大学物理专题

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关于自由电荷的分布例1：真空中球形导体系统，如图所示，A是个球形导体，B、C为与A同心的球壳导体。已知各导体带电量分别为QA、QB和QC，求从内到外五个导体表面上的电量q1、q2、q3、q4和q5分别为多少？ABC\n解：A球外表面：q1=QA应用高斯定理和电荷守恒定律可得：B壳内表面：q2=-QA外表面：q3=QA+QBC壳内表面：q4=-(QA+QB)外表面：q5=QA+QB+QC\n结论：当多层导体腔（不一定是球形）不接地时每一层导体的内表面带电量与它包围的电荷代数和等值反号，其外表面带电量等于该层导体的带电量与导体层包围的电量的代数和。注意：（1）当最外层接地时，接地层外表面不带电，其余各表面带电情况仍如上述。（2）但当某内层导体接地时，上述结论不适用。\n例2：两个无限大不接地的带电导体平板A和B平行放置，电荷怎样分布？相对两面的面电荷密度σA1和σB1有什么关系？相背两面的面电荷密度σA2和σB2有什么关系？（以前讲过的例题）σA1＝－σB1σA2＝σB2AB\n结论：对于两个无限大不接地的带电导体平行平板（不管各板带电量的大小与正负如何），相对两面上面电荷密度总是等值反号，σA内＝－σB内。相背的两面上面电荷密度总是等值同号，σA外＝σB外[思考]若A、B中有一个板的外侧接地，电荷又如何分布？\n关于导体接地问题例3：接地导体附近有一个带电体时，接地端是否一定没有电荷？请判断如图(a)和(b)两个分图，哪一个是正确的？＋＋+++(a)(b)BAAB\n解：当导体附近有一个带电体时，接地端不一定没有电荷。图(a)是正确的。即当导体靠近带电体的一端接地时，接地端仍有电荷。反证法证明：若接地端的负电荷全部转移到地球，远端保留正电荷如图(b)，则必有电场线从这些电荷发出。这些电场线不能终止于B（同种电荷），也不能终止于自身或地球（等电势），也不能终止于无穷远处（因为UA=U地＝0，及U无穷），因此A上不可能有正电荷，只可能有与B的电荷异号的负电荷。A上的负电荷应在靠近B的一端，与接地在何处无关。\n例4：设有导体空腔A，带有电荷+Q，空腔内有带电+q的导体B，问：A接地或B接地的情况下，接地的导体面是否都没有电荷？对这两种情况分别说明电荷分布情况，并定性图示出电荷分布和电场线分布的情况。AB\n解：两种情况不一样。当外球壳A接地时，其外表面的电荷全部转移到地球，球壳A的内表面保留与内球B具有等值异号电荷－q，这样保证了导体的静电平衡条件和UA=U地＝0，及U无穷＝0。其电荷分布和电场线如下图。AB(a)＋＋＋＋＋＋＋－－－－－－－－－－－－－－－－\n当内球B接地时，内球上的电荷与地球上的电荷可以相互转移，外球壳A的内、外表面电荷也都要重新分布，以达到导体静电平衡和接地内球B的电势UB=U地＝0，及U无穷＝0。的结果。静电平衡后，内球B带电由＋q变为－q，，外球壳的内表面带＋q，，外表面带电Q－q，。AB(b)＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋－－－－－\n1.反证法：假设达到静电平衡后内球B仍带正电，则外球壳A的内表面带与之等量的负电，A的外表面的带正电。于是一方面有电场线从内球表面发出终止于外球壳A的内表面，因为电场线总是从高电势点到地电势点，说明UA＜UB=0（因接地）；另一方面，有电场线从外球壳A的外表面发出延伸到无穷远处，又说明UA＞U无穷=0。于是同时有UA＜0和UA＞0的互相矛盾的结论，所以此接地内球B的电荷不能是正电，只能是负电。\n2.计算证明：设静电平衡后接地内球B带电量q1(正负待定)，则外壳A的内表面带电－q1，外表面带电Q+q1，由电势叠加原理和U地＝0，得内球的电势可以求出因故q1＜0，即内球B带负电。\n结论：当导体接地时，导体与地球是等电势。接地端导体表面不一定没有电荷，有限大导体接地表面的电荷分布可由U导体＝0和U地＝0共同决定。\n关于平行板电容器内插入电介质例5：平行板电容器接通电源后，在下列两种条件下平行插入均匀电介质板（相对介电常数）且充满电容器。（1）插入电解质前后，电容器始终连接着电源。（2）电容器充电后断开电源再插入电介质解：首先弄清前提条件。始终连接电源的情况，插入介质板前后两板间的电势差不变（但极板上电量改变）；充电后断开电源再插入介质板，则极板上电量不变（但电势差改变）。\n比较：（1）电量比较：电容器始终电源的情况下，插入电介质板后，介质的影响是削弱原有场强（对一定的电量而言），要维持电势差不变，则要求极板上电量增加；而断开电源后插入介质板的情况下电量不变。（2）电容比较：电容器电容由它本身的几何因素和极板间的电介质因素决定，故电容一致。但都比插入前大。（3）储能情况，前者与插入前比较，电能增大，后者与插入前比较，电能减少。（4）场强：前者场强取决于极板电量和介电常数，后者场强减小。\n[思考1]：如果介质板不能充满电容器（如图），则情况如何？[思考2]如果不是介质板而是金属板，则情况如何？\n习题例1：关于电场强度与电势之间的关系，下列说法中，哪一种是正确？(A)在电场中，场强为零的点，电势比为零。(B)在电场中，电势为零的点，电场强度必为零。(C)在电势不变的空间，场强处处为零。(D)在场强不变的空间，电势处处相等。[C]\n例2：关于静电场中某点电势值的正负，下列说法中正确的是：(A)电势值的正负取决于该点的试验电荷的正负。(B)电势值的正负取决于电场力对试验电荷做功的正负。(C)电势值的正负取决于电势零点的选取。(D)电势值的正负取决于产生电场的电荷的正负。[C]\n例3：静电场中某点电势的数值等于(A)试验电荷qo置于该点时具有的电势能。(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能。(C)单位正电荷置于该点时具有的电势能。(D)把单位正电荷从该点移至电势零点外力所作的功。[C]\n例4：在静电场中，有关静电场的电场强度与电势之间的关系，下列说法中正确的是：(A)场强大的地方电势一定高。(B)场强相等的各点电势一定相等。(C)场强为零的点电势不一定为零。(D)场强为零的点电势必定为零。[C]\n例5：在已知静电场分布的条件下，任意两点P1和P2之间的电势差决定于P1和P2两点的位置。(B)P1和P2两点处的电场强度的大小和方向。(C)试验电荷所带电荷的正负。(D)试验电荷的电荷量。[A]\n例6：在均匀电场中各点，下列物理量中：(1)电场强度、(2)电势、(3)电势梯度，哪些是相等的？(1)、(2)、(3)相等。(1)、(2)相等。(1)、(3)相等。(2)、(3)相等。只有(1)相等。[C]\n例7：已知一高斯面所包围的体积内电量的代数和∑qi＝0，则可肯定：高斯面上各点场强均为零。穿过高斯面上每一面元的电通量均为零。穿过整个高斯面的电通量为零。以上说法都不对。[C]\n例8：高斯定理适用于任何静电场。只适用于真空中的静电场。只适用于具有球对称性、轴对称性和平面对称性的静电场。只适用于虽然不具有(C)中所述对称性、但可以找到合适的高斯面的静电场。[A]\n例9：一个带有正电荷的均匀带电球面外，放置一个电偶极子，其电矩P的方向如图所示，当释放后，该电偶极子的运动主要是：(A)沿逆时针方向旋转，直至电矩P沿径向指向球面而停止。(B)沿逆顺时针方向旋转，直至电矩P沿径向朝外而停止。(C)沿顺时针方向旋转直至电矩P沿径向朝外，同时沿电力线远离球面移动。(D)沿顺时针方向旋转直至电矩P沿径向朝外，同时逆电力线向着球面移动。Pr＋＋＋＋＋＋＋＋[D]\n例10：如图所示，在坐标(a,0)处放置一点电荷＋q，在坐标(-a,0)处放置另一点电荷－q，P点是Y轴上的一点，坐标为(0,Y).当Y远远大于a时，该点场强的大小为：YP(0,Y)-q+q-a+ax(A)(B)(C)(D)[C]\n例11：图示为一具有球对称性分布的静电场的E～r关系曲线，请指出该静电场由下列哪种带电体产生的。半径为R的均匀带电球面。半径为R的均匀带电球体。半径为R、电荷体密度ρ＝Ar(A为常数)的非均匀带电球体。半径为R、电荷体密度ρ＝A/r(A为常数)的非均匀带电球体。ErRE[D]\n例12：当一个带电导体达到静电平衡时：表面上电荷密度较大处电势较高。表面曲率较大处电势最高。导体内部电势比导体表面的电势高。导体内任意一点与其表面上任一点的电势差等于零。[D]\n-++++---例13：把A、B两块不带电的导体放在一带正电的电场中，如图所示，设无限远处为电势零点，A的电势为UA，B的电势为UB，则(A)UB＞UA≠0.(B)UB＞UA＝0.(C)UB=UA.(D)UB＜UA.++++++++--+++--AB[D]\n例14：图示为一均匀带电球体，总电量为+Q，其外部同心地罩一内、外半径分别为r1、r2的金属球壳，设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r的的P点处的场强和电势为：r(A)，(B)，(C)(D)，，+QPrr2r1[D]\n例15：如图所示，一带负电荷的金属球，外面同心地罩一不带电的金属球壳，则在球壳中一点P处的场强大小与电势（设无穷远处为电势零点）分别为：(A)E=0,U＞0.(B)E=0,U＜0.(C)E=0,U=0.(D)E＞0,U＜0.[B]P\n例16：一半径为R的薄金属球壳，带电量为－Q.设无穷远处电势为零，则球壳内各点的电势Ui可表示为：(A)(B)(C)(D)[B]\n例17：一带电大导体平板，平板二个表面的电荷面密度的代数和为σ，置于电场强度为E0的均匀外电场中，且使板面垂至于E0的方向。设外电场分布不因带电平板的引入而改变，则板附近左、右两侧的合场强为：(A)(B)(C)(D)σE0[A]\n例18：半径分别为R和r的两个金属球，相距很远，用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。在忽略导线的影响下，两球表面的电荷面密度之比σR/σr为(A)R/r(B)R2/r2(C)r2/R2(D)r/R[D]\n例19:一带电量q半径r的金属球A，放在内外半径分别为R1和R2的不带电金属球壳B内任意位置，如图所示。A和B之间及B外均为真空，若用导线把A、B连接，则A球电势为(设无穷远处电势为零)为：(A)0(B)(C)(D)(E)ABrO’oR1R2[D]\n例20：已知均匀带正电圆盘的静电场的电力线分布如图所示，由这电力线分布图可以断定圆盘边缘处一点P的电势UP与中心的电势UO的大小关系是(A)UP＝UO(B)UP＜UO(C)UP＞UO(D)无法确定的（因不知场强公式）[B]OP\n例21：在一点电荷产生的静电场中，一块电介质如图放置，以点电荷所在处为球心作一球形闭合面，则对此球形闭合面：高斯定理成立，且可用它求出闭合面上各点的场强。高斯定理成立，但不能用它求出闭合面上各点的场强。由于电介质不对称分布，高斯定理不成立。即使电介质对称分布，高斯定理也不成立。电介质q[B]\n例22：在一静电场中，作一闭合曲面S，若有(式中为电位移矢量)，则S面内必定既无自由电荷，也无束缚电荷。没有自由电荷。自由电荷和束缚电荷的代数和为零。自由电荷的代数和为零。[D]\n例23：一空气平行板电容器，极板间距为d，电容为C，若在两板中间平行地插入一块厚度为d/3的金属板，则其电容值变为(A)C.(B)2C/3(C)3C/2(D)2C[C]\n例24：将一空气平行板电容器接到电源上充电到一定电压后，在保持与电源连接的情况下，再将一块与极板面积相同的金属板平行地插入两极板之间，如图所示，金属板的插入及其所处位置的不同，对电容器储存电能的影响为：储能减少，但与金属板相对极板的位置无关。储能减少，但与金属板相对极板的位置有关。储能增加，但与金属板相对极板的位置无关。储能增加，但与金属板相对极板的位置有关。\n例25：C1和C2两空气电容器串联以后接电源充电，在电源保持连接的情况下，在C1中插入一电介质板，则C1极板上电量增加，C2极板上电量增加。C1极板上电量减少，C2极板上电量增加。C1极板上电量增加，C2极板上电量减少。C1极板上电量减少，C2极板上电量减少。C1C2[A]