大学物理重点习题

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--大学物理上重点习题2-3．质量为的子弹以速度水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度。解：〔1〕由题意，子弹射入沙土中的阻力表达式为：又由牛顿第二定律可得：，那么别离变量，可得：，两边同时积分，有：，所以：〔2〕子弹进入沙土的最大深度也就是的时候子弹的位移，那么：考虑到，，可推出：，而这个式子两边积分就可以得到位移：。2-6．一质量为的质点，在平面上运动，受到外力(SI)的作用，时，它的初速度为(SI)，求时质点的速度及受到的法向力。解：由于是在平面运动，所以考虑矢量。由：，有：，两边积分有：，∴，考虑到，，有由于在自然坐标系中，，而〔时〕，说明在时，切向速度方向就是方向，所以，此时法向的力是方向的，那么利用，将代入有，∴3-3．劲度系数为k的轻巧弹簧竖直放置，下端悬一小球，球的质量为m，开场时弹簧为原长而小球恰好与地接触。今将弹簧上端缓慢提起，直到小球能脱离地面为止，求此过程中外力的功。解：由于小球缓慢被提起，所以每时刻可看成外力与弹性力相等，那么：，选向上为正向。-.word.zl-\n--当小球刚脱离地面时：，有：，由做功的定义可知：。3-9．在密度为的液面上方，悬挂一根长为，密度为的均匀棒，棒的端刚和液面接触如下图，今剪断细绳，设细棒只在浮力和重力作用下运动，在的条件下，求细棒下落过程中的最大速度，以及细棒能进入液体的最大深度。解：〔1〕分析可知，棒下落的最大速度是受合力为零的时候，所以：，即，那么：。利用功能原理：，有：可解得：〔2〕当均匀棒完全进入液体中时，浮力不变，到最大深度时，速度为零，设：，由能量守恒有：，即：∴。3-15．试证明在离地球外表高度为()处，质量为的质点所具有的引力势能近似可表示为。解：∵万有引力的势能函数表达式为，〔以无穷远处为势能零点〕，且此时地球外表处的势能为：，在离地球外表高度为()处，质量为的质点所具有的引力势能为：，如果以地面作为零电势处，那么质点所具有的引力势能近似可表示为：4-4．质量为M=2.0kg的物体〔不考虑体积〕，用一根长为l=1.0m的细绳悬挂在天花板上。今有一质量为m=20g的子弹以=600m/s的水平速度射穿物体。刚射出物体时子弹的速度大小=30m/s，设穿透时间极短。求：〔1〕子弹刚穿出时绳中力的大小；〔2〕子弹在穿透过程中所受的冲量。解：〔1〕解：由碰撞过程动量守恒可得：-.word.zl-\n--∴根据圆周运动的规律：，有：；〔2〕根据冲量定理可得：。4-7．有质量为的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为。如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。问第二块碎片落在何处。解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为。，而，，∴。4-10．如图，光滑斜面与水平面的夹角为，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为的木块，木块沿斜面从静止开场向下滑动．当木块向下滑时，恰好有一质量的子弹，沿水平方向以速度射中木块并陷在其中。设弹簧的劲度系数为。求子弹打入木块后它们的共同速度。解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度，碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒，可得：(碰撞前木快的速度)再由沿斜面方向动量守恒定律，可得：。4-14．以初速度0将质量为m的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面运动，不计空气阻力，以坐标原点为参考点，计算任一时刻：〔1〕作用在质点上的力矩；〔2〕质点的角动量。解：〔1〕〔2〕4-15．人造地球卫星近地点离地心r1=2R，〔R为地球半径〕，远地点离地心r2=4R。求：〔1〕卫星在近地点及远地点处的速率和〔用地球半径R以及地球外表附近的重力加速度g来表示〕；〔2〕卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径ρ。解：〔1〕利用角动量守恒：，得，-.word.zl-\n--同时利用卫星的机械能守恒，这里，万有引力势能表达式为：，所以：，考虑到：，有：，；〔2〕利用万有引力提供向心力，有：，可得到：。5-7．如下图，一质量为、半径为的圆盘，可绕轴在铅直面转动。假设盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：〔1〕盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；〔2〕在虚线位置轴对圆盘的作用力。解：〔1〕设虚线位置的C点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，有：，而∴〔2〕，方向向上。5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为，半径为，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动。开场时，圆盘静止，一质量为的子弹以水平速度垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：〔1〕子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；〔2〕经过多少时间后，圆盘停顿转动。(圆盘绕通过的竖直轴的转动惯量为，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)解：〔1〕利用角动量守恒：得：；〔2〕选微分，其中：面密度，-.word.zl-\n--∴由有：，知：将代入，即得：5-15.6-5长度的米尺静止于系中，与′轴的夹角=30°，系相对系沿轴运动，在系中观测者测得米尺与轴夹角为45°。试求：〔1〕系和系的相对运动速度。〔2〕系中测得的米尺长度。解：〔1〕米尺相对静止，它在轴上的投影分别为：，。米尺相对沿方向运动，设速度为，对系中的观察者测得米尺在方向收缩，而方向的长度不变，即：，-.word.zl-\n--故：。把及代入，那么得：，故：(2)在系中测得米尺长度为。6-13．一个电子从静止开场加速到，需对它做多少功？，假设速度从增加到又要做多少功？解：由相对论动能：：〔1〕；〔2〕6-15．有两个中子和，沿同一直线相向运动，在实验室中测得每个中子的速率为．试证明相对中子静止的参考系中测得的中子的总能量为：，其中为中子的静质量。证明：设中子A为系，实验室为系，中子B相对于中子A速度为：，代入，有：。7-4．一质点沿轴作简谐振动，振幅为，周期为。当时，位移为，且向轴正方向运动。求：〔1〕振动表达式；〔2〕时，质点的位置、速度和加速度；〔3〕如果在某时刻质点位于，且向轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置所需要的时间。解：〔1〕由题A=0.12m，T=2s，∴又∵t=0时，，，由旋转矢量图，可知：-.word.zl-\n--故振动方程为：；〔2〕将t=0.5s代入得：，，，方向指向坐标原点，即沿x轴负向；〔3〕由题知，某时刻质点位于，且向轴负方向运动，如图示，质点从位置回到平衡位置处需要走，建立比例式：，有：。7-14.质点分别参与以下三组互相垂直的谐振动：〔1〕；〔2〕；〔3〕。试判别质点运动的轨迹。解：质点参与的运动是频率一样，振幅一样的垂直运动的叠加。对于，的叠加，可推得：〔1〕将，代入有：，那么方程化为：，轨迹为一般的椭圆；〔2〕将，代入有：那么方程化为：，即，轨迹为一直线；〔3〕将，代入有：那么方程化为：，轨迹为圆心在原点，半径为4m的圆。8-5．一平面简谐波以速度沿轴负方向传播。原点的振动曲线如下图。试写出：〔1〕原点的振动表达式；〔2〕波动表达式；-.word.zl-\n--〔3〕同一时刻相距的两点之间的位相差。解：这是一个振动图像！由图可知A=0.5cm，设原点处的振动方程为：。〔1〕当时，，考虑到：，有：，当时，，考虑到：，有：，，∴原点的振动表达式：；〔2〕沿轴负方向传播，设波动表达式：而，∴；〔3〕位相差：。8-13.9-1．在容积的容器中盛有理想气体，气体密度为=1.3g/L。容器与大气相通排出一局部气体后，气压下降了0.78atm。假设温度不变，求排出气体的质量。-.word.zl-\n--解：根据题意，可知：，，。由于温度不变，∴，有：，那么，逃出的气体在下体积为：，这局部气体在下体积为：那么排除的气体的质量为：。根据题意，可得：，9-3．如下图，两容器的体积一样，装有一样质量的氮气和氧气。用一壁光滑的水平细玻璃管相通，管的正中间有一小滴水银。要保持水银滴在管的正中间，并维持氧气温度比氮气温度高30oC，那么氮气的温度应是多少？解：氮气和氧气质量一样，水银滴停留在管的正中央，那么体积和压强一样，如图。由：，有：，而：，，可得：。9-12．容器的体积为2V0，绝热板C将其隔为体积相等的A、B两个局部，A储有1mol单原子理想气体，B储有2mol双原子理想气体，A、B两局部的压强均为p0。〔1〕求A、B两局部气体各自的能；〔2〕现抽出绝热板C，求两种气体混合后到达平衡时的压强和温度。解：〔1〕由理想气体能公式：A中气体为1mol单原子理想气体：，B中气体为2mol双原子理想气体：；〔2〕混合前总能：，由于，，∴，那么：；混合后能不变，设温度为，有：∴；。10-1．如下图，、是绝热过程，是等温过程，是任意过程，组成一个循环。假设图中所包围的面积为，所包围的面积为，CEA过程中系统放热，求-.word.zl-\n--过程中系统吸热为多少？解：由题意可知在整个循环过程中能不变，图中为正循环，所包围的面积为，那么意味着这个过程对外作功为；为逆循环，所包围的面积为，那么意味着这个过程外界对它作功为，所以整个循环中，系统对外作功是。而在这个循环中，、是绝热过程，没有热量的交换，所以如果CEA过程中系统放热，由热力学第一定律，那么过程中系统吸热为：。10-5一定量的理想气体在从体积V1膨胀到V2的过程中，体积随压强的变化为V=，其中a为常数。求：(1)气体对外所做的功；(2)始末状态气体能之比。解：〔1〕气体所做的功为：；〔2〕考虑到V=，变形有，上式用代入得：，再利用理想气体状态方程，有：而∴由于，∴，，始末状态气体能之比为：。10-17．一可逆卡诺机的高温热源温度为127℃，低温热源温度为27℃，其每次循环对外做的净功为8000J。今维持低温热源温度不变，提高高温热源的温度，使其每次循环对外做的净功为10000J，假设两个卡诺循环都工作在一样的两条绝热线之间。求：〔1〕第二个热循环机的效率；〔2〕第二个循环高温热源的温度。解：根据卡诺循环效率公式：，-.word.zl-\n--而：，有：，由于在同样的绝热线之间，且维持低温热源温度不变，他们向低温热源吸收的热量相等，所以第二个热机的效率为：，再考虑到它是通过提高高温热源的温度到达目的的，可利用，有：-.word.zl-