大学物理 1new

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第一章习题1.1质点的运动学方程为（国际制单位），求质点运动的轨道、速度和加速度．解运动学方程可表述为分量形式和消去时间，得质点运动的轨道方程对运动学方程求时间导数，即可求得质点运动的速度和加速度为1.2质点沿轴运动，其速度（国际制单位），求到时间内的位移．解根据直线运动位移和定积分概念，质点到时间内的位移为1.3舰载飞机降落到甲板上后为了尽快停止采用降落伞制动．飞机刚落到甲板上时，，，．设飞机制动时加速度，为正值常量．求飞机速度随时间的变化规律．解由已知条件知将上式分离变量，使左侧仅有变量，右侧仅有变量，得到做不定积分10\n可得把初始条件时代入上式，确定积分常数，所以即．1.4质点沿轴运动，其加速度，时、，其中、为正值常量．求此质点的运动学方程．解由可得作定积分，由初始条件时确定积分下限把上式右侧积分变量换为则得到再由得到做定积分，由初始条件时确定积分下限即为质点运动学方程．1.5质量为的质点，运动学方程为10\n（国际制单位），求证质点所受合力为恒力．证对运动学方程求时间导数可见质点所受合力为恒力．1.6质量为的质点沿轴，在合力作用下运动；已知时质点位于处，并以速率沿轴正向运动．求此质点的运动学方程．解根据牛顿第二定律可得作积分得由时定出积分常数，所以．根据，可得积分，并用时定积分常数，则求出质点的运动学方程为1.7跳水运动员沿竖直方向以速度入水，入水后浮力与重力抵消，受水的阻力与速率平方成正比，，为运动员质量．求入水后运动员速度随时间的变化规律．解以运动员入水处为原点，竖直向下建立坐标系．根据牛顿第二定律有10\n即分离变量并积分即可求出也可以表示为1.8实验测出云雾中水滴半径．当物体在空气中以很小的速率（）运动时，所受阻力可用估算．（１）估算的水滴在空气中降落的终极速度；（２）根据估算结果说明的水滴可以停留在空中．解物体降落达到终极速度后，所受重力与空气阻力大小相等，即把和代入，估算出终极速度很小，可跟随气流浮动，形成云雾而停留在空中．1.9当物体在空气中以较大的速率运动时，所受阻力可用估算．试估算的水滴在空气中降落的终极速度．解物体降落达到终极速度后，所受重力与空气阻力大小相等，即把和代入，估算出．1.10跳水运动员由高处下落，设运动员入水后重力与浮力抵消，受水的阻力与速度平方成正比，比例系数，为运动员质量．求运动员速率减为入水速率的10\n时，其入水深度．（国际制单位）解以运动员入水处为原点，竖直向下建立坐标系．根据牛顿第二定律有即为作变换则得到分离变量的以刚入水时、为积分下限，以、为积分上限，则即可求出时入水深度为1.11以初速度为把质点竖直向上抛出，设空气阻力与质点速率成正比，，为正值常量．求质点的运动学方程．解以抛出点为原点，竖直向上建立坐标系．质点受重力和空气阻力．根据牛顿第二定律有分离变量并积分10\n代入初始条件时，定出积分常数于是所以再积分一次，用初始条件时定积分常数，可得所以，质点的运动学方程为由上述结果可看出时，（终极速度），．1.12已知质点所受合力为，求在到10\n时间内合力对质点的冲量．解到时间内合力对质点的冲量为1.13质量为的球以速率沿水平方向飞来，经球棒打击后竖直向上飞出，已知球被打击后上升最大高度为（忽略空气阻力），求棒对球的冲量．如果打击时间为，求棒对球冲击力的平均值．解建立坐标系，轴沿球初始速度方向，轴竖直向上．先讨论球被棒打击后的运动，球仅受重力，作匀变速运动，可知，当时求达到最大高度．根据求出，代入得到因，略去，可求出．在碰撞中根据动量定理由于，，所以棒对球的冲量棒对球冲击力的平均值1.14飞机以的速度飞行，撞到一只质量为的鸟，鸟的长度为．假定鸟撞上飞机后随同飞机一起运动，试估算它们相撞时的平均冲击力的大小．为了安全，机场需要驱逐飞翔在机场附近的鸟．10\n解由于鸟飞行速度不大，认为鸟与飞机碰撞前静止．鸟与飞机碰撞后，鸟与飞机以共同速度运动．所以鸟在碰撞中所受冲量的大小约为飞机以的速度飞行，鸟的长度为，故鸟与飞机碰撞的时间约为因此鸟在碰撞中所受冲击力的大小约为根据牛顿第三定律可知，飞机受鸟施与的冲击力的大小约为，足以使飞机受到毁灭性的打击．1.15质量为的质点在平面内运动，其运动学方程为，、、均为常量．求（1）质点对轴的角动量；（2）质点所受对轴的合力矩．解对运动学方程求时间导数，可得所以质点对轴的角动量因为常量，由对的角动量定理，可知质点所受对轴的合力矩1.16如题图1.16所示，小球系于不可伸长的轻绳的一端，绳经点穿入竖直小管．开始小球绕小管在水平面内做半径为的圆周运动，每秒转两圈．再由绳的端将绳拉入小管，拉绳后小球在水平面内做半径为的圆周运动．求拉绳以后小球每秒所转之圈数．题图1.16解在拉绳过程中，因为小球所受重力与轴平行、绳拉力与轴相交，对轴力矩均为零，所以在拉绳过程中小球对轴角动量守恒拉绳前，每秒转两圈，故．设拉绳后，每秒转圈，则．把和代入角动量守恒的方程，得到即可求出求拉绳后小球每秒转圈．1.17（1）证明力为保守力；（2）质点沿轴由运动到，试用两种方法计算力对质点所作的功．10\n解（1）由于在位移中所作元功可以表示为只与位置有关的标量函数的微分，所以此力为保守力．（2）方法一：质点沿轴由运动到，对质点所作的功为方法二：因为保守力，引入势能，则1.18如题图1.18所示，一个劲度系数为的弹簧，一端固定于点，另一端与质量为的质点相连．弹簧处于自由伸张状态时，质点位于竖直面与半径为的半圆柱面的交点处．质点在力的作用下，由点从静止开始运动到光滑半圆柱面的顶点，到达点时速率为．求力对质点所做的功．题图1.18解在质点由到点的过程中，受重力和弹簧弹性力为保守力，以点为重力势能及弹性势能零点．质点受面的支撑力不作功，设力作功为．由质点的机械能定理可得1.19接1.18题．质点到达点后，力被撤除，求质点运动到之间的平衡位置时的速率．10\n解质点平衡时，，即质点的平衡位置位于点下方处．在质点由到平衡位置的过程中，由于受重力和弹簧弹性力为保守力，受面的支撑力不作功，所以机械能守恒．以点为重力势能及弹性势能零点，则即可求出质点运动到之间的平衡位置时的速率1.20如题图1.20，质量为的小球，用弹性绳在光滑水平面上与固定点相连．弹性绳劲度系数为，自由伸张长度为．小球初位置和初速度如图所示．当小球速率变为时，它与点距离最大且等于．求初态与末态之速率和．题图1.20解小球在水平面上仅受弹性绳弹性力，弹性力作用线过，所以小球在运动过程中对过的竖直轴角动量守恒；注意到小球与点距离最大时其速度与弹性绳垂直；则小球在水平面上仅受弹性绳弹性力，弹性力为保守力，因此小球在运动过程中机械能守恒，以弹性绳自由伸张时为弹性势能零点；则联立求解上述二式即可求出，．10