- 2022-08-16 发布 |
- 37.5 KB |
- 111页
申明敬告： 本站不保证该用户上传的文档完整性，不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。
文档介绍
大学物理实验(新编)
系立项建设实验指导书大学物理实验主编：周功明副主编：陈代芬物理与电子工程学院108\n目录绪论2第一章测量误差及数据处理4第一节测量与误差4第二节测量结果的评定和不确定度10第三节有效数字及其运算法则16第四节数据处理18附录Ⅰ教学中常用仪器误差限28附录Ⅱ数字修约的国家标准GB1:129第二章实验项目31实验一长度测量31实验二固体和液体的密度测定34实验三单摆38实验四弹簧振子40实验五杨氏模量的测量（用拉伸法）42实验六牛顿第二定律的验证44实验七动量守恒定律的验证46实验八热功当量的测定（用电热法）49实验九金属比热的测定52实验十液体表面张力系数的测定（用拉脱法）55实验十一伏安法测电阻57实验十二惠斯通电桥60实验十三静电场的模拟测绘63实验十四用直流双臂电桥测低值电阻66实验十五示波器的使用70实验十六用电位差计测量电池的电动势和内阻79实验十七薄透镜焦距的测定84实验十八分光仪的调整及棱镜折射率的测定88实验十九迈克尔逊干涉仪的调整及使用92附录97附录A中华人民共和国法定计量单位97附录B常用物理数据99附录C常用电气测量指示仪表和附件的符号107108\n绪论一、物理实验课程的地位1、科学实验是人们根据研究的目的，运用科学仪器，人为地控制、创造或纯化某种自然过程，使之按预期的进程发展，同时在尽可能减少干扰的情况下进行定性的或定量的观测，以探求该自然过程变化规律的一种科学活动。科学实验是整个自然科学的基础。2、实验和理论是物理学的两大支柱，实验—理论—再实验……的模式是物理学发展所遵循的基本规律。物理规律的研究都以严格的实验事实为基础，并且不断受到实验的检验。3、物理实验的作用：①发现新事实，探索新规律；②检验理论，判定理论的适用范围；③测定常数；④推广应用，开拓新领域。实验是科学理论的源泉，是工程技术的源泉。3、地位：大学物理实验是对高等学校学生进行科学实验基本训练的一门独立的必修基础实验课程，是教育部确定的六门主要基础课程之一，是学生进入大学后受到系统实验方法和实验技能训练的开端，是后续实验课程的基础，它在培养学生用实验手段去发现、观察、分析和研究问题，最终解决问题的能力方面，在培养与提高学生的科学实验素质和创新能力方面将起重要的作用。二、物理实验课程的目的和任务⑴通过对实验现象的观察、分析和对物理量的测量，学习物理实验知识，加深对物理学原理的理解，提高对科学实验重要性的认识。⑵培养与提高学生的科学实验能力。其中包括：①能够通过阅读实验教材或资料，作好实验前的准备；②能够借助教材或仪器说明书正确使用常用仪器；③能够运用物理学理论对实验现象进行初步的分析判断；④能够正确记录和处理实验数据，绘制实验曲线，说明实验结果，撰写合格的实验报告；⑤能够完成简单的具有设计性内容的实验。⑶培养与提高学生的科学实验素养，要求学生具有理论联系实际和实事求是的科学作风，严肃认真的工作态度，主动研究的探索精神，遵守纪律、团结协作和爱护公共财产的优良品德。三、物理实验课程的三个主要教学环节1.实验预习—实验能否取得主动的关键明确实验目的，预习实验原理，了解实验注意事项。预习报告是实验工作的前期准备，是写给自己参考用的，故要求简单明了。实验前应清楚本次实验应达到什么目的，通过什么实验方法和测量哪些数据才能实现实验的目的。预习报告内容：①实验名称；②原理简图（电路图或光路图）；③列出记录数据表格（分清已知量、指定量、待测量和单位）。未完成预习和预习报告者，教师有权停止其实验或成绩降档！2.实验操作①遵守实验室规则；②了解实验仪器的使用及注意事项；③108\n正式测量之前可作试验性探索操作；④仔细观察和认真分析实验现象；⑤如实记录实验数据和现象(用钢笔或圆珠笔记录数据，原始数据不得改动！）；⑥上机处理核验实验数据；⑦整理仪器，清扫实验室。进实验室做实验，其实验者序号必须与仪器组号一一对应！离开实验室前，数据记录须经教师审阅签名。3.实验报告—实验的简明总结实验报告是写给同行看的，所以必须充分反映自己的工作收获和结果，反映自己的能力水平，要有自己的特色，要有条理性，并注意运用科学术语，一定要有实验的结论和对实验结果的讨论、分析或评估。实验原理要简明扼要，要有必要的电路图或光路图，要有主要的数据处理过程，一定要列出实验结果，尤其是利用作图求得的一些物理量。实验报告内容为：①实验名称；②实验目的；③原理简述（原理图、电路图或光路图，以及主要计算公式等）；④主要实验仪器设备；⑤实验数据表格、数据处理计算主要过程、作图及实验结论；⑥实验现象分析、误差评估、小结和讨论。实验报告（含预习报告）必须在下一次实验时交教师批阅！预习报告、数据记录和实验报告均用实验报告纸!108\n第一章测量误差及数据处理物理实验的任务不仅是定性地观察各种自然现象，更重要的是定量地测量相关物理量。而对事物定量地描述又离不开数学方法和进行实验数据的处理。因此，误差分析和数据处理是物理实验课的基础。本章将从测量及误差的定义开始，逐步介绍有关误差和实验数据处理的方法和基本知识。误差理论及数据处理是一切实验结果中不可缺少的内容，是不可分割的两部分。误差理论是一门独立的学科。随着科学技术事业的发展，近年来误差理论基本的概念和处理方法也有很大发展。误差理论以数理统计和概率论为其数学基础，研究误差性质、规律及如何消除误差。实验中的误差分析，其目的是对实验结果做出评定，最大限度的减小实验误差，或指出减小实验误差的方向，提高测量质量，提高测量结果的可信赖程度。对低年级大学生，这部分内容难度较大，本课程尽限于介绍误差分析的初步知识，着重点放在几个重要概念及最简单情况下的误差处理方法，不进行严密的数学论证，减小学生学习的难度，有利于学好物理实验这门基础课程。第一节测量与误差物理实验不仅要定性的观察物理现象，更重要的是找出有关物理量之间的定量关系。因此就需要进行定量的测量，以取得物理量数据的表征。对物理量进行测量，是物理实验中极其重要的一个组成部分。对某些物理量的大小进行测定，实验上就是将此物理量与规定的作为标准单位的同类量或可借以导出的异类物理量进行比较，得出结论，这个比较的过程就叫做测量。例如，物体的质量可通过与规定用千克作为标准单位的标准砝码进行比较而得出测量结果；物体运动速度的测定则必须通过与二个不同的物理量，即长度和时间的标准单位进行比较而获得。比较的结果记录下来就叫做实验数据。测量得到的实验数据应包含测量值的大小和单位，二者是缺一不可的。国际上规定了七个物理量的单位为基本单位。其它物理量的单位则是由以上基本单位按一定的计算关系式导出的。因此，除基本单位之外的其余单位均称它们为导出单位。如以上提到的速度以及经常遇到的力、电压、电阻等物理量的单位都是导出单位。一个被测物理量，除了用数值和单位来表征它外，还有一个很重要的表征它的参数，这便是对测量结果可靠性的定量估计。这个重要参数却往往容易为人们所忽视。设想如果得到一个测量结果的可靠性几乎为零，那么这种测量结果还有什么价值呢？因此，从表征被测量这个意义上来说，对测量结果可靠性的定量估计与其数值和单位至少具有同等的重要意义，三者是缺一不可的。测量可以分为两类。按照测量结果获得的方法来分，可将测量分为直接测量和间接测量两类，而从测量条件是否相同来分，又有所谓等精度测量和不等精度测量。根据测量方法可分为直接测量和间接测量。直接测量就是把待测量与标准量直接比较得出结果。如用米尺测量物体的长度，用天平称量物体的质量，用电流表测量电流等，都是直接测量。间接测量借助函数关系由直接测量的结果计算出所谓的物理量。例如已知了路程和时间，根据速度、时间和路程之间的关系求出的速度就是间接测量。一个物理量能否直接测量不是绝对的。随着科学技术的发展，测量仪器的改进，很多原来只能间接测量的量，现在可以直接测量了。比如电能的测量本来是间接测量，现在也可以用电度表来进行直接测量。物理量的测量，大多数是间接测量，但直接测量是一切测量的基础。108\n根据测量条件来分，有等精度测量和非等精度测量。等精度测量是指在同一（相同）条件下进行的多次测量，如同一个人，用同一台仪器，每次测量时周围环境条件相同，等精度测量每次测量的可靠程度相同。反之，若每次测量时的条件不同，或测量仪器改变，或测量方法、条件改变。这样所进行的一系列测量叫做非等精度测量，非等精度测量的结果，其可靠程度自然也不相同。物理实验中大多采用等精度测量。应该指出：重复测量必须是重复进行测量的整个操作过程，而不是仅仅为重复读数。测量仪器是进行测量的必要工具。熟悉仪器性能。掌握仪器的使用方法及正确进行读数，是每个测量者必备的基础知识。如下简单介绍仪器精密度、准确度和量程等基本概念。仪器精密度是指仪器的最小分度相当的物理量。仪器最小的分度越小，所测量物理量的位数就越多，仪器精密度就越高。对测量读数最小一位的取值，一般来讲应在仪器最小分度范围内再进行估计读出一位数字。如具有毫米分度的米尺，其精密度为1毫米，应该估计读出到毫米的十分位；螺旋测微器的精密度为0.01毫米，应该估计读出到毫米的千分位。仪器准确度是指仪器测量读数的可靠程度。它一般标在仪器上或写在仪器说明书上。如电学仪表所标示的级别就是该仪器的准确度。对于没有标明准确度的仪器，可粗略地取仪器最小的分度数值或最小分度数值的一半，一般对连续读数的仪器取最小分度数值的一半，对非连续读数的仪器取最小的分度数值。在制造仪器时，其最小的分度数值是受仪器准确度约束的，对不同的仪器准确度是不一样的，对测量长度的常用仪器米尺、游标卡尺和螺旋测微器它们的仪器准确度依次提高。量程是指仪器所能测量的物理量最大值和最小值之差，即仪器的测量范围（有时也将所能测量的最大值称量程）测量过程中，超过仪器量程使用仪器是不允许的，轻则仪器准确度降低，使用寿命缩短，重则损坏仪器。误差与偏差测量的目的就是为了得到被测物理量所具有的客观真实数据，但由于受测量方法、测量仪器、测量条件以及观测者水平等多种因素的限制，只能获得该物理量的近似值，也就是说，一个被测量值N与真值N0之间总是存在着这种差值，这种差值称为测量误差，即ΔN＝N－N0显然误差ΔN有正负之分，因为它是指与真值的差值，常称为绝对误差。注意，绝对误差不是误差的绝对值！误差存在于一切测量之中，测量与误差形影不离，分析测量过程中产生的误差，将影响降低到最低程度，并对测量结果中未能消除的误差做出估计，是实验中的一项重要工作，也是实验的基本技能。实验总是根据对测量结果误差限度的一定要求来制定方案和选用仪器的，不要以为仪器精度越高越好。因为测量的误差是各个因素所引起的误差的总合，要以最小的代价来取得最好的结果，要合理的设计实验方案，选择仪器，确定采用这种或那种测量方法。如比较法、替代法、天平复称法等，都是为了减小测量误差；对测量公式进行这样或那样的修正，也是为了减少某些误差的影响；在调节仪器时，如调仪器使其处于铅直、水平状态，要考虑到什么程度才能使它的偏离对实验结果造成的影响可以忽略不计；电表接入电路和选择量程都要考虑到引起误差的大小。在测量过程中某些对结果影响大的关键量，就要努力想办法将它测准；有的测量不太准确对结果没有什么影响，就不必花太多的时间和精力去对待，在进行处理数据时，某个数据取到多少位，怎样使用近似公式，作图时坐标比例、尺寸大小怎样选取，如何求直线的斜率等，都要考虑到引入误差的大小。108\n由于客观条件所限、人们认识的局限性，测量不可能获得待测量的真值，只能是近似值。设某个物理量真值为x0，进行n次等精度测量，测量值分别为x1，x2，…xn，（测量过程无明显的系统误差）。它们的误差为……求和即当测量次数n→∞，可以证明→0,而且是的最佳估计值，称为测量值的近似真实值。为了估计误差，定义测量值与近似真实值的差值为偏差：即。偏差又叫做“残差”。实验中真值得不到，因此误差也无法知道，而测量的偏差可以准确知道，实验误差分析中要经常计算这种偏差，用偏差来描述测量结果的精确程度。相对误差绝对误差与真值之比的百分数叫做相对误差。用Ｅ表示：由于真值无法知道，所以计算相对误差时常用Ｎ代替。在这种情况下，Ｎ可能是公认值，或高一级精密仪器的测量值，或测量值的平均值。相对误差用来表示测量的相对精确度，相对误差用百分数表示，保留两位有效数字。系统误差与随机误差根据误差的性质和产生的原因，可分为系统误差和随机误差。系统误差是指在一定条件下多次测量的结果总是向一个方向偏离，其数值一定或按一定规律变化。系统误差的特征是具有一定的规律性。系统误差的来源具有以下几个方面：（1）仪器误差。它是由于仪器本身的缺陷或没有按规定条件使用仪器而造成的误差；（2）理论误差。它是由于测量所依据的理论公式本身的近似性，或实验条件不能达到理论公式所规定的要求，或测量方法等所带来的误差；（3）观测误差。它是由于观测者本人生理或心理特点造成的误差。例如，用“落球法”测量重力加速度，由于空气阻力的影响，多次测量的结果总是偏小，这是测量方法不完善造成的误差；用停表测量运动物体通过某一段路程所需要的时间，若停表走时太快，即使测量多次，测量的时间t总是偏大为一个固定的数值，这是仪器不准确造成的误差；在测量过程中，若环境温度升高或降低，使测量值按一定规律变化，是由于环境因素变化引起的误差。108\n在任何一项实验工作和具体测量中，必须要想尽一切办法，最大限度的消除或减、小一切可能存在的系统误差，或者对测量结果进行修正。发现系统误差需要改变实验条件和实验方法，反复进行对比，系统误差的消除或减小是比较复杂的一个问题，没有固定不变的方法，要具体问题具体分析各个击破。产生系统误差的原因可能不止一个，一般应找出影响的主要因素，有针对性地消除或减小系统误差。以下介绍几种常用的方法。检定修正法：指将仪器、量具送计量部门检验取得修正值，以便对某一物理量测量后进行修正的一种方法。替代法：指测量装置测定待测量后，在测量条件不变的情况下，用一个已知标准量替换被测量来减小系统误差的一种方法。如消除天平的两臂不等对待测量的影响可用此办法。异号法：指对实验时在两次测量中出现符号相反的误差，采取平均值后消除的一种方法。例如在外界磁场作用下，仪表读数会产生一个附加误差，若将仪表转动180°再进行一次测量，外磁场将对读数产生相反的影响，引起负的附加误差。两次测量结果平均，正负误差可以抵消，从中可以减小系统误差。随机误差在实际测量条件下，多次测量同一量时，误差的绝对值符号的变化，时大时小、时正时负，以不可预定方式变化着的误差叫做随机误差，有时也叫偶然误差。当测量次数很多时，随机误差就显示出明显的规律性。实践和理论都已证明，随机误差服从一定的统计规律（正态分布），其特点是：绝对值小的误差出现的概率比绝对值大的误差出现的概率大（单峰性）；绝对值相等的正负误差出现的概率相同（对称性）；绝对值很大的误差出现的概率趋于零（有界性）；误差的算术平均值随着测量次数的增加而趋于零（抵偿性）。因此，增加测量次数可以减小随机误差，但不能完全消除。引起随机误差的原因也很多。仪器精密度和观察者感官灵敏度有关。如仪器显示数值的估计读数位偏大和偏小；仪器调节平衡时，平衡点确定不准；测量环境扰动变化以及其他不能预测不能控制的因素，如空间电磁场的干扰，电源电压波动引起测量的变化等。由于测量者过失，如实验方法不合理，用错仪器，操作不当，读错数值或记错数据等引起的误差，是一种人为的过失误差，不属于测量误差，只要测量者采用严肃认真的态度，过失误差是可以避免的。实验中，精密度高是指随机误差小，而数据很集中；准确度高是指系统误差小，测量的平均值偏离真值小；精确度高是指测量的精密度和准确度都高。数据集中而且偏离真值小，即随机误差和系统误差都小。测量的精密度、准确度和精确度测量的精密度、准确度和精确度都是评价测量结果的术语，但目前使用时其涵义并不尽一致，以下介绍较为普遍采用的意见。测量精密度表示在同样测量条件下，对同一物理量进行多次测量，所得结果彼此间相互接近的程度，即测量结果的重复性、测量数据的弥散程度，因而测量精密度是测量偶然误差的反映。测量精密度高，偶然误差小，但系统误差的大小不明确。测量准确度表示测量结果与真值接近的程度，因而它是系统误差的反映。测量准确度高，则测量数据的算术平均值偏离真值较小，测量的系统误差小，但数据较分散，偶然误差的大小不确定。测量精确度则是对测量的偶然误差及系统误差的综合评定。精确度高，测量数据较集中在真值附近，测量的偶然误差及系统误差都比较小。随机误差的估算对某一测量进行多次重复测量，其测量结果服从一定的统计规律，也就是正态分布（或高斯分布）。我们用描述高斯分布的两个参量（x和σ）来估算随机误差。设在一组测量值中，n次测量的值分别为：1．算术平均值108\n根据最小二乘法原理证明，多次测量的算术平均值（1）是待测量真值的最佳估计值。称为近似真实值，以后我们将用来表示多次测量的近似真实值。2．标准偏差误差理论证明，平均值的标准偏差（贝塞尔公式）（2）其意义表示某次测量值的随机误差在之间的概率为68.3％。算术平均值的标准偏差当测量次数n有限，其算术平均值的标准偏差为（3）其意义是测量平均值的随机误差在之间的概率为68.3%。或者说，待测量的真值在范围内的概率为68.3％。因此反映了平均值接近真值的程度。标准偏差标准偏差小表示测量值密集，即测量的精密度高；标准偏差大表示测量值分散，即测量的精密度低。估计随机误差还有用算术平均误差、2、3等其它方法来表示的。异常数据的剔除剔除测量列中异常数据的标准有几种，有3准则、肖维准则、格拉布斯准则等。1．3准则统计理论表明，测量值的偏差超过3的概率已小于1％。因此，可以认为偏差超过3的测量值是其他因素或过失造成的，为异常数据，应当剔除。剔除的方法是将多次测量所得的一系列数据，算出各测量值的偏差和标准偏差，把其中最大的与3比较，若＞3，则认为第j个测量值是异常数据，舍去不计。剔除后，对余下的各测量值重新计算偏差和标准偏差，并继续审查，直到各个偏差均小于3为止。2．肖维准则假定对一物理量重复测量了n次，其中某一数据在这n次测量中出现的几率不到半次，即小于，则可以肯定这个数据的出现是不合理的，应当予以剔除。根据肖维准则，应用随机误差的统计理论可以证明，在标准误差为的测量列中，若某一个测量值的偏差等于或大于误差的极限值，则此值应当剔出。不同测量次数的误差极限值列于下表。108\n表1肖维系数表nnn41.53101.96162.1651.65112.00172.1861.73122.04182.2071.79132.07192.2281.86142.10202.2491.92152.13302.39⒊格拉布斯（Grubbs）准则若有一组测量得出的数值，其中某次测量得出数值的偏差的绝对值||与该组测量列的标准偏差之比大于某一阈值，即||>·则认为此测量值中有异常数据，并可予以剔除。这里中的n为测量数据的个数。而p为服从此分布的置信概率。一般取p为0.95和0.99（至于在处理具体问题时，究竟取哪个值则由实验者自己来决定）。我们将在表2中给出p＝0.95和0.99时或1－p＝0.05和0.01时，对不同的n值所对应的g0值。表2值表1－pn0.050.011－pn0.050.0131.151.15172.482.7841.461.49182.502.8251.671.75192.532.8561.821.94202.562.8871.942.10212.582.9182.032.22222.602.9492.112.32232.622.96102.182.41242.642.99112.232.48252.663.01122.282.55302.743.10132.332.61352.813.18142.372.66402.873.24152.412.70452.913.29162.442.75502.963.34108\n第二节测量结果的评定和不确定度测量的目的是不但要测量待测物理量的近似值，而且要对近似真实值的可靠性做出评定（即指出误差范围），这就要求我们还必须掌握不确定度的有关概念。下面将结合对测量结果的评定对不确定度的概念、分类、合成等问题进行讨论。一、不确定度的含义在物理实验中，常常要对测量的结果做出综合的评定，采用不确定度的概念。不确定度是“误差可能数值的测量程度”，表征所得测量结果代表被测量的程度。也就是因测量误差存在而对被测量不能肯定的程度，因而是测量质量的表征，用不确定度对测量数据做出比较合理的评定。对一个物理实验的具体数据来说，不确定度是指测量值（近真值）附近的一个范围，测量值与真值之差（误差）可能落于其中，不确定度小，测量结果可信赖程度高；不确定度大，测量结果可信赖程度低。在实验和测量工作中，不确定度一词近似于不确知，不明确，不可靠，有质疑，是作为估计而言的；因为误差是未知的，不可能用指出误差的方法去说明可信赖程度，而只能用误差的某种可能的数值去说明可信赖程度，所以不确定度更能表示测量结果的性质和测量的质量。用不确定度评定实验结果的误差，其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律，这是更准确地表述了测量结果的可靠程度，因而有必要采用不确定度的概念。二、测量结果的表示和合成不确定度在做物理实验时，要求表示出测量的最终结果。在这个结果中既要包含待测量的近似真实值，又要包含测量结果的不确定度σ，还要反映出物理量的单位。因此，要写成物理含意深刻的标准表达形式，即（单位）式中x为待测量；是测量的近似真实值,σ是合成不确定度，一般保留一位有效数字。这种表达形式反应了三个基本要素：测量值、合成不确定度和单位。在物理实验中，直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，一般就取多次测量的算术平均值作为近似真实值；若在实验中有时只需测一次或只能测一次，该次测量值就为被测量的近似真实值。如果要求对被测量进行一定系统误差的修正，通常是将一定系统误差（即绝对值和符号都确定的可估计出的误差分量）从算术平均值或一次测量值中减去，从而求得被修正后的直接测量结果的近似真实值。例如，用螺旋测微器来测量长度时，从被测量结果中减去螺旋测微器的零误差。在间接测量中,即为被测量的计算值。在测量结果的标准表达式中，给出了一个范围，它表示待测量的真值在范围之间的概率为68.3％,不要误认为真值一定就会落在之间。认为误差在之间是错误的。在上述的标准式中，近似真实值、合成不确定度、单位三个要素缺一不可，否则就不能全面表达测量结果。同时，近似真实值的末尾数应该与不确定度的所在位数对齐，近似真实值与不确定度σ的数量级、单位要相同。在开始实验中，测量结果的正确表示是一个难点，要引起重视，从开始就注意纠正，培养良好的实验习惯，才能逐步克服难点，正确书写测量结果的标准形式。108\n在不确定度的合成问题中，主要是从系统误差和随机误差等方面进行综合考虑的，提出了统计不确定度和非统计不确定度的概念。合成不确定度σ是由不确定度的两类分量（A类和B类）求“方和根”计算而得。为使问题简化，本书只讨论简单情况下（即A类、B类分量保持各自独立变化，互不相关）的合成不确定度。A类不确定度（统计不确定度）用表示，B类不确定度（非统计不确定度）用表示，合成不确定度为三、合成不确定度的两类分量物理实验中的不确定度，一般主要来源于测量方法、测量人员、环境波动、测量对象变化等等。计算不确定度是将可修正的系统误差修正后，将各种来源的误差按计算方法分为两类，即用统计方法计算的不确定度（A类）和非统计方法计算的不确定度（B类）。A类统计不确定度，是指可以采用统计方法（即具有随机误差性质）计算的不确定度，如测量读数具有分散性，测量时温度波动影响等等。这类统计不确定度通常认为它是服从正态分布规律，因此可以像计算标准偏差那样，用“贝塞尔公式”计算被测量的A类不确定度。A类不确定度为式中i＝1,2,3,…n,表示测量次数。在计算A类不确定度时，也可以用最大偏差法、极差法、最小二乘法等，本书只采用“贝塞尔公式法”，并且着重讨论读数分散对应的不确定度。用“贝塞尔公式”计算A类不确定度，可以用函数计算器直接读取，十分方便。B类非统计不确定度，是指用非统计方法求出或评定的不确定度，如实验室中的测量仪器不准确，量具磨损老化等等。评定B类不确定度常用估计方法，要估计适当，需要确定分布规律，同时要参照标准，更需要估计者的实践经验、学识水平等。因此，往往是意见纷纭，争论颇多。本书对B类不确定度的估计同样只作简化处理。仪器不准确的程度主要用仪器误差来表示，所以因仪器不准确对应的B类不确定度为为仪器误差或仪器的基本误差，或允许误差，或显示数值误差。一般的仪器说明书中都以某种方式注明仪器误差，是制造厂或计量检定部门给定。物理实验教学中，由实验室提供。对于单次测量的随机误差一般是以最大误差进行估计，以下分两种情况处理。已知仪器准确度时，这时以其准确度作为误差大小。如一个量程150mA，准确度0.2级的电流表，测某一次电流，读数为131.2mA。为估计其误差，则按准确度0.2级可算出最大绝对误差为0.3mA，因而该次测量的结果可写成I＝131.2±0.3mA。又如用物理天平称量某个物体的质量，当天平平衡时砝码为P＝145.02克，让游码在天平横梁上偏离平衡位置一个刻度（相当于0.05克），天平指针偏过1.8分度，则该天平这时的灵敏度为（1.8÷0.05）分度/克，其感量为0.03克/分度，就是该天平称衡物体质量时的准确度，测量结果可写成P＝145.02±0.03克。108\n未知仪器准确度时，这时单次测量误差的估计，应根据所用仪器的精密度、仪器灵敏度、测试者感觉器官的分辨能力以及观测时的环境条件等因素具体考虑，以使估计误差的大小尽可能符合实际情况。一般说，最大读数误差对连续读数的仪器可取仪器最小刻度值的一半，而无法进行估计的非连续读数的仪器，如数字式仪表，则取其最末位数的一个最小单位。四、直接测量的不确定度在对直接测量的不确定度的合成问题中，对A类不确定度主要讨论在多次等精度测量条件下，读数分散对应的不确定度，并且用“贝塞尔公式”计算A类不确定度。对B类不确定度，主要讨论仪器不准确对应的不确定度，将测量结果写成标准形式。因此，实验结果的获得，应包括待测量近似真实值的确定，A、B两类不确定度以及合成不确定度的计算。增加重复测量次数对于减小平均值的标准误差，提高测量的精密度有利。但是注意到当次数增大时，平均值的标准误差减小渐为缓慢，当次数大于十时平均值的减小便不明显了。通常取测量次数为五至十为宜。下面通过两个例子加以说明。例1．采用感量为0.1g的物理天平称量某物体的质量，其读数值为35.41g,求物体质量的测量结果。[解]：采用物理天平称物体的质量，重复测量读数值往往相同，故一般只须进行单次测量即可。单次测量的读数即为近似真实值，m＝35.41g。物理天平的“示值误差”通常取感量的一半，并且作为仪器误差，即＝0.05（g）＝σ测量结果为m＝35.41±0.05（g）在例1中，因为是单次测量（n＝1）,合成不确定度中的＝0,所以σ＝即单次测量的合成不确定度等于非统计不确定度。但是这个结论并不表明单次测量的σ就小，因为n＝1时,发散。其随机分布特征是客观存在的，测量次数n越大，置信概率就越高，因而测量的平均值就越接近真值。例2．用螺旋测微器测量小钢球的直径，五次的测量值分别为d（mm）＝11.922,11.923,11.922,11.922,11.922螺旋测微器的最小分度数值为0.01mm试写出测量结果的标准式。[解]：（1）求直径d的算术平均值（2）计算B类不确定度螺旋测微器的仪器误差为＝0.005（mm）＝0.005（mm）（3）计算A类不确定度（4）合成不确定度108\n式中，由于0.0005＜×0.005,故可略去,于是：σ＝0.005（mm）5．测量结果为从上例中可以看出，当有些不确定度分量的数值很小时，相对而言可以略去不计。在计算合成不确定度中求“方和根”时，若某一平方值小于另一平方值的，则这一项就可以略去不计。这一结论叫做微小误差准则。在进行数据处理时，利用微小误差准则可减少不必要的计算。不确定度的计算结果，一般应保留一位有效数字，多余的位数按有效数字的修约原则进行取舍。评价测量结果，有时候需要引入相对不确定度的概念。相对不确定度定义为的结果一般应取2位有效数字。此外，有时候还需要将测量结果的近似真实值与公认值进行比较，得到测量结果的百分偏差B。百分偏差定义为百分偏差其结果一般应取2位有效数字。测量不确定度表达涉及到深广的知识领域和误差理论问题，大大超出了本课程的教学范围。同时，有关它的概念、理论和应用规范还在不断地发展和完善。因此，我们在教学中也在进行摸索，以期在保证科学性的前提下，尽量把方法简化，为初学者易于接受。教学重点放在建立必要的概念，有一个初步的基础。以后在工作需要时，可以参考有关文献继续深入学习。五、间接测量结果的合成不确定度间接测量的近似真实值和合成不确定度是由直接测量结果通过函数式计算出来的，既然直接测量有误差，那么间接测量也必有误差，这就是误差的传递。由直接测量值及其误差来计算间接测量值的误差之间的关系式称为误差的传递公式。设间接测量的函数式为N＝F（x,y,z,…）N为间接测量的量，它有K个直接测量的物理量x,y,z,…，各直接观测量的测量结果分别为（1）若将各个直接测量量的近似真实值代入函数表达式中，即可得到间接测量的近似真实值。（2）108\n求间接测量的合成不确定度，由于不确定度均为微小量，相似于数学中的微小增量，对函数式N＝F（x,y,z,…）求全微分，即得式中dN,dx,dy,dz,…均为微小量，代表各变量的微小变化，dN的变化由各自变量的变化决定,为函数对自变量的偏导数,记为。将上面全微分式中的微分符号d改写为不确定度符号σ，并将微分式中的各项求“方和根”，即为间接测量的合成不确定度（4）K为直接测量量的个数，A代表x,y,z,…各个自变量（直接观测量）。上式表明，间接测量的函数式确定后，测出它所包含的直接观测量的结果，将各个直接观测量的不确定度乘以函数对各变量（直测量）的偏导数，求“方和根”，即就是间接测量结果的不确定度。当间接测量的函数表达式为积和商（或含和差的积商形式）的形式时，为了使运算简便起见，可以先将函数式两边同时取自然对数，然后再求全微分。即同样改写微分符号为不确定度符号，再求其“方和根”，即为间接测量的相对不确定度，即（5）已知、，由（5）式可以求出合成不确定度（6）这样计算间接测量的统计不确定度时，特别对函数表达式很复杂的情况，尤其显示出它的优越性。今后在计算间接测量的不确定度时，对函数表达式仅为“和差”形式，可以直接利用（4）式，求出间接测量的合成不确定度，若函数表达式为积和商（或积商和差混合）等较为复杂的形式，可直接采用（5）式，先求出相对不确定度，再求出合成不确定度。例1．已知电阻＝50.2±0.5（Ω）,＝149.8±0.5（Ω）,求它们串联的电阻R和合成不确定度。[解]：串联电阻的阻值为R＝＋＝50.2＋149.8＝200.0（Ω）合成不确定度108\n相对不确定度测量结果为R＝200.0±0.7（Ω）在例1中，由于R的总合成不确定度为各个直接观测量的不确定度平方求和后再开方。间接测量的不确定度计算结果一般应保留一位有效数字，相对不确定度一般应保留2位有效数字。例2．测量金属环的内径＝2.880±0.004（cm），外径＝3.600±0.004（cm）,厚度h＝2.575±0.004（cm）。试求环的体积V和测量结果。[解]：环体积公式为（1）环体积的近似真实值为（2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分则相对不确定度为（3）总合成不确定度为（4）环体积的测量结果为V＝9.440.08V的标准式中，应与不确定度的位数取齐，因此将小数点后的第三位数6，按照数字修约原则进到百分位，故为9.44。108\n间接测量结果的误差，常用两种方法来估计：算术合成（最大误差法）和几何合成（标准误差）。误差的算术合成将各误差取绝对值相加，是从最不利的情况考虑，误差合成的结果是间接测量的最大误差，因此是比较粗略的，但计算较为简单，它常用于误差分析、实验设计或粗略的误差计算中；上面例子采用几何合成的方法，计算较麻烦，但误差的几何合成较为合理。第三节有效数字及其运算法则物理实验中经常要记录很多测量数据，这些数据应当是能反映出被测量实际大小的全部数字，即有效数字。但是在实验观测、读数、运算与最后得出的结果中。哪些是能反映被测量实际大小的数字应予以保留，哪些不应当保留，这就与有效数字及其运算法则有关。前面已经指出，测量不可能得到被测量的真实值，只能是近似值。实验数据的记录反映了近似值的大小,并且在某种程度上表明了误差。因此，有效数字是对测量结果的一种准确表示，它应当是有意义的数码，而不允许无意义的数字存在。如果把测量结果写成54.2817±0.05（cm）是错误的，由不确定度0.05（cm）可以得知，数据的第二位小数0.08已不可靠，把它后面的数字也写出来没有多大意义，正确的写法应当是：54.28±0.05（cm）。测量结果的正确表示，对初学者来说是一个难点，必须加以重视，多次强调，才能逐步形成正确表示测量结果的良好习惯。一、有效数字的概念任何一个物理量，其测量的结果既然都或多或少的有误差，那么一个物理量的数值就不应当无止境的写下去，写多了没有实际意义，写少了有不能比较真实的表达物理量。因此，一个物理量的数值和数学上的某一个数就有着不同的意义，这就引入了一个有效数字的概念。若用最小分度值为1mm的米尺测量物体的长度，读数值为5.63cm。其中5和6这两个数字是从米尺的刻度上准确读出的，可以认为是准确的，叫做可靠数字。末尾数字3是在米尺最小分度值的下一位上估计出来的，是不准确的，叫做欠准数。虽然是欠准可疑，但不是无中生有，而是有根有据有意义的，显然有一位欠准数字，就使测量值更接近真实值，更能反映客观实际。因此，测量值应当保留到这一位是合理的，即使估计数是0，也不能舍去。测量结果应当而且也只能保留一位欠准数字，故测量数据的有效数字定义为几位可靠数字加上一位欠准数字称为有效数字，有效数字数字的个数叫做有效数字的位数，如上述的5.63cm称为三位有效数字。有效数字的位数与十进制单位的变换无关，即与小数点的位置无关。因此，用以表示小数点位置的0不是有效数字。当0不是用作表示小数点位置时，0和其它数字具有同等地位，都是有效数字。显然，在有效数字的位数确定时，第一个不为零的数字左面的零不能算有效数字的位数，而第一个不为零的数字右面的零一定要算做有效数字的位数。如0.0135m是三位有效数字，0.0135m和1.35cm及13.5mm三者是等效的，只不过是分别采用了米、厘米和毫米作为长度的表示单位；1.030m是四位有效数字。从有效数字的另一面也可以看出测量用具的最小刻度值，如0.0135m是用最小刻度为毫米的尺子测量的，而1.030m是用最小刻度为厘米的尺子测量的。因此，正确掌握有效数字的概念对物理实验来说是十分必要的。二、直接测量的有效数字记录物理实验中通常仪器上显示的数字均为有效数字（包括最后一位估计读数）都应读出，并记录下来。仪器上显示的最后一位数字是0时，此0也要读出并记录。对于有分度式的仪表，读数要根据人眼的分辨能力读到最小分度的十分之几。在记录直接测量的有效数字时，常用一种称为标准式的写法，就是任何数值都只写出有效数字，而数量级则用10的n次幂的形式去表示。1108\n．根据有效数字的规定，测量值的最末一位一定是欠准确数字，这一位应与仪器误差的位数对齐，仪器误差在哪一位发生，测量数据的欠准位就记录到哪一位，不能多记，也不能少记，即使估计数字是0，也必须写上，否则与有效数字的规定不相符。例如，用米尺测量物体长为52.4mm与52.40mm是不同的两个测量值，也是属于不同仪器测量的两个值，误差也不相同，不能将它们等同看待，从这两个值可以看出测量前者的仪器精度低，测量后者的仪器精度高出一个数量级。2．根据有效数字的规定，凡是仪器上读出的数值，有效数字中间与末尾的0，均应算作有效位数。例如，6.003cm,4.100cm均是四位有效数字；在记录数据中，有时因定位需要，而在小数点前添加0，这不应算作有效位数，如0.0486m是三位有效数字而不是四位有效数字，有效数字中的0有时算做有效数字，有时不能算做有效数字，这对初学者也是一个难点，要正确理解有效数字的规定。3．根据有效数字的规定，在十进制单位换算中，其测量数据的有效位数不变，如4.51cm若以米或毫米为单位，可以表示成0.0451m或45.1mm，这两个数仍然是三位有效数字。为了避免单位换算中位数很多时写一长串，或计数时出现错位，常采用科学表达式，通常是在小数点前保留一位整数，用10n表示，如4.51×102m，4.51×104cm等，这样既简单明了，又便于计算和确定有效数字的位数。4．根据有效数字的规定对有效数字进行记录时，直接测量结果的有效位数的多少，取决于被测物本身的大小和所使用的仪器精度，对同一个被测物，高精度的仪器，测量的有效位数多，低精度的仪器，测量的有效位数少。例如，长度约为3.7cm的物体，若用最小分度值为1mm的米尺测量，其数据为3.70cm，若用螺旋测微器测量（最小分度值为0.01mm）,其测量值为3.7000cm,显然螺旋测微器的精度较米尺高很多，所以测量结果的位数也多；被测物是较小的物体，测量结果的有效位数也少。对一个实际测量值，正确应用有效数字的规定进行记录，就可以从测量值的有效数字记录中看出测量仪器的精度。因此，有效数字的记录位数和测量仪器有关。三、有效数字的运算法则在进行有效数字计算时，参加运算的分量可能很多。各分量数值的大小及有效数字的位数也不相同，而且在运算过程中，有效数字的位数会越乘越多，除不尽时有效数字的位数也无止境。即便是使用计算器，也会遇到中间数的取位问题以及如何更简洁的问题。测量结果的有效数字，只能允许保留一位欠准确数字，直接测量是如此，间接测量的计算结果也是如此。根据这一原则，为了达到：①不因计算而引进误差，影响结果；②尽量简洁，不作徒劳的运算。简化有效数字的运算，约定下列规则：1．加法或减法运算大量计算表明，若干个数进行加法或减法运算，其和或者差的结果的欠准确数字的位置与参与运算各个量中的欠准确数字的位置最高者相同。由此得出结论，几个数进行加法或减法运算时，可先将多余数修约，将应保留的欠准确数字的位数多保留一位进行运算，最后结果按保留一位欠准确数字进行取舍。这样可以减小繁杂的数字计算。推论（1）若干个直接测量值进行加法或减法计算时，选用精度相同的仪器最为合理。2．乘法和除法运算由此得出结论：用有效数字进行乘法或除法运算时，乘积或商的结果的有效数字的位数与参与运算的各个量中有效数字的位数最少者相同。108\n推论（2）测量的若干个量，若是进行乘法除法运算，应按照有效位数相同的原则来选择不同精度的仪器。3．乘方和开方运算由此可见，乘方和开方运算的有效数字的位数与其底数的有效数字的位数相同。4．自然数1,2,3,4,…不是测量而得，不存在欠准确数字。因此，可以视为无穷多位有效数字的位数，书写也不必写出后面的0，如D＝2R，D的位数仅由直测量R的位数决定。5．无理常数π,的位数也可以看成很多位有效数字。例如L＝2πR，若测量值时，应取为3.142。则6．有效数字的修约。根据有效数字的运算规则，为使计算简化，在不影响最后结果应保留有效数字的位数（或欠准确数字的位置）的前提下，可以在运算前、后对数据进行修约，其修约原则是“四舍六入五看右左”，五看右左即为五时则看五后面若为非零的数则入、若为零则往左看拟留数的末位数为奇数则入为偶数则舍，这一说法可以简述为五看右左。中间运算过程较结果要多保留一位有效数字。第四节数据处理物理实验中测量得到的许多数据需要处理后才能表示测量的最终结果。用简明而严格的方法把实验数据所代表的事物内在规律性提炼出来就是数据处理。数据处理是指从获得数据起到得出结果为止的加工过程。数据处理包括记录、整理、计算、分析、拟合等多种处理方法，本章主要介绍列表法、作图法、图解法、最小二乘法和微机法。一、列表法列表法是记录数据的基本方法。欲使实验结果一目了然，避免混乱，避免丢失数据，便于查对，列表法是记录的最好方法。将数据中的自变量、因变量的各个数值一一对应排列出来，要简单明了地表示出有关物理量之间的关系；检查测量结果是否合理，及时发现问题；有助于找出有关量之间的联系和建立经验公式，这就是列表法的优点。设计记录表格要求：1．列表要简单明了，利于记录、运算处理数据和检查处理结果，便于一目了然地看出有关量之间的关系。2．列表要标明符号所代表的物理量的意义。表中各栏中的物理量都要用符号标明，并写出数据所代表物理量的单位及量值的数量级要交代清楚。单位写在符号标题栏，不要重复记在各个数值上。3．列表的形式不限，根据具体情况，决定列出哪些项目。有些个别与其它项目联系不大的数可以不列入表内。列入表中的除原始数据外，计算过程中的一些中间结果和最后结果也可以列入表中。4．表格记录的测量值和测量偏差，应正确反映所用仪器的精度，即正确反映测量结果的有效数字。一般记录表格还有序号和名称。例如：要求测量圆柱体的体积，圆柱体高H和直径D的记录如下：测柱体高H和直径D记录表108\n135.32－0.0068.1350.0003235.30－0.0268.1370.0023335.32－0.0068.1360.0013435.340.0148.133－0.0017535.30－0.0268.132－0.0027635.340.0148.1350.0003735.380.0548.134－0.0007835.30－0.0268.1360.0013935.340.0148.1350.00031035.32－0.0068.134－0.0007平均35.3268.1347说明：ΔHi是测量值Hi的偏差，ΔDi是测量值Di的偏差；测Hi是用精度为0.02mm的游标卡尺，仪器误差为Δ仪＝0.02mm；测Di是用精度为0.01mm的螺旋测微器，其仪器误差Δ仪＝0.005mm。由表中所列数据，可计算出高、直径和圆柱体体积测量结果（近真值和合成不确定度）： H＝35.33±0.02（mm） D＝8.135±0.005（mm） V＝（1.836±0.003）×103（mm3）二、作图法用作图法处理实验数据是数据处理的常用方法之一，它能直观地显示物理量之间的对应关系，揭示物理量之间的联系。作图法是在现有的坐标纸上用图形描述各物理量之间的关系，将实验数据用几何图形表示出来，这就叫做作图法。作图法的优点是直观、形象，便于比较研究实验结果，求出某些物理量，建立关系式等。为了能够清楚地反映出物理现象的变化规律，并能比较准确地确定有关物理量的量值或求出有关常数，在作图法要注意以下几点：1．作图一定要用坐标纸。当决定了作图的参量以后，根据函数关系选用直角坐标纸，单对数坐标纸，双对数坐标纸，极坐标纸等，本书主要采用直角坐标纸。2．坐标纸的大小及坐标轴的比例。应当根据所测得的有效数字和结果的需要来确定，原则上数据中的可靠数字在图中应当标出。数据中的欠准数在图中应当是估计的，要适当选择X轴和Y轴的比例和坐标比例，使所绘制的图形充分占用图纸空间，不要缩在一边或一角；坐标轴比例的选取一般间隔1,2,5,10等。这便于读数或计算，除特殊需要外，数值的起点一般不必从零开始，X轴和Y轴的比例可以采用不同的比例，使作出的图形大体上能充满整个坐标纸，图形布局美观、合理。3．标明坐标轴。对直角坐标系，一般是自变量为横轴，因变量为纵轴，采用粗实线描出坐标轴，并用箭头表示出方向，注明所示物理量的名称，单位。坐标轴上表明所用测量仪器的最小分度值，并要注意有效位数。4．描点。根据测量数据，用直尺和笔尖使其函数对应的实验点准确地落在相应的位置，一张图纸上画上几条实验曲线时。每条图线应用不同的标记如“×”“O”“Δ”等符号标出，以免混淆。5108\n．连线。根据不同函数关系对应的实验数据点分布，把点连成直线或光滑的曲线或折线，连线必须用直尺或曲线板，如校准曲线中的数据点必须连成折线。由于每个实验数据都有一定的误差，所以将实验数据点连成直线或光滑曲线时，绘制的图线不一定通过所有的点，而是使数据点均匀分布在图线的两侧，尽可能使直线两侧所有点到直线的距离之和最小并且接近相等，有个别偏离很大的点应当应用异常数据的剔除中介绍的方法进行分析后决定是否舍去，原始数据点应保留在图中。在确信两物理量之间的关系是线性的，或所绘的实验点都在某一直线附近时，将实验点连成一直线。6．写图名。作完图后，在图纸下方或空白的明显位置处，写上图的名称、作者和作图日期，有时还要附上简单的说明，如实验条件等，使读者一目了然。作图时，一般将纵轴代表的物理量写在前面，横轴代表的物理量写在后面，中间用“～”联接。7．最后将图纸贴在实验报告的适当位置，便于教师批阅实验报告。三、图解法在物理实验中，实验图线做出以后，可以由图线求出经验公式。图解法就是根据实验数据作好的图线，用解析法找出相应的函数形式。实验中经常遇到的图线是直线、抛物线、双曲线、指数曲线、对数曲线。特别是当图线是直线时，采用此方法更为方便。1．由实验图线建立经验公式的一般步骤：（1）根据解析几何知识判断图线的类型；（2）由图线的类型判断公式的可能特点；（3）利用半对数、对数或倒数坐标纸，把原曲线改为直线；（4）确定常数，建立起经验公式的形式，并用实验数据来检验所得公式的准确程度。2．用直线图解法求直线的方程如果做出的实验图线是一条直线，则经验公式应为直线方程y＝kx＋b（7）要建立此方程，必须由实验直接求出k和b，一般有两种方法。（1）斜率截距法在图线上选取两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），其坐标值最好是整数值。用特定的符号表示所取的点，与实验点相区别。一般不要取原实验点。所取的两点在实验范围内应尽量彼此分开一些，以减小误差。由解析几何知,上述直线方程中，k为直线的斜率，b为直线的截距。k可以根据两点的坐标求出。则斜率为（8）其截距b为x＝0时的y值；若原实验中所绘制的图形并未给出x＝0段直线，可将直线用虚线延长交y轴，则可量出截距。如果起点不为零，也可以由式85.0080.0075.0070.000.020.040.0TR图1某金属丝电阻—温度曲线10.030.050.0(9)求出截距，求出斜率和截距的数值代入方程中就可以得到经验公式。（2）端值求解法在实验图线的直线两端取两点（但不能取原始数据点），分别得出它的坐标为（x1，y1）和（x2，y2）,将坐标数值代入式（7）得(10)联立两个方程求解得k和b。108\n经验公式得出之后还要进行校验，校验的方法是：对于一个测量值xi，由经验公式可写出一个yi值，由实验测出一个y'i值，其偏差δ＝y'i－yi，若各个偏差之和∑(y'i－yi)趋于零，则经验公式就是正确的。在实验问题中，有的实验并不需要建立经验公式，而仅需要求出k和b即可。例1．金属导体的电阻随着温度变化的测量值为下表所示，试求经验公式R＝f（T）和电阻温度系数。温度（℃）19.125.030.136.040.045.150.0电阻（μΩ）76.3077.8079.7580.8082.3583.9085.10根据所测数据绘出R～T图求出直线的斜率和截距（μΩ／℃）b＝72.00（μΩ）于是得经验公式R＝72.00＋0.296T该金属的电阻温度系数为（1/℃）PVO图2P～V曲线PO１V图3 P～1/V曲线3．曲线改直，曲线方程的建立在实验工作中，许多物理量之间的关系并不都是线性的，由曲线图直接建立经验公式一般是比较困难的，但仍可通过适当的变换而成为线性关系，即把曲线变换成直线，再利用建立直线方程的办法来解决问题。这种方法叫做曲线改直。作这样的变换不仅是由于直线容易描绘，更重要的是直线的斜率和截距所包含的物理内涵是我们所需要的。例如：TT2LLOO图4T～L曲线图5T2～L曲线（1）y=axb,式中a、b为常量，可变换成lgy=blgx+lga，lgy为lgx的线性函数，斜率为b，截距为lga。（2）y=abx，式a、b中为常量，可变换成lgy=（lgb）x+lga，lgy为x的线性函数，斜率为lgb，截距为lga。（3）PV=C，式中C为常量，要变换成P=C(1/V)，P是1/V的线性函数，斜率为C。（4）y2=2px式中p为常量，y=±x1/2，y是x1/2的线性函数，斜率为±。（5）y=x/(a+bx)，式中a、b为常量，可变换成1/y=a(1/x)+b，1/y为1/x的线性函数，斜率为a，截距为b。（6）s=v0t+at2/2，式中v0，a为常量，可变换成s/t=(a/2)t+v0，s/t为t的线性函数，斜率为a/2，截距为v0。108\n例2．在恒定温度下，一定质量的气体的压强P随容积V而变，画P～V图。为一双曲线型如图2所示。用坐标轴1/V置换坐标轴V，则P～1/V图为一直线，如图3所示。直线的斜率为PV＝C，即玻—马定律。例3．单摆的周期T随摆长L而变，绘出T～L实验曲线为抛物线型如图4所示。若作T2～L图则为一直线型，如图5所示。斜率由此可写出单摆的周期公式例4．阻尼振动实验中，测得每隔1/2周期（T＝3.11s）振幅A的数据如下：012345A（格）60.031.015.28.04.22.2100Ａ(格)4020104210246t(T/2)图6单对坐标A～T曲线用单对数坐标纸作图，单对数坐标纸的一个坐标是刻度不均匀的对数坐标，另一个坐标是刻度均匀的直角坐标。作图如图6所示，得一直线。对应的方程为lnA＝－βt＋lnA0（11）从直线上两点可求出其斜率式（式中的－β），注意A要取对数值，t取图上标的数值，即（11）式可改写为这说明阻尼振动的振幅是按指数规律衰减的。单对数坐标纸作图常用来检验函数是否服从指数关系。四、用最小二乘法求经验方程作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，但在图线的绘制上往往带有较大的任意性，所得的结果也常常因人而异，而且很难对它作进一步的误差分析。为了克服这此缺点，在数理统计中研究了直线的拟合问题，常用一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法。由于某些曲线型的函数可以通过适当的数学变换而改写成直线方程，这一方法也适用于某些曲线型的规律。下面就数据处理中的最小二乘法原理作一简单介绍。求经验公式可以从实验的数据求经验方程，这称为方程的回归问题。方程的回归首先要确定函数的形式，一般要根据理论的推断或从实验数据变化的趋势而推测出来，如果推断出物理量y和x之间的关系是线性关系，则函数的形式可写为y＝B0＋B1x如果推断出是指数关系，则写为如果不能清楚地判断出函数的形式，则可用多项式来表示：y＝B0＋B1x＋B2x2＋…＋Bnxn式中B0,B1,…Bn,C1,C2,C3等均为参数。可以认为，方程的回归问题就是用实验的数据来求出方程的待定参数。用最小二乘法处理实验数据，可以求出上述待定参数。设y是变量x1,x2,…108\n的函数，有m个待定参数C1,C2,…Cm，即y＝f（C1,C2,…Cm;x1,x2,…）对各个自变量x1,x2,…和对应的因变量y作n次观测得（x1i,x2i,…yi）（i＝1,2,…n）于是y的观测值yi与由方程所得计算值y0的偏差为（yi－y0i）（i＝1,2,…n）所谓最小二乘法，就是要求上面的n个偏差在平方和最小的意义下，使得函数y＝f（C1,C2,…Cm,x1,x2,…）与观测值y1,y2,…yn最佳拟合，也就是参数应使最小值由微分学的求极值方法可知，C1,C2,…Cm应满足下列方程组（i＝1,2,…n）下面从一个最简单的情况来看怎样用最小二乘法确定参数。设已知函数形式是y＝A＋Bx（12）这是个一元线性回归方程，由实验测得自变量x与因变量y的数据是x＝x1,x2,…xny＝y1,y2,…yn由最小二乘法，A、B应使最小值Q对A和B求偏微商应等于零，即（13）由上式得（14）式中表示x的平均值，即表示y的平均值，即表示x2的平均值，即表示xy的平均值，即解方程（14）得（15）（16）必须指出，实验中只有当x和y之间存在线性关系时，拟合的直线才有意义。在待定参数确定以后，为了判断所得的结果是否有意义，在数学上引进一个叫相关系数的量。通过计算一下相关系数r的大小，才能确定所拟合的直线是否有意义。108\n对于一元线性回归，r定义为可以证明，│r│的值是在0和1之间。│r│越接近于1，说明实验数据能密集在求得的直线的近旁，用线性函数进行回归比较合理。相反，如果│r│值远小于1而接近于零，说明实验数据对求得的直线很分散，即用线性回归不妥当，必须用其它函数重新试探。至于│r│的起码值（当│r│大于起码值，回归的线性方程才有意义），与实验观测次数n和置信度有关，可查阅有关手册。非线性回归是一个很复杂的问题。并无一定的解法。但是通常遇到的非线性问题多数能够化为线性问题。已知函数形式为两边取对数得lny＝lnC1＋C2x令lny＝z,lnC1＝A,C2＝B则上式变为z＝A＋Bx这样就将非线性回归问题转化成为一个一元线性回归问题。上面介绍了用最小二乘法求经验公式中的常数k和b的方法，用这种方法计算出来的k和b是“最佳的”，但并不是没有误差。它们的不确定度估算比较复杂，这里就不作介绍了。五、用函数计算器处理实验数据在科学实验中使用函数计算器处理实验数据，目前已相当普遍。为方便计算，这里对算术平均值、标准偏差σn－1（即S）的计算，最小二乘法一元线性拟合的A、B、r、σy、σA、σB的计算作简要介绍。1．算术平均值与标准偏差σn－1（S）的计算直接采用测量值xi来计算σn－1与的根据是：在一般函数计算器说明书中，常用σn－1来表示标准误差，因为而＝，将的表达式代入上式后可得该式是函数计算器说明书中所用的表示式，其优点是可以直接用测量值xi来计算该组测量数据的算术平均值及标准误差σn－1。一般函数计算器均已编入与σn—1的计算程序，可按以下具体计算步骤和方法进行操作：（1）将函数模式选择开关置于“SD”（SD是英文名词standarddeviation的缩写）；（2）依次按压“INV”和“AC”键，以清除“SD”中的所有内存，准备输入需要计算的测量数据；（3）在键盘上每打入一个数据后，需按压一次“M＋”键，将所有的数据xi108\n依次输入计算器内；（4）在所有数据全部输入后，按压“”键，显示该组数据的算术平均值，按压“σn－1”键盘，则显示该数据的标准误差；（5）有错误数据输入而要删去时，可在键盘打入该错误数据后，按压“INV”和“M＋”两键，就可将该错误数据删去。2．最小二乘法一元线性拟合有关量的计算在导出表示式时，实际上也证明了：这三个量中所涉及的∑、∑、∑、∑及∑均可由SD模式算得，由此可算出,,。而此时A,B,r可分别表示为由于在分别对x和y变量作SD计算时，、也已算得，故A、B、r三量能方便地算得。由此可以证明：∑(yi－a－bxi)2＝（1－r2）Syy因此，σy可表示为此时和变换为由此可见，对a、b、r、σa、σb五个量的计算问题已归结为对、、、和的计算问题。3．具体计算步骤和方法（1）将函数模式选择开关置于“SD”位置；（2）依次按压“INV”、“AC”键，接着在键盘上每打入一个xi值,按压一次“M＋”键，直到将n个x全部输入计算器为止；（3）按压“”键，读取和记录数值（注意此时的σn－1值是无意义的）；按压“∑x”键。读记∑xi数值；108\n（4）再依次按压“∑x2”、“－”、“∑x”、“INV”、“x2”、“÷”、“n”、“＝”各键，完成的计算，读记数值；（5）依次按压“INV”、“AC”键，清除“SD”中原有x值的内存，接着在键盘上每打入一个yi值，按压一次“M＋”键，直到将n个yi全部输入计算器为止；（6）按压“”键，此时应将所显示的数值读记下；按压“∑x”键，读记∑yi数值；（7）再依次按压“∑x2”、“－”、“∑x”、“INV”、“x2”、“÷”、“n”、“＝”各键，便可完成的计算，读记下数值；（8）顺次按压“INV”、“AC”键，接着在键盘上将xi“×”yi“＝”的值用“M＋”键输入计算器中，直到n对（xi，yi）数据中每对数据的乘积（xi·yi）全部输入计算器为止；（9）按压∑xi键便得∑xi·yi的值，然后用已经读得的∑xi和∑yi值作∑xi·yi－的算术运算，即可得到值；具体方法是顺次按压“∑x”、“－”、∑xi值、“×”、∑yi值、“÷”、“n”、“＝”,读取并记录值。到此已经得到,,,,及n的数值,计算A、B、r、σA、σB的必要数据已全部齐备，只要在计算器上作些简单的算术运算，就可求得全部解答。要指出的是：函数计算器只能显示计算结果，无法判断有效数字的取舍。因此，读记时应注意按照有效数字运算法则和误差运算的有关规定，读记有效数字。对中间过程和运算结果，可以多取一位有效数字。从上述最小二乘法一元线性拟合计算来看，采用袖珍计算器来处理已显得较麻烦。若采用可编程序的计算器或者微机来处理就要方便一些，它们不仅可以完成计算工作。而且还可以打印出全部结果，绘制出拟合图线。现以测量热敏电阻的阻值RT随着温度变化的关系为例，其函数关系为其中a、b为待定常数，T为热力学温度，为了能变换成直线形式，将两边取对数得：lnRT＝lna＋b/T并作变换,今y＝lnRT,A＝lna,B=b，x＝1/T，可以得出直线方程为y＝A＋Bx。实验时测得热敏电阻在不同温度下的阻值，以变量x、y分别为横纵坐标作图，若y～x图线为直线，就证明RT与T的理论关系正确。现将实验测量数据和变量变换数值列于下表：№Tc（℃）T（K）RT（Ω）y＝lnRT127.0300.034273.3338.139229.7302.731273.3048.048332.2305.228243.2777.946436.2309.224983.2347.823538.2311.222613.2157.724642.2315.220003.1737.601108\n744.5317.518263.1507.510848.0321.016343.1157.399953.5326.513533.0637.2101057.5330.511933.0267.084对表中提供的1/Ti和lnRT数据，用最小二乘法拟合处理，按上述袖珍计算器运算步骤操作，可得：直线斜率：B＝3.448×103（K）直线截距：A＝－3.473（Ω）；相关系数：r＝0.9996。由上面相关系数值可知lnRT～1/T的关系中直线性很好，这说明热敏电阻阻值RT和1/T为严格的指数关系。六、用微机进行数据处理在现代实验技术中，随着实验条件的不断改善，微机的应用也越来越多，不仅应用与仪器设备中提高精度，采集数据，模拟实验等，还可以在数据处理中发挥重要作用。应用微机进行数据处理的方法称为微机法。微机法的优点是速度快，精度高，将实验数据输入装有相应软件的微机中就能显示数据处理的结果，直观性强，减轻人们处理数据的工作量。同时也能提高人们应用微机处理数据的能力。例如在一些平均值、相对误差、绝对误差、标准误差、线性回归、数据统计等方面的数值计算，常用函数计算，定积分计算，拟合曲线，作图等方面都可以考虑使用微机来处理。在具体问题中可以应用现有的软件，也可以结合具体实验练习编写一些简单实用的小程序或开发一些实用性强的小课件来满足实验中数据处理的需要。随着计算机的不断普及，计算在实验教学中的地位不断提高，灵活应用计算机在实验教学中的优点，是今后实验教学中不可忽视的一个问题，应当先从数据处理入手，逐步加强计算机在实验教学中的具体应用，为以后应用计算机进行科学实验奠定一个基础。练习题1．指出下列各量是几位有效数字，测量所选用的仪器与其精度是多少？（1）63.74cm;（2）0.302cm;（3）0.0100cm;（4）1.0000kg;（5）0.025cm;（6）1.35℃;（7）12.6s;（8）0.2030s;（9）1.530×10－3m。2．试用有效数字运算法则计算出下列结果（1）107.50－2.5；（2）273.5÷0.1；（3）1.50÷0.500－2.97；（4）；（5）；（6）V＝πd2h/4,已知h＝0.005m,d＝13.984×10－3（m）,计算V。3．改正下列错误，写出正确答案（1）L＝0.01040（km）的有效数字是五位；（2）d＝12.435±0.02（cm）；（3）h＝27.3×104±2000（km）；（4）R＝6371km＝6371000m＝637100000（cm）；（5）θ＝60±2’。4．单位变换（1）将L＝4.25±0.05（cm）的单位变换成μm,mm,m,km。（2）将m＝1.750±0.001（kg）的单位变换成g,mg,t。108\n5．已知周期T＝1.2566±0.0001（s），计算角频率ω的测量结果，写出标准式。6．计算的结果，其中m＝236.124±0.002（g）；D＝2.345±0.005（cm）；H＝8.21±0.01（cm）。并且分析m,D,H对σp的合成不确定度的影响。7．利用单摆测重力加速度g，当摆角θ＜5°时，T＝2π,式中摆长L＝97.69±0.02（cm），周期T＝1.9842±0.0002（s）。求g和σg，并写出标准式。附录Ⅰ教学中常用仪器误差限一、为什么取成呢？在有限次直接测量结果的不确定度评定中，如何分析“仪器误差”的影响，是大学物理实验教学中的一个较难的问题，也是一个十分重要的问题。所谓较难是指其理论和实践还处于发展阶段，不够成熟。所谓重要是指取成具有一定的合理性，使的估计趋于正确和全面。评定B类标准不确定度，以数字电压表制造说明为例：“仪器检定1至2年间，其1V内精度：（1.4×10－6×读数）＋2×10－6×测量范围”。设检定20个月后仪器在2V内测量电压V，V的重复观测值平均为＝0.928571V，其A类标准不确定度u（）＝12μV；B类标准不确定度可以由制造厂商说明书评定，并认为所得值使的附加修正Δ产生一对称信赖限，Δ期望值为0（即Δ＝0），在限内以等概率在任何处出现，值ΔV的对称矩形概率分布半宽A为A＝1.4×10－6×0.2928571V＋2×10－6×1V＝15μVu2（Δ）＝75μV2，u（Δ）＝8.7μV…上例说明：一定条件下完全可以把“高精度”仪器的误差限值基本上当作非随机分量，进而评定B类分量不确定度，将B类与A类合成。在《互换性与技术测量》和《实用计量全书》等测量专论中，也有类似将计量器具的总不确定度（相当于器具误差限）与其它测量不确定度分量“方和根”合成，以求得测量结果的总不确定度（测量极限误差）的典型例子。由类似的典型事例说明：不是以随机分量为主，非随机分量占的比重较大，将简化、纯化为非随机分量的B类不确定度是符合情理的；在有限次等精度测量中，那种只估计不确定度的A类分量，而将因素等的B类分量完全抛开不计的做法是不可取的。由此可见“方和根”式中的取成是比较全面和合理的。二、约定正确使用仪器时选取的值米尺游标卡尺（20、50分度）千分尺分光计读数显微镜各类数字式仪表108\n记时器（1s、0.1s、0.01s）物理天平（0.1g）电桥（QJ23型）电位差计（UJ33型）转柄电阻箱电表其它仪器、量具＝0.5mm＝最小分度值（0.05mm或0.02mm）＝0.004mm或0.005mm＝最小分度值（1’或30”）＝0.005mm＝仪器最小读数＝仪器最小分度（1s、0.1s、0.01s）＝0.05g＝K%·R（K是准确度或级别，R为示值）＝K%·v（K是准确度或级别，v为示值）＝K%·R（K是准确度或级别，R为示值）＝K%·M（K是准确度或级别，M为示值）是根据实验际情况由实验室给出示值误差附录Ⅱ数字修约的国家标准GB1:1在1981年的国家标准GB1:1中，对需要修约的各种测量、计算的数值，已有明确的规定：1．原文“在拟舍弃的数字中，若左边第一个数字小于5（不包括5）时，则舍去，即所拟保留的末位数字不变”。例如：在数字中拟舍去43时，4<5，则应为36056，我们简称为“四舍”。2．原文“在拟舍弃的数字中，若左边第一个数字大于5（不包括5）时，则进一，即所拟保留的末位数字加一”。例如：在数字中拟舍去623时，6>5,则应为3606，我们简称为“六入”。3．原文“在拟舍弃的数字中，若左边第一个数字等于5，其右边数字并非全部为零时，则进一，即所拟保留的末位数字加一”。例如：在数字中拟舍去5123时，5＝5，其右边的数字为非零的数，则应为361，我们简称为“五看右”。⒋原文“在拟舍弃的数字中，若左边第一个数字等于5，其右边数字皆为零时，所拟保留的末位数字若为奇数则进一，若为偶数（包括0）则不进”。例如：在数字中拟舍去50时，5＝5，其右边的数字皆为零，而拟保留的末位数字为偶数（含0）时则不进，故此时应为360，简称为“五看右左”。108\n上述规定可概述为：舍弃数字中最左边一位数为小于四（含四）舍、为大于六（含六）入、为五时则看五后若为非零的数则入、若为零则往左看拟留的数的末位数为奇数则入为偶数则舍。可简述为“四舍六入五看右左”。可见，采取惯用的“四舍五入”法进行数字修约，既粗糙又不符合国标的科学规定。类似的不严谨、甚至是错误的提法和作法有“大于五入，小于五舍，等于5保留位凑偶”；尾数“小于5舍，大于5入，等于5则把尾数凑成偶数”；“若舍去部分的数值，大于所保留的末位0.5，则末位加1，若舍去部分的数值，小于所保留的末位0.5,则末位不变……”等。还要指出，在修约最后结果的不确定度时，为确保其可信性，还往往根据实际情况执行“宁大勿小”原则。108\n第二章实验项目实验一长度测量实验目的1.掌握游标卡尺及螺旋测微原理；2.正确使用游标卡尺、螺旋测微计；3.掌握多次等精度测量误差的估计。实验内容1．游标卡尺（1）原理游标刻度尺上一共有m分格，而m分格的总长度和主刻度尺上的(m－1)分格的总长度相等。设主刻度尺上每个等分格的长度为y，游标刻度尺上每个等分格的长度为x，则有 mx＝（m－1）y (1－1)0510图1－123主刻度尺与游标刻度尺每个分格之差y－x＝y/m为游标卡尺的最小读数值，即最小刻度的分度数值。主刻度尺的最小分度是毫米，若m＝10，即游标刻度尺上10个等分格的总长度和主刻度尺上的9mm相等，每个游标分度是0.9mm，主刻度尺与游标刻度尺每个分度之差Δx＝1－0.9＝0.1（mm），称作10分度游标卡尺；如m＝20，则游标卡尺的最小分度为1/20mm＝0.05mm，称为20分度游标卡尺；还有常用的50分度的游标卡尺，其分度数值为1/50mm＝0.02mm。（2）读数游标卡尺的读数表示的是主刻度尺的0线与游标刻度尺的0线之间的距离。读数可分为两部分：首先，从游标刻度上0线的位置读出整数部分（毫米位）；其次，根据游标刻度尺上与主刻度尺对齐的刻度线读出不足毫米分格的小数部分，二者相加就是测量值。以10分度的游标卡尺为例，看一下如图1－1所示读数。毫米以上的整数部分直接从主刻度尺上读出为21mm。读毫米以下的小数部分时应细心寻找游标刻度尺上哪一根刻度线与主刻度尺上的刻度线对得最整齐，对得最整齐的那根刻度线表示的数值就是我们要找的小数部分。若图中是第6根刻度线和主刻度尺上的刻度线对得最整齐，应该读作0.6mm。所测工件的读数值为21＋0.6＝2.16（mm）。如果是第4根刻度线和主刻度尺上的刻度线对得最整齐，那么读数就是21.4mm。20分度的游标卡尺和50分度的游标卡尺的读数方法与10分度游标卡尺相同，读数也是由两部分组成。（3）注意事项1）游标卡尺使用前，应该先将游标卡尺的卡口合拢，检查游标尺的0线和主刻度尺的0线是否对齐。若对不齐说明卡口有零误差，应记下零点读数，用以修正测量值；2）推动游标刻度尺时，不要用力过猛，卡住被测物体时松紧应适当，更不能卡住物体后再移动物体，以防卡口受损；108\n3）用完后两卡口要留有间隙，然后将游标卡尺放入包装盒内，不能随便放在桌上，更不能放在潮湿的地方。2．螺旋测微器5045图1－50455图1－42025150图1－20152520图1－3（1）原理螺旋测微器内部螺旋的螺距为0.5mm，因此副刻度尺（微分筒）每旋转一周，螺旋测微器内部的测微螺丝杆和副刻度尺同时前进或后退0.5mm，而螺旋测微器内部的测微螺丝杆套筒每旋转一格，测微螺丝杆沿着轴线方向前进0.01mm，0.01mm即为螺旋测微器的最小分度数值。在读数时可估计到最小分度的1/10，即0.001mm，故螺旋测微器又称为千分尺。（2）读数读数可分两步：首先，观察固定标尺读数准线（即微分筒前沿）所在的位置，可以从固定标尺上读出整数部分，每格0.5mm，即可读到半毫米；其次，以固定标尺的刻度线为读数准线，读出0.5mm以下的数值，估计读数到最小分度的1/10，然后两者相加。如图1－2所示，整数部分是5.5mm(因固定标尺的读数准线已超过了1/2刻度线，所以是5.5mm，副刻度尺上的圆周刻度是20的刻线正好与读数准线对齐，即0.200mm。所以，其读数值为5.5＋0.200=5.700mm。如图2－1－3所示，整数部分（主尺部分）是5mm，而圆周刻度是20.9，即0.209mm，其读数值为5＋0.209＝5.209（mm）。使用螺旋测微器时要注意0点误差，即当两个测量界面密合时，看一下副刻度尺0线和主刻度尺0线所对应的位置。经过使用后的螺旋测微器0点一般对不齐，而是显示某一读数，使用时要分清是正误差还是负误差。如图1－4和图1－5所示，如果零点误差用δ0表示，测量待测物的读数是d。此时，待测量物体的实际长度为d’＝d－δ0，δ0可正可负。在图1－4中δ0＝－0.006mm,d’＝d－(－0.006)＝d＋0.006(mm)。在图1－5中δ0＝＋0.008mm,d’＝d－δ0＝d－0.008（mm）。3.读数显微镜（1）原理测微螺旋螺距为1mm（即标尺分度），在显微镜的旋转轮上刻有100个等分格，每格为0.01mm，当旋转轮转动一周时，显微镜沿标尺移动1mm，当旋转轮旋转过一个等分格，显微镜就沿标尺移动0.01mm。0.01mm即为读数显微镜的最小分度。（2）测量与读数1）调节目镜进行视场调整，使显微镜十字线最清晰即可；转动调焦手轮，从目镜中观测使被测工件成像清晰；可调整被测工件，使其被测工件的一个横截面和显微镜移动方向平行；2）转动旋转轮可以调节十字竖线对准被测工件的起点，在标尺上读取毫米的整数部分，在旋转轮上读取毫米以下的小数部分。两次读数之和是此点的读数A；3）沿着同方向转动旋转轮，使十字竖线恰好停止于被测工件的终点，记下此值所测量工件的长度即L＝│A’－A│。（3）使用注意事项1）在松开每个锁紧螺丝时，必须用手托住相应部分，以免其坠落和受冲击：108\n2）注意防止回程误差，由于螺丝和螺母不可能完全密合，螺旋转动方向改变时它的接触状态也改变，两次读数将不同，由此产生的误差叫回程误差。为防止此误差，测量时应向同一方向转动，使十字线和目标对准，若移动十字线超过了目标，就要多退回一些，重新再向同一方向转动。实验步骤1、用米尺测一长方体的长度AB、BC、AC，并正确用误差理论的要求表示测量结果；2、用游标卡尺测空心圆柱体的内径d、外径D和高H，求体积V，并正确用误差理论的要求表示测量结果；3、用螺旋测微计测一小球的直径D，求体积V，并正确用误差理论的要求表示测量结果；4．测量毛细管的内径，并正确用误差理论的要求表示测量结果。（选做）实验要求按要求完成实验报告，并分析误差产生的原因。思考题1．何谓仪器的分度数值？米尺、20分度游标卡尺和螺旋测微器的分度数值各为多少？如果用它们测量一个物体约2cm的长度，问每个待测量能读得几位有效数字？2．游标刻度尺上30个分格与主刻度尺29个分格等长，问这种游标尺的分度数值为多少？108\n实验二固体和液体的密度测定实验目的1、熟练掌握物理天平的调整和使用方法；2、掌握测定不规则固体和液体密度的两种方法。实验仪器物理天平、烧杯、水、比重瓶、线绳、待测物体图2-1实验原理若一个物体的质量为m，体积为V，则其密度为（2-1）可见，通过测定m和V可求出ρ，m可用物理天平称量，而物体体积则可根据实际情况，采用不同的测量方法。对于形状不规则的物体（或小粒状固体）、液体可用下述两种方法测量其体积，从而计算出它的密度。1、用液体静力“称量法”测量不规则固体的密度（1）能沉于水中的固体密度的测定图2-2所谓液体静力“称量法”，即先用天平称被测物体在空气中质量m1，然后将物体浸入水中，称出其在水中的质量m2，如图2-1所示，则物体在水中受到的浮力为：F＝(m1－m2)g（2-2）根据阿基米德原理，浸没在液体中的物体所受浮力的大小等于物体所排开液体的重量。因此，可以推出：F＝ρ0Vg（2-3）其中ρ0为液体的密度（本实验中采用的液体为水）；V是排开液体的体积亦即物体的体积。联立（2－2）和（2－3）式可以得：（2-4）由此得图2-3（2-5）（2）浮于液体中固体的密度测定待测物体的密度比液体小时，可采用加“助沉物”的办法，如图2－2所示，“助沉物”在液体中而待测物在空气中，称量时砝码质量为m1。待测物体和“助沉物”都浸入液体中称量时如图2－3所示，砝码质量为m2，因此物体所受浮力为(m1－m2)g。若物体在空气中称量时的砝码质量为m，物体密度为（2-6）108\n2、比重瓶法(选做)（1）液体密度的测量对液体密度的测定可用流体静力“称量法”，也可用“比重瓶法”。在一定温度的条件下，比重瓶的容积是一定的。如将液体注入比重瓶中，将毛玻璃塞由上而下自由塞上，多余的液体将从毛玻璃塞的中心毛细管中溢出，瓶中液体的体积将保持一定。比重瓶的体积可通过注入蒸馏水，由天平称其质量算出，称量得空比重瓶的质量为m1,充满蒸馏水时的质量为m2，则m2＝m1＋ρV，因此，可以推出V＝(m2－m1)／ρ （2-7）如果再将待测密度为ρ’的液体（如酒精）注入比重瓶，再称量得出被测液体和比重瓶的质量为m3，则ρ’＝(m3－m1)/V。将公式（2-7）代入此公式得 （2-8）（2）粒状固体密度的测定对于不规则的颗粒状固体，不可能用流体静力“称衡法”来逐一称其质量。因此，可采用“比重瓶法”。实验时，比重瓶内盛满蒸馏水，用天平称出瓶和水的质量m1，称出粒状固体的质量为m2，称出在装满水的瓶内投入粒状固体后的总质量为m3，则被测粒状固体将排出比重瓶内水的质量是m＝m1＋m2－m3，而排出水的体积就是质量为m2的粒状固体的体积，所以待测粒状固体的密度为 （2-9）当然，所测粒状固体不能溶于水，其大小应保证能投入比重瓶内。实验内容1、调试物理天平：调节底板水平；调节横梁平衡；练习使用方法。2、用流体静力“称量法”测不规则固体的密度。（1）测金属块的密度①用细线拴住金属块，置于天平的左面挂钩上测出其在空气中的质量m1；②将金属块浸没在水中，称其质量m2；③记录实验室内水的温度。（2）测蜡块的密度①测量蜡块在空气中的质量m；②用细线在蜡块的下面悬挂一个“助沉物”，测量蜡块在空气中而“助沉物”在液体中的质量m1；③将蜡块和“助沉物”一起浸入水中，测量质量m2。3、采用比重瓶测定物体的密度(选做)（1）测定物体的密度①采用天平称量比重瓶没有装入东西时的质量m1；②采用吸管将蒸馏水充满比重瓶，称其质量m2；③倒出比重瓶中的蒸馏水、烘干，然后再将被测液体注入比重瓶，称量比重瓶和液体的质量m3。（2）测定粒状固体物质的密度①将纯水注满比重瓶后盖上塞子，擦去溢出的水，再用天平称出瓶和水的总质量m1；②采用天平称量固体颗粒铅的质量m2；108\n③将颗粒铅投入比重瓶内，擦去溢出的水，称出瓶、水和颗粒铅的总质量m3。数据处理1、用流体静力“称量法”测不规则固体的密度（1）自拟表格记录测量金属块的有关数据。并计算其密度和误差，将结果用标准式表示。（2）自拟表格记录测量蜡块的有关数据。并计算其密度和误差，将结果用标准式表示。2、采用比重瓶测量酒精和颗粒铅的密度自拟表格记录测量酒精和颗粒铅的有关数据，并计算其密度和误差，将结果用标准式表示。思考题1、使用物理天平应注意哪几点？怎样消除天平两臂不等而造成的系统误差？2、分析造成本实验误差的主要原因有哪些？附录物理天平1、使用介绍B2DACB1F1F2GSP1P2QL1L2物理天平图2-4物理天平的构造如图2-4所示，在横梁上装有三角刀口A、F1、F2，中间刀口A置于支柱顶端的玛瑙刀口垫上，作为横梁的支点。两边刀口各有秤盘P1、P2，横梁上升或下降，当横梁下降时，制动架就会把它托住，以免刀口磨损。横梁两端各有一平衡螺母B1、B2，用于空载调节平衡。横梁上装有游动砝码D，用于1g以下的称量。物理天平的规格由最大称量值和感量（或灵敏度）来表示。最大称量值是天平允许称量的最大质量。感量就是天平的指针从标牌上零点平衡位置转过一格，天平两盘上的质量差，灵敏度是感量的倒数，感量越小灵敏度就越高。物理天平的操作步骤：（1）水平调节：使用天平时，首先调节天平底座下两个螺钉L1、L2，使水准仪中的气泡位于圆圈线的中央位置；（2）零点调节：天平空载时，将游动砝码拨到左端点，与0刻度线对齐。两端秤盘悬挂在刀口上顺时针方向旋转制动旋钮Q，启动天平，观察天平是否平衡。当指针在刻度尺S上来回摆动，左右摆幅近似相等，便可认为天平达到了平衡。如果不平衡，反时针方向旋转制动旋钮Q，使天平制动，调节横梁两端的平衡螺母B1、B2，再用前面的方法判断天平是否处于平衡状态，直至达到空载平衡为止；（3）称量：把待测物体放在左盘中，右砝码盘中放置砝码，轻轻右旋制动旋钮使天平启动，观察天平向哪边倾斜，立即反向旋转制动旋钮，使天平制动，酌情增减砝码，再启动，观察天平倾斜情况。如此反复调整，直到天平能够左右对称摆动。然后调节游动砝码，使天平达到平衡，此时游动砝码的质量就是待测物体的质量。称量时选择砝码应由大到小，逐个试用，直到最后利用游动砝码使天平平衡。2、维护方法（1）天平的负载量不得超过其最大称量值，以免损坏刀口或横梁；108\n（2）为了避免刀口受冲击而损坏，在取放物体、取放砝码、调节平衡螺母以及不使用天平时，都必须使天平制动。只有在判断天平是否平衡时才将天平启动。天平启动或制动时，旋转制动旋钮动作要轻；（3）砝码不能用手直接取拿，只能用镊子间接挟取。从秤盘上取下后应立即放入砝码盒中；（4）天平的各部分以及砝码都要防锈、防腐蚀，高温物体以及有腐蚀性的化学药品不得直接放在盘内称量；（5）称量完毕将制动旋钮左旋转，放下横梁，保护刀口。108\n实验三单摆实验目的1、掌握用单摆测量重力加速度的方法；2、学习电子停表（或机械秒表）的使用；3、了解系统误差的来源，通过作直方图认识偶然误差的特点。二、实验仪器螺旋测微器、电子停表（或机械秒表）、单摆装置、钢卷尺、三角板等mgcosθmgsinθLθθmg图3-1三、实验原理1、单摆测重力加速度g。用一不可伸长的轻线悬挂一小球，当细线质量比小球的质量小很多，而且小球的直径又比细线的长度小很多时，作摆角很小的摆动，此种装置称为单摆。如图3-1所示。如果把小球稍微拉开一定距离，小球在重力作用下可在铅直平面内做往复运动，一个完整的往复运动所用的时间称为一个周期T。设小球的质量为m，其质心到摆的支点O的距离为L（摆长）。作用在小球上的切向力为mgsin，它总指向平衡点O1,当角很小时,则sin≈,切向力的大小为mg,按牛顿第二定律,质点的运动方程为:ma切=-mgsinmL=-mg这是一个简谐运动方程。可知该简谐振动角频率的平方等于g/L,由此得出：（3-1）所以：(3-2)利用（3-2）式可求出重力加速度g。2、单摆测重力加速度的系统误差分析：（3-1）式是测T的理论公式，它要求：①单摆的摆角很小，要小于5度；②球的直径D应远小于单摆的摆长L；③摆线的质量应远小于球的质量m；④不记空气的浮力和阻力的影响。3、偶然误差的特点偶然误差表现为无规则的涨落。在相同的条件下进行大量测量时，误差呈现出一定的统计规律。如图3-2所示的直方图所示。实验内容：1、单摆测g①测量摆长L：将摆长取大约1米，测量支点到球心的距离L，共测3次；②测量摆角：应保证摆角小于5度；108\n③测量摆动周期T。用停表测定摆动50次所需时间T50，则周期T为：（秒）；④计算重力加速度g:由公式计算出重力加速度g，并利用误差的传递公式确定绝对误差，并按误差理论的要求表示测量结果。2、偶然误差统计规律的研究用停表测出摆动一次的时间T，重复100次，由每次测定不同的T，得出偶然误差的统计规律。图3-2回答问题：1、本实验摆动周期取多次时出于什么考虑？2、试由统计图说明偶然误差的特点。3、试分析影响测量的各种因素。如何减小他们的影响？参考表格测量重力加速度g摆角名称次数L（m）△L（m）T50(s)T(s)△T(s)123平均值△g/g108\n108\n实验四弹簧振子实验目的1、了解角谐振动的基本规律；2、研究弹簧本身质量对振动的影响；3.、了解胡克定律（用作图法求弹簧的倔强系数K和有效质量me）。实验仪器弹簧、标尺、托盘、天平和砝码、秒表。实验原理F=—kx设弹簧的等效质量为me，有：弹簧振动周期：设Y=T2X=my=ax+b(正比例关系，是一条直线)m实验步骤1、称量托盘的质量。2、将50g砝码放在托盘上，向下拉动弹簧2cm，使其振动50次。共测量3次。3、不断增加砝码（分别为60g、70g、80g、90g、100g），重复上步。4、作曲线，求弹簧的倔强系数K1和等效质量me。108\n5、让弹簧自由伸长，记录初始位置x0。6、加50g砝码，记录位置x1；再加20g砝码，记录位置x2；再加10g砝码，记录位置x3；减小相应砝码，记录对应的x3’、x2’、x1’、x0，采用“逐差法”计算。“逐差法”即：对半分成两组，对应项相减，再求平均和误差。结果表示：（单位）。注意事项1、弹簧的伸长不可超过其弹性限度，以防损坏弹簧；2、弹簧振子只能有竖直方向的运动；3、用“逐差法”处理数据时，分成两组，对应项相减再求平均和误差。108\n实验五杨氏模量的测量（用拉伸法）实验目的1．掌握用光杠杆测量微小长度的原理和方法，测量金属丝的杨氏模量；2．训练正确调整测量系统的能力；3．学习一种处理实验数据的方法——逐差法。实验仪器杨氏模量测定仪，螺旋测微器，游标卡尺，钢卷尺，光杠杆及望远镜直横尺。实验原理胡克定律指出，在弹性限度内，弹性体的应力和应变成正比。设有一根长为L，横截面积为S的钢丝，在外力F作用下伸长了，则（5－1）式中的比例系数E称为杨氏模量，单位为N·m－2。设实验中所用钢丝直径为d，则，将此公式代入上式整理以后得（5－2）ABCGTd1dm图5－1上式表明，对于长度L，直径d和所加外力F相同的情况下，杨氏模量E大的金属丝的伸长量小。因而，杨氏模量表达了金属材料抵抗外力产生拉伸(或压缩)形变的能力。如图5－1安装光杠杆G及望远镜直横尺。光杠杆前后足尖的垂直距离为h，光杠杆平面镜到标尺的距离为D，设加砝码m后金属丝伸长为，加砝码m前后望远镜中直尺的读数差为，则由图5－2知，tgθ＝ΔL/h,反射线偏转了2θ，tg2θ=Δd/D,当θ＜5°时，tg2θ≈2θ,tgθ≈θ,故有2ΔL/h＝Δd/D，即ΔL＝Δdh/2D，或者ΔL＝（d2－d1）h/2D（5－3）将F＝mg代入上式，得出用伸长法测金属的杨氏模量E的公式为（5－4）θθ2θΔL图5-2hDΔd实验内容1．杨氏模量测定仪的调整（1）调节杨氏模量测定仪底脚螺丝，使立柱处于垂直状态；（2）将钢丝上端夹住，下端穿过钢丝夹子和砝码相连；（3）将光杠杆放在平台上，调节平台的上下位置，尽量使三足在同一个水平面上。2．光杠杆及望远镜直横尺的调节108\n（1）在杨氏模量测定仪前方约1米处放置望远镜直横尺，并使望远镜和光杠杆在同一个高度，并使光杠杆的镜面和标尺都与钢丝平行；（2）调节望远镜，在望远镜中能看到平面镜中直尺的像；（3）仔细调节望远镜的目镜，使望远镜内的十字线看起来清楚为止，调节平面镜、标尺的位置及望远镜的焦距，使人们能清楚地看到标尺刻度的像。3．测量（1）将砝码托盘挂在下端，再放上一个砝码成为本底砝码，拉直钢丝，然后记下此时望远镜中所对应的读数；（2）顺次增加砝码1kg，直至将砝码全部加完为止，然后再依次减少1kg直至将砝码全部取完为止，分别记录下读数。注意加减砝码要轻放。由对应同一砝码值的两个读数求平均，然后再分组对数据应用逐差法进行处理；（3）用钢卷尺测量钢丝长度L；（4）用钢卷尺测量标尺到平面镜之间的距离D；（5）用螺旋测微器测量钢丝直径d,变换位置测五次（注意不能用悬挂砝码的钢丝），求平均值；（6）将光杠杆在纸上压出三个足印，用卡尺测量出h。数据处理自拟表格记录有关测量数据。钢丝直径测量五次求平均，并写出d的标准式。光杠杆的后脚到两个前脚连线的距离为h，钢丝长度Ｌ，标尺到平面镜的距离Ｄ都取单次测量分别写出标准式。计算钢丝的杨氏模量Ｅ，并用标准式表示。思考题1．本实验应注意哪些问题？2．怎样调节光杠杆及望远镜等组成的系统，使在望远镜中能看到清晰的像？108\n实验六牛顿第二定律的验证实验目的1、熟悉气垫导轨的构造，掌握正确的使用方法；2、熟悉光电计时系统的工作原理，学会用光电计时系统测量短暂时间的方法；3、学会测量物体的速度和加速度；4、验证牛顿第二定律。实验仪器气垫导轨、气源、通用电脑计数器、游标卡尺、物理天平、棉线实验原理牛顿第二定律的表达式为F＝ma（6－1）验证此定律可分两步（1）验证m一定时，a与F成正比。（2）验证F一定时，a与m成反比。把滑块儿放在水平导轨上。滑块儿和砝码相连挂在滑轮上，由砝码盘、滑块儿、砝码和滑轮组成的这一系统，其系统所受到的合外力大小等于砝码（包括砝码盘）的重力W减去阻力，在本实验中阻力可忽略，因此砝码的重力W就等于作用在系统上合外力的大小。系统的质量m就等于砝码的质量m1、滑块儿的质量m2和滑轮的折合质量的总和，按牛顿第二定律在导轨上相距S的两处放置两光电门k1和k2，测出此系统在砝码重力作用下滑块通过两光电门和速度v1和v2，则系统的加速度a等于（6－2）在滑块儿上放置双挡光片，同时利用计时器测出经两光电门的时间间隔，则系统的加速度为（6－3）Δd图6－1其中为遮光片两个挡光沿的宽度如图6－1所示。在此测量中实际上测定的是滑块儿上遮光片（宽）经过某一段时间的平均速度，但由于较窄，所以在范围内，滑块儿的速度变化比较小，故可把平均速度看成是滑块儿上遮光片经过两光电门的瞬时速度。同样，如果越小（相应的遮光片宽度也越窄），则平均速度越能准确地反映滑块儿在该时刻运动的瞬时速度。实验内容1、观察匀速直线运动108\n（1）首先检查计时装置是否正常。将计时装置与光电门连接好，要注意套管插头和插孔要正确插入。将两光电门按在导轨上，双挡光片第一次挡光开始计时，第二次挡光停止计时就说明光电计时装置能正常工作；（2）给导轨通气，并检查气流是否均匀；（3）选择合适的挡光片放在滑块儿上，再把滑块儿置于导轨上；（4）调节导轨底座调平螺丝，使其水平。只要导轨水平，滑块儿在导轨上的运动就是匀速运动，只要是匀速运动，对于同一个挡光片而言，滑块儿经过两光电门的时间就相等，即。2、验证牛顿第二定律（1）保证系统的总质量不变时，验证加速度与外力的关系。1）调整气垫导轨，让滑块儿能在气垫导轨上作匀速运动。将两个光电门置于相距80cm的位置上；2）把系有砝码盘的轻质细线通过滑轮和滑块儿相连，在滑块儿上放入11g砝码，用天平测得系统的总质量m，用卡尺测出遮光片两挡光沿的宽度，推动滑块儿并测量滑块儿经过两光电门的时间和，然后算出v1、v2，（，）并算出加速度a；3）从滑块儿上取下1g砝码加至盘中，测出滑块儿经两光电门的时间、和所对应的速度v1、v2；4）从滑块儿上每次取下2g砝码，放入砝码盘中，求出a1，a2…。（2）保持外力不变（即砝码盘与砝码的总质量不变），改变滑块儿质量，研究系统质量与加速度的关系。1）调节两光电门之间的距离；2）令m1＝10g不变，改变m2，在滑块儿上每次增加20g砝码，分别测出滑块儿经光电门k1、k2处的时间、，由此数据算出v1、v2、a。数据处理1．自拟表格记录在保持系统总质量不变的条件下，测出加速度与外力之间的相关数据。并用作图法处理数据，验证加速度与外力之间的线性关系。2．自拟表格记录在外力不变的条件下，测出系统质量与加速度的相关数据。并用作图法处理数据，验证加速度与质量之间的反比关系。思考题1．本实验对每个量的测定，怎样才能使误差更小些？2．实验中如果导轨未调平，对验证牛顿第二定律有何影响，得到的图将是什么样的？108\n实验七动量守恒定律的验证实验目的1、验证动量守恒定律；2、进一步熟悉气垫导轨、通用电脑计数器的使用方法；3、用观察法研究弹性碰撞和非弹性碰撞的特点。实验仪器气垫导轨，电脑计数器，气源，物理天平等实验原理如果某一力学系统不受外力，或外力的矢量和为零。则系统的总动量保持不变，这就是动量守恒定律。在本实验中，是利用气垫导轨上两个滑块儿的碰撞来验证动量守恒定律的。在水平导轨上滑块儿与导轨之间的摩擦力忽略不计，则两个滑块儿在碰撞时除受到相互作用的内力外，在水平方向不受外力的作用，因而碰撞的动量守恒。如m1和m2分别表示两个滑块儿的质量，以v1、v2、、分别表示两个滑块儿碰撞前后的速度，则由动量守恒定律可得（7-1）下面分别情况来进行讨论：1、完全弹性碰撞弹性碰撞的特点是碰撞前后系统的动量守恒,机械能也守恒。如果在两个滑块儿相碰撞的两端装上缓冲弹簧，在滑块儿相碰时，由于缓冲弹簧发生弹性形变后恢复原状，系统的机械能基本无损失，两个滑块儿碰撞前后的总功能不变，可用公式表示（7-2）由（1）式和（2）式联合求解可得（7-3）在实验时，若令m1＝m2，两个滑块儿的速度必交换。若不仅m1＝m2，且令v20＝0，则碰撞后m1滑块儿变为静止，而m2滑块儿却以m1滑块儿原来的速度沿原方向运动起来。这与公式的推导一致。若两个滑块儿质量m1m2,仍令v20＝0，即 （7-4）实际上完全弹性碰撞只是理想的情况，一般碰撞时总有机械能损耗，所以碰撞前后仅是总动量保持守恒，当v20＝0时（7-5）108\n2．完全非弹性碰撞在两个滑块儿的两个碰撞端分别装上尼龙搭扣，碰撞后两个滑块儿粘在一起以同一速度运动就可成为完全非弹性碰撞。若m1＝m2,v20＝0,,由（7-1）式得：（7-6）若m1m2，仍令v20＝0，则有3．恢复系数和动能比碰撞的分类可以根据恢复系数的值来确定。所谓恢复系数就是指碰撞后的相对速度和碰撞前的相对速度之比，用e来表示 （7-7）若e＝1，即是完全弹性碰撞；若e＝0，即是完全非弹性碰撞。此外，碰撞前后的动能比也是反映碰撞性质的物理量，在v20＝0，m1＝m2时，动能比为（7-8）若物体做完全弹性碰撞时，e＝1则R＝1（无动能损失）；若物体做非弹性碰撞时，0＜e＜1，则＜R＜1。实验内容1、用弹性碰撞验证动量守恒定律（1）m1＝m2时的弹性碰撞1）连接和调试好仪器；2）把滑块儿1(在左)放在左光电门的外侧，滑块儿2放在两光电门之间靠近右面光电门的地方，让滑块儿2处于静止状态；3）把滑块儿1反向推动，让它碰后反弹回来通过左面光电门后再和滑块儿2发生碰撞，碰撞前的速度v10由左光电门所记录的时间反映出来。碰撞后，m2以v10的速度运动，即，m2的速度由右面光电门所记录的时间反映出来。所以实验中要记录下经过左面光电门的遮光时间和碰撞后经过右面光电门的遮光时间即可验证在实验条件下的动量守恒；4）用所测的碰撞前后的速度计算恢复系数和动能比；5）改变碰撞时的速度v10重复以上内容。（2）m1≠m2时的弹性碰撞1）取一大一小两个滑块儿分别称其质量为m1和m2；2）在左光电门外侧放大滑块儿1，较小的滑块儿2放在两光电门之间。使v20＝0，推动m1使之与m2相碰，测量较大的滑块儿在碰撞前经过光电门的遮光时间，及碰撞以后m1、m2先后经过右面光电门的时间、，由此计算出、、，便可验证在此实验条件下的动量守恒，即；3）改变v10，重复以上内容测量多次。2、用完全非弹性碰撞验证动量守恒108\n（1）较大的滑块儿1和较小的滑块儿2的两个碰撞端，分别装上尼龙搭扣，用天平称m1和m2，使m1＝m2；（2）在左光电门以外的地方放一个滑块儿1，在两光电门之间靠近右光电门的地方放一个滑块儿2，并使，推动m1使之与m2相碰撞。碰撞后两个滑块儿粘在一起以同一速度运动就可成为完全非弹性碰撞，碰撞后速度；（3）记下滑块儿经过左光电门的遮光时间及经过右光电门的遮光时间，由此可以计算出碰撞前的速度及碰撞后的速度,在此实验条件上可验证;（4）改变弹性碰撞的速度v10，重复多次测量；（5）用碰撞前后的速度算一下恢复系数和动能比。数据处理1、弹性碰撞m1＝m2时的弹性碰撞，自拟表格记录有关数据。m1≠m2时的弹性碰撞，自拟表格记录数据。2、完全非弹性碰撞，自拟表格记录数据。对上述两种情况下所测数据进行处理，计算出碰撞前和碰撞后的总动量，并通过比较得出动量守恒的结论。思考题1、在弹性碰撞情况下，当m1≠m2，v20＝0时，两个滑块儿碰撞前后的动能是否相等？如果不完全相等，试分析产生误差的原因。2、为了验证动量守恒定律，应如何保证实验条件减少测量误差？108\n实验八热功当量的测定（用电热法）实验目的JAMBCFGHD图8－1VE1.用电热法测量热功当量；2.学会一种热量散失的修正方法——修正终止温度。实验仪器量热器（附电热丝），温度计（0℃～50℃、0.1℃），电流表，电压表，直流稳压电源，秒表，物理天平，开关等。实验原理仪器装置如图8-1所示，M与B分别为量热器的内外两个圆筒，C为绝缘垫圈，D为绝缘盖，J为两个铜金属棒，用以引入加热电流，F是绕在绝缘材料上的加热电阻丝，G是搅拌器，H为温度计，E为稳压电源。1.电热法测热功当量强度为I安培的电流在t秒内通过电热丝，电热丝两端的电位差为U伏特。则电场力做功为W＝IUt（8－1）这些功全部转化为热量，此热量可以用量热器来测量。设m1表示量热器内圆筒和搅拌器以及装有缠绕线的胶木支架（一般质料相同，否则应分别考虑）的质量，C1表示其比热。m2表示缠绕线的胶木（或玻璃）的质量，C2表示其比热。m3表示量热器内圆筒中水的质量，C3表示水的比热，V表示温度计沉入水中的体积，T0和Tf表示量热器内圆筒及圆筒中水的初始温度和终止温度，那么量热器内圆筒及圆筒中的水等由导体发热所得的热量Q为Q＝（m1C1＋m2C2＋m3C3＋0.46V）（Tf－T0）（8－2）所以，热功当量焦耳/卡（8－3）J的标准值J0＝4.1868焦耳/卡。E－CFT(℃)PT0ABDΔTΔTTfT2tt1ttt(分)图8－222.散热修正如果实验是在系统（量热器内筒及筒中的水等）的温度与环境的温度平衡时，对电阻通电，那么系统加热后的温度就高于室温θ。实验过程中将同时伴随散热作用，这样，由温度计读出的终止温度的数值T2必须比真正的终止温度的数值Tf低。（即假设没有散热所应达到的终温为Tf）。为了修正这个温度的误差，实验时在相等的时间间隔内，记下相对应的温度，然后以时间为横坐标，温度为纵坐标作图，如图8-2所示。图中AB段表示通电以前系统与环境达到热平衡后的稳定阶段，其稳定温度（即室温）也就是系统的初温T0，BC108\n段表示在通电时间t内，系统温度的变化情况。由于温度的变化存在滞后的现象，因而断电后系统的温度还将略为上升，如CD段所示，DE段表示系统的自然冷却过程。根据牛顿冷却定律，当系统的温度T与环境的温度θ相差不大时，由于散热，系统的冷却速率（8－4）即冷却速率与系统的温度T成线性关系。当系统自T0升温到T2时，其冷却速率相应从0增大到。所以在BD升温过程中，系统的平均冷却速率，在此过程中由于散热而使系统最终产生的误差（8－5）系统的真正终温（8－6）数据处理时，还可用作图的方法求Tf值。如图8-2所示，将DE线段往左外延，再通过P点（t1/2点）作横坐标轴的垂线与DE的外延线交于F点，则F点对应的温度就是系统修正后的终止温度Tf。如果系统起始加热的温度T0不等于室温，则由于开始时的温度冷却速率不为零，系统的温度修正值不能用（8－5）式。从牛顿冷却定律知，当系统与环境的温度相差不大时（小于15℃），其温度冷却速率与温度差成正比。于是，可得开始加热时的冷却速率其中，v为用温度计测得系统的终止温度T2时的冷却速率，可从图8－2求得（）。所以在BD升温过程中系统的平均冷却速率系统的真正终温（8－7）实验内容1．从供给设备上测量并记录下量热器的内圆筒的质量，搅拌器和胶木支架质量及胶木质量m2；2．在量热器的内圆筒中装上二分之一到三分之二容积的水；3．按图8－1接好电路，盖好量热器的盖子，插上温度计（浸入水中，又不可触及电热丝），打开电源并调节直流稳压电源的输出电压，用搅拌器缓慢搅动量热器的内圆筒中的水，使内圆筒中的水温每分钟升高1.5℃左右。记下电表测得的电流及电压（电流不可超过3A）；4．108\n断开电源，量热器的内圆筒中的温水替换为同量、温度为室温的蒸馏水。用物理天平称量质量（扣除量热器内筒质量后方为蒸馏水质量m3）；5．待量热器内水的温度稳定后，记录下数值，此时的温度为初始温度T0。合上电源开关，使电路通电，同时，用秒表开始计时，每隔一分钟分别记一次温度计、安培表及伏特表的读数（亦可每隔20秒依次对上述三个量进行一次读数，然合周而复始）。实验过程中必须连续缓慢搅动量热器的内圆筒中的水，以使温度均匀，直到温度超过初始温度约7℃，再断开电源。记下实际通电的时间t，断电后系统温度还会略为升高，故必须仔细观察并记下系统的终止温度T2及其经历的时间t1。以后继续搅拌，并每隔二分钟记录一次读数，以获得自然冷却数据（至少记录6次）。6．用小量筒估计温度计浸入水中的体积V（不需很准确，为什么？）数据处理1．将实验数据列表记录平均电流I＝_______（A）；平均电压U＝______（V）；通电时间t＝______（秒）。2．作T～t变化曲线，由图中求出系统的真正终止温度Tf。3．把T0，Tf等实验数据代入（8－3）式计算热功当量，并求出各个测量值的误差。注意事项1．温度计要浸入水中，但又不能触及电热丝。2．电路接好后，须经指导教师检查无误后，才能接通电源，注意电表的正负极性不要接反。3．只有当电热丝浸入在水中才能通电，否则，胶木和电热丝可能会被烧坏。思考题1．试用误差传递公式估算本实验热功当量的相对误差，并指出那一个量对测量结果的影响最大，要作具体数值计算。2．切断电源后，水温还会上升少许，然后才开始下降，记录T2、t1及用作图的方法求出Tf时，如何处理为正确？3．为什么要限制加热的温升速率？过大或过小的温升速率对实验结果有什么影响？4．根据牛顿冷却定律，你能否提出与本实验教材不同的温度修正方法。108\n实验九金属比热的测定实验目的1．学会最基本的测量热量的方法——混合法；2．测量金属的比热；3．学习热学实验中系统散热带来的误差的修正方法。实验仪器量热器，温度计（0～50℃，准确到0.1℃），加热器，待测金属块，细线，物理天平，秒表，小量筒。实验原理温度不同的物体混合之后，热量从高温物体传给低温物体。若在混合过程中，与外界无热量交换，最后将达到一个稳定的平衡温度。这期间，高温物体放出的热量等于低温物体吸收的热量，此称为热平衡原理。将质量为mx,，温度为T1，比热为cx的金属块，投入量热器内筒中（设其与搅拌器的热容量为C1）。量热器的内筒装入水的质量为m0，其比热为c0，初温为T2，与金属块混合后的温度为T3，温度计插入水中部分的热容量设为C2。根据热平衡原理，列出平衡方程 mxcx（T3－T1）＝（m0c0＋C1＋C2）（T2－T3）（9－1）由此可得金属块的比热 （9－2）量热器和搅拌器多由相同物质制成，查表可求得其比热C1，并算出C1＝m1c1，m1是量热器的内筒和搅拌器的总质量；而C2＝1．9VJ·℃－1，V是温度计插入水中的体积，单位是cm3。只要测出m0、m、T1、T2、T3的值，则可由（9-2）式求得待测金属块的比热cx值。T2T1TOCDGFEBAt图9－1在上述混合过程中，实际上系统总要与外界交换热量，这就破坏了（9－1）式的成立条件。为消除影响，需要采用散热修正。本实验中热量散失的途径主要有三个方面。第一，若用先加热金属块投入量热器的混合法，则投入前有热量损失，且这部分热量不易修正，只能用尽量缩短投放时间来解决；第二，将室温的金属块投入盛有热水的量热器中，混合过程中量热器向外界散失热量，由此造成混合前水的温度与混合后水的温度不易测准。为此，绘制水的温～时曲线，根据牛顿冷却定律来修正温度。方法如下：若在实验中做出水的温～时曲线如图9－1所示，AB段表示混合前量热器及水的冷却过程，BC段表示混合过程,CD段表示混合后冷却过程。通过G点作与时间轴垂直的一条直线交AB、CD的延长线于E和F，使面积BEG与面积CFG相等，这样，E和F点对应的温度就是热交换进行无限快的温度，即没有热量散失时混合前后的初温就是热交换进行无限快的温度，即没有热量散失时混合前后的温度；第三，量热器表面若由于水滴附着，会使其蒸发而散失较多的热量，这可在实验前使用干燥毛巾擦净量热器而避免。108\n实验内容待测金属块与水混合可有多种方法，本实验采用将室温的金属块投入盛有温水的量热器中的混合方法，其散热修正采用上述修正的方法。1．测出室温T1，测量待测金属块的质量mx；2．擦净量热器的内筒，称量它和搅拌器的质量m1,然后倒入高出室温20℃～30℃的水，迅速将绝热盖盖好，插入温度计和搅拌器，不断搅动搅拌器，并启动秒表，每隔一分钟读一次温度数值，在混合前可测量读取数值8次（8分钟）；3．把系有细线的金属块迅速投入量热器内，使其悬挂浸没在水中，盖好盖子，继续搅动搅拌器，开始每隔15秒记录一次温度，2分钟后，每隔一分钟记录一次，共记录8次；4．取出量热器的内筒,称其总质量并减去m＋m1,即为水的质量m0；5．小量筒测出温度计浸入水中的体积V0；另换温水，重复上述实验一次。6．实验时应注意（1）本实验的误差主要来自温度的测量，因此在测量温度时要特别注意，读数迅速且要准确（准确到0.1℃）；（2）倒入量热器中的温水不要太少，必须使投入的金属块悬挂浸没在其中。数据处理1．将实验中测出的各个数值填入下表：前8分钟中间2分钟后8分钟次T（℃）次T（℃）次T（℃）次T（℃）次T（℃）次T（℃）151515m0（kg）m（kg）m1（kg）C0（J·k—1·℃—1）C1（J·k—1·℃—1）V（cm3）2．使用坐标纸，绘制温～时曲线，进行散热修正，确定T2、T3的数值。3．将各个测量数值代入（3－1－2）式，求得Cx,再根据重复实验值取平均值。4．从附表中查出所用金属快的比热值作为标准值，按公式求出实验的相对误差。思考题1．混合法的理论根据是什么？2．分析实验中哪些因素会引起系统误差？测量时怎样才能减小实验误差？3．若采用预先加热金属块投入低于室温的水中混合的方法，本实验应怎样设计和进行操作？4．如果混合前金属块和水的温度都在变化，其初温怎样测量？出现这种情况对实验有何影响？应怎样避免？108\n附录温度计温度计由玻璃和水银制成，玻璃的比热为0.19cal·g－1·℃－1，密度为2.5g。水银的比热为0.033cal·g－1·℃－1，密度为13.6g·cm－3，因而1cm3玻璃的热容量为0.19×2.5＝0.47（cal·℃－1）这相当于0.47g水的热容量，称作水的当量热容。1cm3水银的热容量为0.033×13.6＝0.45（cal·℃－1）两者差别不大，取平均值为0.46cal·℃－1，若浸入水中温度计的体积为Vcm3，则其水的当量热容为C＝0.46V（cal·℃－1）108\n实验十液体表面张力系数的测定（用拉脱法）实验目的1．使用拉脱法测定室温下水的张力系数。2．学会使用焦利氏秤测量微小力的方法。实验仪器焦利氏秤，砝码，烧杯，温度计，酒精灯，蒸馏水，游标卡尺。焦利氏秤是本实验所用主要仪器，它实际上是一个倒立的精密的弹簧秤。如图所示。仪器的主要部分是一空管立柱A和套在A内的能上下移动的金属杆B，B上有毫米刻度，其横梁上挂有一弹簧D，A上附有游标C和可以移动的平台H（H固定后，通过螺丝S微调上下位置），G为十字线，M为平面镜，镜面有一标线，F为砝码盘。实验时，使十字线G的位置不变。转动旋钮E可控制B和D的升降，从而拉伸弹簧，确定伸长量，根据胡克定律可以算出弹力的大小。焦利氏秤上常附有三种规格的弹簧。可根据实验时所测力的最大数值及测量精密度的要求来选用。实验原理液体表面层内分子相互作用的结果使得液体表面自然收缩，犹如紧张的弹性薄膜。由于液面收缩而产生的沿着切线方向的力称为表面张力。设想在液面上作长为L的线段，线段两侧液面便有张力f相互作用，其方向与L垂直，大小与线段长度L成正比。即有f＝αL（10－1）比例系数α称为液体表面张力系数，其单位为Ｎm－１。将一表面洁净的长为Ｌ、宽为d的矩形金属片（或金属丝）竖直浸入水中，然后慢慢提起一张水膜，当金属片将要脱离液面，即拉起的水膜将要破裂时，则有Ｆ＝mg＋f （10－2）GMABCDEFSH图10－1式中Ｆ为把金属片拉出液面时所用的力；mg为金属片和带起的水膜的总重量；f为表面张力。此时，f与接触面的周围边界2（L＋d）,代入（10－2）式中可得（10－3）若用金属环代替金属片，则有（10－4）式中d1、d2分别为圆环的内外直径。实验表明，α与液体种类、纯度、温度和液面上方的气体成分有关，液体温度越高，α值越小，液体含杂质越多，α值越小，只要上述条件保持一定，则α是一个常数，所以测量α时要记下当时的温度和所用液体的种类及纯度。实验内容1．按照如图10－1所示安装好仪器，挂好弹簧，调节三脚底座上的螺丝，使金属管A、竖直弹簧D108\n互相平行，转动旋钮E使三线对齐，读出游标０线对应在Ｂ杆上刻度的数值Ｌ0。2．测量弹簧的倔强系数K。依次将质量为1.0g，2.0g，3.0g，…9.0g的砝码加在下盘内。转动旋钮E，每次都重新使三线对齐，分别记下游标０线所指示在B杆上的读数L1、L2、…L9，用逐差法求出弹簧的倔强系数。K1＝5g/（L5－L0）、K2＝5g/（L6－L1）、K3＝5g/（L7－L2）、K4＝5g/（L8－L3）、K5＝5g/（L9－L4）， ＝（K1＋K2＋…＋K5）/5（10－5）3．测（F－mg）值。将金属片（常用金属丝U形框）仔细擦洗干净，此时再放在酒精灯上烘烤一下，然后把它挂在砝码盘F下端的一个小钩子上，转动旋钮E使三线对齐，记下此时游标０线指示B杆上读数S0。把装有蒸馏水的烧杯置于平台H上，调节平台位置，使金属片浸入水中，转动H下端旋钮S使H缓缓下降，由于水的表面张力作用，上面已调好的三线对齐状态受到破坏，需要重新调整使三线对齐。然后再使H下降一点，重复刚才的调节，直到Ｈ稍微下降，金属片脱出液面为止，记下此时游标０线所指示的B杆上读数S，算出（S－S0）值，即为在表面张力作用下，弹簧的伸长量，重复测量五次，求出（S－S0）的平均值此时有（10－6）式中为（10－5）式中所示弹簧的倔强系数，将10－6）代入（10－3）式中可得（10－7）4．用卡尺测出L、d值，将数据代入（10－7）式中即可算出水的α值。再测量蒸馏水的温度，可查出此温度下蒸馏水的标准值α，并做比较。实验时应注意以下几点：（1）由于杂质和油污可使水的表面张力显著减小，所以务必使蒸馏水、烧杯、金属片保持洁净。实验前要对装蒸馏水的烧杯、金属片进行清洁处理，依次用NaOH溶液→酒精→蒸馏水将以上用具清洗干净，烘干后备用。（2）清洁后的用具，切勿用手触摸，应有摄子取出或存放。数据处理自拟表格记录数据，并根据公式求出水的表面张力系数α的值。注：水的表面张力系数α＝（70－0.15t）×10—3N·m－１，t为摄氏度，此公式来源于《普通物理·热学》王正清主编，第272页。思考题1．矩形金属片浸入水中，然后轻轻提起到底面与水面相平时，试分析金属片在竖直方向的受力。2．分析（10－2）式成立的条件，实验中应如何保证这些条件实现？3．本实验中为何安排测（F—mg），而不是分别测F和mg？108\n实验十一伏安法测电阻实验目的1．掌握用伏安法测电阻的方法。2．正确使用伏特表、毫安表等，了解电表接入误差。3．了解二极管的伏安特性。实验仪器直流稳压电源，滑线变阻器，伏特表，毫安表或微安表（或万用表），待测电阻，待测二极管等。实验原理所谓用伏安法测电阻，就是用电压表测量加于待测电阻RX两端的电压V，同时用电流表测量通过该电阻的电流强度I，再根据欧姆定律RX＝V／I计算该电阻的阻值。因为电压的单位为“伏”，电流的单位为“安”，所以这种方法称为伏安法。1．安培表的两种接法及其接入误差(a)+－－+KKRARVAVVARARVRXRXR0R0EE－+－+(b)图11-1用伏安法测电阻，可采用图11-1所示（a）和（b）两种电路。但由于安培表的内阻为RA，伏特表的内阻为RV，所以上述两种电路无论哪一种，都存在接入误差（系统误差）。（1）安培表内接。如图11-1（a）所示的电路，安培表测出的I是通过待测电阻RX的电流IX，但伏特表测出的V就不只是待测电阻RX两端的电压VX，而是RX与安培表两端的电压之和，即＝VX＋VA，若待测电阻的测量值为R，则有（11-1）由此可知，这种电路测得的电阻值R要比实际值大。式（1）中的RA／RX是由于安培表内接给测量带来的接入误差（系统误差）。如果安培表的内阻已知，可用下式进行修正（11-2）当RX>>RA时，相对误差RA／RX108\n很小。所以，安培表的内阻小，而待测电阻大时，使用安培表内接电路较合适。（2）安培表外接。如图11-1（b）所示的电路，伏特表测出的V是待测电阻RX两端的电压VX，但安培表测出的I是流过RX的电流IX和流过伏特表的电流IV之和，即I＝IX＋IV。若待测电阻的测量值为R，则有（11-3）由上式可知，这种电路测得的电阻值R要比实际值RX小。式（11－3）中的RX／RV是由于安培表外接带来的接入误差（系统误差）。若伏特表的内阻RV已知，可用下式修正（11-4）当RV>>RX时，相对误差RX／RV很小。所以，伏特表的内阻大，而待测电阻小时，使用安培表外接较合适。由以上分析可知用伏安法测电阻时，由于安培表和伏特表都有一定的内阻，将它们接入电路后，就存在着接入误差（系统误差），所以测得的电阻值不是偏大就是偏小，两个相比较，当RA<查看更多