计算机辅助设计教（学）案制造技术

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........计算机辅助设计与制造技术.专业学习资料.\n........CAD基本理论第一章、CAD/CAM技术理论基础第一节、概述计算机辅助设计和计算机辅助制造的基本意思是指产品设计和制造技术人员在计算机系统的支持下，根据产品设计和制造流程进行设计和制造的一项技术，也是人类智慧与系统中的硬件和软件功能巧妙的结合。然而，如果用途不同，则CAD/CAM系统中的硬件和软件的配置与组织也是不一样的，这才能有效地用于某类工程或产品的设计与制造的全过程，即包括方案设计、总体设计与零件设计以及加工和装配。由于CAD/CAM技术还在不断发展，而且，不同领域对CAD/CAM技术的应用程度也有不同，所以，目前对CAD/CAM技术的含义的理解也略有差异。可以预料，随着计算机技术的发展，CAD/CAM技术帮助技术人员完成查品设计和制造的范围将不断扩大和完善，对其含义的理解将会逐渐接近一致。CAD/CAM技术本身是一项综合性的、技术复杂的系统工程，涉及许多学科领域，如计算机科学和工程，计算数学，几何造型、计算机图形显示、数据结构和数据库、仿真、数控、机器人和人工智能学科和技术以及与产品设计和制造有关的专业知识等。CAD/CAM技术具有自己的特点和发展规律，而且，随着电子科学技术的发展和不断地向前发展，需要人们不断地去探索和研究，使其更加完善。.专业学习资料.\n........当今，CAD/CAM技术的优点已为越来越多的人共识。1985年，一位美国制造业专家W。H。Slatterback曾预言，从1985年到2000年中，美国的制造业面临的变化将比本世纪前75年的变化要大得多，其根本原因是CAD/CAM技术的应用。目前，在工业发达的国家中，不仅将CAD/CAM技术广泛用于宇航、电子和机械制造等工程和产品生产领域，而且逐渐发展到服装、装饰、家具和制鞋等领域。另外，该技术是计算机集成化制造系统——CIMS的技术基础之一，所以，当今世界上许多国家与有关部门都十分重视对该技术的投资。总之，CAD/CAM技术的普及应用不仅对传统产业的改造、新兴产业的发展、劳动生产率的提高、材料消耗的降低、国际竞争能力的增强均有巨大的带头作用，而且CAD/CAM技术及其应用水平正成为衡量一个国家科学技术现代化和工业现代化水平的重要标志之一。我国大力推广CAD/CAM技术，是科研单位提高自主研究开发能力、企业提高应变能力和提高劳动生产率的重要条件，是促进传统技术发生革命性变化的重要手段，是缩短与发达国家的差距，把国民经济搞上去，实现社会主义现代化建设目标的重要措施，是一项刻不容缓的战略任务。为此，进入90年代后，我国的科学技术和工业部门都先后指定了发展和推广CAD/CAM技术的计划，并对所属部门提出了具体要求。所以，推广应用CAD/CAM技术的范围将不断扩大。第一节、CAD/CAM技术发展简介.专业学习资料.\n........不管是产品还是工程设计，最后都要生产符合要求的工程图纸或数控加工信息，而且，在设计过程中的各个阶段要以图形显示出各阶段的设计结果。所以，计算机图形学和图形显示技术是CAD/CAM技术的重要基础之一。也就是说，CAD/CAM技术的发展是与它们的发展密切相关。40年代计算机问世，直至50年代中期，计算机的使用尚不普遍，而且主要是用于科学计算。当时，尽管在计算机系统中已经开始配置了图形显示器，但由于计算机图形学的理论还没有形成，而且当时显示器的性能较差，所以，尚未具备人—机交互功能。如美国麻省理工学院的旋风号计算机就是这样的系统。但是到了50年代末期，美国麻省理工学院林肯实验室研制的空中防御系统就能将雷达的信号转换为显示器上的图形，操作者可以用光笔指向显示屏幕上的目标来拾取所需的信息，这种功能的出现预示着交互图形生成技术的诞生。1963年，美国麻省理工学院的I。E。Sutherland在他发表的博士论文中提出了SKETCHPAD系统。在该系统中用的计算机是TX2，可以用光笔在图形显示器上实现选择、定位等交互功能。而且，计算机可根据光笔指定的点画出直线，或者当光笔指定圆心或半径后画出圆等。另外该系统对符号和图案的存储采用分层的数据结构。即一幅完整的较复杂的图形可以通过分层调用各有关子图来合成。尽管该系统还是较原始，但是这些基本理论和技术至今仍是CAD/CAM技术的基础，十分有用。所以，I。E。Sutherland的SKETCHPAD系统被公认为对交互图形生成和显示技术的发展奠定了基础。交互图形生成技术的出现，促进了CAD/CAM技术的迅速发展。60年代中期后，美国的一些大公司都十分重视这一技术，并投入相当资金对CAD/CAM技术进行研究和开发，研制了一些CAD系统。如IBM公司的SMS、SLT/MST设计自动化系统和洛克希德公司研制的主要用于二维绘图CADAM系统。美国通用汽车公司为设计汽车车身和外形而开发的CAD—.专业学习资料.\n........1系统，该系统是在大型计算机上运行的，成为该公司设计小轿车和卡车的比不可少的工具。在此期间，美国的CDC公司也开发了作为商品销售的DigigraphicCAD系统。这一时期CAD/CAM系统的特点是：规模庞大，价格昂贵。所以，只有经济实力雄厚和技术力量较强的大型企业和研究单位才能研究和应用CAD/CAM技术。从60年代末期至70年代中期，CAD/CAM技术的发展较快，已有商品化的硬件和软件。由于在这一时期计算机硬件的性能价格比不断完善，主要特点是图形输入板，大容量的磁盘存储器和廉价的存储管显示器等相继出现，以及数据管理系统等软件的开发等。以小型和超级小型计算机为主主机的CAD/CAM系统进入市场并成为主流。接着出现了一批专门经营CAD/CAM系统硬件和软件的公司，如ComputerVision、Intergraph、Calma、Application等。这些CAD/CAM系统的特点是硬件和软件配套齐全，因此人们称它为“交钥匙”系统。与大型计算机CAD/CAM系统相比，其价格相对便宜，使用和维护也相对简单一些，这也是CAD/CAM技术得到进一步发展和扩大应用范围的原因。在这一时期内，CAD/CAM系统的应用领域主要集中在航空、电子和机械工业部门，同时对三维几何造型也开始研究。70年代末以后，32位工作站和微型计算机的出现对CAD/CAM技术的发展起了极大的推动作用。32位工作站是属单位用的计算机系统，具有较高的响应速度，它特别适用于CAD/CAM系统。而且，32位工作站之间可以联网，以达到共享系统内的资源和发挥各台计算机的特点。因此，可以根据工作需要和经济条件以及CAD/CAM技术的发展等逐步投资，逐步发展和扩大CAD/CAM系统的功能和规模。.专业学习资料.\n........80年代中期后，这种以工作站为基础的CAD/CAM系统发展很快，其功能达到甚至超过小型机CAD/CAM系统。可以预见，这种系统将成为CAD/CAM系统的主流。这种系统的制造厂商只提供硬件和系统软件，而应用软件则由其它专门开发软件的公司研制和销售。近年来在我国市场上销售这类产品的公司有IBM公司、HP公司、SUN公司、DEC公司、SGI公司等，产品的种类很多，各有特点。由于微型计算机的性能和价格比的提高，目前以PC386、486为主机的CAD/CAM系统不断增加。该系统的特点是容量小，处理速度慢，但价格十分便宜，应用软件丰富，便于学习和维护。另外还可以进入网络系统共享资源，并可以替代工作站完成一部分CAD/CAM作业，很适合中、小型企业和刚开始应用CAD/CAM技术的单位。我国在CAD/CAM技术方面的研究开始于70年代中期，当时主要是研究开发二维绘图软件，并利用绘图机输出二维图形。主要研究单位是高等学校。航空和造船工业是应用CAD/CAM技术较早的部门。80年代初，有些大型企业和设计院成套引进CAD/CAM系统（主要是TurnkeySystem）。在此基础上进行开发和应用，取得了一定的成果。随着改革开放和发展商品经济的需要，在80年代中后期，我国的CAD/CAM技术有了较大的发展，而且CAD/CAM技术的优点被越来越多的人所注意。进入90年代后，各工业部门普遍提出了开发CAD/CAM技术.专业学习资料.\n........的计划，主要表现在以下几个方面：部分单位已较好地应用CAD/CAM技术，提高设计质量，取得了经济效益；CAD/CAM技术的理论和软件开发进行了大量的研究，并取得了成果（如清华大学、浙江大学、西北工业大学、北京航空航天大学、中科院计算所等）。进入90年代后，国家科委、各工业部门都十分重视CAD/CAM技术的发展，并有计划、有步骤地在全国各地CAD/CAM培训基地，对有关人员CAD/CAM技术方面的培训，以提高有关人员CAD/CAM素质。与此同时，有些工业部门还对所属单位提出应用CAD/CAM技术的具体要求。第一节、CAD/CAM系统的组成及基本类型一般讲，一个CAD/CAM系统是由一系列必要的硬件和软件组成的，如图1所示。根据系统的要求，硬、软件的配置可能有所不同。而最底的硬、软件配置，以满足系统的基本功能为目标。系统软件和硬件的组成，基本如图2和图3所示，但对某一具体系统可能有些差异。图1、CAD/CAM系统的基本结构图2、CAD/CAM系统硬件配置图3、CAD/CAM系统软件配置由于使用要求不同，CAD/CAM系统的基本配置也有所不同。CAD/CAM系统的类型可按系统的功能分，也可以按系统的硬件配置分。按系统的功能一般分为通用型CAAD/CAM系统和专用的CAD/CAM系统。通用型CAD/CAM系统功能适用范围很广，其硬件和软件配置也相对比较丰富。而专用CAD/CAM系统是为了实现某些特殊功能的系统，其硬件和软件的配置相对简单，但要符合特殊功能的要求。.专业学习资料.\n........按组成CAAD/CAM系统所用的计算机类型的不同，一般可以分为四类：（1）大型机CAD/CAM系统该系统一般采用具有大容量的存储器和极强计算功能的大型通用计算机为主机，一台计算机可以连接几十至几百个图形终端和字符终端及其它图形输入和输出设备。主要优点是：系统具有一个大型的数据库，可以对整个系统的数据实行综合管理和维护；计算速度极快。主要缺点是：如果CPU失效，则整个用户都不能工作；由于计算机数据库处于中央位置，计算机数据容易被破坏；终端距离不能太远；随着计算机的总负荷增加，系统的响应速度将降低。该系统一般都用在大型的飞机制造和船舶制造等公司。系统的成本很高，一般中小型企业不可能承受。有代表性的主机如DEC公司的VAX8800和VAX9000系列；IBM公司43XX、30XX和3090E系列等大型机等，系统的应用软件主要有美国洛克希德公司的CADAM和麦道公司的UGII及法国索达公司的CATIA等。（2）小型机CAD/CAM系统生产、制造这类系统的厂商很多，如美国的CV，Intergraph，Calma，Application，Autotrol，Unigraphics等公司。在它们中间生产的产品大致可以分为两种类型。CV公司生产的是属于全封闭系统。该公司曾投入了大量的人力和物力进行硬件和软件的开发。CADDS4系统就是一个典型代表。当时，这类产品在世界上的销量相当大。另外一些厂商，如Intergraph，Application，Unigraphics，Calma等公司，它们采用了与CV公司完全不同的策略，即选择通用的计算机，如VAX和Micro—.专业学习资料.\n........VAX等计算机作为系统的硬件环境，有时它们也自己研制和生产一些专用的图形处理设备和高性能的图形显示器。这类系统的优点是软件的移植性较好，用户有较大的主动权，而且软件的研制者不必在硬件生产上分散精力。后来CV公司也逐步改变了自己的策略，逐渐向具有兼容性的硬件环境方向发展。通过使用，人们逐渐发现了这类小型机系统有一定的局限性。如系统的计算能力差，它的扩充能力也受到限制等。而且，不同系统之间的数据存储格式不相同，影响不同系统之间的数据交换。80年代中期，由于分布式工作站的问世和异种机之间联网技术的发展，促进了这种独立系统向开放式系统发展，而系统使用的软件也逐步向工业标准方向靠拢。从目前来看，这种类的CAD/CAM系统将越来越少。当前，在我国使用DEC公司生产的VAX系列计算机叫多，且国内已能生产某种VAX系列的兼容机，并对其操作系统MVS等方面做了一些汉化工作。（1）工作站组成的CAD/CAM系统80年代初期以后，32位的工作站问世，以工作站为基础的CAD/CAM系统与分时系统的小型机CAD/CAM系统不同，一台工作站只能一人使用，并且具有联网功能。其处理速度很快，一般都赶上或超过了过去的小型和中型计算机的速度，如SunSparc系列工作站的CPU处理速度已达到28。5MIPS，它比IBM4381和VAX780小型机的处理速度高几倍到几十倍。当前某些高档工作站的处理速度更高，它以达到甚至超过小巨机的水平。这类工作站一般都采用RISC技术和开放系统的设计原则，用UNIX作为它们的操作系统。（2）PC微机组成的CAD/CAM系统.专业学习资料.\n........随着微机性能的不断提高，价格的不断下降，以PC机组成的CAD/CAM系统近年来不断增多。由于Intel公司以80286，80386芯片取代了原来的芯片后，使得微机的运行速度大大提高，而且内存容量也不断扩大，图形显示器分辨率已达到1024X768，彩色位数也增加。以386（配上浮点运算器）或486微机为基础，配上相应的软件与图形输入输出设备，就可以组成一套微机CAD/CAM系统。目前以PC微机为主处理机的CAD/CAM系统除了用于进行二维绘图以外，还能做三维几何造型和有限元分析计算工作。目前在微机上运行的软件主要是AutoCAD和PD（PersonalDesigner）等，但随着微机性能的进一步提高，将来有可能用它进行复杂的三维造型和计算，甚至可取代低档工作站。值得一提的是，由于网络技术的发展，现在微机已能与大型机、小型机和工作站联网，成为整个网络的一个结点，共享大型机和工作站等的资源。这样，大型机系统、工作站系统和PC机系统就不再相互割裂，而成为一个有机的整体，在网络中发挥各自的优点，使得原来要在小型机和工作站上进行的CAD/CAM工作可由微机来完成。.专业学习资料.\n........第一节、CAD/CAM系统应具备的基本功能1.1、CAD/CAM作业过程图4、产品设计和制造过程流程图CAD/CAM技术是计算机在工程和产品设计与制造中的应用。设计过程中的需求分析、可行性分析、方案论证、总体构思、分析计算和评价以及设计定型后产品信息传递都可以由计算机来完成。在设计过程中，利用交互设计技术，在完成某一设计阶段后，可以把中间结果以图形方式显示在图形终端的屏幕上以供设计者直接地分析和判断。设计者判断后认为还需要进行某些方面的修改，可以立即把要修改的参数输入计算机，计算机对这一批新数据立即进行处理，再输出结果，再判断，再修改，这样的过程可反复多次，直至取得理想的结果为止。最后用绘图机输出工程图纸或数控加工纸带和有关信息供制造过程应用。整个设计与制造过程如图4所示。1.2、CAD/CAM系统应具备的基本功能不同的CAD/CAM系统，一般有各种不同的功能要求，但就通常用于机—电产品设计制造的CAD/CAM系统讲，它应具备有以下几个方面的处理能力。.专业学习资料.\n........（1）交互图形输入和输出功能在CAD/CAM作业过程中，一般都要用交互方法来生成和编辑图形。为了实现上述功能，系统必须具有合适的硬件和软件。（2）几何造型功能几何造型功能是CAD/CAM系统图形处理的核心。因为CAD/CAM作业的后续处理否市在几何造型的基础上进行的，所以，几何造型功能的强弱，在较大程度上反映了CAD/CAM系统的功能。通常几何造型又分为曲线、曲面造型与实体造型等。a、曲线和曲面造型。这里讲的曲线和曲面是指这样的曲线和曲面，即根据一些给定的离散点和相应的要求构造的曲线和曲面。如Bezier曲线曲面、B样条曲线曲面等。用这些方法可以设计出非常复杂的曲线和曲面，同时，也可以用它描述解析曲线和曲面。这些曲线曲面在航空、造船和汽车制造工业应用很广，在有限元网格划分中也非常有用。b、实体造型。一个实体造型系统，必须具有基本形体的定义输入功能，由简单体素经过逐步的布尔运算生成复杂物体的功能和形体输出功能，以及一些局部修改操作功能。为了各种操作的需要，在一个实体造型系统中必须具备几种功能较强的表示方法，如构造实体几何表示法（CSG）、边界表示法（B—Rep）等，并且各种表示法之间能相互进行转换。集合运算是实.专业学习资料.\n........体造型的核心，它的运算能力和可靠性及效率对系统的性能影响较大。在实体造型系统中必须有一个高效、可靠的集合运算功能。另外，为实时地观察、检查设计对象是否正确，并真实地表示出设计对象的形态，造型系统必须具有真实感显示功能，如消除隐藏线（面）、色彩明暗处理能力。还有，为了防止有关零件部件发生相互干涉，系统还必须具有空间布局和干涉检查功能。为了CAD/CAM集成系统的需要，有时还要求造型系统具有更强的造型功能，而且随着集成技术的发展，造型功能将显得更为重要。在产品总体和结构设计时，为了便于观察和修改，一般都采用三维图形显示表示。而设计结束后，为了加工制造和图纸管理，往往要求输出二维工程图纸，这就要求系统具有从三维图形转变为二维图纸的功能。另外，当事先已有二维图形时，要求通过二维图形生成三维图形的功能。还有，在设计过程中，往往要反复进行修改，为了保持修改的统一性，避免发生混乱，当对三维图形进行修改时，要求系统能自动修改二维图形对应部分。相反，当修改了二维图形后，系统能自动修改三维图形的对应部分。这就是所谓的二、三维联动。二、三维联动和转换在产品设计过程中是十分有用的，所以，一个好的几何造型系统应具备这方面的功能。过去，曲线曲面造型和实体造型是分开进行研究和设计的，现在可用非均匀有理B样条统一表示曲面和平面组成的实体，如果具有这种功能，系统的造型能力将会更强，使用也更方便。c、物体几何特性计算功能。在产品设计和制造过程中，材料供应部门为了能及时准备各种材料，要求设计者提供产品所需材料的数据，在分析计算时，往往需要知道物体的体积质量、重心以及对某轴的转动惯量等数据，所以，CAD/CAM系统应具有提供这些数据的功能。（1）有限元分析功能在产品和工程设计过程中对整个产品（工程）及.专业学习资料.\n........其中重要受力零部件必须进行静、动力（应力、应变和系统固有频率）的分析计算；对高温下工作的产品除了进行上述分析计算外，还要进行热变形（热应力、应变）分析计算；在电子工程设计中，有时还要进行电磁场的分析计算；在飞行器和水利工程设计中，还要对流场及其流动特性进行分析计算。现在一般都采用有限元法对上述的各种要求进行分析计算。特别是对一些复杂构件用此方法分析计算不仅简单，而且精度较高。一个较好的完善的有限元分析系统应包括前处理、分析计算和后处理三个部分。前处理，就是对被分析的对象进行有限元网格自动划分；分析计算就是计算应力、应变、固有频率等数值；后处理就是对计算的结果用图形（等应力线、等温度线。。。。。。）或用深浅不同的颜色来表示应力、应变、温度值等。这些功能在设计过程中是十分重要的。（1）优化设计功能优化设计是现代设计方法学的一个组成部分。一个产品或工程的设计实际上就是寻优的过程，就是在某些条件的限制下使产品和工程的设计指标达到最佳。在CAD/CAM系统中应具有优化求解功能。（2）处理数控加工信息功能系统应具有处理二至五坐标数控机床加工零件的处理能力，其中包括自动编程和动态模拟加工过程的功能。（3）统一的数据管理功能一个CAD/CAM系统在设计过程中要处理的数据不仅数量大，而且类型也较多，其中包括数值型和非数值型数据，有些数据还是动态的，即随着设计过程不断变化。为了统一管理这批数据，在CAD/CAM系统中必须具有一个工程数据库管理系统（EDBMS）以及在它管理之下的工程数据库。否则，如果用数据文件来存储，就可能产生一些不必要的麻烦。.专业学习资料.\n........（1）二维绘图功能当前，在产品生产过程中，二维工程图纸还是传递产品信息的一种方式。因此，一个CAD/CAM系统应具有适合我国工程图纸绘制要求的二维绘图能力。第一节、当前CAD/CAM系统常用软件1.1、在微机上运行的CAD/CAM软件（1）PD（PersonalDesigner）软件它是美国CV公司推出的CADDS软件的微机版本。该软件包括几何造型和图形处理、辅助机械工程设计和曲面设计等模块。（2）Micro—CADAM软件CADAM是由美国洛克希德飞机公司开发的CAD/CAM软件包。它是CADAM在微机上运行的版本，所以，一般又称之为小CADAM。该软件的功能较强，使用方便。交互设计是它的主要模块，提供二维设计、绘图和标注尺寸等功能。（3）Micro—Station软件该软件是目前微机CAD中功能较强的软件之一，具有以下特点：系统命令类型多，图形绘制、编辑和图形显示等主要操作命令的屏幕响应速度很快；能支持双屏幕工作，用功能键进行屏幕切换，每个屏幕可以同时打开1—4个视图；具有较强的三维功能，可以透视、消隐、设置光源、光色效应好；提供与DBASEIII和PLUS数据库的接口，对数据处理较方便。（4）3D—Product软件.专业学习资料.\n........具有较强的三维几何造型功能，其特点是能进行参数化设计，属于最新推出的微机CAD应用软件。（1）CADKEY软件能进行二维图形设计和绘图，并具有三维线框图形设计功能。（2）AutoCAD软件AutoCAD是用于二维图形设计和绘图的软件，但10。0版本加强了三维功能，能为用户提供良好的二次开发环境。它是国内应用较广的微机CAD软件。1.1、工作站和中小型机上运行的CAD/CAM软件（1）I—DEAS软件I—DEAS是美国SDRC公司开发的。1991年推出6。0版本，是当前计算机辅助机电产品设计制造软件中功能较强的软件之一。在6。0版本之中增加二和三维联动和变量设计等功能。主要功能和特点：a、三维几何造型程序是三维交互实体造型的工具，其中包括三维造型、零部件装配和机构设计分析三个模块，并可以进行空间干涉检查和机械特性分析；b、二维图形设计和绘图模块，在三维造型符合要求后，利用此模块可以生成二维零部件图形，输出二维工程图纸；c、有限元分析模块，其中包括有限元的前处理模块、有限元分析计算模块、以及有限元后处理模块，可以进行静、动力学，电磁场和温度场的分析计算；d、优化分析设计模块，在进行零件设计时，可以使应力、位移和重量等参数在满足一定约束条件下达到最佳结果，实现零件最优化设计；e、系统动力仿真模块，可以对复杂系统进行动力特性模拟，并以图形的形式显示出分析结果，评价设计结果的正确程度；f、桁架结构分析模块，主要用于桁架的静、动力学分析计算；.专业学习资料.\n........g、数据处理模块，是用于实验室试验数据采集分析与显示的功能模块；h、塑料模具设计流动分析模块；i、数控加工模块。该软件可以在多种计算机或工作站上运行。（1）CATIA软件CATIA是法国达索公司研究开发的三维几何造型功能较强的交互式的CAD/CAM软件，曲面造型功能更为突出。该软件由四个基本模块组成：a、三维线框几何造型模块，这是CATIA软件的基础模块，是其它功能模块的基础，包括三维交互线框几何建模、数据库管理和绘图机输出等功能；b、曲面设计和数控加工模块。该模块包括三维复杂曲面设计和输出数控加工信息；c、实体几何造型模块，生成图形速度极快；d、运动学模拟模块等。该软件的特点是：a、CATIA软件与CADAM软件可以方便地联合使用，数据交换很方便；b、三维曲面造型功能极强；c、能进行二维和三维图形的转换；d、能输出二维工程图纸和数控加工信息；e、能进行机构的动态模拟等。该软件过去主要在中型机（如IBM4300系列）上运行，近年推出可在工作站上运行的CATIA软件。（2）CADAM软件CADAM是美国洛克希德飞机制造公司研制开发的大型CAD/CAM软件。在中型和工作站上运行的CADAM称之为大CADAM，以便与Micro—CADAM区别。CADAM是一个兼有设计与绘图的软件，具有三维线框几何造型功能，是当前使用最广的机械CAD/CAM软件之一。主要功能为：a、交互设计控制模块，用菜单提示与用户进行对话，实现交互设计；b、三维几何造型模块，可与有限元分析模块连接在一起；c、三维管路设计模块，用于设计、修改一个三维管道路径和布置，设计、交互功能很强；d.专业学习资料.\n........、有限元前处理模块，在三维几何造型的基础上，应用此模块可以生成三维有限元网格；e、数控加工模块，在三维几何造型的基础上，使用此模块可以自动生成NC加工APT源程序，并可在屏幕上模拟刀具运动轨迹，检查程序的正确性。该软件的特点是功能齐全，使用方便，响应速度快，能与CATIA软件联合使用，信息传递十分方便。（1）EUCLID软件该软件是法国MatraDatavision公司研究开发的。适用于机械设计和制造。主要功能模块有：a、几何造型模块，能生成三维线框、表面和实体几何模型及二维几何图形；b、实时显示，任何模型可以有正投影和透视投影显示及实时的自动消除隐线；c、自动绘图模块，根据标准能生成有尺寸标注和文字说明的工程图纸；d、分析计算模块，能分析计算几何模型的重量、体积和干涉检查及应力分析计算；e、系统具有统一的数据库管理系统。该软件的特点：a、在三维几何造型中同时使用CSG和B—Rep两种表示方法；b、用户可以自己编写FORTRAN程序与它连接；c、数控加工的功能较强，具有2。5、3和5轴加工能力；d、可与其它CAD/CAM软件连接，系统具有图形数据交换标准IGES接口，运行环境为IBM4300系列的中型机，DEC的VAX系列小型机。（2）PRIMEMEDUSA软件MEDUSA是一个较好的CAD/CAM软件，具有二维、三维设计绘图功能，有以下主要模块组成：a、二维设计绘图模块，系统提供多种的二维绘图功能，数据结构十分灵活；b、三维几何造型模块，使用该模块可以建立产品的三维几何模型，并能实时地在屏幕上显示，与二维设计绘图模块结合，能方便地由三维产品几何图形生成二维机械工程图纸；c.专业学习资料.\n........、参数几何造型模块，可用于产品零件的参数化设计与机构运动模拟分析，参数化设计是使用一组尺寸参数自动调整被设计对象的尺寸和结构，在设计机构时，可用该模块对机构的运动进行模拟，以提高机构的精度；d、分析与接口模块，主要包括绘图分析与接口和几何造型分析与接口等模块。绘图分析与接口模块包括数据存取子程序，用来与外部用户应用程序交换数据，并可通过IGES图形数据交换标准将不同的CAD/CAM系统与MEDUSA系统连接。几何造型分析与接口模块用来计算机械零件的几何性质，如质心位置、体积、重量和惯性距等；e、真实感图形生成模块，可以生成具有阴影和彩色的真实图形；f、钣金设计模块，主要用于钣金成形设计；g、图形数据管理模块，主要用于二维绘图数据管理。（1）ICEM软件ICEM是美国CDC公司研究开发的，主要用于Cyber901工作站上。该系统具有一个功能强的工程数据库，统一管理系统的数据。整个系统以工程数据库为核心，包括：a、几何造型模块；b、二维设计绘图模块；c、有限元建模与分析模块；d、机构运动学模块；e、数控加工等五大模块。（2）UGII软件该软件由美国麦道航空公司研究开发，于80年代中推出的商品化软件。UGII的主要功能是：a、实体和曲面造型及绘图；b、机构设计；c、零件设计及装配；d、注塑模具设计中的流场分析；e、有限元分析的前处理和后处理；f、三至五轴数控加工的刀具轨迹计算和干涉检查；g、具有较好的二次开发环境和数据交换功能。（3）GEMS软件该软件是清华大学研究开发的，主要模块包括：a、三维形体的定义输入模块；b、三维形体集合运算模块；c、变换输出等。.专业学习资料.\n........由上可知，不同的软件各具特色，如I—DEAS软件的有限元分析功能比较强，而CATIA软件的雕塑曲面功能则较强。这可能是各软件在开发是都具有某种针对性。另外，为了提高软件的功能，软件开发公司经常修改或增加新功能，不断更换版本。.专业学习资料.\n........、实体造型几何造型是通过对点、线、面、体等几何元素，经过平移、旋转、变比等几何变换和并、交、差等集合运算，产生实际的或想象的物体模型。第一节、形体在计算机内的表示如何用计算机内的一维存储空间来存放由0维、1维、2维、3维等几何元素的集合所定义的形体，是几何造型中最基本的问题。1.1表示形体的坐标系几何元素的定义和图形的输入输出都是在一定的坐标系下进行的，对于不同类型的形体、图形和图纸，在其不同阶段需要采用不同的坐标系，以提高图形处理的效率和便于用户理解。常用的坐标系可以分为如下五种：（1）用户坐标系（WC：WorldCoordinateSystem）一般与用户定义形体和图素的坐标系一致，用于定义用户整图或最高图形结构，各种子图、图组、图素经调用后都放在用户坐标系中的适当位置。用户坐标系包括如下五种：a、直角坐标系这是绘制工程图中最常用最基本的坐标系，也称为笛卡儿坐标系。直角坐标系分为左手和右手坐标系两种。空间任一点P的位置可表示成矢量OP=xi+yj+zk，（i.专业学习资料.\n........，j，k）是相互垂直的单位矢量，又称之为基底。在直角坐标系中的任何矢量都可以用（i，j，k）的线性组合表示。b、仿射坐标系若把直角坐标系中的i，j，k放宽成三个不共面的（即线性无关）矢量α、β、γ，则空间任一位置矢量也可以用的线性组合表示，即OP=aα+bβ+cγ。则Oαβγ构成了仿射坐标系，其基底不要求是相互垂直的单位矢量，从而扩展了形体的表示域。c、圆柱坐标系对回转体常用圆柱坐标系来表示和计算。若N为直角坐标系中的一点P在XOY平面上的垂足。它在XOY平面上的极坐标为（ρ、φ），则称（ρ、φ、z）为点P的圆柱坐标，Oρφz为圆柱坐标系。d、球坐标系若N为直角坐标系中的一点在XOY平面上的垂足，OP与Z轴的夹角为，ON与X轴的夹角为，令OP=r，则（）为点在球坐标系中的坐标，其中r为球半径，为天顶角，为方位角，并约定。e、极坐标系极坐标与圆柱坐标类似。（1）造型坐标系（MC：ModelingCoordinateSystem）它是右手三维直角坐标系。用来定义基本形体或图素，对于定义的每一个形体和图素都有各自的坐标原点和长度单位，这样可以方便形体和图素的定义。这里定义的形体和图素经过调用可放在用户坐标系中的指定位置，因此，造型坐标系由可以看作是局部坐标系，而用户坐标系可看作是整体坐标系（全局坐标系）。（2）观察坐标系（VC：ViewingCoordinateSystem）.专业学习资料.\n........它是左手三维直角坐标系，可以在用户坐标系的任何位置、任何方向定义。它主要有两个用途：一是用于定义指定裁剪空间，确定形体的哪一部分要显示输出；二是通过定义观察平面，把三维形体的用户坐标变换成规格化的设备坐标。观察平面是在观察坐标系中定义的，通常其法向量与Z轴重合，和O间的距离为V，用户在此平面上定义观察窗口。（1）规格化的设备坐标系（NDC：NormalizedDeviceCoordinateSystem）NDC也是左手三维直角坐标系，用来定义视图区。应用程序可以指定它的取值范围，但约定的取值范围是（0，0，0）到（1，1，1）。用户图形数据经转换成NDC值，从而可以提高应用程序的可移植性。（2）设备坐标系（DC：DeviceCoordinateSystem）为了便于输出真实图形，目前DC也采用左手三维直角坐标系，用来在图形设备上指定窗口和视图区。DC通常也是定义象素或位图的坐标系。图1.1、WC、NDC和DC之间的转换.专业学习资料.\n........上述介绍的坐标系均为三维坐标系，但工程图纸大多数为二维图纸，更简洁的办法是使Z坐标值取零。有些CAD系统要求用户定义一个工作平面，用户在此平面上作图。在三维直角坐标系中，XOY平面也可看作是最基本工作平面，任何不在XOY平面上的工作平面均可通过几何变换把它变成XOY平面，再通过相应的逆变换把XOY平面的图形变到任意的工作平面上。三种坐标系WC、NDC和DC之间的转换如图1.1所示。1.1几何元素的定义（1）点它是0维几何元素，分端点、交点、切点和孤立点等，但在形体定义中一般不允许存在孤立点。在自由曲线和曲面的描述中常用三种类型的点：a、控制点，用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应曲线和曲面不一定通过的点；b、型值点，用来确定曲线和曲面的位置与形状，而相应的曲线和曲面一定经过的点；c、插值点，为提高曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入的一系列点。点是几何造型中最基本的元素，自由曲线、曲面或其他形体均可用有序的点集表示。用计算机存储、管理、输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。（2）边边是1维几何元素，是两个相邻（正则形体）或多个邻面（非正则形体）的交界。直线边由其端点（起点和终点）定界，曲线边由一系列型值点或控制点表示，也可以用显式、隐式方程表示。（3）面面是二维几何元素，是形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。一个面可以无内环，但是必须有一个且只有一个外环。面有方向性，一般用其外法矢方向作为该面的正向。在几何造型中常分平面、二次曲面、双三次参数曲面等形式。.专业学习资料.\n........（1）环环是有序、有向边（直线段或曲线段）组成的面的封闭边界。环中的边不能相交，相邻两边共享一个端点。环有内外之分，确定面的最大外边界的环称为外环，通常其边按逆时针方向排序。确定面中的内孔或凸台边界的环称为内环，其边相映外环排序方向相反，通常按顺时针方向排序。基于这种定义，在面上沿一个环前进，其左侧总是面内，右侧总是面外。（2）体图1.2、非正则形体的例子体是三维几何元素，由封闭表面围成的空间，也是欧氏空间中非空、有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。为了保证几何造型的可靠性和可加工性，要求形体上任意一点的邻域在拓扑上应是一个等价的封闭圆，即围绕该点的形体邻域在二维空间可以构成一个单连通域。满足这个定义的形体称为正则形体，如图1.2所示的几个例子均不满足上述要求，称这类形体为非正则形体。非正则形体的造型技术将线框、表面和实体模型统一起来，可以存取维数不一致的几何元素，并可对维数不一致的几何元素进行求交分类，从而扩大了几何造型的形体覆盖域。基于点、边、面几何元素的正则形体和非正则形体的区别如下表所示。几何元素正则形体非正则形体面.专业学习资料.\n........是形体表面的一部分可以是形体表面的一部分，也可以是形体内的一部分，也可以与形体相分离边只有两个邻面可以有多个邻面、一个邻面或没有邻面体至少和三个面（或三条边）邻接可以与多个面（或边）邻接，也可以是聚集体、聚集面、聚集边或孤立点（1）体素图1.3(a)体素是可以用有限个尺寸参数定位和定形的体，常有三种定义方式：a、从实际形体中选择出来，可用一些确定的尺寸参数控制其最终位置和形状的一组单元实体，如长方体、圆柱体、圆锥体、圆环体、球体等；b、由参数定义的一条（或一组）截面轮廓线沿一条（或一组）空间参数曲线作扫描运动而产生的形体；c、用代数半空间定义的形体，半空间定义法只适用于正则形体。从上述定义可以看出，几何元素间有两种重要信息：其一是几何信息，用以表示几何元素性质和度量关系，如位置、大小、方向等；其二是拓扑信息，用以表示几何元素之间的连接关系。形体要由几何信息和拓扑信息定义。（2）定义形体的层次结构.专业学习资料.\n........图1.3（b）有孔的长方体形体在计算机中用上述几何元素按六个层次表示，如图1.3(a)所示。如图1.3(b)所示，长方体中打了一个洞，由点V1V2V3V7V8V5V1定义了该形体的外壳，点V5V6V7V8V5定义了该形体的上顶面，同时该点列也定义了此面的外环，此面上的点V13V14V15V16V13定义了内环，V5V6是该面外环上的一条边，该边有V5，V6两个端点，也是该形体的两个顶点，定义形体的面既可以是平面，也可以是曲面，边既可以是直线，也可以是曲线段。1.1表示形体的线框、表面、实体模型形体在计算机中常用线框、表面、和实体三种表示模型。（1）线框模型点边表边点E1V1，V2E2V2，V3……E12V5，V8线框模型是在计算机图形学和CAD/CAM领域中最早用来表示形体的模型，并且至今仍在广泛应用。其特点是结构简单、易于理解，又是表面和实体模型的基础。线框模型是用顶点和邻边来表示形体。对于多面体而言，用线框模型是很自然的，因图形显示的内容主要是棱边。但是对于非.专业学习资料.\n........平面体，如圆柱体、球体等，用线框模型存在一定的问题。其一是曲面的轮廓线将随着视线方向的变化而改变；其二是线框模型给出的不是连续的几何信息，不能明确地定义给定点与形体之间的关系（点在形体内部、外部或表面上），因此不能用线框模型处理计算机图形学CAD/CAM中的多数问题，如剖切图、消隐图、明暗色彩图、物性分析、干涉检测、加工处理等。面边表面号边号F1E1,E2,E3,E4F2E1,E6,E9,E5……F6E9,E10,E11,E12（1）表面模型图1.4、实体表示模型表面（surface）模型是用有向棱边围成的部分来定义形体表面，由面的集合来定义形体。表面模型是在线框模型的基础上，增加有关面边（环边）信息以及表面特征、棱边的连接方向等内容。从而可以满足面面示交，线、面消隐、明暗色彩图、数控加工等应用问题的需要。但在此模型中，形体究竟存在于表面的哪一侧，没有给出明确的定义，因而在物性计算、有限元分析等应用中，表面模型在形体的表示上仍然缺乏完整性。（2）实体模型实体（solid）模型主要是明确定义了表面的哪一侧存在实体，在表面模型的基础上可用三种方法来定义。图1.4（a）在定义表面的同时，给出实体存在侧的一点P；图1.4（b）直接用表面的外法矢来指明实体存在的.专业学习资料.\n........一侧；图1.4（c）用有向棱边隐含地表示表面的外法矢方向。通常在定义表面时，有向棱边按右手法则取向，沿着闭合的棱边所得的方向与表面处法矢的方向一致，用此方法还可检查形体的拓扑一致性。如图1.4（d）拓扑合法的形体在相邻的两个面的公共边界上，棱边的方向正好相反。实体模型和表面模型的主要区别是在定义了表面处环的棱边方向，一般按右手规则为序。（1）基于三种表示模型的功能比较在几何造型中，采用线框、表面和实体模型的功能利弊如下表所示，为了克服某种模型的局限性，在实用化上几何造型系统中常统一使用线框、表面和实体模型。模型表示应用范围局限性二维线框画二维线框图（工程图）无法观察参数的变化不可能产生有实际意义的形体三维线框画二、三维线框图不能表示实体、图形会有二义性表面模型艺术图形、形体表面的显示、数控加工不能表示实体实体模型物性计算、有限元分析用集合运算构造形体只能产生正则形体抽象形体的层次较低1.1形体边界及其连接关系（1）形体边界所有实际形体都可看作是R3中其边界是一封闭表面的集合。有些形体边界斜率有不连续性，而这些不连续性构成了形体的边、顶点。对于任何区域R都可以用完全在区域之中（Ri）和在其边界上（Rb）的全部点来定义，这种表示区域R的点集很容易表示成R=[RI,Rb]。对于一个给定点，毫无疑问，它或是在区域内部，是Ri的成员；或是在边界上是Rb的成员；或是在区域外部。一个点是一个零维的区域R0，一条线段是一个一维区域R1，它必有两个点在集合R1b中；如果是封闭曲线，就没有点在R1b中，其点均在R1i中。一个表面是一个二维区域R2.专业学习资料.\n........，一般的开表面（非闭合表面）都是以一条封闭曲线全为其边界，在表面上的这个边界内，有1到n个相交的封闭曲线段或环，在所有环（或线段）上的全部点构成了R2b，而表面上的其余点构成了R2i。若我们用Rm,n表示n维欧氏空间Rn中的维区域，则有：Rmn=[Bm-1,n，Im,n]，m≤n；这里Bm-1,n是Rm,n边界上的点集，Imn是该区域内部的点集。在R3中允许的区域情况列表如下。在Rmn区域中的任一点仅有下述三条性质之一：a、在区域内部，是Imn的成员；b、在区域边界上，是Bm-1n的成员；c、在区域Rmn以外，不是区域集合的成员。对于m=n的区域，Imn可以用Bm-1n的显式表示来定义。Rm,n类名Bm-1,nIm,nR0,3点点本身无内部点R1,3曲线两端点除两端点以外的其余点R2,3表面一个或多个由封闭曲线定义的边界除R1,3边界曲线上的其余点集R3,3体一个或多个由封闭表面定义的立体边界除R2,3边界表面上的其余点集（1）点、边、面几何元素间的连接关系图1.5、点、边、面之间的连接关系.专业学习资料.\n........由前面的讨论，我们已经知道形体是由几何元素构成的，每一种形体的边界都是由与其相对应的较低维的几何元素组成的。几何元素间典型的连接关系（即拓扑关系）是指一个形体由哪些面组成，每个面上有几个环，每个环有哪些边组成，每条边又由哪些顶点定义的等。在几何造型中最基本的几何元素是点（V）、边（E）、面（F），这三种几何元素一共有九种连接关系，如图1.5所示。这种连接关系只适用于正则形体，对于非正则体还要加以扩充和改进。V-E+F-C=19-20+18-6=1图1.6、具有C个多面体的欧拉公式（1）正则形体几何元素个数的欧拉公式对正则形体，其点（V）、边（E）、面（F）的个数满足欧拉公式：V-E+F=2。如长方体的顶点V有8个，边有12条，表面有6个，则8-12+6=2。如果把三维封闭空间分割成C个多面体，其顶点、边、面和多面体个数满足下述公司：V-E+F-C=1。如图1.6所示的多面体是6个，故V-E+F-C=9-20+18-6=1。对于有孔洞形体相应的欧拉公式是：V-E+F-H=2（B-P），其中V、E、F仍为形体的顶点、棱边和面数，H为形体表面上的空穴数，P为穿透形体的孔洞数，B为形体个数，如图1.7所示。对于n维空间，可以令N0，N1，…，Nn-1分别为该空间中0维，1维，…，（n-1）维的几何元素，则此时的欧拉公式为：N0-N1+N2-…=1-（-1）n；当n=3时它对应的是简单欧拉公式。.专业学习资料.\n........V-E+F=2，V-E+F=216-24+10=2，16-32+16=0V-E+F-H+2P=2B，V-E+F-H+2P=2B16-24+10-2+2=2，16-32+16-0+2=2V-E+F=2，V-E+F=216-24+11=3，16-28+14=2V-E+F-H+2P=2B，V-E+F-H+2P=2B16-24+11-1+0=2，16-28+14-0+0=2图1.7、具有空穴和孔洞形体的欧拉公式1.1常用的形体表示方式（1）特征表示特征表示是从应用层来定义形体，因而可以较好地表达设计者的意图，为制造和检验产品和形体提供技术依据和管理信息。从功能上看可分为形状、精度、材料和技术特征。.专业学习资料.\n........①形状特征：体素、孔、槽、键等；②精度特征：形位公差、表面粗糙度等；③材料特征：材料硬度、热处理方法等；④技术特征：形体的性能参数和特征等。形状特征单元是一个有形的几何实体，是一组可加工表面的集合，其BNF范式可定义如下，常用体素如图所示。（1）构造的实体几何表示CSG的含意是任何复杂的形体都可用简单形体（体素）的组合来表示。通常用正则集合运算（构造正则形体的集合运算）来实现这种组合，其中可配合执行有关的几何变换。形体的CSG表示可看成是一棵有序的二叉树，其终端结点或是体素，或是刚体运动的变换参数。非终端结点或是正则的集合运算，或是刚体几何变换，这种运算或变换只对其紧接着的子结点（子形体）起作用。每棵子树（非变换叶子结点）表示了其下两个结点组合及变换的结果，树根表示了最终的结点，即整个形体。图1.8、定义形体的CSG树从CSG树的语义可以看出，每一个非变换叶子的子树，表示对体素叶子所代表的集合执行几何变换或正则集合运算后所发生的新的集合，如图1.8所示。CSG树是无二义性的，但不是唯一的，它的定义域取决于其所用体素以及所允许的几何变换和正则集合运算算子。CGS表示的优点：①数据结构比较简单，数据量比较小，内部数据的管理比较容易；.专业学习资料.\n........①每个CSG表示都和一个实际的有效形体相对应；②CSG表示可方便地转换成Brep表示，从而可支持广泛的应用；③比较容易修改CSG表示形体的形状CSG表示的缺点：①产生和修改形体的操作种类有限，基于集合运算对形体的局部操作不易实现；②由于形体的边界几何元素（点、边、面）是隐含地表示在CSG中，故显示与绘制CSG表示的形体需要较长的时间。（1）边界表示边界表示详细记录了构成形体的所有几何元素信息及其相互连接关系——拓扑信息，以便直接存取构成形体的各个面、面的边界以及各个顶点的定义参数，有利于以面、边、点为基础的各种几何运算操作。如形体线框的绘制，有限元网格的划分、数控加工轨迹的计算、真实感彩色图形的生成等。形体的边界表示就是用面、环、边、点来定义形体的位置和形状。在图中，长方体由六个面围成，对应有六个环，每个环由四条边界定，每条边又由两个端点定义。而圆柱体由上顶面、下底面和圆柱面围成，对应的有上顶面圆环、下底面圆环。BRep表示的优点是：①表示形体的点、边、面等几何元素是显式表示的，使得绘制BRep表示形体的速度较快，而且比较容易确定几何元素间的连接关系；②对形体的Brep表示可有多种操作和运算。BRep表示的缺点是：.专业学习资料.\n........①数据结构复杂，需要大量的存储空间，维护内部数据结构的程序比较复杂；②个性形体的操作比较难以实现；③BRep表示并不一定对应一个有效形体，即需要有专门的程序来保证BRep表示形体的有效性、正则性等。（1）应用对表示方式的要求在几何造型中，最常用的表示形式是CSG和BRep，由此使几何造型系统分为单表示形式、双表示形式和混合表示形式。①单表示形式就是基于一种表示形式的结构，如下所述。②双表示形式一般是采用CSG和BRep两种表示，其结构如下。③混合表示是指在上述双表示形式的基础上再扩充单元分解表示（如二维形体的四叉表示、三维形体的八叉树表示）、扫描表示等。为了扩大造型系统的覆盖域，常需要在不同的表示形式之间进行转换，比如用CSG可用以精确地表示形体，将CSG转换成BRep表示时可以有精确表示和近似表示两种形式，通常显示形体可用近似表示，而加工形体则需要用精确表示。但不是在所有的表示形式之间都能进行转换，如从BRep表示转换到CSG表示就相当困难。.专业学习资料.\n........第一节、边界表示的数据结构与欧拉操作1.1、翼边结构图2.2、最早应用的翼边结构翼边结构的存取关系如图2.1所示，美国Stanford大学最早应用的翼边结构如图2.2所示，改进后用于几何造型系统中的翼边结构如图2.3示。翼边结构的基本出发点是形体的边，从边出发查找该边的邻面、邻边、端点及其属性。图2.1(a)中E到V的箭头线表示由边查到点。图2.1(b)E上的圆弧箭头线表示由边查找边，其他情况类推。图2.1、翼边结构点、边、面的存取关系图2.3、改进后的以便结构的一种实现1.2、对称结构对称结构是对翼边结构的改进，也是点边、面边为基础的连接关系表。一种典型的对称结构如图所示，其中各个域的含义是：.专业学习资料.\n........VG：连接到该顶点上一组边的指针；V1：该边在x方向的增量；VGEOM：顶点的几何坐标参数指针；Y1：该边起点坐标的y值；X|、Y、Z：顶点在三维空间中的位置坐标；V2：该边在y方向上的增量；NE：连接下一条边的指针；Z1：该边起点坐标的z值；ETYP：边的类型标志位，‘＋’表示V3：该边在z方向上的增量；多边形是从V1到V2，‘－’表示1.1、基于面的多表结构上述两种结构比较适用于多面体为基础的实体造型系统，为了能支持实体、表面造型，尤其要能支持表面的近似和精确表示以及CSG和Brep的双向联接，由清华大学CAD中心开发的GEMS4.0产品造型系统采用了如图所示的数据结构，其中各项的含意如下：1.2、欧拉操作前节介绍了欧拉公式只给出了点、边、面、体、洞、穴之间的平衡关系，本小节将介绍通过对点、边、环的增、删操作来构造形体和方法。这里给出了对点、边、环的7对（增、删对应）操作及其用此操作构造实际形体的例子。在下述的函数形式中用表示输入量，用表示输出量；并用A表示一个形体、V表示一个点、E表示一条协定、L表示一个环。1、产生一条边及一个环（MEL）MEL（）如图2.4（a）所示，给出一个基本体素长方体A，拾取环L1上两点V1，V2产生一条边E1，并把环L1分成L1和L2.专业学习资料.\n........，其中由MEL产生的环总是父环（P-LOOP），而L1经过一次MEL操作后可能是父环，也可能是子环（C-LOOP）。如图2.4（b）经过MEL操作后产生的L2为父环，而L1子环，而图2.4（a）中的L1是父环。2、删除一条边及一个环（KEL）KEL是MEL的逆操作，如图2.4所示。值得注意的是，当删除一条边及一个环后，原来的环隶属关系会发生变化，如图2.5所示，L1和L2是父环，L3和L4分别是其中的子环，当E1边删除后，L2也删除了，随之L1是父环，而L3和L4均为其中的子环。图2.4、MEL和KEL图2.5、在具有子环的父环中增加一条边3、产生一个顶点及一条边（MVE）MVE如图2.6所示在体A的E1边上定一个点V1（x，y，z），此时E1被分割成二条边E1和E2。4、删除一个点及一条边（KVE）KVEKVE是MVE的逆操作。在图2.6中若把V1删除，则E1和E2两条边变成了一条边E1。.专业学习资料.\n........图2.6、MVE和KVE5、删除一个子环，产生一个父环（KCLMEL）KCLMEL如图2.7所示在体A上有个方孔，环L1和L2的子环，当做KCLMEL操作后，将L2由子环变为父环。6、删除一个父环，产生一个子环（KPLMCL）KPLMCL这是KPLMCL的逆操作，如图2.7所示，这个操作是把父环L2变成子环L2，且隶属于L1。图2.7、KCLMPL和KPLMCL7、产生一条边及一个点（MEV）MEV如图2.8所示，在环L1的V1和V2之间产生一条边E1，V2点的位置坐标是（x、y、z），经过此操作产生一条新边和一个新点。8、删除一条边和一个点（KEV）KEV.专业学习资料.\n........KEV是MEV的逆操作，经过KEV操作后将删除一条边和一个点，如图2.8所示。图2.8、MEV和KEV9、产生一条边删除一个环（MEKL）MEKL如图2.9（a）、（b）所示，在环L1的V1和环L2的V2点之间形成一条边E1。这里要求L1和L2是相同类型的环，若L1和L2类型不同，可用KCLMPL操作使之改变。10、删除一条边产生一个环（KEML）KEML这是MEKL的逆操作，在图2.9中，当E1被删除后，环L2变成了两个独立的环L1和L2，此处L1和L2具有相同的类型。.专业学习资料.\n........图2.9、MEKL和KEML11、在两个点之间产生一条边和一个环（MEVVL）MEVVL此操作是在点V1和V2之间产生一条边E1，同时产生一个环L1，如图2.10所示。12、删除一条边及其两个端点和一个环（KEVVL）KEVVL在图2.10中当E1被删除后，其端点V1和V2所在的环L1被删除，这是MEVVL的逆操作。图2.10、MEVVL和KEVVL.专业学习资料.\n........13、产生一个点及一条零长度的边（MZEV）MZEV在图2.11中点V2和边E2、E3、E4、E5相连，也和面F1、F2、F3、F4相邻，MZEV操作是用一条零长度的边E1代替点V2，E1的一个端点是V2，另一条端点是V1，这样就可以把原来非正则形体正则化。MZEV操作只有对连接二条以上边的点才有效。14删除一个点及一条零长度的边（KZEV）KZEV如图2.11所示，删除一条零长度的边，随之也删除了一个点V1，KZEV是MZEV的逆操作，只有对连接二条以上的边的点才有效。图2.11、MZEV和KZEV15、用欧拉操作造型的实例。欧拉操作造型可用一棵树来描述，如图所示，A0是空体、是树根。若A1是定义输入的长方体体素，经MEL操作将环F1分为两个环F1和F2，并产生A12体。对F1环进行拉伸产生体A13，对A13中的E1边进行倒圆角产生形体A14。若对A12的F2环进行拉伸产生体A21，再对A21的E2边作倒圆角，产生形体A22。若对A13体的F3环进行拉伸产生体A31。上述中的倒圆角、拉伸等操作都可用前面介绍的14种基本操作组合而成。.专业学习资料.\n........第一节、集合运算（1学时）几何造型中的集合运算以集合论、拓扑学与拓扑流行学为理论基础。早期的几何造型系统规定形体是三维欧氏空间中的正则集合。设G是n维欧氏空间中的一个有界区域，则G={bG，iG}其中，bG是G的n-1维边界（或称超越表面），iG是G的内部，且G是补空间，cG是G的外部。如果G的边界满足如下性质，则称G是E中的正则形体：（1）bG将iG和cG分隔为两个互不连通的n维子空间；（2）除去bG上的任何一点，iG和cG将成为连通的子空间；（3）对于bG中任意一点P，若P初有n-1维切平面/切线存在，则其法向指向cG子空间。对于正则形体集合，可以定义正则集合算子。设是集合运算算子（如并、交、差），如果对于E中任意两个正则形体A，BR=AB仍为E中的正则形体，则称为正则集合算子。在几何造型系统中，相当于一个子程序，其输入是指向A、B的数据结构的指针，其输出是表示新形体R的数据结构指针。注意，这里的R可能代表多个形体。.专业学习资料.\n........正则运算保证了运算结果的有效性。但是一个实用的造型系统仅有正则运算的功能是不够的。例如计算三维实体的剖面图，需要用平面与它做交运算。计算用CSGA表示的试题的光线追踪图形时，需要用直线与实体做交运算。就是对两个三维形体本身进行并、交、差运算时，也经常需要进行点是否在线上、面上、体内的判断、以及线—面求交、面—面求交等同维和不同维元素之间的运算。所以，20世纪80年代以后，人们把注意力转向如何用统一的数据结构，用统一的算法来支持上述所有的不同维几何元素以及它们之间的操作运算。产生了一些非正则形体表示方法（如辐射边结构），以及相应的形体操作算法。本节先介绍一维几何元素的集合运算，再介绍二、三维几何元素的集合运算，最后一辐射边结构及相应算法为例，介绍当前国际流行的非正则形体造型方法。1.1、一维几何元素的集合运算表1集合运算规则集合运算符左右合成并ININOUTOUTINOUTINOUTINININOUT交ININOUTOUTINOUTINOUTINOUTOUTOUT差ININOUTOUTINOUTINOUTOUTINOUTOUT一维集合运算常见于光线跟踪、物性分析、干涉性检测等。下面以光线跟踪算法中计算射线与CSG物体的交为例，讨论一维集合运算。如图3.1(a)所示(见436页的图8.4.3)，欲计算射线与CSG物体的交，可先求出射线对CSG体素的分类，即把射线分为体内与体外的两类区间。再根据CSG所规定的集合运算，对这些区间进行集合运算，求出射线与CSG物体实际的交。这里的区间是一休元素，所以上述问题的本质就是一维几何元素的集合运算问题。Roth最初提出的一维集合运算在CSG树的每个结点进行三步操作：合并、分类、简化。.专业学习资料.\n........第一步：合并。把射线与左右两个子树的表面的交点（指参数）合并起来，并按大小顺序排序。由于在求交阶段，交点往往是沿射线方向一个个求出，故射线与各子树的交点序列为有序序列。所以这里的合并与排序实际上只要调用一个“合并排序”算法就完成了。第二步：分类。把合并阶段得到的有序交点序列所划分的射线上各线段（实际上是在射线的参数区间讨论）分为在复合物体内（in）和在复合物体外（out）两类。分类是根据该线段（区间）对两个子树的分类结果以及时性CSG所规定的集合运算，按表1所定义的规则确定。第三步：简化。把分类为复合物体内的线段（区间）中的邻接者（有相同端点者）都合并起来，去掉多余的点，使得最终结果中每两个相邻线段属于不同的类。如3.1(b)图所示(见436页图8.4.3)为并运算三个步骤示意图。对于整个CSG物体，Roth的算法是自顶向下的递归结构，其数据结构和算法可以用下列伪Pascal程序描述。上述算法具体求出集合运算的所有结果。然而在像光线跟踪这样的应用中，只要求出第一个交点就够了。上述算法需要求出所有交点，再按CSG定义的运算进行一维集合运算，故很多运算步骤是多余的。下面以CSG扫描线区间算法为例，介绍如何应用状态树求值算法，提高运算效率。该算法在CSG树的每个结点都增加一个指向父结点的指针，并附加一个布尔类型的变量，用于记录当前处理的交点相对于该结点（所代表的形体）的状态（inside或outside）。所有结点的初始状态都置为outside。该算法使用的体素全是多面体，所有的面用扫.专业学习资料.\n........描线算法的活性面表方法组织，在计算某个区间象素颜色时，在区间端点把多功能边形面按它们与视点的距离远近排序，离视点近者在表头。从表头取出一个面，并顺指针找到它所在的体素，把对应结点状态改为inside；然后顺指针转到父结点。在父结点用所定义的算符从父结点的左右子树的状态求得一个新的状态，并把新状态与旧状态相比，判断是否有改变。如果没改变，则该状态值就是交点对整个CSG物体的状态。若有改变，就往根结点方向前进一层找下一个父结点，这样递归处理，直到交点相对于某个结点的状态与该结点的原状态相同，或到达根结点。那么，根结点的状态就是交点对CSG物体的状态。由于这个算法是从叶子往根部搜索的，故称为自底向上的布尔（集合运算）求值，又由于求值是对整个CSG树的各个结点的状态进行的，故称为状态树求值算法。状态树求值算法以及所采用的数据结构用下列Pascal伪程序描述。如图所示，CSG物体为三个体素的并，状态树初始状态见图第一个面来自体素A，故把结点A的状态改为1（inside）再到A的父结点，求得状态为1，与原状态不同（改变了），所以再到其父结点，求得状态为1，也改变了，但因已到达根结点，故算法停止。根结点状态即为所求状态，即射线与A面的交点就是所求射线与CSG物体的交点。1.1、二维几何元素的集合运算本节以平面多边形的并交集合运算为例，讨论二维几何元素的集合运算。.专业学习资料.\n........假设多边形区域由一系列环（封闭折线集）定义。这些环两两不相交，但允许一个环套另一个环。如图3.2所示(见439页图8.4.5)，为合法的多边形区域以及相应的总体链式存储结构（实际为二叉树结构）。每个环的具体存储结构还包括边和点及其拓扑连接关系。如图所示。存储结构的Pascal类型说明见图。下面介绍对这样定义的几个多边形区域进行并、交、差运算的算法。算法可分为四个步骤：（环）合并、（环）遍历、（环）收集、（环）选择。1、合并。在合并阶段，把所有相交的环合并到一个图结构中去这包括：通过边-边求交计算环的交点，在交点处把相交的环连结起来，并增长率加必要的环入口点。一个多边形区域的所有环要与其它参与运算的多边表的所有环进行求交。可以采用包围盒技术排除显然无交的发问。当不能确定显然无交时，再用环的每个条边与其它环的边进行求交。在求交时，必须区分3种情形：；（1）交点对于求交的两线段都是非端点。（2）交点是一线段的端点；不是另一线段的端点；（3）交点对于两线段都是端点。对于这三种不同的情形，合并环的处理是不同的。如图所示为这三种情形的示意图以及相应的环合并的示意图。注意这里对环结构的修改只在局部进行，是由于有前面介绍的数据结构的支持。对于情形（1），两条边都在交点分割成两段，然后按图所示，把该点的邻边建立起来。对于情形（2），把交点为非端点的线段进行分割，并按图所示，建立该点的邻边。对于情形（3），先把两线段重合的端点合并，然后调整该点的邻边。如图所示。从上述处理过程可以看出，每种情况的处理都调用一个公共的运算：把一条边的端点接到另一环的一个顶点上，并建立相应的邻边，如图所示。.专业学习资料.\n........除了上述三种情况之外，还有一种特殊情况需特殊处理，这就是共边的情况。如图所示，两个环中有一条边是重合的。连接这种环时，先删去一条边，留下的一条边的区域属性改为原来两条边的区域的合并，见图。其中属性AX表示该边包围的区域在A中但不在B中。然后再把删除边造成的悬点设置到另一环的对应点上，并建立相应的邻边。最后结果如图所示。如图所示，为两个多边形在合并阶段中从求交到环合并的处理过程示意图。从图中容易看出，原来的环被分解为一些子环，而且，我们所需要的运算结果可从这些子环得到。因此，我们需要对这些子环增加入口点，以便提高环遍历阶段的算法效率。所有在合并过程中被修改的边都被当做潜在的新入口点，入在一个新入口点表中。很显然，这会产生多余的入口点（即一个环有两个以上入口点），这个问题可在遍历阶段解决。2、遍历在遍历阶段对整个合并的数据结构中的每个环进行遍历。环的入口点可能来自原数据结构，也可能来自新入口点表。对每个环的遍历直至回到开始遍历时使用的入口点为止。遍历阶段的终止条件是所有入口点均被用完。遍历阶段的一个目的是对于每个环，只选择一个入口点，去掉合并阶段可能产生的多余的入口点。遍历阶段的另一个目的是对每个环收集足够的数据以便能够对该环所包含的区域进行分类。在环的数据结构中，有个区域属性域，用来标志该环所包围的区域从属于哪个输入多边形区域。这个属性域是进行环分类的依据。实际上，每个输出的环的区域属性是该环所有的为边的区域属性的并集。.专业学习资料.\n........在开始遍历之前，环（输出环）的区域属性域置为空集。在遍历过程中，每条边的区域属性并入环的区域属性集。在该环的遍历的结束时，环的区域属性反映了所有包含该环的输入环的区域的属性。如图所示，为两个输入多边形区域的环以及它的边的区域属性。图所示为合并后的环上所有边的区域属性。图为输出环示意图以及相应的区域属性，注意每个输入环实际上由两个朝向不同的环组成，其中一个朝向区域内部，另一个朝向区域外部。朝向区域外部的环上的确良边的区域属性为空。而在输出环中，区域属性为空的环一定是描述所有输入环的并的结果的环。而包含所有输入区域属性的环一定是描述所有输入区域的交的环。可见遍历阶段最重要的工作是对环进行区域分类，故很多人把这个阶段称为分类。3、收集如果前面产生的运算结果中有相互分离的环或相互分离的图结构（包含若干个环），则必须用本节开始介绍的二叉树数据结构，把它们之间的空间位置表达出来。虽然在合并阶段，若干条相交的环可能相互联结组成一个图结构，但是可能有其它分离的环或分离的图（由几个相交的环构成）。收集阶段的任务是判断这些分离的环是否包含其它环或图。这可以通过对这些分离的环进行特殊的几何区域包含性关系检测来判断，亦即判断各个环包含的区域是否整个落在其它的环中，或者某些区域共存于另一个环中，但它们之间无包含关系。这些关系通过把环放在二叉树的适当位置而表达出来。通过这个阶段的工作，可判断出哪些环是外环。收集工作可以分四步进行：（1）构成一具环表。取出第一个环，与表中剩余的环进行包含性比较。.专业学习资料.\n........（2）如果该环仅饮食于表中另一环中，则该环是表中那环的内环。若表中那环已挂有一些内环，则应把新内环与原有内环进行比较，挂到树中适当位置。（3）如果该环包含于表中两个以上的环中，则暂不对它进行处理，转去对表中下一个环进行上述检测处理。这样在每轮检测中，至少有一个内环（若存在的话）被置于它的外环之内。最终所有的环将被放置到它们的适当位置。（4）当表中所有的环均被检测过，且表中所有环之间没有包含关系时，收集工作就告结束。具体实现此算法时消除其中重复的检测以提高效率。4、选择上阶段收集到的环按它们的区域属性分组。属性相同的分为一组。则并、交、差运算的结果必定是其中的某一组。例如，两个多边形区域A和B，在经过合并、收集、分组之后，必定分为四组：（1）外环组；（2）仅包含A区域的环组；（3）仅包含B区域的环组；（4）既包含A又包含B区域的环组A和B的任何集合运算的结果必定是上述某一组。实际上，二者并的结果是第一组，二者交的结果是第四组，A—B之差的结果是第二组，B—A之差的结果是第三组，如图所示，为两个多边形区域经前三步运算之后产生的四组属性不同的区域。选择阶段只要根据所要求的集合运算类型，选取对应的环组输出。顺便指出多边形裁剪多边形的结果也在上述环组中：用B对A进行内裁剪，结果为第四组。用A对B进行外裁剪，结果为第三组。.专业学习资料.\n........虽然上述算法中假定输入区域为多边形，但整个算法框架亦适用于含曲线边界的平面区域。只要在数据结构中允许边为曲线边，并在求交中配上相应的边—边求交算法，则本算法亦可用于含曲线边区域的集合运算。1.1、三维几何元素的集合运算对于三维几何元素或简称三维形体，最常用的表示法有两种；CSG和BRepCSG表示法先定义一些形体比较简单的常用体素，如方块、圆柱、圆锥、球、棱柱等等。然后用集合运算并、交、差把体素修改成复杂开头的形体。早期的CSG模型仅使用代数方程及半空间的概念，体素只支持多面体与二次曲面体，而不支持表面含有自由曲面的实体。整个模型是个树结构，最终形体的表面交线与有效区域没有显式给出，不能直接用于NC加工与有限无分析等后继处理。Brep表示法用点、边、面、环以及它们之间相互邻接关系定义三维实体，形体表面、边界线、交线等都显式给出。但是生成修改形体的过程相当复杂、不直观、不可能由用户直接操作。它的优点是能支持所有类型的曲面全为形体表面。能直接支持NC加工与有限元分析等，故其优缺点恰与CSG模型相反。后来人们转向使用CSG与BRep的混合模型。CSG与Brep的混合模型表示法用CSG作为高层次抽象的数据模型，用Brep作为低层次的具体表示形式。CSG树的叶子结点除了存放传统的体素的参数定义，还存放该体素的BRep表示。CSG表示的中间结点表示它的各子树的运算结果。用这机关报混合模型对用户来说十分直观明了，可以直接支持基于特征的参数化造型功能，而对于形体加工，分析所需要的边界、交线、表面显式表示等，又能免由低层的Brep直接提供。在早期的造型理论中，强调模型的正则性与运算的正则性，也就是.专业学习资料.\n........说，三维形体必须是正则性的（regular或manifold）。集合运算算子也必须是正则的。比较典型的模型表示法是翼边结构与Requicha等人提出的正则运算的概念。正则形体通过集合运算的结果可以产生悬面、悬边、甚至悬点。也就是说正则形体在集合运算下是不封闭的，通过对俱全运算正则化，即每当出现悬面、悬边、悬点，就把它删除，固然可以保证结果的正则性，但也有一些问题。例如，对于三维非正则形体，如扫描体的扫描轮廓线、扫描路径、形体中心由等不能用统一的数据结构表示，形体集合运算产生的非正则形体有时是有用的结果。例如两个形体的交是个悬面，说明它们接触在那个面，我们需要能返回那个面，而不是过早将它删除。这就导致人们考虑用统一的数据结构来表示非正则形体，用统一的算法来进行非正则形体之间的集合运算。本节的后面部分介绍非正则形体的一种表示法——辐射边结构（radialedgestructure），以及对采用这种结构表示的形体进行集合运算的算法。辐射边结构是同Weiler于1986年提出的。辐射边结构使用统一的数据结构来表示形体的线框模型、表面模型和实体模型，既比传统的正则形体表示法提供了更强的形体定义功能，又使形体运算如集合运算、局部操作等能够用更简单的、统一的算法来实现。.专业学习资料.\n........图3.1辐射边结构1、辐射边结构在实体造型系统中，形体的模型由两部分组成。一部分是点、边、环、面的几何信息。另一部分用于描述点边环面之间的邻接关系，称为拓扑信息。下面介绍非正则形体造型中常用的模型-辐射边结构。辐射边结构使用的几何信息有面（face）、环（loop）、边（edge）、点（point）。相应的拓扑信息有模型（model）、区域（region）、外壳（shell）、面引用（faceuse）、环引用（loopuse）、边引用（edgeuse）、点引用（vertexuse）。它们之间的关系如图3.1所示。这里的点表示三维空间的一个位置。边可以是直线边或曲线边，边的端点可以重合。环由首尾相接的一些边组成，而且最后一条边的终点与第一条边的起点重合。环也可以是孤立点。这里的面既可以是平面也可以是曲面，其边界由一个外环和若干个内环（包括零个）组成。外壳是一些点、边、环、面的集合。外壳所含的面集有可能围成一个封闭的三维区域，从而构成一个实体。外壳还可以表示任意的一张曲面或若干个曲面构成的面组。外壳还可以表示一条边或一个孤立点。外壳中的环和边有时被称为“线框环”或“线框边”。这里因为它们可以用于表示形体的线框图，区域表示一组外壳。模型表示一组区域。如图所示，为可以用辐射边结构表示的一个形体模型，注意其中实体、面、线是用统一的数据结构表示的。.专业学习资料.\n........在辐射边结构中，把面、环、边、点的几何定义与引用分开，使得模型中不同的拓扑元素可以共享相同的几何信息，这可以保证形体数据的一致性。辐射边结构中的几何元素与拓扑元素可以用类C语言的类型定义描述如下：各元素之间邻接关系与引用关系用指针描述。指针的命名规则是<引用元素><被引用元素>-ptr辐射边结构中的点可以用直角坐标（x,y,z）或齐次坐标（x,y,z,w）表示。边可以是直线边或曲线边。边（面）的几何定义可以直接存于边（面）结点中或存在于其它结构中并用指针索引。任意一个点、边或面只定义一次，重复使用通过相应类型的引用结点来进行。Model,shell和face类型的元素通常都伴有包围盒之类的信息以提高应用效率。当采用参数曲面作为几何元素时，相应的面、边、点引用中将存放有关的参数信息。当采用辐射边结构作为造型系统的框架时，几何部分的实现可独立于拓扑部分的实现，也就是说系统可以分为几何模块与拓扑模块分别实现和维护。2、基本操作像辐射边结构这样用于表示非正则形体的数据结构，其数据元素之间的关系是非常错综复杂的。这就要求有一组基本操作，把高层的运算与数据结构的实现细节分隔开来，以保证通过数据的一致性。本节介绍这种基本操作的一个实现方案。这个方案使用17个基本操作。这些基本操作用于非正则形体的构造与修改。我们把这些操作叫做NMT（Non—ManifoldTopology）——非正则拓扑算子。这组特定的算子具有四个特点：（1）算子本身具有基本功能；（2）这些算子可以用于构造更复杂的算子或操作；（3）使造型过程显得方便简单；（4）这些算子与以前的正则形体操作、欧拉操作是兼容的，也可以说是这些操作的推广。.专业学习资料.\n........下面我们把这些NMT算子按它们所适用的形体类型分类介绍。先介绍通通用算子：它们既可以处理正则形体，也可以处理非正则形体。然后介绍专门用于处理非正则形体的算子。最后介绍专门用于处理正则形体的算子。（1）M-MR是MakeModelRegion的缩写，这个算子用于建立包含一个新region的新model，亦即在造型空间中指定一个有界区域。（2）M-SV代表MakeShellVertex。该算子用于在指定的区域中建立一个新shell，这个shell由一个孤立点组成。（3）M—RSFL，是MakeRegionShellFaceLoop的缩写。本算子用于在指定区域内建立一个新区域，并在新区域内产生一个面，这个面只有一个环。环由已存在的一个孤立点组成。（4）K—V，本算子用于删除一个点，以及以该点为端点的所有边。在一些情况下，还删除一些有关的环、面、外壳、区域。（5）K—E，本算子用于删除一条边。当删除该边导致一个新的非正则面或使一个面不能与平面对应时，K-E也删除该面。这个情形在边被某些面引用三次以上或在某些正则边情形会发生。（6）K—M，本算子删除一个模型以及它所包含的所有几何元素与拓扑元素。（7）G-V算子把两个点引用合并，并保持元素间析邻接关系。其中一个点被保留，另一个点被删除，两个点都必须在同一Shell中。（8）G-E算子按指定方向把两条边引用合并为一，并保持元素间的邻接关系。其中一条边被保留，另一条边被删除，且该边上不被保留边共享的点与一并被删除。（9）G-F算子把两个单环面合并为一，并保持元素的邻接.专业学习资料.\n........关系。每个面都被指定朝向以决定如何合并这两张面。对每个面都指定一条边及其方向以便决定两个面的环的合并方法。合并后一个面被保留，另一个面上不被保留面共享的环、边、点连同该面一起被删除。（10）ESPLIT本算子把一条边防军分割成两条相互连接的边。在两条边连接处产生一个新点。（11）ESQUEEZE本算子把一条边的两端点挤压到一起，删除该边和其中一个端点，并保留元素的邻接性。上面介绍的11个基本操作既可用于正则形体也用于非正则形体。下面介绍4个专门用于非正则形体的操作：（1）M—EV本算子的功能是建立一条线框边，用于连接一个已存在的点与一个新点。新点与新边将放在指定的区域中。若已存在的点不与该指定区域邻接，算子将报告出错信息并不执行任何操作。（2）M-E算子产生一条新线框边用于连接两个指定点。新边将饮食于指定区域。两个指定点都必须与指定区域邻接，否则算子将报告出错信息并不执行任何操作。（3）M-F算子产生一个具有单环的面，其边界由边表所含的边所构成的单环所确定。如果这些边不封闭，将按出错处理，两个用于说明环和方向的表与边表长度相同，它们用于确定新面在辐射边结构中的位置。边表中的各条边将根据方向表中为该边指定的朝向与新面邻接。（4）K—F本算子删除一个面和该面上所有环，但不删除任何边或点。最后介绍两个专门用于正则形体的算子。（1）MM—.专业学习资料.\n........EV本算子用于产生一条正则边和一个点。新边从指定的已存在点v开始到新点结束。新点、新边将产生在指定的面上。如果指定了朝向，新边按指定朝向生成。（2）MM—E本算子在两个已存在点之间建立一条边。边将产生在指定面上。如果指定朝向，新边将按指定朝向生成。指定的点与边必须在指定面上，否则将按出错处理。在算子说明中使用的一些术语解释如下：线框（wire）或线框边（wireframe）用于描述一条不在任意面上的边。悬面边是只在单个面的边界上使用仅一次的边。正则边是在若干面边界上恰被使用两次的边。非正则边是在若干个面的边界上被使用3次以上的边。朝向（orientation）可以指面的朝向，即面的某一侧；也可以指边的朝向，即边起点、终点的约定。朝向可取3个值：相同（same），反向（opposite），或未指定（unspecified），3个值分别用于说明要求的朝向与面、边原有朝向相同、相反或没有规定。在两个拓扑元素之间如果存在一条由相互连接的边与点组成的路径，则称这两个元素是连通的（connected）。如果一条边使用同一点作为其端点，则称此边为单边环（self—loop），用一个新面关闭（closeoff）一个区域指的是该边的生成把原区域分割成两个不同的新区域七就是说连接两区域内各一点的路径必与某个面、边或点相交。用一个新环或新边关闭（closeoff）一个面的含义是类似的。3、集合运算为了讨论方便，本节假设辐射边结构中的面为平面，边为直线边。本节所介绍的算法是Muuss和Butler于1991年提出的。假设A和B是用辐射边结构表示的两个形体。在进行集合运算之前，必.专业学习资料.\n........须先进行共面、共线、共点等判断。若发现二者有共享的几何元素，则把两形体中相应的拓扑元素合并为一。对两个形体的集合运算可进一步分为三步操作：求交一个形体中的所有几何元素与另一个形体的所有几何元素进行求交。把交点与交线作为几何元素保存下来，并通过拓扑元素使这些几何元素被两个形体所共享。分类把每个形体经求交后被适当分割的几何元素与另一形体进行分类。以决定这些元素是包含于另一形体，还是在另一形体之外，还是另一形体边界上。归并这个步骤将决定哪些元素作为结果保留，哪些元素被丢弃。是取是舍取决于集合运算的类型为并、交、差。下面详细介绍这三个步骤。（1）求交求交操作用每一个形体分割另一个形体。每个形体用一个区域（region）表示。每个region含有若干个shell，而每个shell含有若干个面。这里将要介绍的求交算法把形体A中每个shell的每个元素与另一形体B中每个shell的每个元素进行求交。当两个面的包围盒相交时，使用面/面求交算法对两个面进行求交计算。若两个面都是平面，则对两个面的平面方程进行比较。如果发现这两个面共面，则问题转化为两个平面区域边界的求交问题。两个区域所共享的子区域由两个区域所共享的环所围成。如果两个面不共面，而它们的包围盒相交，则通过计算求出它们的交线。如果交线不同时与两个面的包围盒相交，则说明这两个面上的环不可能相交，故无需再进行求交。这个检测判断可避免许多无谓的求交计算。.专业学习资料.\n........当判断出两个面确实为非共面且可能相交时，面A的每条边与面B求交，面B的每条边与面A求交。在假设所有面均为平面的情况下，边/面求交可按下列形式进行：若边的某个端点的几何结点或拓扑结点在另一面的平面上，该点引用被登记为交线上的一个点。如果边与另一个面的平面相交，则在交点处增加一个点，并把边分割成两条边。把新点放在交线上，另外在交线上增加一个点引用指向交点。在每次面和面求交之后，所得的交点沿交线方向进行排序列。当这些交点（新点或原有点的引用）被排序之后，构成一个有序的交点表。然后，个性这两个面共享交点表上的拓扑元素。利用交点确定交线的哪些子线段被两个面共享。被共享的子线段被加到每个面上。这种的交线段可以分为三类：第一类的特点是子线段的两个端点都在边界上。在这种情形，必须先检查两点之间是否已有边存在，在没有边存在的情况下，进一步检查它们是否在相同的环上。如果在相同的环上，那么把原来的环分成共享一条边的两个环。如图所示。而当两点属于不同的环时，加入一条边连接这两个环，使之变成为一个环。如图所示。第二类的特点是仅一点在边界上，另一点不在边界上。如图所示，这时在两点之间连上一条边，使原环增加一个点、两条边引用（共享一条边）。第三类的特点是两个端点均不在边界，这时，在面上生成一个新内环。如图所示。当两个面上都插入了必要的新拓扑元素之年，对两个面的拓扑元素进行连接，使得两个面在共点与共边处确实共享有关的几何元素。这包括在共点处安排点引用共享该点，在共享边处整理边引用的辐射边结构。每个shell的所有.专业学习资料.\n........线框边都必须与另一shell所有元素求北交。这包括调用边和面与边和边求交函数。如果发现交点，就把边分割，并把该点引用插入相应的边和面。插入新的拓扑结构，并整理邻接信息的工作，可以通过调用前面介绍的基本操作算子来实现。（2）分类下面介绍集合运算的第二步操作：分类。通过分类操作，每个shell中的所有元素都相对于另一shell进行了分类，每个面、环、边、点都被分为in（在另一shell内），on（在另一shell边界表面上），或out（在另一shell之外），A中所有元素相对于B进行分类。然后B中的所有元素相对于A进行分类。①点的分类如果shellA中一点已经相对于B进行过分类，那么A中所有对该点的引用共享该分类结果。如果某些元素在求交过程中得到的交，如交点、交线等。那么它们的分类可当即确定为（onAonB），当我们对一个点某个点引用进行分类时，若发现该点的另一点分类为onB，那么该点以及当前处理的点引用都应分类为onB，所有位于B的包围盒之外的点分类为outB。如果经过上述检测仍不能确定某个点的分类，就使用交点计数法。从该点引射线，与B求交，计算交点个数。个数为奇数时，该点分类为inB，个数为偶数时，该点分类为outB。在非正则形体造型环境，问题稍微复杂一些。首先从该点沿一个任意方向引射线与shellB中的所有面求交。习惯上射线取与坐标轴相同的方向。当然有时沿其它方向引射线可以避免交上顶点、边等奇异情形。当射线所交的面为“边界面”时，交点计数器才加1，若最后所得的交点计数为奇数，则点分类为in.专业学习资料.\n........B。这里有三个问题必须妥善处理。一是确定边界面与非边界面；二是确定一个交点是否在面的有效区之内；三是正确处理射线恰好与点、边相交的情况。如果shellA中的一条边仅被该shell的一个面使用一次，这种边称为悬面边，含有悬面边的面是非边界面，不含悬面边的面是边界面。欲确认一个面是边界面，必须检查该面的每条边是否被同一shell中奇数个其它边界面的环所共享，这要求遍历整个shell的所有面来三角形某一个面是否边界面。为了避免这种费时的操作，一般把整个shell的所有面的有关信息计算一次，并把结果记录起来。在进行实体造型时，所用的形体模型通常只含有边界面。由于非正则形体表示允许面既有外环，又有内环，所以而后有效区域是带有内孔的区域，如图有阴影线的部分所示。当射线与区域所在平面相交时，要判断交点是否落在有效区域内，这可以通过判断哪个环中具有与交点距离最近的子元素（边或环）。若交点距离面的一个外环最近，则当点包含在环内时，交点在有效区域内。如图中的点1所示。如果交点在环外，那么它也在有效区域外。类似地有，如果交点距离一个内环最近，则当点在该环内时，点在有效区域外，如图中点3所示。当点在该环外时，点在有限区域内，如图中点2所示。接下来再看如何正确处理射线恰好与点、边相交的情况，如果射线与某个面上一个环的一条边相交，并且该面上有另一个同类型（内、外）环共享该边，则当这对环是内环时，交点在有效区域外，如图点4所示，当这对环是外环时，交点在有效区域内，如图点5所示。如果射线与几个面的公共边相交，则把射线方向与面的法矢进行比较。例如图中的点v1被当作一个交点，因为射线是从两张面之间穿过。而v2.专业学习资料.\n........不当做一个交点，因为射线只是从它们的公共边界擦过。这里要注意一个问题，不管有多少面以该边为公共边，射线与该边只进行一次求交。当同一shell中存在多于二个的面共享该边时，交点计数在与某个面求交，第一次发现射线与该边相交时，就处理完毕：每次取一对面，按前述方法累计有效交点数，并把这些面打上已处理过的标志。以后射线就不再与这些面求交了。②边的分类当shellA中的所有都相对于B进行过分类之后，就可以用表所列举的规则对边进行分类，分类的规则说明如下：如果边的两个端点中有一个分类不是onB那么边的分类与这个点相同。如果两个端点都分类为onB，那么就计算边的中点，然后使用前面点分类所介绍的交点计数法，对中点进行分类。该点的分类就作为边的分类。如果一条边的两端点分类为in和out。那么就说明在进行注交或点分类时已出错。③环的分类仅含一个孤立点的环继承该点的分类。一个含有若干条边的环，如果其中一条边分类为非onB，则环的分类同该边分类相同，例如，当一个环中有一条边分类为inB，则环的分类也是inB，若一个环中既有inB的边，又有outB的边则说明前面的求交/分类处理已经出错。如果环A中的所有边分类均为onB，那么当shell的拓扑结构中含有一个环，具有与环A相同的边集时，环A分类为onB，分类为onB的环又进一步分类为shared和antishared两种。标志为shared的环A在另一shellB中有对应的环，而且这两环所在的两个面法矢同向。标志为antishared的环A在另一shellB中也有对应的环，但两环所在的两个面法矢反向。（3）归并集合运算的第三个步骤是归并。当shellA和shell.专业学习资料.\n........B中的所有拓扑元素都被分类之后，需要归并分类的结果以决定保留哪些元素、删除哪些元素。首先把两个形体中所有元素都打上八个组合分类标记之一。这八个标记的意义介绍如下。元素原来所属的形体总是分类为on，形体A的元素标记为（onA）（inB），（onA）（onBshared），（onA）（onBantishared），（onA）（outB），形体B的元素标记为（inA）（onB），（onAshared）（onB），（onAantishared）（onB）以及（outA）（onB）之一。这里8个标记实际上只代表6个不同情况，如图所示，为两对平行扫描体（剖面线），图中每条边代表与剖面相交的那个面。在图中，中下部的那个面环为形体A、B所共享，且两个面的朝向（即面的外法向）都相同，故被分类为onAonBshared，对于图中两形体接触面上的面环，也是被两形体所共享，但两个面的朝向相反，故被分类为onAonBantishared，假设集合运算的结果放A中：A=Aset-opBB中需保留的元素均移至A中，其它的元素均删除之，那么三种常用的集合运算并、交、差对分类结果取舍的规则可列表指定，见表。差运算：A—B，在造型过程中意即保留A中那些仅在A中的元素；删除那些既在A中，又在B中的元素；并删除B中的所有元素。表中所列各种情况下的运算规则含义如下。表中对于被标记为onA和outB的元素的规则为“保留”，以下简记为onAoutB=保留。这种元素就是在A中且仅在A中的。OnAinB=弃，是因为元素既在A中，又在B中，应删除之。OutAonB=弃的意义是删除B中无用的元素。OnAonB.专业学习资料.\n........antishared=保留，这种情况的处理比较特殊。这时，该元素属于A，又被面B共享，面A与面B重合但反向，它们所围的三维空间，分别在面的两边，故这种元素应保留以保证形体A的边界完整。OnAonBshared=弃，是因为面A与面B同向，它们所围的空间在面的同一侧，故将它删除。（onAshared）onB=弃与（onAantishared）onB=弃是由于对应元素原是B中元素，应删除之。最后inAonB=保留+反向，其意义是保留由差运算在形体A上产生的新边界，但原来的面属于B，其法向指向A内部。故应改变法向量，使其所向，指向A的外部。图所示的两对形体的差运算如图所示。上面的讨论是以面环所定义的面为例子，但前述推理与规则同样适用于下一层次的拓扑元素：线框环、线框边、环的边、边的点和孤立点。完整的归并算法是先处理形体A中的所有拓扑元素，然后处理B中的所有拓扑元素。算法的内循环从处理各个面上的所有环开始。如果一个环引用的标记对应于规则“弃”，就把它拆散成为一组线框边，采用拆散而不删除，以便那些被两个形体所共享的边和点可以在后面得到妥善处理。如果一个面的所有环均被删除、一个环都不剩，则将该面引用删除。若一个面中仍有环被保留，则面引用被保留。如果面引用是属于B的，则把它移到A中，面引用的mate也同时移入A中，并把面法向量到反向。然后算法进一步处理线框环，如果环引用的标志对应于“弃”，那么就把该环拆散为若干个线杠边，否则就把它保留下来或移到A中（若环属于B）。接下来算法处理线框边，如果一条线框边的标志对应于“弃”，那么就把该边拆散成若干个孤立点，否则，将它保留或当有必要时移到A中，最后处理孤立点。由于一个点是不能再拆为更低维的元素，所以一个点对应于“弃”规则时，就被从形体中删除了。.专业学习资料.\n........并运算：AUB。在造型应用的含义为保留在A之外或在B之外的所有拓扑元素，并删除新形体内部的结构或冗余元素。也就是说，对于实体造型来说，并运算可以理解为AUB=（A–B）+（B-A）其中+代表简单的合并。在A或B之外的元素标记为onAoutB或outAonB，故有onAoutB=保留，outAonB=保留。当元素标记为onAonBshared时，这种元素属于形体A的边界元素。为了避免重复，必须删除形体B中的对应元素，即标记为onＡsharedonB的元素。故有onAonBshared=保留onAsharedonB=弃标记为onAinB，inAonB，以及反向共享的面，标记为onAonBantishared，onAantisharedonB，因为含于结果形体的内部，故应删除。交运算：A∩B。交运算保留那些同时属于A和B的元素。标记为onAonBshared和onAonBantishared的元素为两个形体共享，故应保留。标记为onAsharedonB和onAantisharedonB的元素被删除以免重复。在两形体致意外部的元素被标记为onAoutB和outAonB应被删除。原在各形体内部的结构onAinB和inAonB被保留。这些有关的元素在结果形体中成为边界。第一节、常用的其他造型方法1.1、分数维造型欧氏集合的主要描述工具是直线、平滑的曲线、平面及边界整齐的平滑曲面，这些工具在描述一些抽象图形或人造物体的形态时是非常有力.专业学习资料.\n........的，但对一些复杂的自然景象形态就显得无能为力了，诸如山、树、草、火、云、浪等，这是由于从欧氏几何来看，它们是极端无规则的。为了解决复杂图形的生成，分数维造型应运而生。1、分数维造型的基本概念对复杂现象的探索早在图形学产生以前就已经开始，可以回溯到1904年。当时HelgeVonKoch研究了一种他称为雪花的图形，他将一个等边三角形的三边都三等分，在中间的那一段上再凸起一个小正三角形，这样一直下去，理论上可证明这种不断构造的雪花周长是无穷的，但其面积是有限的。这和正统的数学直观是不符的，周长和面积都无法刻划出这种雪花的特点，欧氏几何对这种雪花的描述无能为力。20世纪60年代开始，BenoitB。Mandelbrot重新研究了这个问题，并将雪花与自然界的海岸线、山、树等自然景象联系起来，找出了其中的共性，并提出了分数维的概念。设N为每一步细分的数目，S为细分时的放大（缩小）倍数，则分数维D的定义为：一般来说，二维空间中的一个分数维曲线的维数介于1和2之间，三维空间中的一个分数维曲线的维数在1和3之间，而三维空间中的一个分数维曲面的维数在2和3之间。分数维的引入，为研究复杂形体提供了全新的角度，使人们从无序中重新发现了有序，许多学科象物理、经济、气象等都将分数维几何学作为解决难题的新工具。计算机图形学也从中受到启发，并形成了以模拟自然界复杂景象、物体为目标的分数维造型。2、分数维造型对模型的基本要求.专业学习资料.\n........分数维造型是利用Fractal几何学的自相似性，采用各种模拟真实图形的模型，是整个生成的景象呈现出细节的无穷回归性质的方法。所生成的景象中，可以有结构性较强的树，也可以是结构性较弱的火、云、烟，甚至可生成有动态特性的火焰、浪等。生成图形的关键是要有一个合适的模型来描述上述景象。人们已经研究了不少模型，诸如随机插值生成图形或用迭代函数反复生成，也有按严格文法有规律生成等。对于这些模型应尽量满足下列要求：（1）能逼真地再现自然景象。所谓逼真是指从视觉效果上逼真，再现是指不要求完全一致。（2）模型不依赖于观察距离。即距离远时可给出大致轮廓和一般细节，近时能给出更丰富的细节。（3）模型说明应尽量简单，模型应具有数据放大能力。（4）模型应尽可能直观，并能有效控制特性。（5）模型应便于交互地修改。（6）图形生成的效率要高。（7）模型适用范围应尽可能地宽。1、分数维造型的常用模型（1）随机插值模型（2）粒子系统模型（3）正规文法模型（4）迭代函数系统模型.专业学习资料.\n........分数维造型以模拟复杂景象为目的。不同景象有不同的特点，应选用合适的模型。结构性弱的景象，如火、云、烟等相对复杂，一般采用随机模型。粒子系统适合动态景物，但由于生成时间较长，应尽量利用画面随时间变化的连续性。1.1、特征造型特征造型是面向制造全过程，实现CAD/CAM集成的重要手段，1988年末颁发的PDES/STEP标准草案，将形状、容差和材料特征；列为产品信息模型的构成要素，从而使特征造型获得了法定地位。特征造型技术的兴起并不是偶然的，有两个因素直接导致了它的出现和应用：一方面传统的实体造型技术是建立在几何表示和操作之上，低层次的无应用含义的几何操作与设计人员高层次的设计概念与方法产生了矛盾；另一方面，近十年间计算机继承制造系统得到了长足发展，这就要求传统的系统除了满足自身信息完备性之外，还必须反映设计人员设计意图的非几何信息，如材料、公差等。特征造型的引入，一方面为设计人员提供了高层次的符合设计人员设计思维的人—机交互语言，摆脱了传统的基于几何拓扑的低层次交互设计方法，从而使设计人员集中精力处理较高层次的设计问题，使得设计更加快速、方便而且设计质量也得到保证。另一方面，由于特征是一个高层次的设计概念，内部包含了大量设计人员的设计意图，这些设计意图对于设计的维护以及后续的分析、综合等过程有着重要的意义，对于提高CAD系统的自动化程度以及解决CAD与CAPP、CAM在数据交换过程中存在的不连续性也有很大的帮助。1、特征的定义.专业学习资料.\n........由于特征造型技术是一门新兴的研究和应用领域，因而对于特征本身还缺少一个明确的形式化定义。不同的应用形成了特征的不同定义。从加工角度看，特征被定义为加工操作和工具有关的零部件形式以及技术特性。从形体建模角度看，特征是一组具有特定关系的几何或拓扑元素。从设计人员角度看，特征又是用于设计、分析和设计评估的基本元素。1、特征的分类不同的应用观点，形成了众多不同的特征定义，由此也产生了不同特征的分类标准：从产品整个生命周期发展过程看，特征又分为设计特征、加工特征、分析特征、公差及检测特征、装配体特征。从功能上看，特征可分为形状特征、精度特征、技术特征、材料特征、装配体特征。从设计方法看，特征由可分为通道特征、挤压特征、提拉特征、过渡特征、表面特征、形变特征。此外，根据复杂程度，特征还可分为基本特征、组合特征、复合特征。2、特征造型系统实现模式在基于特征的造型系统中，特征是作为基本的设计概念与手段。对于特征可有以下操作：特征的创建与删除；特征内部属性的修改；特征的复制与参数化引用；同一特征不同应用场合的变换；特征查询；特征的组合与复合；用户自定义特征。.专业学习资料.\n........、曲面造型所谓自由曲线是指不能用直线、圆弧和二次圆锥曲线描述的任意形状的曲线；自由曲面则是指不能用基本立体要素，如棱柱、棱锥、球、有界平面等描述的呈自然形状的曲面。曲线曲面基本理论的形成开始于二十世纪六十年代。1963年美国波音(Boeing)飞机公司的弗格森(Ferguson)首先提出了将曲线曲面表示为参数的矢函数方法。1964年，美国麻省理工学院(MIT)的孔斯(Coons)用封闭曲线的四条边界定义一块曲面。法国雷诺(Renault)汽车公司的贝齐尔(Bezier)1971年发表了一种由控制多边形定义曲线的方法。德布尔(deBoor)1972年给出了关于B样条的一套标准算法。美国通用汽车公司的戈登(Gordon)和里森费尔德(Riesenfeld)1974年将B样条理论应用于形状描述，提出了B样条曲线曲面。它几乎继承了贝齐尔方法的一切优点，克服了贝齐尔方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题，又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题。美国锡拉兹(Syracuse)大学的弗斯普里尔(Versqrille,1975)在他的博士论文中首先提出了有理B样条方法。以后，主要由于皮格尔(Piegl)和蒂勒(Tiller)等人的功绩，至80年代后期，非均匀有理B样条(NURBS)方法成为用于曲线曲面描述的最广为流行的技术。非有理与有理贝齐尔和非有理B样条曲线曲面都被统一在NURBS标准形式这中，因而可以采用统一的数据库。国际标准组织(ISO)继美国的PDES标准之后，于1991年颁布了关于工业产品数据交换的STEP国际标准，把NURBS作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。.专业学习资料.\n........第一节、微分几何基础1.1、曲线论预备知识（1）曲线的参数方程和矢量方程a、矢量具有大小和方向的量称为矢量，亦称为向量。几何中的有向线段就是一个直观的矢量。通常用空间中的有向线段AB表示矢量，其长度|AB|表示大小，端点的顺序A→B表示方向。矢量的长度称为它的模或绝对值。模等于1的矢量称为单位矢量。可以沿X，Y，Z轴的正向定义单位矢量，分别用i，j，k表示，称为坐标单位矢量，亦称基本矢量。由此，矢量a可表示为：。矢量a的单位矢量为，模等于零的矢量称谓零矢量。模和方向不变的矢量称谓常矢量，模和方向变化的矢量称谓变矢量。b、平面曲线平面曲线的参数方程为：平面上一点的位置可用自原点到该点的矢量表示，称为曲线的矢量方程。c、空间曲线空间曲线的参数方程为：.专业学习资料.\n........矢量方程为：（1）矢函数a、矢函数的定义对于自变量t的每一个数值都有变矢量a的确定量（模个方向都确定的一个矢量）与之对应，则变矢量a称为变量t的矢函数，记作：b、矢函数的求导矢函数导数的坐标分量等于矢函数各坐标分量关于参数t的导数。矢函数的导数也是矢函数，因此，也有方向和大小，其方向即切矢方向，其大小即切矢的模。c、矢函数求导公式（2）导矢在曲线、曲面造型中的应用导矢在曲线、曲面造型中有非常重要的作用。可以用导矢计算曲线的切矢、法矢、法平面、曲率、等距线和曲面的切矢与法矢、曲面的各类曲率以及等距面等，还可以应用导矢构造曲线和曲面。（3）弧长参数化对于同一曲线，若选择的参数不同，则其表达式亦不同，故用坐标系讨论曲线时，具有人为的性质。而曲线自身的弧长则是曲线的不变量，它与坐标系的选取无关。因此，可以取曲线的自身弧长作参数，来研究曲线的内在性质。.专业学习资料.\n........1.1、曲线论基本公式（1）活动标架a、以弧长为参数的曲线建立t轴——t为曲线的单位切矢；建立m轴——m为曲线的单位主法矢；建立b轴——曲线上任意一点都存在同时和t（s）和m（s）相垂直的矢量b（s），称为单位副法矢。t（s）、m（s）和b（s）三者相互垂直，构成右手坐标系，即活动标架。该标架随P点在曲线上的移动而改变。空间曲线上由P点导出的其他任何矢量都可以在活动标架上分解，故将t（s）、m（s）和b（s）称为三个基矢。由切矢t和主法矢m张成的平面称为密切平面；由主法矢m和副法矢b张成的平面称为法平面；由切矢t和副法矢b张成的平面称为从切面。b、一般参数曲线对于一般参数曲线，活动标架三个坐标轴的计算方法为：（2）曲线论的基本公式a、t、m和b三者的关系式b、曲线论的基本公式——Frenet—Serret公式.专业学习资料.\n........c、Frenet—Serret公式的几何意义（1）曲率的几何意义及其计算a、在微积分学中，平面曲线在一点的曲率定义为切线方向对于弧长的导数。b、一般曲线的曲率计算公式c、曲率的应用——曲率在CAD/CAM中占有非常重要的地位。例如在曲线、曲面的拼接中，常需要达到曲率连续；在数控加工中，需计算曲面在刀具切触点初的曲率半径，用以和刀具的半径或其他相关连的尺寸作比较，以防止过切。（2）挠率的几何意义及其计算曲线在一点的挠率等于副法矢（或密切面）对弧长的转动率。对于平面曲线，密切面与曲线所在的平面一致，因而副法矢是固定不变的，故挠率为零。对于一般参数曲线，挠率的计算公式为：（3）曲线论基本公式的应用1.1、曲面论预备知识（1）曲面的参数方程和矢量方程a、平面b、旋转面.专业学习资料.\n........c、一般曲面（1）曲面上参数曲线的切矢a、曲面参数曲线b、二元函数的偏导数c、参数曲面的切矢（2）二元函数的全微分（3）复合函数的偏导数（4）曲面上曲线的切矢和曲面的切矢a、曲面上的曲线b、曲面上曲线的切矢c、曲面的法矢d、曲面法矢、切平面和法线的计算（5）曲面的等距面1.1、曲面论基本公式（1）曲面的第一基本公式在古典微分几何中，上式称为曲面的第一基本公式，称为第一基本量。在曲面上，每一点的第一基本量与参数化无关。（2）曲面第一基本公式的应用a、计算曲线的弧长b、计算曲面面积.专业学习资料.\n........c、计算曲面上两条曲线的夹角（1）曲面的局部坐标系由单位法矢和非规范切矢三者构成曲面的局部坐标系，亦称标架。曲面的局部坐标系对曲面具有非常重要的作用。该局部坐标系是一个仿射系，与曲面的参数化有关。（2）曲面的第二基本公式上式称为曲面的第二基本公式，称为第二基本量。当在平面内由给定切矢方向并设定角时，可应用曲面的第一和第二基本公式计算曲面上给定切矢方向曲线的曲率。（3）法曲率在P点处曲面上曲线的主法矢m和曲面的法矢重合时，，此时曲面上曲线的密切面垂直于曲面的切平面，该曲面上曲线的曲率称为曲面在P点处的法曲率。法曲率的计算公式为：（4）主曲率、主方向、曲率线曲面上点P处有无数个包含法矢n在内的密切平面，每个密切平面的方位由定义，以代入上式，则法曲率k可表示为：当比值时，法曲率k与无关，曲面上具有此种性质的点称为脐点。一般情况下，k随而变化，法曲率是有理二次函数，其极值发生在.专业学习资料.\n........时，换言之，当为方程的根和，达到其极值和，由此可以推出法曲率的极值和是方程的根和，称为曲面在P点处的主曲率，其值分别为：式中：和在平面内定义了曲线的走向，曲面上与其对应的切平面内的方向称为主方向。若曲面上一条曲线的每点处，其切线总是沿着该点的一个主方向，则称该曲线为曲面上的曲率线。曲率线上每点的切线方向都是主方向，曲率线构成曲面上的一张正交网。如旋转面，其曲率线网由经线和纬线定义，两者相互垂直。曲率线网可用于曲面的参数化。（1）Gauss曲率和平均曲率Gauss曲率亦称全曲率，是主曲率和的乘积，以大写字母K表示：平均曲率亦称中曲率，是主曲率、之和的平均值，以大写字母H表示：当法矢n改变方向时，主曲率和同时改变符号，而Gauss曲率K则不受影响。可以用Gauss曲率K的正、负判断去俩们上点的性质。和符号相同时，K大于0，所考虑的点为椭圆点；和.专业学习资料.\n........符号不同，K小于0，所考虑的点为双曲点；当和之一为0时，K等于0，该点为抛物点；当K和H都等于0时，曲面上的点为平面点。第一节、均匀B样条曲线曲面1.1、B样条曲线的定义已知n+1个控制点（i=0，1，。。。，n），也称为特征多边形的顶点，K阶B样条曲线的表达式是：其中是调和函数，也称为基函数，按照递归公式可定义为：其中是节点值，构成了K阶B样条函数的节点矢量。其中的节点是非减序列，当节点沿参数轴是均匀等距分布的，则表示均匀B样条函数，当节点沿参数轴的分布是不等距的，则表示非均匀B样条函数。1.2、B样条曲线的性质（1）局部性（2）连续性（3）几何不变性.专业学习资料.\n........（1）变差缩减性（2）造型的灵活性1.1、B样条曲线的矩阵表示基于B样条函数，可以推出B样条曲线的矩阵表示。（1）一次B样条曲线的矩阵表示设空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，。。。，n），其中每相邻两个点可构造一段一次B样条曲线：（2）二次B样条曲线的矩阵表示设空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，。。。，n），其中每相邻三个点可构造一段二次B样条曲线：端点位置矢量：，端点一阶导数矢量：，二阶导数矢量：若、、三个顶点位于同一条直线上，蜕化成直线边上的一段直线。（3）三次B样条曲线的矩阵表示设空间n+1个顶点的位置矢量（i=0，1，。。。，n），其中每相邻四个点可构造一段三次B样条曲线：.专业学习资料.\n........端点位置矢量：，端点一阶导数矢量：，二阶导数矢量：若、、三个顶点位于同一条直线上，三次B样条曲线将产生拐点；若、、、四点共线，则变成一段直线；若、、三点重合，则过点。1.1、B样条曲面基于均匀B样条曲线的定义和性质，可以得到B样条曲面的定义。给定个空间点列，则定义了次B样条曲面，式中和是k次和l次的B样条基函数，由组成的空间网格称为B样条曲面的特征网格。上式也可以写成如下的矩阵形式：上式中r，s分别表示在u，w参数方向上曲面片的个数。是某一个B样条曲面片的控制点编号。.专业学习资料.\n........（1）均匀双二次B样条曲面已知曲面的控制点，参数，且，，构造步骤是：a、沿向构造均匀二次B样条曲线，即有：经转置后：同上可得：，。b、再沿向构造均匀二次B样条曲线，即可得到均匀二次B样条曲面：简记为：。（2）均匀双三次B样条曲面已知曲面的控制点，参数，且，，构造双三次B样条曲面的步骤同上述。a、沿向构造均匀三次B样条曲线，有：，，，b、再沿向构造均匀三次B样条曲线，此时可认为顶点沿滑动，每组顶点对应相同的，当值由0到1连续变化，即形成均匀双三次B样条曲面。此时表达式为：.专业学习资料.\n........，，第一节、NURBS曲线曲面1.1、NURBS方法的提出及优缺点NURBS—非均匀有理B样条(Non-UniformRationalB-Spline)，这种方法的提出是为了找到与描述自由型曲线曲面的B样条方法相统一的又能精确表示二次曲线弧与二次曲面的数学方法。NURBS方法主要有以下四个特点：①NURBS不仅可以表示自由曲线曲面，它还可以精确地表示圆锥曲线和规则曲线，所以NURBS为计算机辅助几何设计(CAGD)提供了统一的数学描述方法。②NURBS具有影响曲线、曲面形状的权因子，故可以设计相当复杂的曲线曲面形状。若运用恰当，将更便于设计者实现自己的设计意图。③NURBS方法是非有理B样条方法在四维空间的直接推广，多数非有理B样条曲线曲面的性质及其相应的计算方法可直接推广到NURBS曲线曲面。④计算稳定且快速。然而，NURBS也还存在一些缺点：①需要额外的存储以定义传统的曲线和曲面。②权因子的不合适应用可能导致很坏的参数化，甚至毁掉随后的曲面结构。.专业学习资料.\n........虽然NURBS还存在这样一些缺点，但由于其强大的优点使其已成为自由型曲线曲面的唯一表示。1.1、NURBS曲线的定义一条次NURBS曲线是由分段有理B样条多项式基函数定义的，其形式为：(2-1)其中称为权或权因子(weights),分别与控制顶点相联系。首末权因子,其余，以防止分母为零、保留凸包性质及曲线不致因权因子而退化为一点。恰如非有理B样条曲线那样，称为控制顶点，顺序连接成控制多边形。是由节点矢量决定的次规范B样条基函数。对于非周期NURBS曲线，常将两端点的重复度取为，即,且在大多数实际应用里，节点值分别取为0与1，因此，有曲线定义域。图2-2NURBS曲线的几何意义.专业学习资料.\n........1.1、在齐次坐标下NURBS的几何意义图2-1从三维欧氏空间的齐次坐标到二维空间欧氏空间的投影为了便于讨论，我们先考虑平面NURBS曲线的情况，非平面NURBS曲线和曲面可看成是这种情况的推广。如图2-1、2-2所示，在坐标系中的每一个点，若，可表示成；若，则可表示为，这些点经透视变换映射到平面后是：如果给定一组控制顶点及相联系的权因子,那么，我们就可以按下述步骤定义次NURBS曲线：①确定所给控制顶点的带权控制点②用带权控制点定义一条三维的次非有理B样条曲线③将它投影到平面上，所得透视像即平面上一条次NURBS曲线.专业学习资料.\n........三维空间的NURBS曲线可以类似地定义。即对于给定的一组控制顶点及相联系的权因子，则有相应的带权控制点，定义了一条四维次非有理B样条曲线，然后，取它在第四坐标那超平面上的中心投影，即得到在维空间里定义的一条次NURBS曲线。称为的齐次曲线。三维NURBS曲线方程与二维曲线方程是一致的，仅仅其中矢量维数不同罢了。1.1、权因子对NURBS曲线形状的影响①若固定所有控制顶点及除外的所有其它权因子不变，当变化时，点随之移动，它在空间扫描出一条过控制顶点的一条直线。当时，趋近与控制顶点重合。②若增加，则曲线被拉向控制顶点；若减小，则曲线被推离控制顶点。③若增加，则一般地曲线在受影响的范围内被推离除顶点外的其它相应控制顶点；若减小，则相反。1.2、NURBS曲面的定义由双参数变量分段有理多项式定义的NURBS曲面是：(2-2).专业学习资料.\n........这里控制顶点呈拓扑矩形阵列，形成一个控制网格。是与顶点联系的权因子，规定四角顶点处用正权因子即,其余；和分别为向次和向l次的规范B样条基。它们分别由向与向的节点矢量决定。第一节、曲线曲面生成曲线曲面生成技术是曲面造型技术中最基本也是最关键的技术，它包括曲线曲面的反算技术，以及曲线曲面的各种生成方法。1.1曲线生成曲线生成有两种实现方法，第一种是由设计人员输入曲线控制顶点来设计曲线，此时曲线生成就是上小节所述的曲线正算过程；第二种则是由设计人员输入曲线上的型值点来设计曲线，此时曲线生成就是所谓的曲线反算过程。其中第二种方法是曲线设计的主要方法，也是本小节要介绍的主要内容。曲线反算过程一般包括以下几个主要步骤：确定插值曲线的节点矢量；确定曲线两端的边界条件；反算插值曲线的控制顶点。下面以三次B样条曲线为例，详细说明。1.确定插值曲线的节点矢量为了使一条三次B样条曲线通过一组数据点，反算过程一般使曲线的首末数据点一致，使曲线的分段连接点分别依次与相应的内数据点一致。因此，数据点将依次与B样条曲线定义域内的节点一一对应，即.专业学习资料.\n........点有节点值。而这些节点值的确定也就是对数据点实行参数化的过程。通常对数据点实行参数化有如下方法：①均匀参数化(又称等距参数化)法使每个节点区间长度(用向前差分表示)正常数，,即节点在参数轴上呈等距分布，为处理方便起见，常取成整数序列这种参数化法仅适合于数据点多边形各边(或称弦)接近相等的场合。否则，在相邻段弦长相差悬殊的情况下，生成插值曲线后弦长较长的那段曲线显得较扁平，弦长较短的那段曲线则臌得厉害，甚至出现尖点或打圈自交(自交点又称为二重点)的情况。②积累弦长参数化(或简称弦长参数化)法其中为向前差分矢量，即弦线矢量。这种参数化法如实反映了数据点按弦长的分布情况，一直被认为是最佳参数化法。它克服了数据点按弦长分布不均匀情况下采用均匀参数化所出现的问题。在较多情况下能获得较满意的结果，即所得插值曲线具有较好的光顺性。③向心参数化法.专业学习资料.\n........这是美国波音公司的李(Lee,1989)提出的。他从积累弦长参数化法并不总能保证生成光顺的插值曲线出发，认为问题在于未考虑数据点相邻弦线的情况。由此他假设在一段曲线弧上的向心力与曲线切矢从该弧段始端点末端的转角成正比，加上其它一些简化假设，导出如上的参数化法。④福利(Foley,1989)参数化(又称为修正弦长参数化)法其中：可见这里采用了修正弦长，修正系数。与前后邻弦长及相比，若与前后邻线夹角的外角(不超过时)越大，则修正系数就越大，因而修正弦长即参数区间也就越大。这样就对因该曲线段绝对曲率偏大，与实际弧长相比，实际弦长偏短的情况起到了修正作用。修正弦长就较接近实际弧长。一般说来,福利参数化法下生成的插值曲线显现出最好的光顺性。2.确定曲线两端的边界条件在确定了节点矢量之后，就可以给出以n+3个控制顶点为末知矢量的由n+1个矢量方程组成的线性方程组：因方程数小于末知顶点数，故必须补充两个合适的边界条件给出的附加方程，才能联立求得。常用的边界条件及对应的附加方程有如下几种：①切矢条件。切矢条件在力学上相当于梁的端部固定的情况，因此具有固定的切线方向。这样首末端就有如下附加方程，其中与为给定的首末端切矢。.专业学习资料.\n........①自由端点条件。自由端点条件在力学上相当于铰支梁，在端点不受力矩作用，因此具有零曲率。这可由端点二阶导矢取零矢量保证，这样首末端就有如下附加方程：②闭曲线条件。闭曲线条件是指曲线首末端点重合且保证二阶连续，这样就有如下附加方程：3.反算插值曲线的控制顶点下面以常用的切矢边界条件为例。由于取两端点重复度，于是三次B样条曲线的首末控制顶点就是首末数据点，即，且由边界条件有附加方程：这样就可得如下线性方程组：(2-3)其中：.专业学习资料.\n........求解上述线性方程组，即可求出全部未知控制顶点。1.1、曲面生成曲面生成技术是曲面造型技术中的核心技术。曲面生成方法通常可分为两大类：蒙皮曲面生成法及扫描曲面生成法。不管哪一种生成方法，其核心都是曲面的反算技术。本小节将以B样条曲面为例，先介绍曲面反算技术的主要内容，而后分别介绍蒙皮曲面及各种扫描曲面的生成特点及主要计算公式。1.双三次B样条插值曲面的反算（1）参数方向与参数选取对给定的呈拓扑矩形阵列的数据点阵，如果其中每行（或列）都位于一个平面内，则取插值于每行（或列）数据点的一组曲线为截面曲线，以为参数。现设每列数据点为截面数据点，共有个截面。另一方向为纵向，纵向参数线以为参数。如果列向与行向数据点都非平面数据点，则按其在空间分布，适当地把一个方向取为截面方向，以为参数，另一方向为纵向参数方向，以为参数。（2）节点矢量的确定.专业学习资料.\n........类似参数双三次样条曲面那样，对给定的曲面数据点实行参数化。相应得定义域内的节点参数值，对应数据点，有参数值与。若曲面沿任一参数方向是周期闭曲面，则该参数方向的节点矢量在定义域以外的节点可按周期性决定。若是开曲面（包括非周期闭曲面），通常将该参数方向两端节点取成重复度4。两个参数方向的节点矢量，就可决定下来。（1）反算控制顶点对于沿任一参数方向若是周期闭曲面的情况，在该参数方向无需提供边界条件，就可唯一确定插值该方向各排数据点的周期三次B样条曲线的控制顶点。如果沿两个参数方向都是周期闭曲面，则可能生成拓扑上形似球面或环面的封闭曲面。下面只考虑开曲面的情况，这时必须提供合适的边界条件。有多种可供选择的边界条件。以切矢条件为例，即提供各截面曲线（线）的端点向切矢，又提供过纵向各排数据点的等参数线（线）的端点向切矢，还提供数据点阵四角数据点处的混合偏导矢（即扭矢）。按如下步骤反算：先在节点矢量U上，由截面数据点及端点向切矢，应用B样条曲线反算，构造出各截面曲线，求出它们的B样条控制顶点。又在节点矢量U上，分别视首末截面数据点处向切矢为”位置矢量”表示的”数据点”，又视四角角点扭矢为”端点向切矢”，应用曲线反算，求出定义首末参数边界(即首末截面曲线)的跨界切矢曲线的控制顶点。然后固定指标i，以第一步求出的条截面曲线的控制顶点阵列中的第i排即为”数据点”，以上一步求出的跨界切矢曲线的第i个顶点为”端点切矢”，在节点矢量V上应用曲线反算，分别求出.专业学习资料.\n........条插值曲线即控制曲线的B样条控制顶点，即为所求双三次B样条插值曲面的控制顶点。1.蒙皮曲面生成法利用蒙皮技术生成曲面其实质就是拟合一张曲面(即“皮”)通过一组有序的称为截面曲线的空间曲线。可形象地看成为给一族截面曲线构成的骨架蒙上一张光滑的皮。蒙皮技术通常被考虑为最合适于交互CAD应用的，目前市场上每个CAD系统实际上都采用类似的曲面定义。利用蒙皮技术生成曲面其关键在于设计出条具有统一次数与节点矢量，且参数化情况良好地相近的符合要求的截面曲线。而这可由如下步骤实现：(1)初始地生成形状符合要求的截面曲线，都用B样条曲线表示。它们可能具有不同的次数与节点矢量。(2)统一次数，使所有较低次数的截面曲线都升阶到其中的最高次数。(3)域参数变换，使所有截面曲线都具有统一的定义域。(4)插入节点，使所有截面曲线都具有统一的节点矢量。(5)最后从曲面光顺性考虑，应使所有截面线的端点与分段连接点沿曲线弧长的分布情况比较接近。上述处理顺序并非固定不变，某些处理也需反复进行。最后得到具有统一次数与节点矢量，且参数化情况良好地相近的条截面曲线：利用前面介绍的B样条曲面反算,就可以由条截面曲线得到B样条曲面的控制顶点。2.扫描面生成法扫描面生成法是蒙皮曲面生成法的推广。它.专业学习资料.\n........需要先设计一族反映曲面基本截面形状的曲线，称为基线族，以及一族控制曲面基本走向的曲线，称为导线族；而后规定一种运动方式，使基线族沿导线族进行扫掠运动，这样形成的曲面就叫扫曲面。根据基线族、导线族中曲线个数的多少，扫曲面可分为一基一导扫曲面及多基多导扫曲面等；根据运动方式的不同，扫曲面则又可分为脊线扫曲面、旋转扫曲面及同步扫曲面等。由于扫曲面种类很多，而且生成方式及推导过程均比较复杂，为了行文的方便，本小节将只介绍其中一种最基本的一基一导脊线扫曲面的生成原理及主要计算公式。其余的若读者有兴趣可查阅有关文献。给定平面内的参数曲线，，的起始端点在所在的平面内，且起始端点处与所在的平面垂直。称为截面线，也即基线，称为扫描曲面的脊线，也即导线。将沿扫动并且保持在任意位置与截面垂直关系，得到的扫描曲面就称为一基一导的脊线扫曲面。图2-4脊线扫曲面构造示意图如图2-4所示，截面曲线定义在坐标系的内，脊线定义在坐标系的内，其中坐标系定义为：：在脊线上，即=，其中=0；：脊线的切矢方向，即，其中=0；：坐标系的轴方向，即；：由坐标系右手规则决定，即。.专业学习资料.\n........将坐标系与截面曲线固定在一起沿脊线平滑扫动，并保证扫到任意位置时有上述关系成立，故截面曲线扫到任意位置的参数方程为：(2-4)为了与蒙皮曲面生成法统一，对脊线的几个型值点处分别利用上式可以得到截面线沿脊线运动时经过型值点处的几条截面线，此时脊线扫描线的生成就转化为几条截面线生成曲面的蒙皮曲面生成。第一节、曲面建模中的几个关键技术1.1、曲线曲面求交（1）曲线曲面求交概述曲面求交是CAD/CAM领域最为重要也最为复杂的问题之一，被广泛应用于曲面裁剪、数控加工刀位轨迹计算以及实体造型拼合等各种运算中，求交算法的质量直接影响到整个系统的稳定性和实用程度，故具有十分重要的意义。求交问题包括曲面曲面求，曲面平面求交，曲面曲线求交，曲面直线求交，曲线曲线求交，曲线直线求交等子问题，其中最重要、难度也最大的当属曲面曲面求交问题，其他求交问题可以应用曲面曲面求交的思想予以解决。.专业学习资料.\n........所谓曲面求交就是指给定两张曲面，通过一定的算法求得两张曲面所有交线（相切情况包括切点和切线）的过程，国外在这方面的研究始于60年代，发表的论文专著非常丰富，South和Kelly使用网格法计算双三次曲面片等高线的方法进行求交，Sederberg和Owen等提出将参数曲面转化为代数方程，并应用求解代数方程组的方法来处理参数曲面的求交问题。Dokken等人则利用Bezier等曲面所具有的离散分割性，利用小平面片逼近的方法纯几何地处理曲面的交线。Sabin和Barnhill等人提出根据交线的代数几何性质采取迭代和追踪相结合的方法沿着交线走向去寻找下一交点，从而得到所有的交线。由于使用单一的方法无法适应复杂情况的求交，Koparkar等人得出结合多种方法去解决曲面的求交问题。国内自70年代以来，由于开发几何造型及数控加工系统的需要，对曲面求交问题也进行了大量的研究工作。北京航空航天大学在70年代完成了用代数法及对分法进行曲面求交的软件包。彭群生应用离散分割的思想解决B样条曲面的注交。汪国昭、张定华提出了适用于Bezier曲面求交的离散分割层次的确定方法。姜寿山、马德昌、雷毅和陶建伟等在曲面求交等领域也做了许多有成效的工作。（2）曲面求交算法应满足的要求总体上讲，对曲面求交算法大致有如下三点要求：1）稳定。鉴于曲面求交的重要性，求交算法必须满足稳定性要求，其中包括不会导致求交失败及能够找到所有交线段。2）准确。求得的交线必须符合给定的容差要求，否则得到的交线没有任何意义。3）快速。由于在CAD/CAM系统中需要进行大量的求交运算，因此求交算法的运算速度具有至关重要的意义。.专业学习资料.\n........现有的算法还不能完全满足上述三项基本要求，多数算法仅能满足其中的一项或两项，对某一类特殊曲面的求交问题，有的算法可以同时满足上述三项要求，但不适用于其他类型曲面的求交。因此，稳定、准确和快速地解决复杂曲面的求交一直是相关研究领域的前沿课题。（3）曲面求交的基本类型曲面可以用代数方程和参数方程两种形式来表达，因此可以将曲面求交问题归纳为如下三种基本类型：1）代数/代数曲面求交；2）代数/参数曲面求交；3）参数/参数曲面求交对于情况1），两张曲面均采用代数方程中的显式方程表达。设两曲面议程分别为和，则两曲面的交线可以表述为亦即时式是一个以x，y为变量的二元方程，若令其中的一个变量如x（或y）在区域范围内以一定步长变化，则对于每一个给定的x（或y）值，或均为中一变量y（或x）的一元高次方程，故可用任意一种数值方法（如牛顿法、对分法、黄金分割法等）求解。该方程可能有解也可能无解，有解时也可能存在多个解。方程无解意味着在给定的x（或y）处无交点，需继续前进求解其他交点。有多个解意味着有多个交点。然后再根据给定的x（或y）和求得的y（或x）及曲面方程求得z值，从而得到交点（x、y、z）。最后，根据交点间的关系将多个交点连接成交线，求交过程完毕。代数/代数曲面求交主要应用于计算以解析方程表示的各种二次曲面以及平面间的交线。对于情况2），两曲面中的一张以代数方程中的隐式方程表示，其方程为另一张曲面以参数方程表示，其方程为此时两张曲面的交线可以表达式为.专业学习资料.\n........式是一个以u，v为变量的二元方程，也可以应用数值方法求解得到交线。这种情况常见于以解析方程表示的二次曲面、平面与以及B样条、Bezier方法等表示的参数曲面间的求交。对于情况3），两曲面均为参数方程形式。若参数曲面分别为P（u，v）和q（s，t），则其交线方程可表示为由于P（u，v）和q（s，t）都为三维矢量，因此上述方程等价于可见，该交线方程有四个变量，由三个非线性方程组成。理论上，可令一个变量以定步长变化，而后求解三元非线性方程组以得到交点的另外三个参数值，进而得到交点，但实际上非常困难。在实际工作中常采取其他方法，如代数法（解析法）、网格离散法、分割法、迭代法和追踪法等。由前述可知，对于代数/代数曲面及代数/参数曲面求交问题，均可转化为比较经典的一元高次方程来求解，较易处理，参数/参数曲面求交则较为复杂，无法直接转化为一元高次方程。本章主要论述求解参数/参数曲面交线的方法。（4）参数\参数曲面求交的基本方法参数/参数曲面求交方法很多，大致可将其归纳为如下几类：1）代数法。也称为解析法。其主导思想是充分利用有关代数曲面求交的现有成果，将其应用到自由曲面的求交中。通常是将自由曲线曲面的参数表达式精确或近似地转换为.专业学习资料.\n........代数方程的形式，从而将参数/参数曲面求交问题转化为代数/代数曲面或代数/参数曲面求交问题，并利用求解一元高次方程得到交线。这种方法在计算低幂次（二次以下）曲面片间的交线时可以获得较好的效果。但对于三次以上的自由曲面，特别是有理曲面的求交，交线代数方程阶数将非常高。例如，由一张双三次曲面片转化的将为一含有324项的18次代数方程。采用代数法对两张双三次曲面片求交，交线方程为324次。可见，对于一般参数曲面，利用这种方法求交，无论是准确性、稳定性还是计算效率均难以保证，因此实际上较少采用。2）网格离散法。该法的基本思想是先将曲面离散为由小平面片组成的网格，当网格足够细密时，可以认为已经非常接近真实曲面。对分别表示不同曲面的两张网格，利用平面片求交法求得交线，并以此交线近似代表曲面间的交线。该法原理简明，便于实现，适用范围广，任意参数曲面可利用该方法求交。但为获得精确的交线，则必须生成非常细密的网格，这将导致占用内存多计算花费大。因此，实际工作中很少单一使用网格法，而常将其与其他方法结合使用。3）分割法。该法与网格离散法有些类似，都是以小平面片的交线代替曲面的交线。所不同的是分割法不是将曲面直接离散，而是基于Divide-Conquer思想，亦称测试-离散思想，即在对两曲面片离散之前，先利用曲面片的凸包进行相交测试，并只对凸包相交的曲面片进行细分。将凸包相交的曲面片细分为四个子曲面片，对两张曲面的子曲面片重复前述过程，直到子曲面片满足求交的精度要求，而后以平面片的交线代替曲面片的交线。分割法仅对可能相交的曲面片细分，既减少了需要的存储空间，又加快了测试和求交速度，因而其效率显著优于同甘共苦格离散法。但分割法需要应用曲面的凸包性和分割性，故仅适用于Bezier和B样条曲面，而难以应用于如Coons曲面和等距面等其他参数曲面。分割求交的精度比较低，这是因为平面片的交线偏离真实交线的误差比较大。实际应用中，分割法也需要与其他方法结合才能获得比较满意的效果。.专业学习资料.\n........4）迭代法。迭代法本身并不能构成一个独立的求交方法。与所有不动点迭代法一样，应用迭代法求交法求交线之前，首先必须给出交点的初始估计值，而交点的初始计值必须通过其他求交方法得到。因此，迭代求交常同其它求交方法结合使用，作为交点精化的一种手段。迭代法的主要过程是根据初始估计点的几何性质（如坐标位置、切矢、法矢、曲率等）运用Newton方法得到一个较原估计点更接近于目标点（即精确交点）的估计点。如此反复进行，直到求得的交点满足所要求的精度。该法的优点是在初值比较好时其收敛速度非常快，而且能应用于任意参数曲面包括Coons曲面和等距面等，因此应用非常广泛，其主要缺点是对初值的要求比较苛刻，初值选择不当有可能导致迭代不收敛。5）追踪法。追踪法最初是由Melson和Arnases等人提出。其主要思想是，在已知某一点为两曲面交点的前提下，以该点为起点，沿着交线前进方向搜索下一个交点；重复上述过程，直到求得交线上的所有交点。该法的优点是适用范围广，可用于任意参数曲面，而且计算速度局，占用内存少。追踪法的关键是初始点的获得比较困难，如何求得所有交线的初始点一直是人们的研究热点，也是追踪法的关键所在。初始交点选取不当将导致追踪方法失败。上述各种求交方法各有利弊，单纯使用任何一种方法都无法解决应用中可能遇到的各种复杂情况。正因为如此，扬长避短、综合利用几种方法的思想逐渐为人们所接受。为了保证实用性，目前的CAD/CAM软件都利用了综合方法。本书也采纳这一思想，综合利用分割法、网格离散法、迭代法和追踪法等各种方法的特点。具体措施是对于NURBS曲面求交，采用分割法与迭代法相结合，利用分割法得.专业学习资料.\n........到所有交线的拓扑结构和交点的估计值，并运用Newton迭代法将估计到精确交点上。实践证明，该法可较好地解决NURBS曲面的求交问题，速度比较快，精度高，而且比较稳定，一般不会发生漏交。对于某些特殊的参数曲面如Coons曲面、等距面等的求交问题，由于不能应用分割法，必须综合应用网格离散法、迭代法和追踪法三者，先利用网格离散法、迭代方法获得交线的初始点，再运用追踪法求出所有的交线。虽然网格离散法会降低整个算法的速度，但其适用范围比较广，可用于任意参数曲面的求交，并取得比较好的效果。混合法的主要步骤如下：步骤1：参数曲面的自适应几何分割参数曲面的自适应几何分割的目的在于获取在给定的逼近容差下的参数曲面的线性三角形逼近。几何分割是在曲面的参数域不断地四分或者二分即可得参数曲面的线性逼近表示。它表示为一树结构，树的根节点表示原始参数曲面，叶节点为参数曲面的线性表示。步骤2：交线初始点的获取获取交线初始点的目的在于为交曲线的追踪提供必要的初始信息：起始点和起始追踪方向。它们是通过求两参数曲面的线性三角形逼近之间的交点来确定。注意，此时所得到的是初始交点的估计参数值，要对它们进行精确化处理，才能得到初始交点的精确参数值。步骤3：交曲线追踪图2-5交曲线追踪示意图交曲线的追踪包括如下几个过程：首先是确定追踪方向，通常追踪方向是由两曲面在初始交点处的法矢的叉乘矢量决定的；其次是确定追踪步长，一般可以给定追踪步长，也可以由当前交点的密切圆和弦高误差来确定；第三，追踪交曲线上的下一个交点，这可通过求得由两曲面在当前交点处的泰勒展开式及追踪方向与追踪步长所确立的.专业学习资料.\n........线性方程组从而获得下一个交点的估计参数值，再通过交点精确化过程就可获得下一个交点的精确参数值。正常结束追踪过程的准则是：两次碰到曲面的边界或奇异点；当前交点落在第一或第二个交点之间。在混合求交算法中，交曲线追踪（如图2-5所示）是最关键的一环，下面结合图示详细说明。假设两曲面为，。问题1：追踪方向的确定。若起始点或追踪中得到的交点处两切平面不平行，则追踪方向可由两曲面在该交点的两个法矢的矢量确定，假定曲面在交点处的法矢为，则图2-6追踪步长d的确定问题2：追踪步长d的确定。当追踪步长不是给定时，则可以由当前交点的密切圆和弦高误差来确定。如图2-6所示，假定R为密切圆半径，EPS为弦高误差，则：问题3：交曲线追踪方法。在已知当前交点参数值,追踪方向及追踪步长d之后，就要确定一个交点的估计参数值,其中：。可由下列线性方程组确定：.专业学习资料.\n........前面三个方程是由两曲面在当前交点处的泰勒展开式确定，后一个方程则是由追踪方向及追踪步长确定。问题4：初始交点的精确化处理。假定是初始交点或者曲面邻近点对在两曲面和上的参数估计值，则可进行如下Newton-Rophson迭代，得到初始交点的精确参数值：如果交点精确化处理失败，则将步长减半，重新进行交曲线追踪和交点精确化处理。1.1、过渡曲面过渡面（Blending面）是在相邻曲面间形成的光滑过渡曲面。过渡曲面的生成算法是几何造型的重要问题，受到了广泛注意。过渡曲面生成算法的种类很多，也可以按不同的标准进行分类。按过渡曲面处理对象的不同，过渡曲面生成法可分为：整体构造法与局部构造法，其中局部构造法又可进一步细分为：顶点过渡曲面构造法、棱边过渡曲面构造法及区域过渡曲面构造法等(见图2-7，2-8.专业学习资料.\n........)。按过渡曲面生成机理的不同，过渡曲面生成法又可分为：N边域过渡曲面构造法、等半径过渡曲面构造法、变半径过渡曲面构造法、脊线过渡曲面构造法及截交线过渡曲面构造法等。图2-7过渡曲面a--棱边过渡曲面b--顶点过渡曲面图2-8过渡曲面a--过渡区域b--区域过渡曲面在实际运用中，处理两相交曲面在相交棱边处的等半径过渡曲面构造法是最常用的一种方法，因为它与数控加工中曲面间过渡区域的自动生成机理是一致的。下面就简要介绍等半径过渡曲面构造法的主要机理。我们称过渡曲面所要光滑连接的曲面为基面，那么等半径过渡曲面就可以看作是由一等半径球体沿两基面形成的“槽”滚动的结果。显然球心距离参数曲面恒等于球体的半径，此球半径称为过渡曲面的圆角半径。根据蒙皮技术生成曲面的要求，要想构造出过渡曲面，关键在于如何构造出过渡曲面上的若干截面线。图2-9滚动球任意位置中心及接触点示意图当滚动球处于两基面的任意位置时，如图2-9所示显然滚动球中心是两基面等距曲面交线上的一点，、则是与该点对应的两基面上的接触点。过、、.专业学习资料.\n........点作一平面，我们就可以在这个平面内构造出过渡曲面的一个截面线。为了保证过渡曲面与两基面的一阶连续，就必须保证过渡曲面与两基面在、处有相同的法矢，因此平面内的截面线在、端点处的切矢就要垂直于两基面在、处的法矢。由以上条件就可以构造出过渡曲面在平面处的一个截面线。当滚动球中心沿两基面等距曲面的交线移动时，我们就可以得到构成过渡曲面的一簇截面线，而后再利用蒙皮技术就可以生成等半径的过渡曲面。由上面的论述可以看处，等半径过渡曲面构造法的关键就在于求两基面等距曲面的交线，以及两基面上的接触线。1.1、曲线曲面光顺在飞机、汽车、船舶以及家用电器等计算机辅助设计中，人们对产品外形有很多方面的要求，其中之一是外形的光顺性（fairness），就不能满足产品的设计要求，也不便于加工。因此，曲线、曲面的光顺处理就成为CAD/CAM中非常重要的一个问题，因此受到了人们的广泛关注。国内外许多学者对引作了大量研究，交提出了很多光顺方法。国际上对光顺处理的研究大约始于60年代初，主要应用于船体数学放样，最小二乘法是当时最有影响的一种光顺方法。1969年，Hosake在能量极值的基本上最早提出了用于空间三次参数样条曲线光顺和网格光顺的能量法。1983年，Kjellander提出了一种三次参数样条曲线和双三次参数样条曲面的局部光顺方法，1987年，Farin等提出了一种通过“节点删除与插入”对B样条曲线进行光顺的方法。1988年，Lott等提出了B样条曲面光顺的能量法。我国学者也在这方面作了很多工作。从1974年起，山东大学和沪东造船厂协作，在船体数学放样的实践中，提出.专业学习资料.\n........了圆率光顺的概念。同年，苏步青和忻元龙提出了基样条法。1975年，齐东旭等提出了一种强调保凸性质的数值拟合方法，称为磨光法（亦称盈亏修正法）。1977年，董光昌提出了一种新的光顺方法，称为回弹法。近年来，北京航空航天大学也在曲线曲面光顺方面作了大量工作。关于曲线、曲面光顺处理，需要解决两个基本问题：a、什么样的曲线、曲面才是光顺的（fair），即光顺准则（fairingcriterion）如何定义；b、对于不光顺的曲线、曲面，如何进行一定的数学处理使其光顺性得到满足或改善，即采取何种光顺处理方法。a、什么样的曲线、曲面才是光顺的？直观上来看，直线、圆弧、平面、球面等简单几何形状是光顺的。如果一条曲线拐来拐去、有尖点或许多拐点，或一张曲面上有很多皱纹、凸凹不平，则无们认为这样的曲线和曲面是不光顺的，此外，在船体数学放样，通常认为在插值于给定型值点的所有曲线、曲面中，通过这些型值点的弹性木样条或弹性薄板是最光顺的。但很难给光顺性下一个准确的定义，光顺性仍然是一个模糊的概念。这是因为光顺性涉及几何外形的美观性，难免受主观因素的影响。此外，在不同的实际问题中，对光顺的要求也不同。因此，迄今为止对光顺性还没有一个统一的标准，在不同的文献中对光顺准则有不同的提法。但光顺性也有其客观性的一面，不同的文献中对光顺准则的提法虽有差异，但是有很多共同点。对于平面曲线，苏步青、刘鼎元给出了如下的光顺准则：二阶参数连续（连续）、没有多余拐点、曲率变化较均匀。施法中又增加了“应变能较小”.专业学习资料.\n........这一条，其光顺准则为：二阶几何连续（指位置、切线方向与曲率矢连续，）、不存在奇点与多余拐点、曲率变化比较均匀、应变能较小。可以发现，后者前三条准则和苏步青、刘鼎元给出的准则基本一致，已为大家所普遍接受，其合理性是显而易见的。第四条准则基于“物理样条是光顺的”这一事实，它是能量法的基础。至于空间曲线，马利庄和石教英给出了如下的光顺准则：①二阶光滑性、曲线的二阶导矢连续，从而曲率连续；低次样条曲线（二次）在节点处的曲率可能有一个跳跃，此时要求跃度和尽可能小。②不存在多余拐点，即不允许出现下述情况：曲线应出现G个拐点，而拟合（插值、逼近）时出现了多于G个拐点；不应该出现拐点的地方出现了拐点。③曲率变化比较均匀，当曲线上的曲率出现大幅度改变时，尽管没有多余拐点，曲线仍不光顺，因此要求光顺后曲线的曲率变化比较均匀。④不存在多余变挠点（变挠点指挠率为零的点，通常与挠率变号点相关），即不允许出现下述情况：曲线应出现H个变挠点，而拟合（插值、逼近）时出现了多于H个变挠点；不应该出现变挠点的地方出现了变挠点。⑤挠率变化比较均匀：挠率不连续（节点处左、右挠率差）跃度和足够小，即挠率的变化比较均匀，无连续变号。曲面的光顺准则更为复杂，通常根据曲面上的关键曲线如u，v方向的参数线，或曲面与平行于坐标平面的一系列平面的截线等）是否光顺以及曲面的曲率（主曲率、高斯曲率、平均曲率等）的变化是否均匀等来判断。马利庄和石教英给出了如下的曲面光顺准则：关键曲线（如飞机或船舶贡面的骨架线）光顺；网格线无多余拐点（或平点）及变挠点；主曲率（低次曲面）在节点处的跃度和足够小。以上所讨论的都是局部光顺准则。在能量法光顺中，将曲面看作弹性薄板，采用“弹性薄板的应变能较小”.专业学习资料.\n........作为光顺准则，这是一种整体光顺准则。此外，在汽车工业中，还常用平行光照射到车身上来检查曲面的光顺性。需要说明的是，上述光顺准则仍然只是对曲线曲面光顺性的一个大概的、定性的描述，在实际使用时还需对其用定量的描述。此时，不同光顺方法中，所采用的光顺准则也也不尽相同。和光顺有联系的另一个概念是光滑（smooth），“光滑”和“光顺”很容易被混淆。其实这二者既有很多联系又有某些细微的差别。“光滑”通常指曲线曲面的参数连续性或几何连续性，主要是从数学的角度来考虑，有严格的数学定义。从字面上理解，“光顺”包含“光滑”和“顺眼”两方面的含义，既有数学上连续性的要求，更侧重功能（如美学、数控加工、力学等）方面的要求。事实上，一条数学上连续的曲线可能并不光顺（因其曲率及挠率的变化可能很大）。而一条看上去很光顺的曲线可能仅达到或连续。但光滑与光顺的二者又有很多联系，在曲线、曲面的曲率较小情况下，通常可通过提高曲线、曲面的连续阶以达光顺曲线、曲面的目的，使得曲率的变化较均匀。早期的文献中对这二者并不严加区分，故smooth一词有时也被译成“光顺”。目前，在CAD/CAM中，曲线曲面的设计与表示都是通过计算机来实现的。因此，如何借助计算机分析曲线曲面的光顺性，是光顺性研究的一个基本问题，也是曲面造型系统中应该提供的基本工具。对于曲线，方法比较简单。常用的方法是画出曲线的曲率（对于平面曲线，通常采用相对曲率）随弧长变化的图形，即曲率图；也可以直接在原曲线上画出表示曲率半径大小的直线段，然后根据光顺准则进行分析。对于空间曲线，还可以进一步画出挠率随弧长变化的图形，即对挠率图进行分析。对曲面的光顺性则复杂得多。.专业学习资料.\n........第一节、其它曲面造型方法1.1、散乱点插值曲面（1）概述散乱数据插值（scattereddatainterpolation）是一个经典的研究领域，其历史可追溯至本世纪20年代，迄今为止，与其相关的论著多达3400项，目前，散乱数据插值技术已广泛地应用于各类科学研究和工程技术中，如气象、勘探、医学、环保、可视化以及测量造型等，在CAD/CAM中，散乱数据插值主要研究根据给定散乱数据点构造光滑曲面的理论与方法。1968年，Shepard研究了非规则分布数据的二维插值函数，给出了最小二乘距离加权插值算法，1973年，Barnhill等人从曲面造型的角度分析散乱数据插值，给出了三角形上的BBG格式（Barnlihh-Birkhoff-Gordon）。此后，许多学者从不同角度探索了散乱数据插值曲面的构造。1982年，在Stanford大学专门讨论了散乱数据插值曲面问题，总结了当时已取得的成果，并出版了论文专刊，即洛基山数学期刊1984年14卷第一其，Farin则提出了构造C1连续三角Bernstein-Bezieram曲面的方法和步骤.整个80年代直至90年代，国外对该领域的研究从未间断过，涌现了大批文献。国内对散乱数据插值曲面的研究始于80年代，十余年来，已取得许多成果，其中包括山东大学、西北工业大学、南京航空航天大学、浙江大学、北京航空航天大学以及其他机构所从事后理论与应用研究。根据给定散乱数据构造插值曲面的一般过程如下：a、对给定的散乱数据点进行三角剖分，并作必要的修正。.专业学习资料.\n........b、计算三角网格边界条件，构造初始三角曲面。c、构造整体G1连续的散乱数据插值曲面（2）散乱数据三角剖分的基本概念散乱数据的三角剖分（以下简称三角剖分）是构造散乱数据插值曲面时必不可少的前置处理，三角剖分可分为三维散乱数据投影域的剖分和在空间直接剖分两种类型。散乱数据的投影域包括平面域和球面域。直接三角剖分方法研究如何直接将三维散乱数据点在空间连接成一个最优的三角网格。a、与三角剖分有关的若干定义为便于讨论散乱数据的三角剖分，先给出与三角剖分有关的一些基本概念。域分割——给定平面上（或空间中）n个不相重的散乱点，对每个散乱点构造一个域，使该域内的任一点离此散乱点比离其他散乱点更近，这种域分割称为Dirichlet域分割，又称Voronoi图，由定义可知，域边界是连接两相邻散乱点的直线的垂直平分线（或面）。Delaunay三角化——对平面上（或空间中）的散乱数据点进行域分割后，将具有公共域边界的散乱点对相连形成的三角剖分称为Delaunay三角剖分，如图所示。Lawson曾给出一个n维Delaunay三角剖分的定义，有兴趣的读者可参阅文献。对于给定的一组散乱数据点，可获得无限种不同的三角剖分，其中Delaunay三角剖分为最优。二维的Delaunay三角剖分由满足最小内角最大准则的三角形组成，三维的Delaunay三角剖分由满足球面准则的四面体组成。最小内角最大准则和球面准则将在下一小节给出。优化——对三角网格进行优化，就是要使三角网格整体上尽量均匀，避免出现狭长三角形，亦即获得Delaunay三角化。.专业学习资料.\n........b、三角剖分优化准则在三角剖分过程中，我们往往用一种比较简单的方法构造散乱数据点的初始三角剖分，然后对其进行优化以获得Delaunay三角剖分。优化的方法和效果聂决于所采用的优化准则。常用的优化准则有Thiessen区域准则、最小内角最大准则、多面体体积最大准则及空间光顺准则等。前三者为平面三角剖分优化准则，Sibson证明了这三个准则的等价性，并指出符合这三个准则的三角剖分只有一个，即Delaunay三角化，其余各准则可视为空间三角网格的优化准则。最小内角最大准则——对一个严格凸的四边形进行三角化时，有两种选择。最小内角最大准则就是要保证对角线两侧两个三角形中的最小内角为最大，如图所示。圆准则和球面准则——严格凸四边形中的三个顶点确定一圆，如果第四个顶点落在圆内，则将第四个顶点与其相对的顶点相连，否则将另两个顶点相连，称为圆准则。如图所示。球面准则可表述为：对于两共面的四面体A和B，若A的不属于B的顶点位于B的外接球内，则需对两四面体的拓扑关系进行变换；若位于B的外接球外，则两四面体不作变换，保持其拓扑关系不变。ABN准则（AnglesBetweenNormals）——设T是散乱数据点集的三角剖分。定义每一条内边e的权值c（e）为与之相邻的两个三角面法矢的夹角。若两三角面处于同一平面上，则c（e）=0。对一个严格凸的四边形三角化时，有两种选择。设这两种对角线连接分别为e和e′，ABN准则就是要选择c（e）和c（e′）中权值较小的一种三角化结果。光顺准则——对一个严格凸的四边形三角化时，有两种选择。设这两种对角线连接分别为e和e′.专业学习资料.\n........，c（e）为连接对角线e时，四边形四条边上三角形对的夹角中的最小值，c（e′）为连接对角线e′时，四边形四条边上三角形对的夹角中的最小值。光顺准则就是要选择c（e）和c（e′）中数值较小的一种三角化。c、优化与退化局部优化与全局优化。局部优化指的是对任意一个凸四边形的对角线，依据某种优化准则做交换测试后所得到的三角剖分。全局优化则指三角剖分T中每一条内边上的两三角形所形成的凸四边形都满足局部优化的三角剖分结果。当n+1个以上的点同处于一个n维超球面时，即为退化。构造平面delaunay三角剖分时，若四个或四个以上的散乱数据点共圆，则退化。对于三维情况，当五个或五个以上的散乱数据点位于同一球面上时，出现退化情况。导致退化的共圆点或共球点称为退化点。真正的退化情况并不多见，它不影响剖分结果。但由于浮点计算误差而引起的近似退化却有可能发生。近似退化会引起优化过程中的交换测试判断发生错误，从而导致非法的剖分结果。近似退化造成的算法失败主要表现在退化点附近的散乱数据点邻接关系记录混乱。解决这一问题的方法是轻微扰动退化点，对其位置做出确切判断。Edelsbrunner等提出了消除退化情况的SoS扰动方法。退化也泛指散乱数据点中重合投影点及四边形顶点近似共线等情况。（3）三角网格边界条件计算的基本概念空间三角网格的边界条件指空间三角网格顶点、各顶点处的法矢及各顶点处沿边界方向的两个切矢。以单张三次三角曲面片为例：边界条件包括三个顶点PP和P及顶点处沿边界方向的切矢D和顶点处的法矢，如图所示。.专业学习资料.\n........在三角网格的每个三角形上构造三角B-B曲面片时，必须事先给定每个顶点上的法矢及顶点处沿曲面边界的切矢。而法矢和切矢都是未知量，只能用估算的方法给出，在必要时再对其进行调整。国内外很多学者就散乱数据点处偏导数的近似计算问题进行了比较深入的分析研究。实验表明，偏导数的估算精度对散乱数据点的曲面值有很大矢和切矢。必须直接通过三角网格估算每一顶点的法矢和切矢。（4）散乱数据插值曲面的基本概念构造散乱数据插值曲面系指散乱数据点经三角剖分后，在网格的每个三角形上构造插值于三顶点的三角B-B曲面片，并使各曲面片间满足一定的连续性要求（在工程中常要求达到G1连续）。插值于给定散乱数据点的曲面有无穷多个。Piper指出，在三角网格上构造G1连续散乱数据插值曲面需采用四次三角B-B曲面片，并用反例说明了三次三角B-B曲面片并不总能构造出G1连续的散乱数据插值曲面。用三角B-B曲面片构造散乱数据插值曲面的原理和步骤如下。原理——用四次三角B-B曲面片构造散乱数据插值曲面的原理是：根据边界条件在三角网格上构造初始的三次三角B-出工面片；调整与各顶点相邻的控制顶点，使各顶点处满足G1拼接的相容性要求；将曲面片由三次升阶到四次；为了给曲面片沿边界拼接提供足够的自由度，对曲面片进行C-T分割，将一个曲面片分割为三个子曲面片；调整各子曲面片的控制顶点，保证各子曲面片间G1连续。算法步骤——构造G1连续散乱数据插值曲面的算法如下：a、在具有边界条件的三角网格上构造初始三次三角B-B曲面片。b、调整与各顶点相邻的控制顶点，使各顶点处满足连续性相容条件。c、将曲面片由三次升阶到四次。d、对曲面片进行C-T分割，将一个曲面片侵害为三个子曲面片。.专业学习资料.\n........e、调整各子曲面片的控制顶点，保证其父曲面片边界G1连续。1.1、变形造型技术为了更方便、直观地构造和编辑三维形体，Barr率先将变形思想引入到几何造型领域。他模拟了力学中常见的几种变形，如拉抻、均匀张缩、扭转和弯曲等，并给出了这些变形的数学表示，应用Barr的方法，可生成许多类型的三维几何形状。由于该法仅能用于特定的几何形体，一般称其为非自由型变形。以后许多学者继续探索如何将变形造型方法融合到传统的CAD/CAM系统以及如何进行自由变形。1986年，Sederberg和Parry提出了一种崭新的变形算法，称为自由变形（Free-FormDeformation），简称FFD。该算法假定物体有很好的弹性，在外力的作用下易于发生变形。应用该法进行造型，需先构造一个长方体的框架，将物体置于框架中。当框架受外力作用而变形时，物体的形状亦随之改变。Sederberg等研究了FFD方法的连续性控制、局部变形、体积控制及其应用，并得出了许多有益的结论。为使FFD方法的效果更好、效率更高、界面更友好，人们进行了更深入的研究。其中，扩展的自由变形(ExtendedFree-FormDeformation，简称EFFD)和直接控制自由变形(DirectManipulationofFree-FormDeformation，简称DFFD)是两项比较重要的成果。此外，Zhu研究了基于B样条表示的变形，Kalra等探讨了有理自由型变形（RationalFree-FormDeformation，简称RFFD）的应用，Lamousin等则研究了基于NURBS的自由型变形。紧随国际上的发展，国内也开发了自由型造型技术的研究，最新取得了成果见文献等。.专业学习资料.\n........1.1、用偏微分方程构造曲面为了探索更有效的曲面造型方法，英国Leeds大学Bloor等人研究了用偏微分方程（ParbialDifferentialEquation，简称PDE）构造自由曲面的方法，并将其引入CAD/CAM领域，他们曾用PDE方法构造了过渡面、自由曲面和N边域曲面，还研究了该法要功能曲面设计中的应用。理论上，飞机外形、船体和螺旋浆叶片的曲面都可用PDE方法构造。PDE方法使用一组椭圆偏微分方程构造曲面，曲面的形状由所选择的偏微分方程和给定的边界条件确定。用PDE方法构造曲面的特点如下：1）构造曲面简单易行，给定了曲面的边界及其上的跨界导矢，即可生成一张光滑的曲面。2）曲面由其参数的超越函数表示而非简单的多项式，故所得曲面自然光顺。3）除曲面边界和跨界导矢外，尚可调整方程中的一个物理参数来修整曲面的形状1）在功能曲面设计方面有很大潜力。由航空科学基金资助，我们于90年代中深入研究了PDE方法。研究内容涉及过渡面、自由曲面和N边域曲面的构造，PDE曲面的B样条表示和在飞行器过渡面设计中的应用。1.2、能量优化法曲线曲面造型.专业学习资料.\n........曲面造型技术经过和三十多年的发展，已经比较成熟。B样条逐渐取代了先后出现的Coons曲面、Gordon曲面、Bezier曲面等而占据主导地位，并以之为基础，发展出了插值、求交、裁剪、光顺、蒙面、扫成等到一系列算法。但是，随着CAD/CAM技术应用领域的不断扩展，人们对它的要求也在不断提高。传统曲面造型方法中的造型手段过于简单、不便于用户使用，且难以实现曲面的有效修改。尤其在汽车覆盖件、家用电器等需要艺术造型的创造性设计中，设计师们往往是事倍功半，效果不佳。寻找更新更灵便的造型方法已成为一项非常紧迫的工作。本章所要介绍的能量法曲面造型就是在这种背景下产生的。1987年，加拿大学者Terzopoulos等将基于物理能量模型的可变形曲线曲面造型技术引入计算机图形学中，用来模拟圆球压在弹性立方体上引起的变形、旗帜在风中飘摆以及地毯的飘落等动态过程，取得了非常好的效果，引起了广泛的重视。Terzopoulos系统地介绍了基于Lagrange方程的物理能量模型、各种外载荷的建立以及约束的处理，并用差分方法求解偏微分方程得到能量曲面，为能量优化造型奠定了基础。1991年，MIT的Gossard教授和Celniker博士进一步发展了能量优化思想，将其引入到自由曲线曲面的交互设计中，提出用基于特片线的方法来提高曲面设计的灵活性。他们的方法是以能量模型为目标函数，以各种特征线为约束，结合外载荷控制调整开头利用有限元和Hermit函数求解能量曲线曲面。应用该法比较成功地构造了N边域曲面和基于特征线的曲面，并应用于曲线光顺等问题。Gossard认为新方法有可能从根本上解决传统曲面造型手段落后、曲观修改过程繁杂的弊端。MIT的工作立刻引起了学术界和产业界的共同重视和积极响应，促使能量优化思想进一步走向实用和成熟。此后，学术界对该方法进行了更深入的发掘和研究，发表了一系列论文。其中：Welch和Witkin进一步研究了能量优化中的型值点、参数曲线、法矢等约束的作用，介绍了Null-Space.专业学习资料.\n........Projection约束处理方法。更重要的是，他们已经开始采用B样条方法来描述能量曲线曲面模型。此外，Wesselink作了类似的研究，他将能量优化思想引入到曲线的交互设计和个性中，提出用型值点、法矢及曲线约束构造引力操作符以便用户能直观地控制曲线的形状。Moreton利用能量优化方法，以曲线曲面的曲率变化为目标函数，求解用Bezier方法描述的三边、四边网格蒙面曲面。Qin采用能量优化模型构造动态NURBS（D-NURBS）曲线曲面，提出基于四边、三角域的D-NURBS处理方法，并将该方法应用于散乱数据拟合、多截面蒙面、实体造型中的圆角过渡以及三维变形中，取得了较好效果。Hagen和Leon等到人在能量模型选择、能量曲线曲面求解方法等方面都做出了比较突出的贡献。国内在能量优化法曲面造型方面的研究刚刚起步，从公开发表的文献上看，目前主要集中在北京航空航天大学制造制造工程系。由国家自然科学基金委员会资助，该系703教研室和721研究所均对能量优化造型方法进行了有益的探索，并取得了一定的成果。关志东、经玲等利用有限元方法通过求解偏微分方程得到能量曲面，在对动态能量方法的Lagrange方程处理、基于物理模型的曲线曲面光顺、N边域曲面构造以及曲面过渡等方面进行了比较深入和有效的研究。害宁宋德军则利用二次规划以及非线性规划方法构造了以非均匀B样条描述的能量最小曲面，交将其应用到能量插值、网格曲面构造及非四边域曲面的造型。1.1、小波技术在曲线、曲面造型中的应用.专业学习资料.\n........小波分析是Fourier分析的突破性发展，它既是一项强有力的分析技术又是一种快速的计算工具，兼具重要的理论意义和使用价值。小波是刻划数据内部相关性结构的有力工具，在数据压缩和逼近方面具有强大威力。小波思想融合了子带编码、CAGD中分割、Littlewood-Paley理论，非线性逼近理论、分形和自相似性、样条、滤波器库、抽样理论、Calderon-Zygmund理论和图像处理中的塔式分解算法等众多领域的具体思想，是处理这些具体思想的统一框架，是众多应用领域的连接点。小波促进了各门学科的交叉和发展，其应用领域十分广泛，而且还在不断拓展。其应用范围包括数学领域本身的许多学科，以及信号分析、图像处理、量子力学、电子对抗、计算机识别、地震勘探数据处理、边缘检测、音乐与语音人工合成、计算机图形学以及众多的非线性学科。70年代后期，法国科学家Morlet在进行地震数据分析时提出了小波变换。1986年，Meyer创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进伸缩和平移构成了规范正交基，从此掀起了研究小波的热潮。1988年，Mallat在Burt和Adelson图像分解和重构的塔式算法启发下，基于多分辨分析MRA（MultiresolutionAnalysis）框架，建立了小波系数的快速算法。它在小波分析中的地位相当于快速Fourier变换（FFT）在经典Fourier分析中的地位。经典Fourier变换只反映了模拟信号f（t）在整个时域上频率ω的频谱含量，不能揭示在任意时间间隔内任一频率的频谱含量。亦即不能反映出随时间变化的频率，不能体现信号的时变特性。因此，在分析时变信号时存在严重缺陷。小波分析在保留Fourier分析优点的同时，克服了Fourier分析的这种局限性，特别适合于分析非平稳信号，因而得到了深入的研究和广泛的应用。近年来，小波分析在计算机图形学获得了日益广泛的应用，涉及的领域包括辐射度计算、曲线曲面编辑、体绘制、图像编辑、体变形和累进传输等。为了将小波技术推广应用到曲线曲面，Frinkelistein和Salesin.专业学习资料.\n........研究了闭区间上小波的多分辨理论。他们利用闭区间上的B样条小波研究了B样条曲线和张量积B样条曲面的多分辨率表示及其在多分辨编辑中的应用。Lounbery将多分辨分析及小波理论推广到任意拓扑类型的曲面，拓广了小波技术的应用对象。Eck等给出了将MRA用于任意网格的LOD（Level-of-Detail）逼近方法，使得任一多面体和网格曲面均可用多分辨率表示。Certain等扩展了MRA，可以对带颜色的网格进行多分辨率分析。Gortler和Cohen研究了小波在变分几何造型中的应用。近年来，国内学者积极开发了小波技术的应用研究。研究工作已已从信号处理、图像压缩和多尺度边缘检测等拓广到计算机图形学领域。清华大学计算机系研究课题“小波分析在大规模散乱数据可视化中的应用”，中国科学院计算所CAD开放实验室研究课题“小波分析在三维医学图像重建中的应用”，浙江大学CAD/CG重点实验室课题“基于小波的三维数据场特征绘制技术的研究”和北京航空航天大学从事的研究课题“小波分析在CAD及真实感图形生成中的应用”等国家自然科学基金资助项目反映了我国的这一研究态势。.专业学习资料.\n........计算机辅助设计与制造技术1第一单元CAD基本理论2第一章、CAD/CAM技术理论基础2第一节、概述2第二节、CAD/CAM技术发展简介3第三节、CAD/CAM系统的组成及基本类型5第四节、CAD/CAM系统应具备的基本功能74.1、CAD/CAM作业过程74.2、CAD/CAM系统应具备的基本功能8第五节、当前CAD/CAM系统常用软件105.1、在微机上运行的CAD/CAM软件105.2、工作站和中小型机上运行的CAD/CAM软件10第二章、实体造型14第一节、形体在计算机内的表示141.1表示形体的坐标系141.2几何元素的定义161.3表示形体的线框、表面、实体模型181.4形体边界及其连接关系191.5常用的形体表示方式21第二节、边界表示的数据结构与欧拉操作232.1、翼边结构232.2、对称结构242.3、基于面的多表结构242.4、欧拉操作24第三节、集合运算（1学时）283.1、一维几何元素的集合运算293.2、二维几何元素的集合运算313.3、三维几何元素的集合运算33.专业学习资料.\n........第四节、常用的其他造型方法424.1、分数维造型424.2、特征造型43第三章、曲面造型45第一节、微分几何基础451.1、曲线论预备知识451.2、曲线论基本公式471.3、曲面论预备知识481.4、曲面论基本公式48第二节、均匀B样条曲线曲面502.1、B样条曲线的定义502.2、B样条曲线的性质512.3、B样条曲线的矩阵表示512.4、B样条曲面52第三节、NURBS曲线曲面543.1、NURBS方法的提出及优缺点543.2、NURBS曲线的定义553.3、在齐次坐标下NURBS的几何意义553.4、权因子对NURBS曲线形状的影响563.5、NURBS曲面的定义57第四节、曲线曲面生成574.1曲线生成574.2、曲面生成61第五节、曲面建模中的几个关键技术645.1、曲线曲面求交645.2、过渡曲面695.3、曲线曲面光顺70第六节、其它曲面造型方法726.1、散乱点插值曲面726.2、变形造型技术756.3、用偏微分方程构造曲面766.4、能量优化法曲线曲面造型766.5、小波技术在曲线、曲面造型中的应用78.专业学习资料.