大学物理作业

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5-9若电荷均匀地分布在长为L的细棒上，求证：（1）在棒的延长线上，且离棒中心为r处的电场强度为：（2）在棒的垂直平分上，且离棒中心为r处的电场强度为：证明：（1）考虑棒的延长线上距棒中心为r的P点；取坐标如右图所示；在棒上x处取线元dx，线元dx的带电量dq为：若棒为无限长（即L），试将结果与无限长均匀带电直线的电场强度相比较。\n即，的大小dE为：的方向为：沿x轴正向；应用电场强度的叠加原理，得到总场强的大小E为：即，总场强的方向为：沿x轴正向。dq在P点的场强的大小dE为：\n（2）考虑棒的垂直平分线上距棒中心为r的B点；在棒上x处取线元dx，线元dx的带电量dq为：取坐标如右图所示；该dq在B点产生的场强的大小dE为：即，的方向：如右图所示；将分解为：注意到：\n所以即，积分得：\n所以，B点的电场强度为：当L→∞时，注意到：结果与无限长带电直线周围的电场强度分布相同；这说明，只满足，带电长直细棒就可看作为无限长带电直线。\n5-10一半径为R的半球壳，均匀地带有电荷，电荷面密度为，求球心处电场强度的大小。将半球壳分割为一组平行细圆环，任一个圆环所带电荷元在点O激发的电场强度为解\n由于平行细圆环在点O激发的电场强度方向相同，利用几何关系统一积分变量，有积分得球心的电场强度为或\nyz和zx平面，立方体的一个顶点为坐标原点。现将立方体置于电场强度为的非均匀电场中，求立方体各表面的电场强度通量。解：对立方体的各个顶点标上符号，如右图所示，（1）对于ABOC平面，x=0=恒矢量所以，（2）对于DFGH平面，x=a=恒矢量所以，5-15如图所示，边长为a的立方体，其表面分别平行于xy、\n（3）对于BGHO平面，所以，（4）对于AFDC平面（类似于BGHO平面），所以，（5）对于ABGF平面，所以，\n（6）对于CDHO平面（类似于ABGF平面），所以，因此，整个立方体表面的电场强度通量为：\n5-17设半径为R的球体内，其电荷为对称分布，电荷体密度为解:k为一常数；试用高斯定理求电场强度与r的函数关系。（你能用电场叠加原理求解这个问题吗？）电场分布也是球对称的，同心球面由于电荷分布具有球对称性，所以上各点电场强度的大小为常量；以同心球面为高斯面，则有：当0≤r≤R时,高斯面所包围的电荷电量q为:\n应用高斯定理，得：故：或，（0≤r≤R）当r>R时，高斯面所包围的电荷电量q为:应用高斯定理，得：故：或，（r>R）\n5-20一个内外半径分别为R1和R2的均匀带电球壳，总电荷为Q1，球壳外同心罩一个半径为R3的均匀带电球面，球面电荷为Q2，求电场分布。电场强度是否为离球心距离的连续函数？试分析。解：如右图所示，球壳和球面将空间分为四个部分；（1）求球壳内部空间的场强E1由于电荷分布具有球对称性，所以电场的分布也具有球对称性；在球壳内部空间作一半径为r的球面为高斯面S1，如右图所示；则S1面上各点所以，\n高斯面S1内的电荷q为：所以，由高斯定理得到球壳内部空间的电场强度E1为：（2）求球壳内空间的场强E2在球壳内空间作一半径为r的球面为高斯面S2，如右图所示；类似（1）的分析，得到：高斯面S2内的电荷q为：由高斯定理，得到场强E2为：\n（3）求球壳与球面间空间的场强E3在球壳与球面间作一半径为r的球面为高斯面S3，如右图所示；类似（1）的分析，得到：高斯面S3内的电荷q为：由高斯定理，得到场强E3为：（4）求球面外空间的场强E4在球壳与球面间作一半径为r的球面为高斯面S4，如上图所示；类似（1）的分析，得到：\n高斯面S4内的电荷q为：由高斯定理，得到场强E4为：电场强度分布为：电场强度的方向均沿矢径方向。\n各区域的电场强度分布如右图所示。在带电球面的两侧，电场强度的左右极限不同，电场强度不连续，而在紧贴r=R3的带电球面两侧，电场强度的跃变量ΔE为：这一跃变是将带电球面的厚度抽象为零的结果，且具有普遍性。实际的带电球面都是有一定厚度的球壳，球壳内外的电场强度也是连续变化的，如本题中带电球壳内外的电场E2，如果球壳的厚度变小，E2的变化就变陡，最后当厚度趋向于零时，E2的变化就变成为跃变。\n场强度：（1）rR2解：由于电荷分布在无限长的同轴圆柱面上，电场强度也一定呈对称性分布，沿矢径方向。（1）求rR2），单位长度上的电荷为λ；求离轴线为r处的电\n（2）求R1R2）、高为h的高斯面，如右图所示，只有侧面有电通量，所以，这个高斯面内的电荷q为：应用高斯定理，得：所以，（3）求r>R2的电场强度在带电面附近，电场强度大小不连续，有一定的跃变；与题8-20分析讨论的结果一致。（r>R2）\n5-23已知均匀带电直线附近的电场强度近似为解:（1）求在r=r1和r=r2两点间的电势差；其中λ为电荷线密度。（2）在点电荷的电场中，我们曾取r→∞处间的电势为零，求均匀带电直线附近的电势能否这样取？试说明。（1）由于电场力作功与路径无关，所以取径向为积分路径，则得：（2）不能。因为r∞处的电势与直线上的电势相等。\n和Q2；求（1）各区域的电势分布，并画出分布曲线；（2）两球面上的电势差为多少？解：（1）由高斯定理可求得电场分布为：由电势公式，取积分路径沿矢径方向，就可求得各区域的电势分布；5-27两个同心球面的半径分别为R1和R2，各自带有电荷Q1\n当0≤r≤R1时，有：同理，当R1≤r≤R2时，有：\n同理，当r>R2时，有：（2）两个球面间的电势差\n5-28一半径为R的无限长带电细棒，其内部的电荷均匀分布，电荷体密度为ρ。现取棒表面为零电势，求空间电势分布并画出电势分布曲线。解：由于无限长带电细棒电荷是轴对称分布的，所以其电场强度和电势的分布也呈轴对称。如图，作半径为r、高为h的同轴圆柱面为高斯面则有:应用高斯定理，得：即，（0

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