大学物理教案(下)

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第十章电磁感应§10-1法拉第电磁感应定律一、电磁感应现象，感应电动势电磁感应现象可通过两类实验来说明：1．实验1）磁场不变而线圈运动2）磁场随时变化线圈不动2．感应电动势由上两个实验可知：当通过一个闭合导体回路的磁通量变化时，不管这种变化的原因如何（如：线圈运动，变；或不变线圈运动），回路中就有电流产生，这种现象就是电磁感应现象，回路中电流称为感应电流。3．电动势的数学定义式定义：把单位正电荷绕闭合回路一周时非静电力做的功定义为该回路的电动势，即（10-1）说明：（1）由于非静电力只存在电源内部，电源电动势又可表示为表明：电源电动势的大小等于把单位正电荷从负极经电源内部移到正极时，非静电力所做的功。（2）闭合回路上处处有非静电力时，整个回路都是电源，这时电动势用普遍式表示：（3）电动势是标量，和电势一样，将它规定一个方向，把从负极经电源内部到正极的方向规定为电动势的方向。\n二法拉第电磁感应定律1、定律表述在一闭合回路上产生的感应电动势与通过回路所围面积的磁通量对时间的变化率成正比。数学表达式：在SI制中，，（），有（10-2）上式中“-”号说明方向。2、方向的确定为确定，首先在回路上取一个绕行方向。规定回路绕行方向与回路所围面积的正法向满足右手旋不定关系。在此基础上求出通过回路上所围面积的磁通量，根据计算。此外，感应电动势的方向也可用楞次定律来判断。楞次定律表述：闭合回路感应电流形成的磁场关系抵抗产生电流的磁通量变化。说明：（1）实际上，法拉第电磁感应定律中的“-”号是楞次定律的数学表述。（2）楞次定律是能量守恒定律的反映。例10-1：设有矩形回路放在匀强磁场中，如图所示，边也可以左右滑动，设以匀速度向右运动，求回路中感应电动势。解：取回路顺时针绕行，,,则通过线圈磁通量为由法拉第电磁感应定律有：\n“-”说明：与绕行方向相反，即逆时针方向。由楞次定律也能得知，沿逆时针方向。讨论：（1）如果回路为匝，则（为单匝线圈磁通量）（2）设回路电阻为（视为常数），感应电流在—内通过回路任一横截面的电量为可知与（）成正比，与时间间隔无关。例10-1中，只有一个边切割磁力线，回路中电动势即为上述产生的电动势。可见该边就是回路电源。该电源的电动势是如何形成的？或者说产生它的非静电力是什么？从图中可知，运动时，其上自由电子受洛仑兹力作用，从而B端有过剩的正电荷，A端有过剩的负电荷，形成了B端是电源正极，A端为负极，在洛仑兹力作用下，电子从正极移向负极，或等效地说正电荷从负极移向正极。可见，洛仑兹力正是产生动生电动势的非静电力。§10-2动生电动势一、产生动生电动势的非静电力产生动生电动势的非静电力是洛仑兹力。二．动生电动势公式的导出一个电子受洛仑兹力为（10-3）它是产生动生电动势的非静电力。单位正电荷受洛仑兹力为：（正电荷e受洛仑兹力为-）\n（10-4）由电动势定义，则动生电动势为：动生电动势公式（10-5）说明：（1）的方向为沿在上分量的方向。沿方向，即（2）用可求出运动回路电动势。用可求出非闭合回路运动的动生电动势。这时，相当一个开路电源，其端电压与在数值上相等，但意义不同：是单位正电荷从移到时静电力作的功，是单位正电荷从移到时非静电力（洛仑兹力）作的功。三、动生电动势计算举例例10-2：用j解例1解：整个回路的电动势即由运动引起的动生电动势（其他部分段产生的动生电动势为(为标量，标量叠加)可知，（就是中学中常用的公式。）*如图所示，长为的细导体棒在匀强磁场中，绕过处垂直于纸面的轴以角速度\n匀速转动。求解：〈方法一〉：用解（沿方向）段产生的动生电动势为：已知：与同向。∴棒产生的电动势为，即比点电势高。（上分量方向）〈方法二〉：用解设t=0时，AB位于AB‘位置，t时刻转到实线位置，取AB‘BA为绕行方向（AB‘BA视为回路），则通过此回路所围面积的磁通量为，∴沿方向。回路中只有产生电动势∴段电动势值为沿方向。注意：例10-4：如图所示，一无限长载流导线，电流为I，导体细棒CD与共面，并互相垂直，CD长为,C距为a,CD以匀速度沿方向运动，求CD中解：\n垂直指向纸面指向方向，即与反向。大小为。CD产生的为例10-5：如图所示，平面线圈面积为S，共N匝，在匀强磁场中绕轴以速度匀速转动。轴与垂直。t=0时，线圈平面法线与同向。（1）圈中（2）线圈电阻为R，求感应电流解：（1）设t时刻，与夹角为，此时线圈磁通量为：由法拉第电磁感应定律知：\n（2）§10-3感生电动势涡旋电场一、产生感生电动势的非静电力导体在磁场中运动时，其内的自由电子也跟随运动，因此受到磁力的作用，我们已经知道，洛仑兹力是动生电动势产生的根源，即是产生动生电动势的非静电力。对于磁场随时间变化而线圈不动的情况，导体中电子不受洛仑兹力作用，但感生电流和感应电流的出现都是实际事实。那么感生电动势对应的非静电力是什么呢？麦克斯韦分析了这种情况以后提出了以下假说：变化的磁场在它周围空间产生电场，这种电场与导体无关，即使无导体存在，只要磁场变化，就有这种场存在。该场称为感生电场或涡旋电场。涡旋电场对电荷的作用力是产生感生电动势的非静电力。（涡旋电场已被许多事实所证实，如电子感应加速器等。）说明：涡旋电场与静电场的异同点。相同点：二者对电荷均有作用力。不同点：（1）涡旋电场是变化磁场产生的，电力线是闭合的，为非保守场（。（2）静电场是由电荷产生的，电力线是闭合的，为保守场（。二、感生电动势计算公式由电动势定义知：感生电动势为：（）（10-6）再根据法拉第电磁感应定律，可有=（10-7）说明：法拉第建立的电磁感应定律的原始形式\n只适用于导体构成的闭合回路情形；而麦克斯韦关于感应电场的假设所建立的电磁感应定律=，则闭合回路是否由导体组成的无关紧要，闭合回路是在真空中还是在介质中都适用。这就是说，只要通过某一闭合回路的磁通量发生变化，那么感应电场沿此闭合回路的环流总是满足=。只不过，对导体回路来说，有电荷定向运动，而形成感应电流；而对于非导体回路虽然无感生电流，但感应电动势还是存在的。三、涡旋电场强度及感生电动势计算例10-6：如图所示，均匀磁场被局限在半径为R的圆筒内，与筒轴平行，，求筒内外解：根据磁场分布的对称性，可知，变化磁场产生的涡旋电场，其闭合的电力线是一系列同心圆周，圆心在圆筒的轴线处。1）筒内P点取过P点电力线为闭合回路，绕行方向取为顺时针，可知====即方向如上图所示，即电力线与绕向相反（实际上，用楞次定律可方便地直接判出电力线的绕行方向）。2）筒外Q点取过Q点电力线为回路，绕行方向为顺时针。==\n=及==即方向如上图所示。注意：（1）在筒外也存在电场。（2）磁通量的计算。（3）方向可用楞次定律判断。（4）回路无导体时，只要，则例10-7：如图所示，均匀磁场被限制在半径为R的圆筒内，与筒轴平行，。回路abcda中ad、bc均在半径方向上，ab，dc均为圆弧，半径分别为r、r’、已知。求该回路感生电动势。解：根据磁场分布的对称性，可知，变化磁场产生的涡旋电场的电力线示是一系列同心圆，圆心为O.<方法一>用解取abcda为绕行方向，=+++在bc、da上，垂直于。∴∴=+=+=—=—\n=—=∴为逆时针方向。<方法二>用解通过回路的磁通量等于阴影面积磁通量=BS=B()逆时针方向。讨论：在半径方位上不产生电动势，强调：一题多解，并学会简单方法。§10-4自感与互感现象一、自感现象1．自感现象当一回路中有电流时，必然要在自身回路中有磁通量，当磁通量变化时，由法拉第电磁感应定律可知，在回路中要产生感应电动势。由于回路中电流发生变化而在本身回路中引起感应电动势的现象称为自感现象。该电动势称为自感电动势。（实际上，回路中电流不变，而形状改变，则也引起自感电动势。）2．自感系数（1）定义：设通过回路电流为I，由毕—沙定律可知，这电流在空间任意一点产生的其大小与I成正比，所以通过回路本身的磁通量与I成正比，即(10-6)式中：L定义为自感系数或自感，L与回路的大小、形状、磁介质有关（当回路无铁磁质时，L与I无关）。在SI单位制中，L单位为亨利，记作H。（2）自感电动势与L的意义自感电动势记为，=当回路的形状、大小、磁介质不变时，\n（10-7）当线圈有N匝时，，为一匝线圈磁通量，即自感系数扩大N倍，N称为磁通链匝数。说明：（1）（10-6）、（10-7）式均可看作L的定义式，它们是等效的。（2）L的意义：①由(1)式知，自感系数L在数值上等于回路中电流为1个单位时通过回路的磁通量。②由(10-7)式知，回路中自感系数在数值上等于电流随时间变化为1个单位时回路中自感电动势的大小。例10-8：如图所示，长直螺线管长为，横截面积为S，共N匝，介质磁导率为（均匀介质）。求L=?解：设线圈电流为I，通过一匝线圈磁通量为通过N匝线圈磁通链数为由有（为螺线管的体积）说明：（1）由于计算中忽略了边缘效应，所以计算值是近似的，实际测量值比它小些。（2）只与线圈大小、形状、匝数、磁介质有关。例10-9：如图所示，同轴电缆半径分别为a、b,电流从内筒端流入，经外筒端流出，筒间充满磁导率为的介质，电流为I。求单位长度同轴电缆的解：由安培环路定律知，筒间距轴r处大小为：（）取长为h一段电缆来考虑，穿过阴影面积磁通量为（取向里）：==单位长电缆自感系数为\n二、互感现象1、互感现象假设有两个临近的线圈1、2，如图所示，它们通过电流分别为I1、、I2。I1产生的磁场，其部分磁力线（实线）通过线圈2，磁通量用φ21表示，当I1变化时，在线圈2中要激发感应电动势,同理，I2变化时，它产生的磁场通过线圈1的磁通量φ12也变化，在回路1中也要激发感应电动势。如上所述，一个回路的电流发生变化时，在另外一个回路中激发感应电动势的现象称为互感现象，该电动势称为互感电动势。2、互感系数（1）定义：根据毕—沙定律，I1在空间任一点产生的磁感应强度大小与I1成正比，所以，I1产生的磁通量通过线圈2的磁通量φ21也与I1成正比，即同理：理论和实际都证明M12=M21=M（10-8）式中：M定义为互感系数，或互感。M与回路的大小、形状、磁介质及二者相对位置有关。在SI单位制中，M单位为H。（2）互感电动势与M意义由法拉第电磁感应定律知，当回路大小、形状、磁介质、线圈相对位置不变时，(10-9)当线圈1、2分别有N1、N2匝数，磁通链数分别为（是一个线圈磁通量）\nM意义：①由（3）式知：在数值上等于其中一个线圈通有一个单位电流时在另外一个线圈中通过的磁通量。②由（10-9）知：在数值上等于其中一个线圈中电流变化率为一个单位时在另一个线圈中产生互感电动势的大小。例10-10：如图所示，一螺线管长为，横截面积为S，密绕导线N匝，在其中部再绕匝另一导线线圈。管内介质的磁导率为，求此二线圈互感解：设长螺线管导线中电流为，它在中部产生的大小为产生的磁场通过第二个线圈磁通链数为：依互感定义：有例10-11：如图所示，两圆形线圈共面，半径依次为，，匝数分别为。求互感系数。解：设大线圈通有电流，在其中心处产生磁场大小为∵，∴小线圈可视为处于均匀磁场，为O处值记为，通过小线圈的磁通链数为由有,（用困难。）§10-5磁场能量如图所示，R为电阻，L为自感线圈，为电源电动势。K为电键。K刚关闭（设此时t=0）后，由闭合回路的欧姆定律\nR（）上式两边同时乘以，并对时间积分，有在0-t时间内∴电源作功—反抗自感电动势作功=电路R上焦耳热即电源作功一部分用来产生焦耳热，一部分用来克服自感电动势做功。我们知道，当电路上电流从0I时，电路周围空间建立起来逐渐增强的磁场，磁场与电场类似，是一种特殊形态的物质，具有能量。所以，电源反抗自感电动势作的功，必然转变为线圈的磁场能量。所以，磁场能量为（10-10）此公式与电场能量相类似（），下面以螺线管为例，求出磁场能量密度表达式。环行螺线管磁场能量为：式中为螺线管体积，可得磁场能量密度函数为（10-11）此式与电场能量密度相类似。说明：（1）对任意线圈均成立。（2）表达式普遍成立。（3）任意磁场中，能量可表示为例10-12：用磁场能量方法解例10-9。\n解：由安培环路定律知，。∴除两筒间外无磁场能量。在筒间距轴线为处，为：在半径为处、宽为、高为的薄圆筒内的能量为在筒间能量为：∵∴单位长同轴电缆为：第十一章电磁场基本理论11-1位移电流全电流定律法拉第电磁感应定律发现后，麦克斯韦为了解释感生电动势的产生，提出了变化的磁场产生电场的假说，麦克斯韦又认为电场和磁场具有对称性，变化的磁场既然能激发电场，变化的电场也必然能激发磁场。就其产生磁场来说，变化的电场与一电流等效，这个等效电流被称为位移电流。下面介绍有关位移电流的概念。一、问题的提出对于稳恒电流，有\n对于非稳恒电流，上式是否成立？在讨论此问题之前，先说一下电流的连续性问题。在一个不含电容器的闭合电路中，传导电流是连续的，即在任一时刻，通过导体上某一截面的电流等于通过任何其他截面的电流。但在含电容器的电路中，情况就不同了，无论是电容器充电还是放电，传导电流都不能在电容器的两极间通过，这时电流就不连续了。如图所示，在电容器充电过程中，电路中I随时间改变，是非平衡的。现在在极板A附近取回路L，并以L为边界形成曲面和，其中与导线相交，过二极板之间，与电场线相交，、构成一闭合曲面。图11-1对而言，有，对而言，有。∵上述积分应相等，∴出现了矛盾。故在非平衡电流下，安培定律不成立，必然要找新的规律。二、位移电流的假设如上图所示，设某一时刻A板上有电荷+，面密度为＋，B板上有电荷电荷面密度为－。充电时，则导线中传导电流为I，（S为极板面积）传导电流密度为（大小）在极板间：（电流不连续）我们知道，充电中是变化的。∴和（电位移通量）也是随时间变化的，它的变化率为从上述方程看出，极板间电通量随时间的变化率在数值上等于导线内传导电流；极板间电位移随时间变化等于导线内传导电流密度，并且进一步分析知和同向，∴可设想和分别表示某种电流密度和电流，能把极板A、B间中断的电流接下来，构成电流的连续性。于是，麦克斯韦引进了位移电流假设。令：（11-1）（11-2）式（11-1）和（11-2）中的、分别称为位移电流和位移电流密度（极板间）。可见，上面出现的矛盾能够解决了，即前面二个积分相等了。\n注意：位移电流和传导电流的关系（1）共同点：都能产生磁场（2）不同点：位移电流是变化电场产生的（不表示有电荷定向运动，只表示电场变化），不产生焦尔热；传导电流是电荷的宏观定向运动产生的，产生焦尔热。三、全电流环路定律如果电流中同时存在传导电流与位移电流，那么安培环路定率可表示为即（11-3）式（11-3）称为全电流环路定律。该式右边第一项为传导电流对磁场贡献，第二项为位移电流（既变化电场）对磁场的贡献。它们产生的磁场都来源于电场。麦克斯韦位移电流假设的根源就是变化的电场激发磁场。说明：全电流环路定律普遍适用。11-2麦克斯韦方程组在一般情况下，电场可能包括静电场和涡旋电场，∴同理，在一般情况下，磁场既包括传导电流产生的磁场也包括位移电流产生的磁场，即一般情况下，电磁规律可由下面四个方程来描述（11-4）上面四个方程称为麦克斯韦方程组（积分形式）。例11-1：如图所示，有平行板电容器，由半径为的两块圆形极板构成，用长直导线电流给它充电，使极板间电场强度增加率为，求距离极板中心连线处的磁场强度。（1）；（2）。\n解：忽略电容边缘效应，极板间电场可看作局限在半径为内的均匀电场，由对称性可知，变化电场产生的磁场其磁力线是以极板对称轴上点为圆心的一系列圆周。（1）取半径为的磁力线为绕行回路，绕行方向同磁力线方向。由全电流环流定律有可有（2）取半径为的磁力线为回路，绕行方向同磁力线方向，由有得例11-2：从公式证明平行板电容器与球形电容器两极板间的位移电流均为，其中为电容，为板间电压。证：（1）平行板电容器（2）球形电容器例11-3：平行板电容器的正方形极板边长为，当放电电流为\n时，忽略边缘效应，求：（1）两极板上电荷面密度随时间变化率；（2）通过极板中如图所示的正方形回路abcda区间的位移电流大小；（3）环绕此正方形回路的的大小。解：（1）（2）（3）？１1－3电磁波简介一、磁波的形成变化的电场产生变化的磁场，变化的磁场产生变化的电场。二、磁波的性质研究表明，电磁波的性质主要有如下几点：1、电磁波是横波，也就是电磁波强度与磁场强度的振动方向与电磁波的传播方向（单位矢量）垂直，即：，。2、电场强度与磁场强度垂直，即3、与随时间的变化是同步的（以后将介绍这种情况称为同位相），并且电磁波的传播方向就是的方向。图　　示意了平面电磁波某一时刻的波形情况。4、与幅值成比例令，代表与的幅值，理论计算表明，和的关系位5、电磁波的传播速度计算表明，电磁波在介质只传播速度的大小为\n如果在真空中传播，，电磁波的速度为即真空中电磁波的传播速度，正好等于光在真空中的传播首都。麦克斯韦根据这一事实，预言光波就是一种电磁波。第十二章机械振动§12-1简谐振动1、弹簧振子运动如图所取坐标，原点O在m平衡位置。现将m略向右移到A，然后放开，此时，由于弹簧伸长而出现指向平衡位置的弹性力。在弹性力作用下，物体向左运动，当通过位置O时，作用在m上弹性力等于0，但是由于惯性作用，m将继续向O左边运动，使弹簧压缩。此时，由于弹簧被压缩，而出现了指向平衡位置的弹性力并将阻止物体向左运动，使m速率减小，直至物体静止于B（瞬时静止），之后物体在弹性力作用下改变方向，向右运动。这样在弹性力作用下物体左右往复运动，即作机械振动。图12-12、简谐振动运动方程由上分析知，m位移为x（相对平衡点O）时，它受到弹性力为（胡克定律）：(12-1)式中：当即位移沿+x时，F沿-x，即当即位移沿-x时，F沿+x，即为弹簧的倔强系数，“—”号表示力F与位移x（相对O点）反向。定义：物体受力与位移正比反向时的振动称为简谐振动。由定义知，弹簧振子做谐振动。由牛顿第二定律知，加速度为（为物体质量）∵∴\n∵、均大于0∴可令可有：(12-2)式(12-2)是谐振动物体的微分方程。它是一个常系数的齐次二阶的线性微分方程，它的解为(12-3)或(12-4)式(12-3)(12-4)是简谐振动的运动方程。因此，我们也可以说位移是时间的正弦或余弦函数的运动是简谐运动。本书中用余弦形式表示谐振动方程。3、谐振动的速度和加速度物体位移：速度：(12-5)加速度：(12-6)可知：、、曲线如下图12-2\n图12-3说明：（1）是谐振动的动力学特征；（2）是谐振动的运动学特征；（3）做谐振动的物体通常称为谐振子。§12-2谐振动的振幅角频率位相上节我们得出了谐振动的运动方程，现在来说明式中各量意义。1、振幅做谐振动的物体离开平衡位置最大位移的绝对值称为振幅，记做。反映了振动的强弱。2、角频率（圆频率）为了定义角频率。首先定义周期和频率。物体作一次完全振动所经历的时间叫做振动的周期，用表示；在单位时间内物体所作的完全振动次数叫做频率，用表示。由上可知：或∵为周期，∴∵从时刻经过1个周期时，物体又首次回到原来时刻状态，∴（余弦函数周期为）可见：表示在秒内物体所做的完全振动次数，称为角频率（圆频率）∵∴对于给定的弹簧振子，、都是一定的，所以、完全由弹簧振子本身的性质所决定，与其它因素无关。因此，这种周期和频率又称为固有周期和固有频率。3、位相在力学中，物体在某一时刻的运动状态由位置坐标和速度来决定，振动中，当、给定后，物体的位置和速度取决于，称为位相（或周相、相位）。\n由上可见，位相是决定振动物体运动状态的物理量。是时的位相，称为初相。4、、的确定对于给定的系统，已知，初始条件给定后可求出、。初始条件：时由、表达式有即即（12-6）（12-7）值所在象限：1），：在第Ⅰ象限2），：在第Ⅱ象限3），：在第Ⅲ象限4），：在第Ⅳ象限5、两个谐振动物体在同一时刻位相差设物体1和2的谐振动方程为图12-4任意时刻二者位相差为：2的位相比1超前：2、1同位相：2的位相比1落后例12-1：如图所示，一弹簧振子在光滑水平面上，已知，，试求下列情况下的振动方程。（1）将从平衡位置向右移到处由静止释放；\n（2）将从平衡位置向右移到处并给以向左的速率为。解：（1）的运动方程为由题意知：初始条件：时，，可得：∵∴2）初始条件：时，，∵，，∴可见：对于给定的系统，如果初始条件不同，则振幅和初相就有相应的改变。例12-2：如图所示，一根不可以伸长的细绳上端固定，下端系一小球，使小球稍偏离平衡位置释放，小球即在铅直面内平衡位置附近做振动，这一系统称为单摆。(1)证明：当摆角很小时小球做谐振动；(2)求小球振动周期。证：（1）设摆长为，小球质量为，某时刻小球悬线与铅直线夹角为，选悬线在平衡位置右侧时，角位移为正，由转动定律：有图12-6即∵很小。∴∵这是谐振动的微分方程（或与正比反向）∴小球在做谐振动。\n（2）（注意做谐振动时条件，即很小）§12-3表示谐振动的旋转矢量方法在中学中，为了更直观更方便地研究三角函数，引进了单位圆的图示法，同样，在此为了更直观更方便地研究简谐振动，来引进旋转矢量的图示法。一、旋转矢量自ox轴的原点o作一矢量，其模为简谐振动的振幅，并使在图面内绕o点逆时针转动，角速度大小为谐振动角频率，矢量称为旋转矢量。二、简谐振动的旋转矢量表示法图12-7（1）旋转矢量的矢端M在x轴上投影坐标可表示为x轴上的谐振动，振幅为（2）旋转矢量以角速度旋转一周，相当于谐振动物体在x轴上作一次完全振动，即旋转矢量旋转一周，所用时间与谐振动的周期相同。（3）时刻，旋转矢量与x轴夹角为谐振动的初相，时刻旋转矢量与x轴夹角为时刻谐振动的位相。说明：（1）旋转矢量是研究谐振动的一种直观、简便方法。（2）必须注意，旋转矢量本身并不在作谐振动，而是它矢端在x轴上的投影点在x轴上做谐振动。旋转矢量与谐振动曲线的对应关系（设）\n图12-8三、旋转矢量法应用举例例12-3：一物体沿x轴作简谐振动，振幅为，周期为。时，位移为，且向x轴正向运动。（1）求物体振动方程；（2）设时刻为物体第一次运动到处，试求物体从时刻运动到平衡位置所用最短时间。解：（1）设物体谐振动方程为由题意知〈方法一〉用数学公式求∵,∴∵∴图12-9〈方法二〉用旋转矢量法求根据题意，有如左图所示结果∴由上可见，〈方法二〉简单（2）〈方法一〉用数学式子求由题意有：（∵∴）或\n∵此时∴设时刻物体从时刻运动后首次到达平衡位置，有：或（∵∴）∵∴〈方法二〉用旋转矢量法求由题意知，有左图所示结果，M1为时刻末端位置，M2为时刻末端位置。从内转角为显然〈方法二〉简单。图12-10例12-4：图为某质点做谐振动的曲线。求振动方程。解：设质点的振动方程为由图知：图12-11\n用旋转矢量法（见上页图）可知，（或）例12-5：弹簧振子在光滑的水平面上做谐振动，为振幅，时刻情况如图所示。O为原点。试求各种情况下初相。图12-12§12-4谐振动的能量对于弹簧振子，系统的能量=（物体动能）+（弹簧势能）已知：物体位移物体速度（11-8）\n说明：（1）虽然、均随时间变化，但总能量且为常数。原因是系统只有保守力作功，机械能要守恒。（2）与互相转化。当时，，。在处，，。例12-6：一物体连在弹簧一端在水平面上做谐振动，振幅为。试求的位置。解：设弹簧的倔强系数为，系统总能量为在时，有∴例12-7：如图所示系统，弹簧的倔强系数，物块，物块，与间最大静摩擦系数为，与地面间是光滑的。现将物块拉离平衡位置，然后任其自由振动，使在振动中不致从上滑落，问系统所能具有的最大振动能量是多少。解：系统的总能量为（此时）不致从上滑落时，须有图12-13极限情况即\n§12-5同方向同频率两谐振动合成一个物体可以同时参与两个或两个以上的振动。如：在有弹簧支撑的车厢中，人坐在车厢的弹簧垫子上，当车厢振动时，人便参与两个振动，一个为人对车厢的振动，另一个为车厢对地的振动。又如：两个声源发出的声波同时传播到空气中某点时，由于每一声波都在该点引起一个振动，所以该质点同时参与两个振动。在此，我们考虑一质点同时参与两个在同一直线的同频率的振动。取振动所在直线为x轴，平衡位置为原点。振动方程为、分别表示第一个振动和第二个振动的振幅；、分别表示第一个振动和第二个振动的初相。是两振动的角频率。由于、表示同一直线上距同一平衡位置的位移，所以合成振动的位移在同一直线上，而且等于上述两分振动位移的代数和，即为简单起见，用旋转矢量法求分振动。图12-14图12-15如图所示，时，两振动对应的旋转矢量为、，合矢量为。∵、以相同角速度转动，∴转动过程中与间夹角不变，可知大小不变，并且也以转动。任意时刻，矢端在x轴上的投影为：因此，合矢量即为合振动对应的旋转矢量，为合振动振幅，为合振动初相。合振动方程为：（仍为谐振动）由图中三角形知：（12-9）\n由图中三角形知：（12-10）讨论：（1）时（称为位相相同）（2）时（称为位相相反）例12-8：有两个同方向同频率的谐振动，其合成振动的振幅为，位相与第一振动的位相差为，若第一振动的振幅为，用振幅矢量法求第二振动的振幅及第一、第二两振动位相差。解：（1）（2）∵∴图12-16例11-9：一质点同时参与三个同方向同频率的谐振动，他们的振动方程分别为，，，试用振幅矢量方法求合振动方程。解：如左图，（、、、构成一等腰梯形）图12-17第十三章机械波§13-1机械波的产生和传播一、常见机械波现象1、水面波。\n把一块石头投在静止的水面上，可见到石头落水处水发生振动，此处振动引起附近水的振动，附近水的振动又引起更远处水的振动，这样水的振动就从石头落点处向外传播开了，形成了水面波。2、绳波。绳的一端固定，另一端用手拉紧并使之上下振动，这端的振动引起邻近点振动，邻近点的振动又引起更远点的振动，这样振动就由绳的一端向另一端传播，形成了绳波。3、声波。当音叉振动时，它的振动引起附近空气的振动，附近空气的振动又引起更远处空气的振动，这样振动就在空气中传播，形成了声波。二、机械波产生的条件两个条件1、波源。如上述水面波波源是石头落水处的水；绳波波源是手拉绳的振动端；声波波源是音叉。2、传播介质。如：水面波的传播介质是水；绳波的传播介质是绳；声波的传播介质是空气。说明：波动不是物质的传播而是振动状态的传播。三、横波与纵波1、横波：振动方向与波动传播方向垂直。如绳波。2、纵波：(1)气体、液体内只能传播纵波，而固体内既能传播纵波又能传播横波。(2)水面波是一种复杂的波，使振动质点回复到平衡位置的力不是一般弹性力，而是重力和表面张力。(3）一般复杂的波可以分解成横波和纵波一起研究。四、关于波动的几个概念1、波线：沿波传播方向带箭头的线。2、同相面（波面）：振动位相相同点连成的曲面。同一时刻，同相面有任意多个。3、波阵面（或波前）：某一时刻，波源最初振动状态传播到的各点连成的面称为波阵面或波前，显然它是同相面的一个特例，它是离波源最远的那个同相面，任一时刻只有一个波阵面。（或：传播在最前面的那个同相面）4、平面波与球面波(1)平面波：波阵面为平面。\n(2)球面波：波阵面为球面。图13-1*：在各向同性的介质中波线与波阵面垂直。§13-2波长、波的周期和频率波速波长、波的周期、波的频率、波速是波动过程中的重要物理量，分述如下：一、波长波长:同一波线上位相差为的二质点间的距离（即一完整波的长度）。在横波情况下，波长可用相邻波峰或相邻波谷之间的距离表示。如下图。在纵波情况下，波长可用相邻的密集部分中心或相邻的稀疏部分中心之间的距离表示。二、波的周期图13-2波的周期:波前进一个波长距离所用的时间（或一个完整波形通过波线上某点所需要的时间）波动频率：单位时间内前进的距离中包含的完整波形数目。可有（13-1）说明：由波的形成过程可知，振源振动时，经过一个振动周期，波沿波线传出一个完整的波形，所以，波的传播周期（或频率）=波源的振动周期（或频率）。由此可知，波在不同的介质中其传播周期（或频率）不变。三、波速波速：某一振动状态在单位时间内传播的距离（单位时间内波传播的距离）。可有（13-2）\n对弹性波而言，波的传播速度决定于介质的惯性和弹性，具体地说，就是决定于介质的质量密度和弹性模量，而与波源无关。横波在固体中传播速度为：纵波速度为：（液、气、固体中）对大多数金属，，∴式中：固体切变弹性模量：介质的体积弹性模量：杨氏弹性模量：介质质量密度说明：波动速度与质点振动速度是不同的物理量。§13-3平面简谐波的波动方程一、简谐波及波动方程1、简谐波：当波源作谐振动时，介质中各点也都作谐振动，此时形成的波称为简谐波。又叫余弦波或正弦波。一般地说，介质中各质点振动是很复杂的，所以由此产生的波动也是很复杂的，但是可以证明，任何复杂的波都可以看作是由若干个简谐波迭加而成的。因此，讨论简谐波就有着特别重要的意义。2、简谐波的波动方程：设任一质点坐标为，时刻位移为，则关系即为波动方程。二、波动方程建立如图所示，谐振动沿+x方向传播，∵与x轴垂直的平面均为同相面，∴任一个同相面上质点的振动状态可用该平面与x轴交点处的质点振动状态来描述，因此整个介质中质点的振动研究可简化成只研究x轴上质点的振动就行了，设原点处的质点振动方程为式中，为振幅，为角频率，称为初相。\n图13-3设振动传播过程中振幅不变（即介质是均匀无限大，无吸收的）为了找出波动过程中任一质点任意时刻的位移，我们在ox轴上任取一点p，坐标为，显然，当振动从o处传播到p处时，p处质点将重复o处质点振动。∵振动从o传播到p所用时间为，所以，p点在时刻的位移与o点在时刻的位移相等，由此时刻p处质点位移为（13-3）同理，当波沿-x方向传播时，时刻p处质点位移为（13-4）利用由式（13-3）、（13-4）有（13-5）式（13-5）中，“-”表示波沿+x方向传播；“+”表示波沿-x方向传播。（为方便，下标省略）。式（13-5）称为平面简谐波方程。根据位相（或）关系，式（13-5）又可化为（13-6）注意：（1）原点处质点的振动初相不一定为0；（2）波源不一定在原点，因为坐标是任取的。三、波动方程的物理意义1、、均变化时，表示波线上各个质点在不同时刻的位移。\n为波动方程。2、时，表示处质点在任意时刻位移。波动方程变成了处质点振动方程。3、时，表示时刻波线上各个质点位移。波动方程变成了时刻的波形方程。4、、均一定，表示时刻坐标为处质点位移。例13-1：横波在弦上传播，波动方程为(SI)求：（1）（2）画出时波形图。解：（1）此题波动方程可化为由上比较知：另外：求可从物理意义上求（a）=同一波线上位相差为的二质点间距离设二质点坐标为x1、x2（设x2>x1），有，得（b）=某一振动状态在单位时间内传播的距离。设时刻某振动状态在处，时刻该振动状态传到处，有，得（2）一种方法由波形方程来作图（描点法），这样做麻烦。此题可这样做：画出时波形图，根据波传播的距离再得出相应时刻的波形图（波形平移）。平移距离\n图13-4例13-2：一平面简谐波沿+x方向传播，波速为，在传播路径的A点处，质点振动方程为(SI)，试以A、B、C为原点，求波动方程。图13-5解：（1），以A为原点，波动方程为(SI)（2）以B为原点(SI)（B处质点初相为）波动方程为：即(SI)（3）以C为原点\n(SI)（C处初相为）波动方程为：即(SI)强调：（1）建立波动方程的程序（2）位相中加入的含义例13-3：一连续纵波沿+x方向传播，频率为，波线上相邻密集部分中心之距离为24cm，某质点最大位移为3cm。原点取在波源处，且时，波源位移=0，并向+y方向运动。求：（1）波源振动方程；（2）波动方程；（3）时波形方程；（4）处质点振动方程；（5）与处质点振动的位相差。解：（1）设波源波动方程为可知：由旋转矢量知：∴(SI)（2）波动方程为：(SI)（3）时波形方程为：(SI)（4）处质点振动方程为(SI)（5）所求位相差为：，x1处质点位相超前。强调：（1）波源初相不一定=0（2）的含义例13-4：一平面余弦波在时波形图如下，（1）画出时波形图；（2）求O点振动方程；\n（3）求波动方程。解：（1）时波形图即把时波形自-X方向平移个周期即可，见上图中下面的结果。（2）设O处质点振动方程为可知：时，O处质点由平衡位置向下振动，由旋转矢量图知，图13-6（3）波动方程为：即注意：由波形图建立波动方程的程序。§13-4波的能量能流密度波的传播过程就是振动的传播过程。波到哪里，哪里的介质就要发生振动，因而具有动能；同时由于介质元的变形，因而具有势能，因此波传到哪里，哪里就有机械能。这些机械能来自于波源。可见，波的传播过程即是振动的传播过程，又是能量传递过程。在不传递介质的情况下而传递能量是波动的基本性质。一、波的能量下面以简谐纵波在一棒中沿棒长方向传播为例，推导出波的能量公式。如图所示，取x轴沿棒长方向，设波动方程为在波动过程中，棒中每一小段将不断地压缩和拉伸。\n图13-7在棒上任取一体积元BC，体积，棒在平衡位置时，B、C坐标分别为，，即BC长为。设棒的横截面积为，质量密度为，体积元能量为动能势能设时刻，A、B端位移分别为、，∴体积元伸长量为。设在体积元端面上由于形变产生的弹性恢复力大小为，可知，协强为，协变为，由杨氏弹性模量定义有：（为杨氏弹性模量）按胡克定律，在弹性限度内弹性恢复力值为由上二式有：∵∴∵∴应写成，可有可得（13-7）\n讨论：（1）任一时刻体积元动能与其势能总是相等，（2）波动中体积元的能量与单一谐振动系统的能量有着显著的不同。在单一谐振动的系统中，动能和势能相互转化，动能最大时，势能最小，势能最大时，动能最小，系统机械能守恒。在波动情况下，任一时刻任一体积元的动能与势能总是随时间变化的，变化是同步的，值也相等，这说明体积元总能量不能为常数，即能量不守恒（体积元）（3）波动中体积元能量不守恒原因：每个体积元都不是独立地做谐振动，它与相邻的体积元间有着相互作用。因而相邻体积元间有能量传递，沿着波传播方向，某体积元从前面介质获得能量，又把能量传递给后面介质，这样，通过体积元不断地吸收和不断传递能量，∴波动是能量传递的一种形式。波动的能量密度：单位体积内波动能量。可知,是的函数。平均能量密度：（13-8）二、能流密度如上所述，波的传播过程就是能量传播过程，因此可引进能流和能流密度概念。1、平均能流定义：单位时间内通过某一面积的能量称为能流。如图所示，设为介质中垂直于波传播方向的一面积，∴通过的能流=以为底为高的柱体内的能量。∵这体积内能量是变化的。∴可用平均值来表示。定义：单位时间内通过某一面积的平均能量称为平均能流。由上可知，通过的平均能流为\n=平均能流密度柱体体积（13-9）式中：为平均能量密度为波速为面积2、能流密度定义：通过垂直于波传播方向单位面积上的平均能流称为能流密度或波的强度。（13-10）3、平面波和球面波振幅（1）平面波在推导平面波（简谐波）的波动方程时，假定介质中各点振幅不变。现从能量角度来看一下振幅不变的含义。如图所示，设垂直于波传播方向上有两平面、（），此二平面构成了一柱体的二底面。设、为通过、的平均能流，有若，则（）图13-9也就是说，如果振幅不变，则通过、的平均能流相等，有多少能量通过进入柱体内，就有多少能量通过流出此柱体，这说明了介质不吸收能量。因此，介质中各点振幅相同表明了介质不吸收能量。（平面波情况）（2）球面波情况在球面波情况下，假设介质不吸收能量，则振幅是否不变呢？分析如下。设在距波源o为、处取二球面（如图），面积分别为、，通过、的平均能流为∵介质不吸收能量∴即可知,∴波动方程为图13-10\n式中：为离波源的距离。为离波源为单位距离时的振幅。例13-5：一简谐空气波，沿直径为的圆柱形管传播，波的强度为，频率为，波速为。求：1）波的平均能量密度和最大能量密度；2）每两个相邻同相面间的波中含有的能量。解：（1）∵∴∵能量密度为∴（2）题中相邻同相面间波含能量为§13-5惠更斯原理及应用一、惠更斯原理前面讲过，波动是振动的传播。由于介质中各点间有相互作用，波源振动引起附近各点振动，这些附近点又引起更远点的振动，由此可见，波动传到的各点在波的产生和传播方面所起的作用和波源没有什么区别，都是引起它附近介质的振动，因此波动传到各点都可以看作是新的波源。图13-11如：有一任意形状的水波在水面上传播（见图），AB为障碍物，AB有小孔，小孔的线度与波长相比甚小，这样就可以看见，穿过小孔的波的圆形波，圆心在小孔处，这说明波传播到小孔后，小孔成为波源。惠更斯分析和总结了类似的现象，于1690年提出了如下的原理。1、惠更斯原理：介质中波传播到的各点，都可以看作是发射子波的波源，而其后任意时刻，这些子波的包络就是新的波前（波阵面）说明：（1）惠更斯原理指出了从某一时刻出发去寻找下一时刻波阵面的方法。（2)惠更斯原理对任何介质中的任何波动过程都成立。（无论是均匀的或非均匀的，是各向同性的或是各向异性的，无论是机械波还是电磁波，这一原理都成立。）（3）惠更斯原理并不涉及波的形成机制。（4）惠更斯原理并没有说明各子波在传播中对某一点振动究竟有多少贡献。\n2、求新波阵面例子（a）球面波情况：如图所示，设球面波在均匀各向同性介质中传播，波速为，在时刻波阵面是半径为的球面，在时刻波阵面如何？根据惠更斯原理，以面上各点为中心，以为半径，画出许多半球形子波，这些子波的包络即为公切于各子波的包迹面，就是时刻新的波阵面。显然是以o为中心，以为半径的球面。图13-12图13-13（b）平面波情况：如图所示，平面波在均匀各向同性介质中传播，波速为，在时刻波阵面为（平面），在时刻波阵面如何？根据惠更斯原理，以面上各点为中心，以为半径，画出许多半球面形子波，这些子波的包络即为公切于各子波的包迹面，就是时刻新的波阵面。显然新波阵面是平行于时刻波阵面的平面。说明：1）从上可以看出，球面波及平面波在均匀各向同性介质中传播时，它的波形不变，但在非均匀或各向异性的介质中传播时，波的形状可能发生变化。2）半径很大的球面波波阵面上的一部分可以看成平面波波阵面。如：从太阳射出的球面波，到达地面上时，就可以看成是平面波。二、波的衍射现象从日常生活中观察到，水波在水面上传播时可以绕过水面上的障碍物而在障碍物的后面传播，在高墙一侧的人可以听到另一侧人的声音，即声波可以绕过高墙从一侧传到另一侧，这些现象说明，水波与声波在传播过程中遇到障碍物时（即波阵面受到限制时），波就不是沿直线传播，它可以达到沿直线传播所达不到的区域。这现象称为波的衍射现象或绕射现象。简单地说，波遇到障碍物后偏离直线传播的现象即为衍射现象。下面用惠更斯原理说明水波的衍射现象。如图所示，水面上障碍物为有一宽缝，缝的宽度大\n于水波波长。用平行于波阵面的棒振动来图13-14产生平行水子波。当水波到达障碍物时，波阵面在宽缝上的所有点都可以看作发射子波的波源。这些子波在宽缝的前方的包迹就是通过缝后的新的波阵面。从图上看，新波阵面（或波前）不是直线（波阵面与底面交线），只是中间一部分与原来的波阵面平行，在缝的边缘地方波阵面发生了弯曲，波线如图所示，这说明水波绕过缝的边缘前进。三、波的反射与折射1、反射定律2、折射定律§16-6波的迭加原理波的干涉一、波的迭加原理现在我们来讨论两个或两个以上的波源发出的波在同一介质中传播情况。把两个小石块投在很大的静止的水面上邻近二点，可见从石头落点发出二圆形波互相穿过，在他们分开之后仍然是以石块落点为中心的二圆形波。说明了他们各自独立传播。当乐队演奏或几个人同时讲话时，能够辨别出每种乐器或每个人的声音，这表明了某种乐器和某人发出的声波，并不因为其他乐器或其他人同时发声而受到影响。通过这些现象的观察和研究，可总结出如下的规律：几列波在传播空间中相遇时，各个波保持自己的特性（即频率、波长、振动方向、振幅不变），各自按其原来传播方向继续传播，互不干扰。在相遇区域内，任一点的振动为各列波单独存在时在该点所引起的振动的位移的矢量和。这个规律称为波的迭加原理或波的独立传播原理。二、波的干涉1、波的干涉含义一般地说，频率不同，振动方向不同的几列波在相遇各点的合振动是很复杂的，迭加图样不稳定。现在。来讨论最简单而又最重要的情况，即（1）振动方向相同（2）频率相同（3）位相差恒定\n这样两列波迭加问题。当两列波在空间中某点相遇时，各个波在该点引起的振动位相是一定的（当然在不同点的这个位相可能不同），因此该点的合振动的振幅是恒定的。由此可知，如果两列波在空间某点相互加强（即合振幅最大），则这些点上始终是相互加强的，如果两列波在空间中某些点相互减弱（即合振幅最小），则在这些点上始终是相互减弱，可见迭加图样是稳定的。这种现象称为波的干涉现象，相应的波称为相干波，相应的波源称为相干波源。（前面的（1）、（2）、（3）为相干条件）、干涉加强或减弱的条件设有相干波源、，其振动方程为、由波的迭加原理知，此二波在p点引起的合振动=这两列波单独存在时在p点引起位移的代数和（∵在此振动方向一致）∵此二波频率相同、而又在同一介质中传播（即波速相同），∴二波波长相同，设为。此二波在p图13-15点引起的振动分别为p点合成振动：（13-11）对同方向、同频率振动合成，结果为其中：=在p处二振动的相位差讨论：（1）时，（振幅最大，即振动加强）时，（振幅最小，即振动减弱）（2）（=波源初相相同）时，时，（振动加强）时，（振动减弱）；\n表示二波源到考察点路程之差，称为波程差。由上可知，时，波程差等于半波长的偶数倍时，干涉加强，波程差等于半波长奇数倍时，干涉减弱。说明：干涉加强与减弱，不仅与波源振动初相差有关，而且也与波程差引起的位相差有关。例13-6：A、B为同一介质中二相干波源，其振幅均为，频率为。A处为波峰时，B处恰为波谷。设波速为。试求p点干涉结果。解：p点干涉振幅为由题意知：（B比A位相落后）图13-16即干涉静止不同。强调：干涉加强与减弱条件。例13-7：A、B为同一介质中二相干波源，振幅相等，频率为，为B波峰时，A恰为波谷。若A、B相距，波速为。求：A、B连线上因干涉而静止的各点的位置。图13-17解：如图所取坐标（1）A、B间情况。任一点p，二波在此引起振动位相差为当时\n坐标为的质点由于干涉而静止。（二振幅相同），即（2）在A左侧情况，对任一点Q，两波在Q点引起振动位相差为：可见，A外侧均为干涉加强，无静止点。（3）在B点右侧情况。对任一点S，两波在S点引起的振动位相差为可见，在B右侧不存在因干涉静止点。强调：干涉加强与减弱条件。§13-7驻波一、驻波的定义二振幅相同的相干波，在同一直线上反向传播时迭加的结果称为驻波。说明：驻波是干涉的一种特殊情况。二、驻波方程以纵波为例，设有两相干波迭加后成驻波，由驻波定义知他们分别沿方向传播，∵相干波频率相同又在同一介质中传播（即波速相同），∴。另外，为方便，在此取初相（处）=0驻波方程为：即（13-12）\n如上可知，驻波方程是2个因子和的乘积。讨论：（1）由驻波方程知，给定时，则驻波方程变成了坐标为处质点的振动方程，振幅为，位相为。不同点振幅可能不同。（2）波节坐标：当振幅时，对应的质点始终不动，这些点称为波节。位置如下式决定：相邻波节距离=（3）波腹：当时，对应的质点振动最强，这些点称为波腹，其位置为即相邻波腹距离=（4）驻波中各点位相对应的各点振动位相均为对应的各点振动位相均为∵）同号：位相相同异号：位相相反由驻波方程可画出波形图：（如：）∵相邻波节间同号，∴相邻波节间各点位相相同；∵一波节两边异号，∴波节两边质点位相相反可知，相邻波节间质点同步一齐振动，波节两边质点反方向振动。驻波中，分段振动，每段间为一整体同步振动。\n图13-18说明：（1）驻波每时都有一定波形，波形不传播（2）驻波是一种特殊形式的振动，它不传播能量。二、驻波实验如图所示，弦线的一端固定在音叉上，另一端通过一滑轮系一砝码，使弦线拉紧，现让音叉振动起来，并调节劈尖B至适当位置，使AB具有某一长度，可以看到AB上形成稳定的振动状态。如图可知，a、b、c、d等为波节，a’、b’、c’、d’等为波腹。图13-19对上述结果的解释：当音叉振动时，带动弦线A端振动，由A端振动引起的波沿弦线向右传播，在到达B点遇到障碍物（劈尖）后产生反射，反射波沿弦线向左传播。这样，在弦线上向右传播的入射波和向左传播的反射波满足相干条件，∴二者要产生干涉。这样就出现了所谓的驻波结果。三、进一步讨论两个的问题1、半波损失问题在音叉实验中，波是在固定点处反射的，在反射处形成波节。如果波是在自由端反射，则反射处为波腹，一般情况下，两种介质分界面处形成波节还是波腹，与波的种类、两种介质的性质及入射角有关。当波从一种弹性介质垂直入射到另一种弹性介质时，如果第二种介质的质量密度与波速之积比第一种大，即\n，则分界面出现波节。第一种介质称波疏介质，第二种介质称波密介质。因此，波从波疏介质垂直入射到波密介质时，反射波在介质分界面处形成波节，反之，波从波疏介质反射回到波密介质时，反射波在反射面处形成波腹。在反射面处形成波节，说明入射波与反射波位相相反，反射波在该处位相突变。∵在波线上相差半个波长的两点，其位相差为，所以，波从波密介质反射回到波疏介质时，相当于附加（或损失）了半个波长的波程。通常称这种位相突变的现象叫做半波损失。波密介质波疏介质2、形成驻波的条件对于两端固定的弦线，不是任何频率（或波长）的波都能在弦上形成驻波，只有当弦长等于半波长整数倍时才有可能。即或：（：波速）第十四章光的干涉§14-1光源光的单色性和光的相干性光是一种电磁波（横波），用振动矢量（电场强度），（磁场强度）来描述。光波中，产生感觉作用与生理作用的是，故常将称为光矢量，的振动称为光振动。在以后，将以讨论振动为主。一、光源：发光物体二、光的单色性单色光：具有单一频率的光（实际上不存在）。复色光：具有多种频率的光（如：太阳光、白炽灯等）。三、光的相干性\n每一列光波是一段有限长的、振动方向一定、振幅不变（或缓慢变化）的正弦波。每一列波称为一个波系，同一原子不同时刻发出的波列其振动方向及频率也不一定相同，位相无固定关系，不同原子同一时刻发射的波列也是这样。两个光波的干涉的实质是同一波列分离出来的两列波的干涉。我们把能够产生干涉现象的最大光程差（折射率与几何路程之积称为光程）称为相干长度，显然它等于一个波列的长度。激光的相干长度很长，所以它是很好的相干光源。§14-2杨氏双缝实验双镜及洛埃镜实验一、杨氏双缝实验1、定性分析如图所示，在单色光平行光前放一狭缝S，S前又放有两条平行狭缝、，它们与S平行并等距，这时、构成一对相干光源。从S发出的光波波阵面到达和处时，再从、传出的光是从同一波阵面分出的两相干光。它们在相遇点将形成相干现象。可知，相干光是来自同一列波面的两部分，这种方法产生的干涉称为分波阵面法。2、干涉条纹的位置如图所示，、为两缝，相距d，E为屏，距缝为D，O为、连线与E交点，P为E上的一点，距O为x，距、为、，由、传出的光在P点相遇时，产生的波程差为：，位相差为：，作，可知，\n（很小d<由题意知，由上、下表面反射的光均无半波损失，所以反射加强时。<方法二>。例14-5：劈尖上面玻璃板做如下运动，试指明干涉条纹如何移动及相邻条纹间距如何变化？图14-14解：结果如下：图号条纹移动相邻条纹间距（）（a）沿斜面向下不变（b）随斜面向右不变（c）沿斜面向下变小（注意：等厚干涉中，厚度相同的点对应同一条干涉条纹，即A处条纹处）作业：13-9、10、11、12、14、15、16。（２）牛顿环①含义：如图所示，将曲率半径很大的平凸透镜L放在透镜平板玻璃D上，L、D接触，二者间形成空气层（或其它介质），当单色光垂直入射时，在空气层上、下表面反射光在空气层上表面相遇而干涉产生干涉现象。厚度相同的地方对应同一条纹，而此处空气层厚度相同的地方是以L、D\n接触点为中心的圆环，干涉条纹是以O为中心的一系列同心圆环，这些干涉环成为牛顿环。②明、暗条纹条件：此时，1光无半波损失，2光有半波损失，2，1光光程差为：，（空气中）。讨论：①牛顿环是以O为中心的一系列圆环形明暗相间的条纹，条纹出现在L、D夹层上表面处。②离O点越远，则条纹级次k越大（与等倾干涉相反）。③明暗条纹及半径：设C为L中球面的球心，半径为R，在直角三角形CDA中有可有（14-6）④因为相邻条纹对应厚度差为（空气），而随着离O点越远时，e增加的越快，所以在逐渐离开O点时，条纹越来越密。（相邻暗纹对应高度差：）。⑤e=0时，即O点为暗点，若1、2光在O点均无或均有半波损失，则O点为亮点。（若，则O处为暗纹。非空气夹层，即可，n为介质折射率。）例14-6：在空气牛顿环中，用波长为的单色光垂直入射，测得第k个暗环半径为5.63mm，第k+5个暗环半径为7.96mm。求曲率半径R。解：空气牛顿环第k个暗环半径为第k+5个暗环半径为四、干涉仪\n干涉仪是根据光的干涉原理制成的，是近代精密仪器之一。在科学技术方面有着广泛而重要的应用。干涉仪具有各种形式，现在，我们已经介绍迈克耳逊干涉仪，作为一个例子。1、迈克耳逊干涉仪简图及原理图中，、是精细磨光的平面反射镜，固定，借助于螺旋及导轨（图中未画出）可沿光路方向做微小平移，、是厚度相同，折射率相同的两快平行平面玻璃板和保持平行，并与或成角。的一个表面镀银层，使成为半透半反射膜。从扩展光源S发出的光线，进入上，折成的光线一部分在薄膜银层上反射，之后折射出来形成射向的光线1，它经过反射后再穿过向E处传播，形成光。另一部分穿过和形成光线2，光线2向传播，经反射后在穿过，经的银层反射也向E处传播，形成光。显然，、光是相干光，故可在E处看到干涉图样。若无，由于光线经过三次，而光线2经过一次。因而、光产生极大的光程差，为保证、光能相遇，故引进，使光也经过等厚的玻璃板图14-17三次。由上可知，迈克耳逊干涉仪是利用分振幅法产生的双光束来实现干涉的仪器。2、干涉图样的讨论是关于银层这一反射镜的虚象，反射的光线可看作是反射的。因此，干涉相当于薄膜干涉。（1）若、不严格垂直，则与就不严格平行，在与间形成一劈尖，从与反射的光线、类似于从劈尖二个表面上反射的光，所以在E上可看到互相平行的等间距的等厚干涉条纹。（2）若，从和反射出来的光线、，类似于从厚度的薄膜上二表面反射的光，所以在E处可看到呈球形的等倾干涉条纹。（3）如果移动时，相对也移动，则在视场中可看到一明纹（或暗纹）移动到与它相邻的另一明纹（或暗纹）上去，当平移距离d时，相对也运动距离d，此过程中，可看到移过某参考点的条纹个数为：或（14-6）\n第十五章光的衍射§15-6光的衍射现象惠更斯费涅耳原理前面我们讨论了光的干涉，干涉是波动的特征之一，在此，我们来讨论光另外的特征，即衍射现象（绕射现象）。一、光的衍射现象1、衍射定义当波传播过程中遇到障碍物时，波就不是沿直线传播，它可以到达沿直线传播所不能达到的区域。这种现象称为波的衍射现象（或绕射现象）（原因是波阵面受到了限制而产生的）。2、光的衍射现象在日常生活中水波和声波的衍射现象是较容易看到，但光的衍射现象却不易看到，这是因为光波的波长较短，它比衍射物线度小得多之故。如果障碍物尺度与光的波长可以比较时，就会看到衍射现象。如下图，S为线光源，k为可调节宽度的狭缝，E为屏幕（均垂直纸面），高缝宽比光的波长大得多时，E上出现一光带（可认为光沿直线传播），若缝宽缩小到可以与光的波长比较时（数量级以下），在E上出现光幕虽然亮度降低，但范围却增大，形成明暗相间条纹。其范围超过了光沿直线所能达到的区域，即形成了衍射。波的衍射现象在我们学习惠更斯原理时就已经接触到了，由于波动的特性，因而水波穿过小桥同时要向两旁散开，人站在大树背后时照样能听到树前传来的声音，光线在一定的条件下（衍射物的线度与波长可以比较）就会拐弯，等。此外，在我们学习双缝干涉时，也包含了衍射的因素，若不是光线能拐弯，经过双缝的光线怎样能相遇呢？衍射是一切波动所具有的共性，衍射是光具有波动性的一种表现。\n二、惠更斯——费涅耳原理1、原理表述惠更斯指出：波在介质中传播到的各点，都可以看作是发射子波的波源，其后任一时刻这些小波的包迹就是该时刻的波阵面。此原理能定性地说明光波传播方向的改变（即衍射）现象，但是，不能解释光的衍射中明暗相间条纹的产生。原因是这一原理没有讲到波相遇时能产生干涉问题，因此费涅耳对惠更斯远离做了补充，如下：费涅耳假设：从同一波阵面上各点发出的子波同时传播到空间某一点时，各子波间也可以相互迭加而产生干涉。经过发展的惠更斯原理成为惠更斯费涅耳原理。根据这一原理，如果已知光波在某一时刻的波阵面，就可以计算下一时刻光波传到的点的振动。2、原理的定量表达式如图所示，S为某时刻光波波阵面，为S面上的一个面元，是的法向矢量，P为S面前的一点，从发射的子波在P点引起振动的振幅与面积元ds成正比，与到P点的距离r成反比（因为子波为球面波），还与同间夹角有关，至于子波在P点引起的振动位相仅取决于r，ds在P处引起的振动可表示为式中为光波角频率，为波长，是的一个函数。应该指出，越大，在P点引起的振幅就越小，费涅耳认为时，，因而强度为零。这也就解释了子波为什么不能向后传播的问题。整个波阵面S在P产生的合振动为何，由惠更斯——费涅耳原理有：（15-1）上式是惠更斯——费涅耳原理的定量表达式。在一般情况下，此式积分是比较复杂的，在某些特殊情况下积分比较简单，并可以有矢量加法代替积分。下节介绍应用费涅耳半波带方法来解释单缝衍射现象，这种方法更为简单。三、两类衍射问题1、费涅耳衍射光源S，屏E与衍射物距离均为有限（或一个距离为无限远）的衍射，如图所示。\n2、夫琅和费衍射：光源S，屏E与衍射物均无限远时的衍射。因为光源和光屏相对衍射物是在无穷远处，因而入射光和衍射光都是平行光，所以夫琅和费衍射也称为平行光衍射，如图所示。实际上，夫琅和费衍射经常利用两个会聚透镜来实现（如在实验中产生的夫琅和费衍射）。如下图所示，S处于焦平面上，形成衍射。在衍射实验中通常使用平行光，所以夫琅和费衍射是较为重要的，而且在数学上也较易处理，下面只讨论夫琅和费衍射。§15-2单缝衍射（单缝的夫琅和费衍射）一、衍射装置下图为单缝的夫琅和费衍射装置。S为点光源，E上是一些光斑，其线垂直单缝。S为线光源，E上是平行于狭缝的明暗相间的条纹。二、用费涅耳半波带法确定明、暗条纹及位置如图所示，一束平行光垂直入射到K上。对于沿入射波方向（）情况先考虑一下。在单缝AB处，这些子波同位相，经L后会聚O处。因为L不引起光程差，所以在O处这些子波仍同位相，故干涉加强，即出现亮纹（此条纹称为中央亮纹）。\n其它方向（）情况变复杂些。下面考虑与入射方向成角的子波线（经L后为光线②）。称为衍射角。光线②会聚在P点，角不同，P的位置就不同，在E上可出现衍射图样。为了研究明暗条纹位置，下面考虑位相差问题。做平面AC垂直BC，从图知，由AC上各点达到P点的光线光程都相等，这样从AB发出的光线在P点的位相差就等于它们在AC面上的位相差。由图可见，从K的AB两端点来看，B点发出的子波比A点发出的子波多走的光程（空气中）。这显然是沿方向上光波射线的最大光程差。下面用费涅耳半波带法确定P处是明还是暗。分几种情况讨论。1、即BC恰等于两个半波长，如下图所示，将BC为二等份，过等分点做平行于AC的平面，将单缝上波阵面分为面积相等的两部分，，每一部分叫做一个半波带，每一个波带上各点发出的子波在P点产生的振动可认为近似相等。二波带上的对应点（如的中点与的中点）所发出的子波光线达到AC面上时光程差为，即位相差为，可知在P点它们的位相差为。所以，产生干涉相消。结果由及两个半波带上发出的光在P点完全抵消，所以，出现暗纹（沿光源，以下同）。2、即AC恰为三个半波长。如图所示，将BC分成三等份，过等分点做平行于AC面的平面，这两个平面将单缝AB上的波阵面分成三个半波带，，\n。依照以上解释，相邻二波带发出的光在P点互相干涉抵消，剩下一个波带发出的光束被抵消，所以P处出现明纹。3、在此情形下，将AB分成n个半波带，如果n=偶数，则所有波带发出的光在P点成对地（相邻的波带）互相干涉抵消，因而P点为暗纹。如果n为奇数，则n个波带中有（n-1）个（偶数）个波带发出的光在P点成对地干涉相消，剩下的一个波带发出的光未被抵消，所以P出现明纹。综上可知，可得如下结论：明纹条件：（15-2）暗纹条件：。（15-3）称为中央亮纹，k=1,2,…分别称为第一，二，…级明纹（或暗纹）。三、几点讨论（1）单缝衍射条纹是关于中央亮纹对称分布的。（2）中央亮纹宽度及半角宽度半角宽度：；中央亮纹宽度（二个第一级暗纹间距离）：；中央亮纹区域：。（3）衍射角较小时明纹宽度（相邻暗纹之距），即中央明纹为k较小的明纹宽度的2倍。（4）k级亮纹合成（2k+1）个半波带；k级暗纹对应2k个半波带。K越大，AB上波阵面分成的波带数就越多，所以，每个波带的面积就越小，在P点引起的光强就越弱。因此，各级明纹随着级次的增加而亮纹减弱。（5）单缝衍射亮纹分布如下图所示，[用半波带法求得暗纹位置条件是是准确的，而亮纹条件是近似的]（6）白光做光源时，由于O处各种波长的光均加强，它们的位置在O处重合，所以O处为白色条纹，在其它明纹中，同一级次条纹紫光距O近，红光距O远。\n（7）由可知，给定时，越小，则越大，即衍射就显著；越大，则各级次衍射角就越小，这样，条纹都向O处靠近，逐渐分辨不清，衍射就不明显。如果比大得多，各级衍射条纹全部并入O处附近，形成一明纹，这可认为光沿直线传播情况，看不到光的衍射现象。（8）单缝k向上平移时，E上图样不变。因为单缝位置平移时，不影响L的会聚光的作用，此时会聚位置不变。注意：光的单缝衍射与光的干涉明暗条纹条件的区别。例15-1：如图所示，用波长为的单色光垂直入射到单缝AB上，（1）若AP-BP=2，问对P点而言，狭缝可分几个半波带？P点是明是暗？（2）若AP-BP=1.5，则P点又是怎样？对另一点Q来说，AQ-BQ=2.5，则Q点是明是暗？P、Q二点相比哪点较亮？解：（1）AB可分成4个半波带，P为暗点（2k个）。（2）P点对应AB上的半波带数为3，P为亮点。Q点对应AB上半波带为5，Q为亮点。2+1=5,2+1=3,=2,=1。P点较亮。例15-2：一单缝用波长、的光照射，若的第一级极小与的第二级极小重合，问：（1）波长关系如何？（2）所形成的衍射图样中，是否具有其它的极小重合？解：（1）产生极小条件：，依题意有：。（2）设衍射角为时，的第级极小与的第级极小重合，则有。即当时，它们的衍射极小重合。§15-3衍射光栅一．衍射光栅1．衍射光栅：\n由大量宽等间距平行排列的狭缝组成的光学元件称为衍射光栅。2．光栅常数：设透光缝宽为a，不透光的刻痕宽为b，则(a+b)称为光栅常数。对于好的光栅，1cm内有15000条缝，即cm=二．光栅衍射条纹的形成S为单色线光源，在透镜L1焦点上，G为光栅，缝垂直于图E，E为屏，处于透镜L2焦点上。光栅衍射是单缝衍射与多缝间干涉的总结果。三．明纹出现必要条件光栅方程平行光（单色光）垂直入射到光栅上，使光栅成一波阵面，考虑到所有缝发出的光沿与光轴成角的方向的光线经L2后焦于一P处，下面看一下P为明纹的必要条件为何？称为衍射角。A、B缝相应部分光程差为。当相邻二缝相应点发出的光线在E上相遇时光程差为整数倍时，即时，两相邻缝干涉结果是加强的，进而可知，所有缝间光在该处都是加强的。故P点出现明纹。可见，\n此式为干涉加强的必要条件（是出现明纹的必要条件），称为光栅方程。细而亮的明纹称为主极大。讨论：（1）k=0称为零级明纹，k=1,2,…称为第1、2级明纹，如上图所示。（2）衍射图样关于中央明纹是上下对称的。（3）用白光照射时，中央明纹为白色，其它各级明纹为彩色，同一级明纹中，紫光在内，红光在外。（4）由光栅公式知，(a+b)越小，则对给定波长的各级条纹，衍射角的绝对值就越大，条纹间距分得越开。光栅缝数很多，条纹亮度大。缝越多则明纹越细。（5）缺级问题如果满足光栅方程的角同时又满足单缝时暗纹公式，即角方向即是光栅的某个主极大出现的方向又是单缝衍射的光强为零的方向，亦即屏上光栅衍射的某一级主极大刚好落在单缝的光强为零处，则光栅衍射图样上便缺少这一级明纹，这一现象称为缺级。缺级现象产生的原因是光栅上所有缝的衍射图样是彼此重合的（如：考虑过L光轴的缝，它有一衍射图样，它上边的缝可看作是由它平移而得到的，平移缝时不改变条纹位置，各缝都有相同的衍射图样，它们是重合），即在某一处一个缝衍射极小时，其它各缝在此也都是衍射极小，这样就造成缺级现象。若有缺极时，有（15-4）发生缺极的主极大级次为如：a+b=2a时，k=2,4,6,…缺级。a+b=na时，k=n,2n,4n，…缺级。（6）光栅垂直透镜光轴移动，图样不动。四．衍射光谱从光栅方程知，当白光入射时，中央明纹为白色，其它同一级的条纹不重合，波长较长的在外，波长较短的在内。对应同一k的各种波长条纹的整体称为第一级光谱，这些条纹每一个称为一条谱线。光谱关于中央条纹两侧对称分布，如下图所示：\n例15-3：复色光E入射到光栅上，若其中一光波的第三级最大和红光（）的第二级极大相重合，求该光波长。解：光栅方程为由题意知：即例15-4：用白光E入射每cm中有6500条刻线的平面光栅上，求第三级光谱张角。（白光：4000~7600）解：光栅常数光栅方程第3级光谱中：说明不存在第3级完态光谱，只是一部分出现。这一光谱的张角是：设第3级光谱中出现的最大波长为，则由有（绿光）可见，第3级光谱中只能出现紫、蓝、青、绿等色的光，比波长5130大的黄、橙、红等光看不到。例15-5：以氦放电来发出的光E入射某光栅，若测得时衍射角为，如在同一衍射角下出现更高级次的氦谱线，问光栅常数最小各多少？解：依题意有即可见，n=1时，n=1时，取k=2cm\n注意：k值要取整数，才能把直接代入(a+b)min公式中。例15-6：一束光线E入射到光栅上，当分光计转过角时，在视场中可看到第3级光谱为m的等级。问在同一角上可见波长在可见光范围内的其它条纹吗？（可见光波长范围是m）解：光栅方程为依题意有：mk=1(一级光谱)时，应看到的波长=？mm∴看不见k=2（二级光谱）时，应看到的波长=？mm∵在可见光内，∴看得见。k=4(四级光谱)时，应看到的波长=？mm∴看不见综上知，可看到二级光谱中波长为m的光谱线。§15-9光学仪器分辨率按照几何光学，一个物点通过一个光学仪器形成的像是一个点，两个物点S1、S2形成的像总是分离的点P1、P2。即使S1、S2很靠近，它们的像也总是可以分辨的。即按照几何光学，仪器的分辨能力或分辨本领是不受限制的。但是，实际上一物点发出的光波波阵面由于受到光学仪器的孔径的限制要发生衍射，一个物点的像不是一个几何点，而是一个比较复杂的图样。因而光学仪器的分辨本领总会受到限制。一．瑞利判断标准和最小分辨角设S1、S2为距透镜L很远的两个物点，由它们发出的光可以看作平行光，透镜的边框相当于一圆孔，所以，S1、S2发出的光通过L在焦面上可形成衍射图样A1与A2。如果S1、S2相离较远，则A1、A2也较远（图a）。我们可以分辨出这两个物点的像。如果S1、S2相离很近，使它们的衍射图样大部分重叠（图b），则在衍射图样上便分辨不出有两个物点存在。对于一定的光学仪器来说，能分辨得开得两个物点的最小距离成对透镜光心的最小夹角是多大呢？瑞利曾提出了一个判断标准，此判据如下：如果一个物点的衍射图样的中央最大恰好与另一个物点的衍射图样的第一最小重合，就认为这两物点恰能被这光学仪器分辨。因为这时两个衍射图样中心之间距离的光强约为每个衍射图样中央最大处光强的80%，大多数人的视觉能够判断这是两个物点的衍射图样。\n根据瑞利判据，当两物点刚被分辨时，这两个物点的爱里斑（物点在屏上出现一个圆形光斑，它的周围有环绕着的明暗相间的圆环，这个光斑称为爱里斑）的中心对透镜张角恰为爱里斑半角宽度，即D为圆孔直径。称为光学仪器的最小分辨角，其倒数称为光学仪器的分辨率本领。二．提高分辨率的途径1．减小：如用显微镜观察物体时不用可见光，而用紫外线，在大规模集成电路生产中就是用紫外线等短波长光光刻。电子显微镜是用电子衍射线的波动特性来观察物体，它的波长可以小到，从而大大提高分辨率。2．增大：如天文望远镜，有的镜头直径达6m。图15-16第十六章光的偏振光的干涉现象和衍射现象都证实光是一种波动，即光具有波的特性，但是，不能由此确定光是纵波还是横波，因为无论纵波和横波都具有干涉和衍射现象。实践中还发现另一类光学现象，不但说明了光的波动性，而且进一步说明了光是横波，这就是“光的偏振”现象，因为只有横波才具有偏振现象。自然光和偏振光马吕斯定律§16-1自然光和偏振光马吕斯定律一．自然光我们知道，光波是一种电磁波。电磁波是变化的电场和变化的磁场的传播过程，并且它是横波。在光波中每一点都有一振动的电场强度矢量和磁场强度矢量，、及光波传播方向的方向是互相垂直的，如图：\n图16-1、中能够引起感光作用和生理作用的是电场强度矢量，所以将称为光矢量。在除激光外的一般光源中，光是由构成光源的大量分子或原子发出的光波的合成。由于发光的原子或分子很多，不可能把一个原子或分子所发射的光波分离出来，因为每个分子或原子发射的光波是独立的，所以，从振动方向上看，所有光矢量不可能保持一定的方向，而是以极快的不规则的次序取所有可能的方向，每个分子或原子发光是间歇的，不是连续的。平均地讲，在一切可能的方向上，都有光振动，并且没有一个方向比另外一个方向占优势，即在一切可能方向上光矢量振动又相等。1、自然光在一切可能的方向上都具有光振动，而各个方向的光矢量振动又相等。如下图所示，自然光中振动的轴对称分布。2、自然光表示方法在任意时刻，我们可以把各个光矢量分解成两个互相垂直的光矢量，如下图所示。为了简明表示光的传播常用和传播方向垂直的短线表示图面内的光振动，而用点子表示和图面垂直的光振动。如下图所示，对自然光，短线和点子均等分布，以表示两者对应的振动相等和能量相等。注意：由于自然光中光矢量的振动的无规则性，所以这个互相垂直的光矢量之间没有固定的位移差。二．线偏振光1、线偏振光\n由上可知，自然光可表示成二互相垂直的独立的光振动，实验指出，自然光经过某些物质反射、折射或吸收后，只保留沿某一方向的光振动。如果只会有单一方向的光振动，则此光束称为线偏振光（或完全偏振光或平面偏振光）。2、线偏振光的表示方法定义：偏振光的振动方向与传播方向组成的平面称为振动面。说明：（1）线偏振光不只是包含一个分子或原子发出的波列，而会有众多分子或原子的波列中光振动方向都互相平行的成份。（2）偏振光不一定为单色光。三．部分偏振光1．部分偏振光某一方向的光振动比与之互相垂直的方向的光振动占优势，这种光称为部分偏振光。2．部分偏振光的表示方法四．偏振片的起偏和检偏光是横波，在自然光中，由于一切可能的方向都有光振动，因此产生了以传播方向为轴的对称性，为了考虑光振动的本性，我们设法从自然光中分离出沿某一特定方向的光偏振，也就是把自然光改变为线偏振光。1．偏振片\n现今在工业生产中广泛使用的是人造偏振片，它利用某种只有二向色性的物质的透明薄体做成，它能吸收某一方向的光振动，而只让与这个方向互相垂直的光振动通过（实际上也有吸收，但吸收不多）。为了便于使用，我们在所用的偏振片上标出记号“”，表明该偏振片允许通过的光振动方向，这个方向称做“偏振化方向”，也叫透光轴方向。如下图情况，自然光经偏振片P变成了线偏振光。2．起偏和检偏通常把能够使自然光成为线偏振光的装置称为起偏振器。如：上面的偏振片P就属于起偏振器。用来检验一束光是否为线偏振光的装置通常称为检偏振器。如：P也可做检偏振器。如图，让束线偏振光入射到偏振片P2上，当P2的偏振化方向与入射线偏振光的光振动方向相同时，则该线偏振光仍可继续经过P2而射出，此时观察到最明情况；把P2沿入射光线为轴转动角（）时，线偏振光的光矢量在P2的偏振化方向有一分量能通过P2，可观测到明的情况（非最明）；当P2转动时，则入射P2上线偏振光振动方向与P2偏振化方向垂直，故无光通过P2，此时可观测到最暗（消光）。在P2转动一周的过程中，可发现：最明最暗（消光）最明最暗（消光）。\n结论：（1）线偏振光入射到偏振片上后，偏振片旋转一周（以入射光线为轴）过程中，发现透射光两次最明和两次消光。：偏振化方向转过角度（2）若自然光入射到偏振片上，则以入射光线为轴转动一周，则透射光光强不变。（3）若部分偏振光入射到偏振片上，则以入射光线为轴转动一周，则透射光有两次最明和两次最暗（但不消光）。五．马吕斯定律如图所示，自然光入射到偏振片P1上，透射光又入射到偏振片P2上，这里P1为起偏振器，P2相当于检偏振器。透过P2的线偏振光其光强的变化规律如何？这就是马吕斯定律要阐述的内容。\n设P1、P2的二偏振化方向为P1P1、P2P2，夹角为，自然光经P1后变成线偏振光，光强为，光矢量振幅为。光振动分解成与P2平行及垂直的二个分矢量，标量形式分量为：只有能透过P2，∴透过光的光振动振幅为(不考虑吸收)光强光振动振幅∴入射光与透射光强之比为（16-1）此式是马吕斯1809年由实验发现的，称做马吕斯定律。它表明：透过一偏振片的光强等于入射线偏振光光强乘以入射偏振光的光振动方向与偏振片偏振化方向夹角余弦平方。讨论：（1）（2）（3）例16-1：偏振片P1、P2放在一起，一束自然光垂直入射到P1上，试下面情况求P1、P2偏振化方向夹角。透过P2光强为最大投射光强的；透过P2的光强为入射到P1上的光强。解：（1）设自然光光强为，透过P1光强为透过P2光强为（马吕斯定律），当时，（2）\n当时，例16-2：如图，三偏振片平行放置，P1、P3偏振化方向垂直，自然光垂直入射到偏振片P1、P2、P3上。问：（1）当透过P3光光强为入射自然光光强时，P2与P1偏振化方向夹角为多少？（2）透过P3光光强为零时，P2如何放置？（3）能否找到P2的合适方位，使最后透过光强为入射自然光强的？解：（1）设P1、P2偏振化夹角为，自然光强为，经P1光强为，经P2光强为经P3光强为当时，（2）（3）∴找不到P2的合适方位，使。讨论：由（1）中公式中，§16-2反射和折射时光的偏振自然光在两种各向同性介质的分界面上反射和折射时也会发生偏振现象，即反射光和折射光都是部分偏振光，在一定条件下，反射光为线偏振光，这一现象是马吕斯1808年发现的，这一内容介绍如下。\n一．布儒斯特定律1．实验情况如图，MM’是两种介质分界面（如：空气与玻璃），SI是一束自然光入射线，IR、IR’分别是反射线和折射线，分别为入射角和折射角。前面已讲过，自然光可分解为两个振幅相等的垂直分振动，在此，设二分振动在图面内及垂直图E，前者称为平行振动，后者称为垂直振动。在入射线中，短线与点子均等分布。实验表明：反射光波垂直成份较多，被折射部分含平行成份较多。可见，反射光和折射光均为部分偏振光。图16-132．布儒斯特定律反射光和折射光的偏振化程度与入射角有关，设n1、、n2是入射光和折射光所在介质空间的折射率，用n21=表示折射介质相对入射介质的折射率，实验表明当等于某一特殊值，当入射光与折射光垂直时，反射光为垂直入射面振动的线偏振光，折射光仍为部分偏振光，此时，入射角满足（折射定律）∵∴故（16-2）即入射角满足时，反射光为垂直于入射面振动的线偏振光，这一规律称为布儒斯特定律，上式为布儒斯特定律数学表达式。该定律是布儒斯特1812年从实验中研究得出的。称为布儒斯特角或起偏角。说明：（1）可证明：当时，反射光为垂直于入射面振动的线偏振光。证明：由折射定律知：又（布儒斯特定律）∴图16-14即\n结论：（1）当入射角为布儒斯特角时，反射光为垂直于入射面的线偏振光，并且该线偏振光与折射光线垂直。（2）折射光为部分偏振光，平行入射面振动占优势，此时偏振化程度最高。例16-3：某一物质对空气得临界角为，光从该物质向空气入射。求解：设n1为该物质折射率，、n2为空气折射率，可有全反射定律为：又∴二．玻璃堆法（获得偏振光方法）前面讲过，当时，折射光的偏振化程度最大（相对而言）。实际上，时，折射光与线偏振光还相差很远。如：当自然光从空气射向普通玻璃上时，入射光中垂直振动的能量仅有15%被反射，其余85%没全部平行振动的能量都折射到玻璃中，可见通过单个玻璃的折射光，其偏振化程度不高。为了获得偏振化程度很高的折射光，可令自然光通过多块平行玻璃（称为玻璃堆），使入射，因射到各玻璃表面的入射线均为起偏角，入射光中垂直振动的能量有15%被反射，而平行振动能量全部通过。所以，每通过一个面，折射光的偏振化程度就均加一次，如果玻璃体数目足够多，则最后折射光就接近于线偏振光。证明：自然光入射角为时，通过各面入射时，均以起偏角入射，即。∵及∴可见，是光从玻璃中向空图16-15气界面入射时起偏角。例16-4：杨氏双缝实验中，下述情况能否看到干涉条纹？简单说明理由。（1）在单色自然光源S后加一偏振体P；（2）在（1）情况下，再加P1、P2，P1与P2透光方向垂直，P与P1、P2透光方向成角。（3）在（2）情况下，再在E前加偏振片P3，P3与P透光方向一致。\n图16-16解：（1）到达S1、S2光是从同一线偏振光分解出来的，它们满足相干条件，且由于线偏振片很薄，对光程差的影响可略，干涉条纹的位置与间距和没有P时基本一致，只是强度由于偏振片吸收而减弱。（2）由于从P1、P2射出的光方向相互垂直，不满足干涉条件，故E上呈现均匀明，无干涉现象。（3）∵从P出射的线偏振光经与P1、P2后虽然偏振化方向改变了，但经过P3后它们振动方向又同一方向，满足相干条件，故可看到干涉条纹。例16-5：如图，用自然光或偏振光分别以起偏角或其它角（）射到某一玻璃表面上，试用点或短线表明反射光和折射光光矢量的振动方向。解：结果如下：图16-17\n第十七章狭义相对论基础在第一册中讲过的牛顿力学，只适用于宏观物体低速运动，高速运动的物体则使用相对论力学。相对论本章只介绍狭义相对论§17—1伽利略变换经典力学时空观力学相对论原理一、伽利略变换概念介绍：事件：是在空间某一点和时间某一时刻发生的某一现象（例如：两粒子相撞）。事件描述：发生地点和发生时刻来描述，即一个事件用四个坐标来表示如图所示，有两个惯性系,，相应坐标轴平行，相对以沿正向匀速运动，时，与重合。现在考虑点发生的一个事件：按经典力学观点，可得到两组坐标关系为或（17-1）式（17-1）是伽利略变换及逆变换公式。\n二、经典力学时空观1、时间间隔的绝对性设有二事件，，在系中测得发生时刻分别为，；在系中测得发生时刻分别为，。在系中测得两事件发生时间间隔为，在系测得两事件发生的时间间隔为。，，。此结果表示在经典力学中无论从哪个惯性系来测量两个事件的时间间隔，所得结果是相同得，即时间间隔是绝对得，与参照系无关。2、空间间隔的绝对性设一棒，静止在系上，沿轴放置，在系中测得棒两端得坐标为，（），棒长为，在系中同时测得棒两端坐标分别为,（），则棒长为即。此结果表示在不同惯性系中测量同一物体长度，所得长度相同，即空间间隔是绝对的，与参照系无关。上述结论是经典时空观（绝对时空观）的必然结果，它认为时间和空间是彼此独立的，互不相关的、并且独立于物质和运动之外的（不受物质或运动影响的）某种东西。三、力学相对性原理力学中讲过，牛顿定律适用的参照系称为惯性系，凡是相对惯性系作匀速直线运动的参照系都是惯性系。即是说，牛顿定律对所有这些惯性系都适用，或者说牛顿定律在一切惯性系中都具有相同的形式，这可以表述如下：力学现象对一切惯性系来说，都遵从同样的规律，或者说，在研究力学规律时一切惯性系都是等价的。这就是力学相对性原理。这一原理在实验基础上总结出来的。下面我们可以看到物体的加速度对伽利略变换时是不变的。由伽利略变换，对等式二边求关于对时间的导数，可得：及（17-2）（注意，）式（17-2）是伽利略变换下速度变换公式。对（2）两边再对时间求导数，有（17-3）式（17-3\n）表明：从不同得惯性系所观察到的同一质点的加速度是相同的，或说成：物体的加速度对伽利略变换是不变的。进一步可知，牛顿第二定律对伽利略变换是不变的。§17—2迈克耳逊—莫雷实验由于经典力学认为时间和空间都是与观测者的相对运动无关，是绝对不变的，所以可以设想，在所有惯性系中，一定存在一个与绝对空间相对静止的参照系，即绝对参照系。但是，力学的相对性原理指明，所有的惯性系对力学现象都是等价的，因此不可能用力学方法来判断不同惯性系中哪一个是绝对静止的。那么能不能用其他方法（如：电磁方法）来判断呢？1856年迈克斯韦提出电磁场理论时，曾预言了电磁波的存在，并认为电磁波将以的速度在真空中传播，由于这个速度与光的传播速度相同，所以人们认为光是电磁波。当1888年赫兹在实验室中产生电磁波以后，光作为电磁波的一部分，在理论上和实验上就完全确定了。传播机械波要介质，因此，在光的电磁理论发展初期，人们认为光和电磁波也需要一种弹性介质。十九世纪的物理学家们称这种介质为以太，他们认为以太充满整个空间，即使真空也不例外，他们并认为在远离天体范围内，这种以太是绝对静止的，因而可用它来作绝对参照系。根据这种看法，如果能借助某种方法测出地球相对于以太的速度，作为绝对参照系的以太也就被确定了。在历史上，确曾有许多物理学家做了很多实验来寻求绝对参照系，但都没得出预期的结果。其中最著名的实验是1881年迈克耳逊探测地球在以太中运动速度的实验，以及后来迈克耳逊和莫雷在1887年所做的更为精确的实验。实验装置如图所示，它就是对光波进行精密测量的迈克耳逊干涉仪。整个装置可绕垂直于图面的轴线转动，并保持固定不变。设地球相对于绝对参照系的运动自左向右，速度为，（1）光再所有时间为（2）光再从所用时间设光从时，对仪器速度，对以太速度为，设光从时，对仪器速度为，对以太速度，\n。光从所用时间为（对做级数展开）从系来看（地球上或仪器上），点发出的光到达望远镜时间差为。于是，两束光光程差为。若把仪器旋转，则前、后两次的光程差。在此过程中，T中应有条条纹移过某参考线。式中、均为已知，如能测出条纹移动的条数，即可由上式算出地球相对以太的绝对速度，从而就可以把以太做为绝对参照系了。在迈克耳逊—莫雷实验中，约为10m，光波波长为5000,再把地球公转速度代入，则得。因为迈克耳逊干涉仪式非常精细得，它可以观察到的条纹移动，因此，迈克耳逊和莫雷应当毫无困难地观察到有0.4条条纹移动。但是，他们没有观察到这个现象，迈克耳逊的实验结果，对企图寻求作为绝对参照系的以太，结果十分令人失望。结论：（1）迈克耳逊实验否定了以太的存在。（2）迈克耳逊实验说明了地球上光速沿各个方向都是相同的（此时，所以无条纹移动）。（3）迈克耳逊实验就其初衷来说是一次失败的实验。§17—3爱因斯坦狭义相对论基本假设洛伦兹变换一、爱因斯坦假设1905年爱因斯坦发表一篇关于狭义相对论的假设的论文，提出了二个基本假设。1、相对性原理：\n物理学规律在所有惯性系中都是相同的，或物理学定律与惯性系的选择无关，所有的惯性系都是等价的。此假设肯定了一切物理规律（包括力、电、光等）都应遵从同样的相对性原理，可以看出，它是力学相对性原理的推广。它也间接地指明了，无论用什么物理实验方法都找不到绝对参照系。2、光速不变原理：在所有惯性系中，测得真空中光速均有相同的量值c。它与经典结果恰恰相反，用它能解释迈克耳逊—莫雷实验。二、洛伦兹变换根据狭义相对论二条基本原理，导出新时空关系（爱因斯坦的假设否定了伽利略变换，所以要导出新的时空关系）。设有一静止惯性参照系S，另一惯性系沿轴正向相对S以匀速运动，时，相应坐标轴重合。一事件P在S、上时空坐标与变换关系如何？1、用相对性原理求出变换关系式S原点的坐标为即x与同时为零，可写成：。两组时空坐标是对一事件而言的，它们应有一一对应关系，即要求它们之间为线性变换，m=1，即（17-4）同理：(17-5)根据相对性原理，对等价的惯性系而言，（4）、(5)二式除外，它们应有相同形式，即要求，(17-6)解（6）有（17-7）\n（17-8）2、用光速不变原理求k=？时，一光信号从原点沿OX轴前进，信号到达坐标为：（c不变）(17-9)(17-9)代(17-6)中上述二式两边相乘有：（）k代(17-8)中，有或（17-10）讨论：（1）时间与空间是相联系的，这与经典情况截然不同。（2）因为时空坐标都是实数，所以为实数，要求。v代表选为参考系的任意两个物理系统的相对速度。可知，物体的速度上限为c，时洛伦兹变换无意义。（3）时，或即洛伦兹变换变为伽利略变换，叫做经典极限条件。三、相对论速度变换在、系上测某一质点在某一瞬时的速度\n系上：；系。即及（17-11）讨论：时，及洛伦兹变换伽利略变换。例17-1：试求下列情况下，光子A与B的相对速度，（1）A、B反向而行；（2）A、B相向而行；（3）A、B同向而行。解：如图所示，取S系为实验室坐标系，系为与B固连的\n坐标系，S、相应的坐标轴平行，轴与A、B运动方向平行。（1）,(2),(3).上述结果是光速不变原理的必然结果。§17—4相对论中的长度、时间和同时性在本节中，我们将从洛伦兹变换出发，讨论长度、时间和同时性等基本概念。从所得结果，可以更清楚地认识到，狭义相对论对经典的时空观进行了一次十分深刻的变革。一、长度收缩同前，取惯性系S，，有一杆静止在系中的轴上，在上测得杆长：；在S上测得杆长：（、在同一t时刻测得）。，即：（17-12）。相对观察者静止时物体的长度称为静止长度或固有长度（这里为固有长度）。相对于观察者运动的物体，在运动方向的长度比相对观察者静止时物体的长度短了。说明：（1）长度缩短是纯粹的相对论效应，并非物体发生了形变或者发生了结构性质的变化。（2）在狭义相对论中，所有惯性系都是等价的，所以，在S系中x\n轴上静止的杆，在上测得的长度也短了。（3）相对论长度收缩只发生在物体运动方向上（因为，）。（4）时，，即为经典情况。例17-2:如图所示，有两把静止长度相同的米尺，和，尺长方向均与惯性系S的x轴平行，两尺相对S系沿尺长方向以相同的速率v匀速地相向而行。试指出下列各种情况下两尺各端相重合的时间次序。（1）与尺固连的参照系上测量；（2）在与尺固连的参照系上测量；（3）在S系上测量。图17-10解：（1）此时，测得B尺长度缩短了，所以结果如下：，，，；（2）此时，测得A尺长度缩短了，所以结果如下，，，；（3）此时，测得A尺、B尺长度均缩短了，缩短的长度一样，所以结果如下，（同时），。例17-3：有惯性系S和，相对于S以速率v沿x轴正向运动。时，S与的相应坐标轴重合，有一固有长度为1m的棒静止在系的平面上，在系上测得与轴正向夹角为。在S系上测量时，（1）棒与x轴正向夹角为多少？(2)棒的长度为多少？解：（1）设、为S上测得杆长在x、y方向分量，、为上测得杆长在、方向分量。图17-11(2)长度缩短只发生在运动方向上。二、时间膨胀（或钟慢）在与前面相同的S和系中，讨论时间膨胀问题。设在中同一地点不同时刻发生两事件（如：自中某一坐标）处沿y竖直上抛物体，之后又落回抛设处，那么抛出的时刻和落回抛出点的时刻分别对应二个事件），时空坐标为，\n，时间间隔为。在S系上测得二事件的时空坐标为，，（，在运动）。在S上测得此二事件发生的时间间隔为即（17-13）相对观察者静止时测得的时间间隔为静时间间隔或固有时间。由上可知，相对于事件发生地点做相对运动的惯性系S中测得的时间比相对于事件发生地点为静止的惯性系中测得的时间要长。换句话说，一时钟由一个与它作相对运动的观察者来观察时，就比由与它相对静止的观察者观察时走得慢。说明：（1）时间膨胀纯粹是一种相对论效应，时间本身的固有规律（例如钟的结构）并没有改变。（2）在S上测得上的钟慢了，同样在上测得S上的钟也慢了。它是相对论的结果。（3）时，，为经典结果。三、同时的相对性按牛顿力学，时间是绝对的，因而同时性也是绝对的，这就是说，在同一个惯性系S中观察的两个事件是同时发生的，在惯性系看来也是同时发生的。但按相对论，正如长度和时间不是绝对的一样，同时性也不是绝对的。下面讨论此问题。如前面所取的坐标系S，，在系中发生二事件，时空坐标为，，此二事件在S系中时空坐标为，，当，则在中是同时发生的，在S系看来此二事件发生的时间间隔为：，若，，则，即S上测得此二事件一定不是同时发生的。若，，则，即S上测得此二事件一定是同时发生的。若，，则是否为零不一定，即S上测得此二事件是否同时发生不一定。从以上讨论中看到了“同时”是相对的。这与经典力学截然不同。\n§17—5相对论动力学基础一、质量与速度的关系理论上可以证明，以速率v运动的物体，其质量为（17-14）式中为相对观察者静止时测得的质量，称为静止质量，为物体以速率v运动时的质量。说明：(1)物体质量随它的速率增加而增加，这与经典力学不同（质量随速度增加的关系，早在相对论出现之前，就已经从射线的实验中观察到了，近年在高能电子实验中，可以把电子加速到只比光速小三百亿分之一，这时电子质量达到静止质量的四万倍）（2）当物体运动速率时，（），这就是说，实物体不能以光速运动，它与洛伦兹变换是一致的。（3）对于时，与经典情况一致。二、相对论力学的基本方程1、动量（17-15）2、牛顿第二定律（相对论下力学基本方程）当时，。讨论：系统，动量守恒表达式。说明：(1)相对论下力学基本方程是在洛伦兹变换下是不变的。(2)时，，（经典情况）。（3）相对论中的m、、普遍成立，而牛顿定律只是在低速情况下成立。\n三、质量与能量关系1、相对论中动能设质点受力，在作用下位移为，依动能定理有：质点沿任一路径静止开始运动到某点处时，有可见物体动能等于与之差。可见与有能量的含义。爱因斯坦从这里引入古典力学中从未有过的独特见解，把称为物体的静止能量，把称为物体总能量，即（17-16）（17-17）即，物体动能=总能量-静止能量。2、质能关系式（17-18）上式称为质能关系式。说明：（1）质量和能量都是物质的重要性质，质能关系式给出了它们之间的联系，说明任何能量的改变同时有相应的质量的改变（），而任何质量改变的同时，有相应的能量的改变，两种改变总是同时发生的。我们决不能把质能关系式错误地理解为“质量转化为能量”或“能量转化为质量”。（2））（经典情况）\n四、动量与能量之间的关系已知即有（17-19）此式为能量与动量关系式。五、光子情况光子静止质量为零（由可得出），，例17-4：一原子核相对于实验室以0.6c运动，在运动方向上向前发射一电子，电子相对于核得速率为0.8c，当实验室中测量时，(1)电子速率？(2)电子质量？(3)电子动能？(4)电子的动量大小？解：S系固连在实验室上，固连在原子核上，S、相应坐标轴平行。X轴正向取为沿原子核运动方向上。(1)图17-12\n（2）（3）（4）本章讨论了狭义相对论的时空观和相对论力学的一些重要结论，可以看出相对论揭露了时间和空间以及时空与运动物质之间的深刻联系，带来了时空观念的一次深刻变革，使物理学的根本观念以及物理理论发生了深刻的变化，相对论已被大量的科学实验所证实，是当代科学技术的基础，随着科学技术的发展，其深远影响将会更加明显起来。第十八章光的量子性§18-1黑体辐射一、热辐射基尔霍夫定律1．热辐射（1）热辐射任何物体在任何温度下都要发射各种波长的电磁波。场中由于物体中的分子、原子受到热激发，而发射的电磁辐射现象称为热辐射。（2）单色发射本领（单色辐出度）根据实验，当物体的温度一定时，在一定时间内从物体表面一定面积上发射出来的、波长在某一范围的辐射能有一定的量值。令为单位时间内从物体表面单位面积上发射出来的、波长在内的辐射能，则与之比定义为单色发射本领，用表示，对给定的物体，是波长和温度的函数。（3）全发射本领（辐射出射度）\n物体表面单位面积上在单位时间内发射出来的含各种波长的总辐射能量称为全发射本领，用表示。（4）吸收率与反射率当外来辐射能入射到某一不透明物体表面上时，一部分被吸收，一部分从物体表面上反射（如果物体是透明的，还有一部分透过物体）。如果用分别表示波长在内的入射能量、被吸收能量和被反射的能量，则由能量守恒定律知，定义：为温度为T的物体对波长为内的单色辐射能的吸收率；为温度为T的物体对波长为内的单色辐射能的反射率。上式可写成：+=12．绝对黑体（1）定义：如果一物体在任何温度下对任何波长的入射辐射能全部吸收而不反射，则这一物体称为绝对黑体，简称黑体。显然对黑体有。（2）黑体模型：设有一空心容器，器壁由不透明材料制成，器壁上开有一小孔Ο。图18-13、基尔霍夫定律早在1866年，基尔霍夫就发现，物体的辐射出射度与物体的吸收率之间有内在的联系。他首先从理论上推知，吸收率较高的物体，其单射发射本领也较大，然而比值是一恒量，这一恒量与物体性质无关，其大小仅决定所物体的温度和光的波长。具体地说，设有不同物体1，2，…和黑体B，它们在温度T下，其波长为λ的单色发射本领分别为，，…，相应的吸收比为：，，…那么：==…==\n即任何物体的单色发射本领和吸收率之比，等于同一温度和波长下绝对黑体和单色发射本领，这为基尔霍夫定律。二、绝对黑体的辐射定律1、的实验测定从基尔霍夫定律知，要了解一物体的热辐射性质，必须知道黑体的发射本领，因此确定绝对黑体单色发射本领曾经是热辐射研究的中心问题。根据实验可确定不同温度下的与λ的曲线。结果如图所示。2、根据实验得出两条黑体辐射定律图18-2(1)斯忒藩—玻尔兹曼定律如图知，绝对黑体在温度T下得全发射本领（即为温度T得曲线下面积为可知，，实验结果：，即（）此定律称为斯忒藩—玻尔兹曼定律。称为斯忒藩—玻尔兹曼常数（用此定律可求T）(2)维恩位移定律如上页知，每一曲线有一极大值，令对应极大值的，则实验结果确定与T的关系为这一称为维恩位移定律。三、普朗克量子假设1、普朗克假设要点(1)把构成黑体的原子、分子看成带电的线性谐振子；(2)频率为的谐振子具有的能量只能是最小能量（能量子）的整数倍，即式中：称为量子数，为普朗克常数。以后可以看到，在近代物理中的重要性与光速c相当。谐振子具有上式所容许的某一能量时，对应的状态称为定态。\n(3)谐振子与电磁场交换能量时，即在发射或吸收电磁波时，是量子化的，是一份一份的，按的形式，从一个定态跃迁到另一个定态。普朗克量子假设与经典物理学有根本性的矛盾，因为根据经典理论，谐振子的能量是不应受任何限制的，能量被吸收或发射也是连续进行的，但按照普朗克量子假设，谐振子的能量是量子化的，即他们的能量是能量子的整数倍。普朗克假设与经典理论不相容，但是它能够很好地解释黑体辐射等实验。此假设成为了现代量子理论的开端。2、黑体辐射公式普朗克在其假设前提下，推出了如下的黑体辐射公式（18-1）其中λ为波长，T为热力学温度，K为玻耳兹曼常数，c为光速，h为普朗克常数。利用普朗克公式可推出斯藩—玻尔兹曼定律和维恩位移定律。§18-2光电效应在1887年，赫兹发现了光电效应。18年后，爱因斯坦发展了普朗克关于能量量子化的假设，提出了光量子的概念，从理论上成功地说明了光电效应的实验，为此，爱因斯坦获得了1912年的诺贝尔物理学奖。1917年发表的《关于辐射的量子理论》一文中，爱因斯坦又提出了受激辐射理论，后来完成了激光科学技术的理论基础。光电效应：在光照射下，电子从金属逸出，这种现象称为光电效应。一．实验装置S为抽成真空德玻璃容器，容器内装有阴极K和阳极A，阴极K为一金属板，W为石英窗（石英对紫外光吸收最少），单色光通过W照射K上时，K便释放电子．这种电子称为光电子，如果在A、K之间加上电势差V，光电子在电场作用下将由，形成丑．AKBA方向的电流，称为光电流，A、K间电势差V寅．及电流I由伏特计及电流计读出。图18-3二．光电效应的实验规律1．光电流和入射光光强关系实验指出，以一定强度的单色光照射K上时，V越大，测光电流I就越大，当V增加到一定时，I达到饱和值Is（如图）。这说明V增加到一定程度时，从\n阴极释放出电子已经全部都由，V再增加也不能使I增加了。图18-4实验结果表明：饱和光电流Is与入射光强度成正比（如图）。设n为阴极K单位时间内释放电子数，则Is为结论：单位时间内，K释放电子数正比于入射光强。（这是第一条实验定律）从图知，V减小时，I也减小，但当V减小到0，甚至负的时（V>Va），I也不为零，这说明从K出来的电子有初动能，在负电场存在时，它克服电场力作功，而到达A，产生I。当V=Va时，I=0，Va称为遏止电压。2．光电子最大初动能与入射光频率之间关系V<0时，外电场使光电子减速，即电子克服电场力做功，当V=Va时是产生光电流的临界状态，此时，从K释放的光电子最大初动能为：（18-2）实验表明，Va与入射光频率成线性增加，如图，Va可表示为：Va=k()轴上截距，k为斜率。图18-5由上二式有：（18-3）结论：光电子最大动能随入射光的频率增加而线性增加，而与光的强度无关。（这是第二条规律）3．发生光电效应与否与入射光频率关系称为光电效应的红限（或截止频率），不同材料不同（不同而K相同）结论：只要就能发生光电效应，而时不能。能否发生光电效应只与频率有关，而与入射光光强无关。（这是第三条规律）4．光电效应发生与时间关系实验表明：从光线开始照射K直到K释放电子，无论光强如何，几乎是瞬时的，并不需要经过一段显著的时间，据现代的测量，这时间不超过S。\n结论：发生光电效应是瞬时的。（这是第4条规律）三．经典理论解释光电效应遇到的困难光电效应的实验结果和光的波动理论之间存在着尖锐的矛盾。上述4条实验规律，除第1条用波动理论可以勉强解释外，对其它3条的解释，波动理论都碰到了无法克服的困难。1．按光的波动说，金属在光的照射下，金属中的电子受到入射光振动的作用而作受迫振动，这样将从入射光中吸收能量，从而逸出表面，逸出时初动能应决定于光振动振幅，即取决于光强，光强越大，光电子初动能就越大，所以光电子初动能应与光强成正比。但是，实验结果表明，光电子初动能只与光的频率有关，而与光强无关。显然这与第二条实验规律相矛盾。2．按经典波动光学理论，无论何种频率的光照射在金属上，只要入射光足够强，使电子获得足够的能量，电子就能从金属表面逸出来。这就是说，光电效应发生与光的频率无关，只要光强足够大，则就能发生光电效应。但是，实验表明，只有在时，才能发生光电效应。显然这与第三条规律相矛盾。3．按照经典理论，光电子逸出金属表面所需要的能量是直接吸收照射到金属表面上光的能量。当入射光的强度很弱时，电子需要有一定时间来积累能量，因此，光射到金属表面后，应隔一段时间才有光电子从金属表面逸出来。但是，实验结果表明，发生光电效应是瞬时的，显然，这与第四条规律相矛盾。四．爱因斯坦光子假设前面已经介绍了普朗克量子假说。根据这一假说，普朗克在理论上圆满地导出了热辐射的实验规律，为了解释光电效应的实验事实，1905年，爱因斯坦在普朗克量子假设的基础上，进一步提出了关于光的本性的光子假说。1．爱因斯坦假说(1)光束是一粒一粒以光速c运动的粒子流，这些粒子称为光量子，也称为光子，每一光子能量为。(2)光的强度（能流密度：单位时间内通过单位面积的光能）决定于单位时间内通过单位面积的光子数N，频率为的单色光，能流密度为说明：爱因斯坦光子概念与普朗克量子概念有着联系和区别。爱因斯坦推广了普朗克能量量子化的概念，这就是联系。区别：两人所研究对象不同，普朗克把黑体内谐振子的能量看作是量子化的，它们与电磁波相互作用时吸收和发射的能量也是量子化的；爱因斯坦认为，空间存在的电磁波的能量本质就是量子化的。\n2．爱因斯坦光电效应方程按照光子假设，光电效应可解释如下：金属中的自由电子从入射光中吸收一个光子的能量时，一部分消耗在电子逸出金属表面需要的逸出功W上，另一部分转换成光电子的动能，按能量守恒有（18-4）此式称为爱因斯坦光电效应方程。由此出发，我们可以解释光电效应的实验结果。由知3．用光子假说解释光电效应实验规律(1）光强增加而频率不变时，由于的份数多，所以被释放电子数目多，说明了，单位时间内从阴极逸出的电子数与光强成正比，这解释了第一条实验规律。(2)由光电效应方程知，光电子的初动能与入射光频率成正比，这解释了第二条实验规律。(3)由光电效应方程知，在一个红限，只有时，才有>0。即才能发生光电效应，否则不能。这解释了第三条实验规律。(4)按光子假说，当光投射到物体表面时，光子的能量一次地被一个电子所吸收，不需要任何积累能量时间，这就是很自然地解释了光电效应瞬时产生的规律（第四条规律）。至此，我们可以说，原先由经典理论出发解释光电效应实验所遇到的困难，在爱因斯坦光子假设提出后，都已被解决了。不仅如此，通过爱因斯坦对光电效应的研究，使我们对光的本性的认识有了一个飞跃，光电效应显示了光的粒子性。五．光子的能量动量1．能量2．光子动量∴∴\n即光子静止质量为零。根据，对光子，而有限，所以必为0。例18-1：钠红限波长为5000，用4000的光照射，遏止电压等于多少？解：由得，例18-2：小灯泡消耗得功率为P=1W，设这功率均匀地向周围辐射出，平均波长为。试求在距离处，在垂直于光线面积元S=1cm2每秒钟所通过得光子数。解：在所考虑得球面上，功率密度为：在S=1cm2上的功率为：所求粒子数为：即每秒中通过约20万个光子。六．光电效应应用§18-3康普顿效应1922—1923年，美国物理学家康普顿研究了射线经过金属石墨等物质散射后的光谱成份，结果介绍如下。一．实验装置由单色射线源R发出的波长为的射线，通过光阑D成为一束狭窄的射线束，这束射线投射到散射物C上，用摄谱仪S可探测到不同方法的散射射线的波长。图18-6二．实验结果1．在散射线中，除有与入射光波长相同的外，还有比大的散射线（出现的散射称做康普顿散射），波长改变量为（）随散射角\n的增大而增大，在同一入射波长和同一散射角下，（）对各种材料都相同。2．在原子量小的物质中，康普顿散射较强；在原子量大的物质中，康普顿散射较弱。三．经典理论解释的困难按照经典电磁理论解释，当电磁波通过物体时，将引起物体内带电粒子的受迫振动，每个振动着的带电粒子将向四周辐射，这就成为散射光。从波动观点来看，带电粒子受迫振动的频率等于入射光的频率，所发射光的频率（或波长）应与入射光的频率相等。可见，光的波动理论能够解释波长不变的散射而不能解释康普顿效应。四．用光子理论解释如果应用光子的概念，并假设光子和实物粒子一样，能与电子等发生弹性碰撞，那么，康普顿效应能够在理论上得到与实验相符的解释。解释如下：（1）一个光子与散射物质中的一个自由电子或束缚较弱的电子发生碰撞后，光子将沿某一方向散射，这一方向就是康普顿散射方向。当碰撞时，光子有一部分能量传给电子，散射的光子能量就比入射光子的能量为少；因为光子能量与频率之间有关系，所以散射光频率减小了，即散射光波长增加了。（大可通过公式解释）。（2）轻原子中的电子一般束缚较弱，重原子中的电子只有外层电子束缚较弱，内部电子是束缚非常紧的，所以，原子量小的物质，康普顿散射较强，而原子量大的物质，康普顿散射较弱。）五．康普顿效应公式的推导如图所示，一个光子和一个自由电子作完全弹性碰撞，由于自由电子速率远小于光速，所以可认为碰前电子静止。设光子频率为，沿方向入射，碰后，光子沿角方向散射出去，电子则获得了速率V，并沿与方向夹角为角方向运动，所以光速很大，所以电子获得速度也很大，可以与光速比较，此电子称为反冲电子。图18-7在此，由光子和电子组成的流，动量及能量守恒，设和分别为电子的静止质量和相对论质量，有：能量守恒：（18-5）动量守恒：（18-6）\n由（18-6）有：（（18-7）（18-8）式（18-7）+（18-8）：即：（18-9）式（18-5）可化为：，两边平方，有（18-10）式（18-10）—（18-9）：（18-11）∴式（18-11）变为：即：（18-12）式（18-12）除以得：即：（18-13）由此可见，；相同，相同，则就相同，与散射物质无关。（1）康普顿效应的发现，以及理论分析和实验结果的一致，不仅有利证明了光子假设是正确的，并且证实了在微观粒子的相互作用过程中，也严格遵守着能量守恒和动量守恒。（2）光电效应和康普顿效应等实验现象，证实了光子的假设是正确的，光具有粒子性。但在光的干涉、衍射、偏振等现象中，又明显地表现出来光的波动性。这说明光具有波动性、又具有粒子性。一般说来，光在传输过程中，波动性表现较明显；光和物质作用时，粒子性表现比较明显。光所表现的这两种性质，反映了光的本性。然而，光的这量方面的性质是经典物理学不能容许的。例18-3：已知射线的能量为0.060Mev，受康普顿散射后，（1）在散射角为方向上，射线波长=？（2）反冲电子动能=？解：（1）入射射线波长为\n（2）第十九章原子的量子理论§19-1玻尔的氢原子理论自1897年发现电子并确定是原子的组成粒子以后，物理学的中心问题之一就是探索原子内部的奥秘。人们逐步弄清了原子的结构及其运动变化的规律，认识了微观粒子的波粒二向性，建立了描述分子、原子等微观系统运动规律的理论体系量子力学。量子力学是近代物理学中一大支柱，有力地推动了一些学科（如化学、生物、…）和技术（如半导体、核动力、激光、…）的发展。本章介绍量子理论的一些基本概念。一、原子光谱的实验规律光谱分为下面三类：线光谱：谱线是分明、清楚的，表示波长的数值有一定间隔。\n（所有物质的气态原子（而不是分子）都辐射线光谱，因此这种原子之间基本无相互作用。）带状光谱：谱线是分段密集的，每段中相邻波长差别很小，如果摄谱仪分辨本领不高，密集的谱线看起来并在一起，整个光谱好象是许多段连续的带组成。（它是由没有相互作用的或相互作用极弱的分子辐射的。）连续光谱：谱线的波长具有各种值，而且相邻波长相差很小，或者说是连续变化的。（如：太阳光是连续光谱。实验表明，连续光谱是由于固态或液态的物体发射的，而气体不能发射连续光谱。液体、固体与气体的主要区别在于它们的原子间相互非常强烈。）1．氢原子光谱19世纪后半期，许多科学家测量了许多元素线光谱的波长，大家都企图通过对线光谱的分析来了解原子的特性，以及探索原子结构。人们对氢原子光谱做了大量研究，它的可见光谱如下图。其中从光波向短波方向数的前4个谱线分别叫做、、、，实验测得它们对应的波长分别为：、、、。在1885年从某些星体的光谱中观察到的氢光谱谱线已达14条。这年，瑞士数学家巴尔末(J.J.Balmer)，发现氢原子光谱在可见光部分的谱线，可归结于下式：式中为波长，称为里德伯常数。我们把可见光区所有谱线的总体称为巴尔末系。巴尔末是第一个发现氢原子光谱可组成线系的。1896年，里得伯用波数来代替巴尔末公式中德波长，从而得到光谱学中常见的形式：波数=单位长度内含有完整波的数目，（19-1）在氢原子光谱中，除了可见光的巴尔末系之外，后来又发现在紫外光部分核红外光部分也有光谱线，氢原子谱线系如下：\n（19-2）以上各谱线系可概括为：（19-3）式中依次代表赖曼系、巴尔末系、帕邢系、布喇开系、普丰特系。讨论：(1)式（19-3）的意义：氢原子中电子从第个状态向第状态跃迁时发光波长德倒数。(2)值不同，对应不同线系；同一不同值，和对应同一线系不同谱线。2．里兹并合原理：对氢原子、波数可表示为（19-4）式中，,,它们均称为谱项。可见，波数可用两个谱项差表示，式（19-4）称为里兹并合原理。结论：对氢原子光谱情况可以总结出：(1)光谱是线状的，谱线有一定位置。(2)谱线间有一定的关系，如可构成谱线系。同一谱线系可用一个公式表示。(3)每一条谱线的波数可以表示为二光谱项差。说明：不同原子有不同形式的光谱项。二、玻尔的氢原子理论1808年，道尔顿为了阐述化学上的定比定律和倍比定律创立原子论，认为原子是组成一切元素的最小单位，是不可分的。1897年，汤姆孙通过阴极射线实验反县电子，这个实验以及其它实验证实了电子是一切原子的组成部分。原子是可分的。但是电子是带负电的，而正常原子是中性的，所以在正常原子中一定还有带正电的物质，这种带正电的物质在原子中是怎样分布的呢？这个问题成了19世纪末，20世纪初物理学的重要研究课题之一，它也困扰了许多物理学家。1903年，英国物理学家汤姆孙首先提出原子的模型来回答了这个问题。此模型称为汤姆孙模型。内容简述如下：原子是球形的，带正电的物质电荷和质量均匀分布在球内，而带负电的电子浸泡在球内，并可在球内运动，球内电子数目恰与正电部分的电荷电量值相等，从而构成中性原子。但是，此模型存在许多问题，如：电子为什么不与正电荷“融洽”\n在一起并把电荷中和掉呢？而且这个模型不能解释氢原子光谱存在的谱线系。不仅为此，汤姆孙模型与许多实验结果不符，特别是粒子的散射实验(见图)。1909年，卢瑟福进行了粒子散射模型，实验发现，绝大多数粒子穿透金属箔后沿原来方向（即散射角）或沿散射角很小的方向（一般为）运动，但是，也有1/8000的粒子，其散射角大小为，甚至接近，即被弹回原入射方上。如果按汤姆孙模型来分析，不可能有粒子的大角散射，因此此模型与实验不符。因此此模型就很快被人们放弃。1911年，卢瑟福在粒子散射的基础上提出了原子的核式结构，它被人们所公认。（一）原子的核式结构1、原子核型结构：原子中心有一带电的原子核，它几乎集中了原子的全部质量，电子围绕这个核转动，核的大小与整个原子相比很小。对氢原子，电子质量占原子质量的1/1873倍。原子线度~，原子核线度。原子核式模型的实验基础：粒子散射实验。2、原子核式结构能解释实验结果按此模型，原子核是很小的，在粒子散射实验中，绝大多数粒子穿过原子时，因受核作用很小，故它们的散射角很小。只有少数粒子能进入到距原子核很近的地方。这些粒子受核作用（排斥）较大，故它们的散射作用也很大，极少数粒子正对原子核运动，故它们的散射角接近。3、原子核模型与经典电磁理论的矛盾如果核式模型正确的话，则经典电磁理论不能解释下列问题：（1）原子的稳定性问题\n按照经典电磁理论，凡是作加速运动的电荷都发射电磁波，电子绕原子核运动时是有加速度的，原子就应不断发射电磁波（即不断发光），它的能量要不断减少，因此电子就要作螺旋线运动来逐渐趋于原子核，最后落入原子核上（以氢原子为例，电子轨迹半径为，大约只要经过的时间，电子就会落到原子核上），这样，原子不稳定了，但实际上原子是稳定的，这是一个矛盾。（2）原子光谱的分立性问题按经典电磁理论，加速电子发射的电磁波的频率等于电子绕原子核转动的频率，由于电子作螺旋线运动，它转动的频率连续地变化，故发射电磁波的频率亦应该是连续光谱，但实验指出，原子光谱是线状的，这又是一个矛盾。新思想原子核模型与经典电磁理论的矛盾不是说明原子核模型不正确，因为原子核模型是以粒子散射实验为基础的，而是说明经典电磁理论不适用于原子内部的运动，这是可以理解的。因为，经典电磁理论是从宏观现象的研究中给出来的规律，这种规律一般不适用于原子内部的微观过程，因此，我们必须建立适用于原子内部微观现象的理论。（二）玻尔理论的基本假设玻尔根据卢瑟福原子核模型和原子的稳定性出发，应用普朗克的量子概念，于1913年提出了关于氢原子内部运动的理论，成功的解释了氢原子光谱的规律性。基本假设：1o定态假设：电子在原子中可在一些特定的圆周轨迹上运动，不辐射光，因为具有恒定的能量，这些状态称为稳定状态或定态。2o量子化假设：电子绕核运动时，只有电子角动量的整数倍的那些轨道上才是稳定的，即(19-5)或(19-6)式中，h为普郎克常数，r为轨道半径，n称为量子数。3o频率条件：光电子从高能态向低能态轨道跃迁时，发射单色光的频率为：(19-7)说明：(1)假设1o是经验性的，它解决了原子的稳定性问题；假设2o表述的角动量量子化原先是人为加进去的，后来知道它可以从德布罗意假设得出；假设3o\n是从普朗克量子假设引申来的，因此是合理的，它能解释线光谱的起源。(2)此假设提出了与经典理论不相容的概念：定态概念：虽然电子做加速运动，但不辐射能量；量子化概念：角动量及能量不连续，是量子化的；频率条件：频率是由初终二态原子的能级差决定的，这与经典理论中原子发射光的频率等于电子绕核运动的效率相违背。（三）用玻尔理论计算氢原子轨道半径及能量1、氢原子轨道半径设电子速度为，轨迹半径为，质量为，可知：即(19-8)由量子化条件：得，代式(19-8)中有如此得电子轨迹半径为：（）（19-9）时，，称为玻尔半径。电子轨迹半径可表示为（19-10）可见，电子轨迹只能取分立值，，，，…。如图19-2。结论：电子运动轨迹半径是量子化的，即电子运动轨道量子化。2、氢原子能量氢原子能量等于电子动能与势能之和，当电子处于第个轨迹上时，有：\n（19-11）由式（19-8）知，，代入上式中有（）（19-12）时，，是氢原子最低能量，称为基态能量。时称为激发态。电子在第个轨道上时，氢原子能量为（19-13）可知，氢原子的能量只能取下列分立值：，，，，…这些不连续能量称为能级。讨论：原子的能量是量子化的。（时，能量连续）（四）玻尔理论解释了氢原子光谱的规律性1、能级图（能级与谱线对应关系）可解释谱线系问题。2、里德伯常数理论值与实验值相符按玻尔理论，，电子从态向态跃迁时，根据频率公式有波长倒数为：（19-14）式中，。又知（见里德伯公式中值），可见，与符合。这样，玻尔理论很好地解释了氢原子光谱的规律性。\n（五）对玻尔理论的评价1、玻尔理论建立的基础与成功之处（1）光谱的实验资料和经验规律；（2）以实验为基础的原子的核式结构模型；（3）从黑体辐射发展出来的量子论。玻尔在以上基础上研究了原子内部的情况，在原子物理学中跨出了一大步。它成功在于圆满地解释了氢原子及类氢类系的谱线规律。玻尔理论不仅讨论了氢原子的具体问题，这还包含着关于原子的基本规律，玻尔的定态假设和频率条件不仅对一切原子是正确的，而且对其它微观客体也是适用的，因而是重要的客观规律。2、玻尔理论的缺陷玻尔理论不能解释结构稍微复杂一些的谱线结构（如碱金属结构的情况），也不能说明氢原子光谱的精细结构和谱线在匀强磁场中的分裂现象。1915年—1916年，索末菲和威尔逊，各自独立地把玻尔理论推广到更一般的椭圆轨迹，考虑到相对论校正，并考虑到在磁场中轨迹平面的空间取向，推出一般的量子化条件，对这些理论，虽然能够得出初步的解释，但对复杂一点的问题，如氦和碱土元素等光谱，以及谱线强度、偏振、宽度等问题，仍无法处理。这一系列突出地暴露了玻尔—索末菲理论的严重局限性。在玻尔—索末菲理论中，一方面把微观粒子（电子、原子等）看作经典力学的质点，用坐标和轨迹等概念来描述其运动，并用牛顿定律计算电子的规律；另一方面，又人为地加上一些与经典理论不相容的量子化条件来限定稳定状态的轨迹，但对这些条件提出适当的理论解释。所以，玻尔—索末菲理论是经典理论对量子化条件的混合体，理论系统不自给。这些成了玻尔—索末菲理论的缺陷。尽管如此，玻尔—索末菲理论对学电子系统和碱金属问题，在一定程度上还是可以得到很好的结果。这在人们在原子结构的探索中是重要的里程碑。例19-1：氢原子从n=10、n=2的激发态跃迁到基态时发射光子的波长是多少？\n解：，依题意知：，所以：，n=10：；n=2：。例19-2：求出氢原子巴尔末系的最长和最小波长？解：巴尔末系波长倒数为（n=3,4,5,…）（1）n=3时，（2）时，例19-3：求氢原子中基态和第一激发态电离能。解：氢原子能级为（n=1,2,3,…）（1）基态电离能=电子从n=1激发到时所需能量；（2）第一激发态电离能=电子从n=2激发到时所需能量。§19-2实物粒子的波粒二象性一、德布罗意假设根据所学过的内容，我们可以说，光的干涉和衍射等现象为光的波动性提出了有力的证据，而新的实验事实——黑体辐射、光电效应和康普顿效应则为光的粒子性（即量子性）提供了有力的论据。在1923年到1924年，光的波粒二象性作为一个普遍的概念，已为人们所理解和接受。法国物理学家路易·德布罗意认为，如同过去对光的认识比较片面一样，对实物粒子的认识或许也是片面的，二象性并不只是光才具有的，实物粒子也具有二象性。德布罗意说道：“整个世纪以来，在光学上，比起波动的研究方面来，是过于忽视了粒子的研究方面；在物质粒子理论上，是否发生了相反的错误呢？是不是我们把关于粒子的图象想的太多，而过分地忽视了波的图象？”德布罗意把光中对波和粒子的描述，应用到实物粒子上，作了如下假设：\n每一运动着的事物粒子都有一波与之相联系，粒子的动量与此波波长关系如同光子情况一样，即（19-15）（19-16）式（19-15）或（19-16）式称为德布罗意公式，与实物粒子相联系的波称为德布罗意。说明：。讨论：以电子为例，电子经电场加速后，设加速电压U，电子速率v<0）时，则必然无法精确测量（—>0时，—>∞），反之亦然。（2）测不准关系是微观粒子具有波粒二象性的必然反映。（3）对微观粒子不能用坐标和动量描述其运动状态。（4）测不准关系推广到三维情况：例19-6：在电子单缝衍射中，若缝宽为，电子束垂直如射在单缝上，则衍射电子横向动量的最小不确定度为多少？解：，即依题意有动量最小不确定量为（=）例19-7：一电子具有200的速率，动量不确定度为，确定电子位置时，不确定量为多少？解：已确定原子大小的数量级为m，电子则更小，在这种情况下，电子位置不确定量>>电子本身线度，所以，此时必须考虑电子的波粒二象性。例19-8：一光子波长为，测定此波长时产生的相对误差为，试求光子位置不确定量。解：∵，∴\n§19-4粒子的波函数薛定谔方程对宏观物体可用坐标和动量来描述物体的运动状态，而对微观粒子不能用坐标和动量来描述状态，因为微观粒子具有波粒二象性，坐标和动量不能同时测定。那么，微观粒子的运动状态用什么描述呢？遵守的运动方程又是什么呢？为解决此问题，必须建立新的理论。在一系列实验的基础上，经过德布罗意、薛定谔、海森堡、玻恩、狄拉克等人的工作，建立了反映微观粒子属性和规律的量子力学。量子力学是研究微观客体运动的一门科学。反映微观粒子运动的基本方程是薛定谔方程，微观粒子运动状态用薛定谔方程的函数（波函数）来表述。一、波函数1、自由粒子（无外界作用）波函数沿+x方向传播的单频平面余弦波为对机械波，表示位移，对电磁波，可表示电场强度和磁场强度，等等。上式可用指数形式的实部来表示，即，令即（19-22）对于自由粒子（沿+x方向运动），其动量和能量都为常量。由德布罗意假设可将（19-12）化成（）（19-23）式（19-23）是与能量为、动量为、沿+x方向运动的自由粒子相联系的波。此波称为自由粒子的德布罗意波，称为自由粒子的波函数。推广：三维情况或：\n2、波函数的统计解释机械波的波函数表示介质中各点离开平衡位置的位移，电磁波的波函数表示空间各点电场或磁场强度，等等。那么，物质波的波函数表示什么呢？这个问题在一段时间内困扰了不少的物理专家，他们先后提出过不少的解释，现在人们普遍接受的是玻恩提出的统计解释，说明如下。对光的衍射波动观点：光强光波振幅平方光子数光波振幅平方粒子观点：光强光子数即：某处出现光子的几率与该处光波振幅平方成正比对电子衍射。波动观点：波强波函数振幅平方电子数波函数振幅平方粒子观点：波强电子数即：某处出现电子的几率与该处波函数振幅平方成正比对其他粒子，此结论也成立。波函数统计解释：某时刻，在某点找到粒子的几率与该点处波函数振幅绝对值平方成正比。（一般情况下，波函数是复数）3、波函数统计解释对波函数的要求(1)波函数的归一化由波函数统计意义知，时刻，在处内发现粒子数几率如果把波函数乘上适当因子，使时刻在处出现粒子几率，在整个空间内粒子出现几率为即（19-24）式（19-24）称为波函数的归一化条件。它表明：粒子在全空间找到的几率=1。满足归一化条件的波函数称为归一化波函数。下列二式物理意义：（a）（或）意义：粒子在时刻出现在处单位体积内的几率（几率连续）（b）意义：粒子在时刻出现在附近体积元内的几率。(2)波函数的标准条件单值性（几率单值的要求）有限性（平方可积的要求）连续性（几率连续分布连续的要求）说明：\n（1）物质波不是机械波，也不是电磁波，而是一种几率波。由波函数的统计解释可以看出，对微观粒子讨论是无意义的，而决定状态的只能是波函数，从几率的角度去描述。（2）波函数本身无明显的物理意义，而只有（）才有物理意义，反映了粒子出现的几率。（3）描写微观粒子状态的波函数要满足归一化条件和波函数标准条件。（有时也可不归一化）（4）波函数是态函数，用几率角度去描述，反映了微观粒子的波粒二象性。二、薛定谔方程1926年，薛定谔在德布罗意物质波假说的基础上，建立了势场中微观粒子的微分方程，可以正确处理低速情况下各种微观粒子运动的问题，他所提出的这套理论体系，当时称为波动力学。后来证明，波动力学与由海森堡、玻恩等人差不多同时从不同角度提出的矩阵力学完全等价，现在一般统称为量子力学。1、一维自由粒子的薛定谔方程粒子波函数，令只与有关，与无关，也称为波函数（定态波函数）。可知：即（19-25）此式为自由粒子一维运动的薛定谔方程（定态薛定谔方程）2、一维势场中粒子的薛定谔方程。∵∴代⑶中，有（19-26）式（19-26）为一维势场中粒子的薛定谔方程。3、三维情况下粒子的薛定谔方程式（19-27）\n此式为三维势场中粒子的薛定谔方程。说明：薛定谔方程不能从经典力学导出，也不能用任何逻辑推理的方法加以证明。它是否正确，只能通过实验来检验。几十年来，关于微观系统的低能的大量实验事实无不表明用薛定谔方程进行计算（包括近似计算）所得的结果都与实验结果符合得很好。∴薛定谔方程作为基本方程的量子力学被认为是能够正确反映微观系统客观实际的近代物理理论。§19-5一维无限深势阱在实际应用中，有一个很好的理想模型，这就是一维无限深势阱。设粒子质量为，势均为图19-8讨论粒子能级和波函数∵不随时间变化，∴是一维定态问题。由薛定谔方程有可知：，令，上式是二阶的、线性的、齐次的、常系数的常微分方程。其通解为，、为常数。波函数满足连续性条件有由知若，则，无意义。，即波函数为：\n归一化条件为：可取可有（归一化波函数）即波函数，（，）。（2）能级由和有（19-26）（3）时，、、如下（曲线）：图19-9讨论：（1），自然得到能量是量子化的，这与经典理论中能量是连续的概念完全冲突。（2）基态能（或零点能）：，这与经典物理中，自由粒子能量最小为零完全相违背。，由测不准关系可以说明。如果粒子能量为零，则粒子（自由的）动量为零。由知，，但实际上被限制在势阱内，所以。实际上，这是微观粒子波粒二象性的必然反映，因为“静止的波”是不存在的。（3）粒子出现的几率密度随变化，即在势阱内出现粒子的可能性不相同，与地点有关。按经典理论，势阱内各处出现粒子的可能性是等同的。\n（4）能量间隔：当一定，很大时，很小，时，（经典情况），时，。此时可看成能量是不连续的，这由量子理论经典理论。（5）波函数：，（，）。表明粒子只能出现在势阱内，此时粒子的状态称为束缚态。（6）振荡定理：由上图知，除、外，时，有个节点。（7）随、变化，当时，由振荡定理知，粒子在势阱内各出出现的几率相同，过激列经典情况。（8）宇称：：描述态为偶宇称。：描述态为奇宇称。