确地表示过“：悖论是不是‘辩判断’，只要略加分析就清楚了。‘我在说这句话时正在说谎，，它的辩证性体现在哪里呢？如果肯定这句话是真的，则它是假的⋯⋯，这是地地道道的逻辑矛盾，是思维中的自相矛盾，根本就不是什么‘辩证矛盾’。不管怎\n第176页么变戏法，悖论决不能变成‘辩证判断’。（”见《哲学研究》年第期《论语义悖论》一文）第三种观点认为，世纪以后提出的种种所谓“悖论”，如罗素悖论、最大基数悖论等等，都是关于自相矛盾的一种幻觉和假相，实质上都是似悖非悖的东西“。悖论”既不是真正的自相矛盾，又与辩证矛盾不相干。通过深入细致的逻辑分析“，悖论”中的“自相矛盾”可以被澄清、消解。因此“，悖论”问题本质上属于一种“虚妄的问题”。（并不否认，幻觉也有客观基础，即使“神仙、鬼怪”之类的虚概念也可以找到社会心理根源。）按照我的理解，这就是林邦瑾在《制约逻辑》中所表明的关于悖论的本质的基本观点。第四种观点认为，无论把悖论等同于辩证判断，看作一种特殊的真理，或是把悖论简单地说成是“主观错误”都是不对的。“悖论实质上是客观实在的辩证性与主观思维的形而上学性及形式逻辑化的方法的矛盾的集中表现。’夏基松、郑毓信《西方数学哲学》）例如，就现实原型而言，集合在本质上是辩证的：它既是一种完成了的对象，又具有无限扩张的可能性。但人们对集合的认识则往往是，或者片面强调集合的完成性，或者片面强调集合的可扩张性。当这两个对立环节机械地重新联结起来时必将发生冲突，形成所谓逻辑一数学悖论。这种观点还认为，认识方法的形式逻辑化是造成悖论的重要原因之一，因为形式逻辑的明确性和单义性的要求将会妨害对象辩证性的体现。我们认为，尽管以上种种观点看来相互对立，但每一种观点都有一定的合理之处，并且可以在一定条件下统一起来。我们的观点是：第一，悖论的确不能简单地归结为普通的逻辑矛盾\n第177页或幻觉。若是悖论只是一种明显的逻辑错误，那末具有普通智力的人就能很快识破它。那就不会发生许多大数学家、逻辑学家和语言学家相继耗费数十年的精力认真加以研究的事了。用语用学观点来下定义，悖论甚至可说是一种足以使智商足够高的人大伤脑筋的特殊的形式矛盾，一种使逻辑学家、数学家和语言学家大伤脑筋的形式矛盾。它是通过有效推理产生的。第二，悖论背后总是有某种辩证矛盾隐蔽地在起作用。但悖论却不能简单地等同于在它背后的辩证矛盾。因为，若是可以将此两者直接等同起来，那末一切排除悖论的努力就都变成多余的了。并且，认为悖论威胁逻辑和数学的原来基础以及危害人类思维的看法就变得不可理解的了。从某种意义上说，悖论确实是一种可消除的假象。但辩证唯物主义认为，即使假象也是本质的一个方面、一个规定、一个环节。假象是对本质的间接的曲折的反映。这样看来，悖论可以理解为对它背后的辩证矛盾的间接的曲折的反映。例如康托悖论等集合论悖论，作为通过有效推理从集合论推出的无可奈何的矛盾，间接地反映着无限集合的完成性和可扩张性的辩证矛盾。第三，悖论是一种有待澄清的形式矛盾，深入细致的逻辑分析有助于澄清问题而决不是增加含混性。因此，那种以为追求形式逻辑的确定性似乎是产生悖论的一个重要原因的猜想是没有根据的。出现“悖论”中的自相矛盾，过错不在于逻辑的确定性，不在于有效的逻辑推理，而在于原有的背景知识有问题，原先公认可接受的前提成问题。伽利略所发现的“部分等于整体”的悖论就是一个合适的例子。伽利略在《两种新科学》中提出了这样一个事实，即自然数及其平方数之间可以一一对应起来：\n第178页既然如此，自然数及其平方数的项数就是相等的了，但自然数明明比平方数多得多。真奇怪，为什么能有“部分同整体相等”呢？谁都知道“。整体大于部分”，这是一条从亚里士多德、欧几里得时代起就公认的古老公理。可是伽利略所发现的悖论却违背这条公认的可接受的前提。原来，这条公理只能适用于有限量，却不适用于无限量。原有的背景知识成问题。现在有人反过来说，“伽利略悖论”不能算真正的悖论，因为其中的形式矛盾是可以澄清的、消除的。可是，现代的更典型的逻辑一数学悖论的情况难道不也正是这样吗？就以集合论中的悖论为例。康托悖论中推出了“有比‘最大，基数更大的基数”的矛盾，过错不在于有效推理，而在于原有的背景知识。人们只是根据研究有限量的经验才确信，存在着确定的最大基数。可是，对于无限量而言，原先公认可接受的前提不再成立。当集合处在无限扩张过程中时，就根本不存在任何固定不变的“最大”基数。同理，也不存在固定不变的“最大”序数。可见，现代悖论中的形式矛盾同样是可能澄清或消除的。只是有些悖论更复杂些罢了。第四，进一步说，悖论中的形式矛盾被澄清的过程，也就是悖论背后的辩证矛盾被理解的过程。我们认为，对于悖论结构的精细的逻辑分析，不仅不妨害辩证逻辑，而且是有益于辩证逻辑的。比如我们说，语义悖论（如说谎者悖论）背后隐藏着辩证法，那末它的辩证性体现在哪里？回答是，辩证逻辑向来认为判断的真假并不具有绝对固定的性质，相反却认为判断的真假是有条件的可变动的，并在某种特定\n第179页意义上可以互相转化的。在这一点上，辩证逻辑与从固定的真假值研究思维形式和规律的经典逻辑适成对照。而说谎者悖论恰恰为说明辩证逻辑所要求的那种可转化的真假值概念提供了一个既简单又合适的实例。必须指出，在罗素、塔斯基之前，说谎话悖论中真假值的转化条件是没有被说清楚的，因此它未能摆脱“机智的诡辩”的地位，不能当作辩证判断合理地被接受。有人片面地强调辩证逻辑的流动性，以致于将它与逻辑确定性和一致性对峙起来。实质上，辩证逻辑既是逻辑就不能没有逻辑确定性，它的真正特征在于能把握流动性中的逻辑确定性。因此，按照我们所作的解释，塔斯基的语言层次理论中的真、假概念既严格确定（对特定层次）又相对化（在不同层次上可变动），是合乎辩证逻辑要求的。又如，在数学史上，牛顿凭借他的科学经验，很早就猜测到无穷小量的辩证本性（一方面象“是零”，另一方面象“是非零，并且用它解决了不少应用问题，却未能在逻辑上把这种复杂关系说清楚，因而未能摆脱诡辩’，的嫌疑，陷入了贝克莱所批评的“自相矛盾所谓“贝克莱悖论”）之中。后来，柯西和魏尔斯特拉斯终于在发明—（或）语言的基础上建立了严密的极限理论，这套语言借助于“任意给定的小正数任意不确定的，给定确定的）较好地把握了无穷小变量的流动性之中的逻辑确定性，使微积分学从悖论危机之中解救出来。本世纪年代所出现的标准分析”，则是考虑现代逻辑和集合论成果的，对无穷小量辩证性质在逻辑上另一种合理的说明。总之，在悖论中形式矛盾被澄清的过程中，深入细致的逻辑分析与辩证法是并行不悖的。一般地，当悖论\n第180页的“精细结构”被搞清楚之后，“自相矛盾”的假相就随之消失，但辩证矛盾并不因此被取消。相反，辩证矛盾的内核被保留下来，并且得到合理解释。我们历来认为，一切辩证矛盾，归根结蒂，在逻辑上并不自相矛盾。关键在于，要把问题说清楚。反之，没有充分说清楚的辩证矛盾，则往往具有“悖论”的假相。这里，我们想起毛泽东在抗日游击战争的战略问题》中的一段话：“一切军事行动的指导原则，都根据于一个基本的原则，就是：尽可能地保存自己的力量，消灭敌人的力量。何以解释战争中提倡勇敢牺牲呢每一战争都须支付代价，有时是极大的代价，岂非和‘保存自己，相矛盾其实一点也不矛盾，正确点说，是相反相成的。因为这种牺牲，不但是为了消灭敌人的必要，也是为了保存自己的必要部分的暂时的‘不保存（，牺牲或支付），是为了全体的永久的保存所必需的（”着重号是引者加的）不难看出，“勇敢牺牲”与“保存自己”的辩证矛盾在未被解释清楚时很象“悖论”，而在解释清楚之后，既没有丧失辩的性质，又完全合乎逻辑。引文中“其实一点也不矛盾”，是从普通逻辑意义上说的正确点说，是相反相成的”，是从辩证逻辑意义上说的。可见，悖论问题对推进辩证逻辑研究无疑是十分有意义的。\n第181页参考书目罗素数理哲学导》，商务印书馆年版。数学哲学》，年英文版。夏基松郑毓信《西方数学哲学》，人民出版社毕版数学哲学选读》，年英文版。彭加勒《科学与假设》，商务印书馆年版。克莱因《古今数学思想》，上海科技出版社年版。陆钦轼《罗巴切夫斯基几何浅说》，江苏人民出版社年版。塔斯基《逻辑与演绎科学方法论导论，商务印书馆年版逻辑哲学年英文版逻辑哲学》，年英文版。莫绍揆《数理逻辑初步》，上海人民出版社年版杨白顺主编《现代逻辑启蒙》，中国青年出版社年版（将出）。王雨田主编《现代逻辑导论》，中国人民大学出版社及年版。涅尔《逻辑学的发展》，商务印书馆年版江天骥《归纳逻辑导论》，湖南人民出版社年版。江天骥主编《西方逻辑史研究》，人民出版社年版亚里士多德《工具论》，广东人民出版社年版。丹齐克《数，科学的语言》，商务印书馆年版。