计算机系线性规划运筹学

计算机系线性规划运筹学

18九月2021第一篇确定型运筹学模型\n18九月2021运筹学是一门以决策支持为目标的学科。运筹学的英文名称是OperationsResearch(美)或OperationalResearch(英),缩写为OR，直译是作业研究、操作研究或运作研究。运筹学是OR的意译，取自成语“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，具有运用筹划、出谋划策，以策略取胜等内涵。目前国内外的管理科学与运筹学的内容基本相同。运筹学的研究内容：运筹学的内容非常丰富，应用范围非常之广，从军事、政治到管理、经济及工程技术等许多领域都能应用到运筹学的思想和方法。构成运筹学的理论大致分3个部分：（1）分析理论。主要研究资源的最优利用、设备最佳运行运筹学OperationsResearch\n18九月2021等问题。常用的数学分析方法有规划论（线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、目标规划等）、网络模型、最优控制等。随着一些新型学科的发展，还衍生了一些诸如灰规划、模糊规划、随机规划等专门的分析方法。(2)决策理论。主要研究方案或策略的最优选择问题。常用的数学分析方法有博弈论、决策论、多目标决策、存储论。(3)随机服务理论即排队论。主要研究随机服务系统排队和拥挤现象问题，讨论随机服务系统的服务效率、绩效评价和服务设施的最佳设置等问题。\n运筹学OperationsResearchChapter1线性规划LinearProgramming1.1LP的数学模型MathematicalModelofLP1.2图解法GraphicalMethod1.3标准型StandardformofLP1.4基本概念BasicConcepts1.5单纯形法SimplexMethod\n1.1数学模型MathematicalModel\n18九月20211.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大）。线性规划（LinearProgramming,缩写为LP）是运筹学的重要分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。\n18九月2021【例1.1】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源如表1.1所示。已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在计划期内总的利润收入最大？1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP1.1.1应用模型举例\n18九月2021产品资源甲乙丙现有资源设备A312200设备B224200材料C451360材料D235300利润（元/件）403050表1.1产品资源消耗1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月2021【解】设x1、x2、x3分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型为：1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP产品资源甲乙丙现有资源设备A312200设备B224200材料C451360材料D235300利润（元/件）403050最优解X=(50,30,10);Z=3400\n18九月2021线性规划的数学模型由决策变量Decisionvariables目标函数Objectivefunction及约束条件Constraints构成。称为三个要素。其特征是：1．解决问题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；2．解决问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。怎样辨别一个模型是线性规划模型？1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月2021【例1.2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表1.2所示。表1.2营业员需要量统计表商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员最少。星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四4001.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月2021【解】设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星期日开始上班的营业员，则这个问题的线性规划模型为1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP星期需要人数星期需要人数一300五480二300六600三350日550四400\n18九月20211X10C1404>=3001042X267C2301>=30013X3146C3350>=35004X4170C4400>=40005X597C5480>=48006X6120C6600>=60007X717C7550>=5500最优解：Z＝617（人）\n18九月2021【例1.3】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是1.5，1，0.7（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？【解】这是一个条材下料问题，设切口宽度为零。设一根圆钢切割成甲、乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式1.5y1+y2+0.7y3≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表1.3所示。表1．3下料方案方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.51.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月2021设xj(j=1,2…,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最少数学模型为:求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长的，最后切割最短的，不能遗漏了方案。如果方案较多，用计算机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP方案规格12345678910需求量y1(根)22111000001000y210210432101000y301023012451000余料（m）00.30.50.1o.400.30.60.20.5\n18九月20211X15002X203X304X405X506X662.57X708X809X925010X100Z＝812.51.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月2021【例1.4】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1.4所示。矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。表1.4矿石的金属含量合金矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）1251010253034024000303026030155206018042020040202305851517551901.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月2021解:设xj（j=1,2，…，5）是第j种矿石数量，得到下列线性规划模型注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP矿石锡%锌%铅%镍%杂质费用（元/t）125101025303402400030302603015520601804202004020230585151755190\n18九月20211X102X20.33333X304X40.58335X50.6667最优解：Z=347.51.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月2021【例1.5】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如下的投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最多。第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5第一年：x1+x2=200(万元)第二年：(x1/2+x3)+x4=x2第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP【解】设x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金x7：第四年新的投资x8：第四年的保留资金x9：第五年的保留资金\n18九月20211.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP1X155.28462X2144.71553X3117.07324X405X552.03256X607X7208.13018X809X90最优解：Z＝416.26万元x1：第一年的投资；x2：第一年的保留资金x3：第二年新的投资；x4：第二年的保留资金x5：第三年新的投资；x6：第三年的保留资金x7：第四年新的投资x8：第四年的保留资金x9：第五年的保留资金\n18九月2021【例1.6】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大。【解】设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是设备A、B每天加工工时的约束为要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束为1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月2021目标函数线性化。产品的产量y等价于整理得到线性规划模型约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月20211.1.2线性规划的一般模型一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量xj,j=1,2…,n，目标函数的变量系数用cj表示,cj称为价值系数。约束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达式可写成为了书写方便，上式也可写成：1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月2021在实际中一般xj≥0,但有时xj≤0或xj无符号限制。1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP\n18九月20211.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的几个应用例子2.线性规划数学模型的组成及其特征3.线性规划数学模型的一般表达式。1.1线性规划的数学模型MathematicalModelofLP下一节：图解法作业:线性规划概.DOC\n1.2图解法GraphicalMethod\n18九月2021图解法的步骤：1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非负要求的区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。一般地，将目标函数直线放在可行域中求最大值时直线沿着矢量方向移动求最小值时沿着矢量的反方向移动1.2图解法TheGraphicalMethod\n18九月2021x1x2O1020304010203040(3,4)(15,10)最优解X=(15,10)最优值Z=85例1.71.2图解法TheGraphicalMethod\n18九月2021246x1x2246最优解X=(3,1)最优值Z=5(3,1)minZ=x1+2x2例1.8(1,2)1.2图解法TheGraphicalMethod\n18九月2021246x1x2246X（2）＝（3,1）X（1）＝（1,3）(5,5)minZ=5x1+5x2例1.9有无穷多个最优解即具有多重解,通解为0≤α≤1当α=0.5时Ｘ=(x1,x2)=0.5(1,3)+0.5(3,1)=(2,2)1.2图解法TheGraphicalMethod\n18九月2021246x1x2246(1,2)无界解(无最优解)maxZ=x1+2x2例1.101.2图解法TheGraphicalMethod\n18九月2021x1x2O10203040102030405050无可行解即无最优解maxZ=10x1+4x2例1.111.2图解法TheGraphicalMethod\n18九月2021由以上例题可知，线性规划的解有4种形式：1.有唯一最优解(例1.7例1.8)2.有多重解(例1.9)3.有无界解(例1.10)4.无可行解(例1.11)1、2情形为有最优解3、4情形为无最优解1.2图解法TheGraphicalMethod\n18九月20211.通过图解法了解线性规划有几种解的形式2.作图的关键有三点(1)可行解区域要画正确(2)目标函数增加的方向不能画错(3)目标函数的直线怎样平行移动作业：教材P1033.1(a)(e)3.21.2图解法TheGraphicalMethod下一节：线性规划的标准型\n1.3线性规划的标准型StandardformofLP\n18九月2021在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。1.3线性规划的标准型StandardformofLP线性规划问题的标准型为:1．目标函数求最大值（或求最小值）2．约束条件都为等式方程3．变量xj非负4．常数bi非负\n18九月2021max(或min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn1.3线性规划的标准型StandardformofLP注：本教材默认目标函数是max\n18九月2021或写成下列形式：或用矩阵形式1.3线性规划的标准型StandardformofLP\n18九月2021通常X记为：称Ａ为约束方程的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数，一般情况m≤n，且r(Ａ)＝m。(m个方程线性无关)其中:1.3线性规划的标准型StandardformofLP\n18九月2021【例1.12】将下列线性规划化为标准型【解】（１）因为x3无符号要求，即x3取正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以令1.3线性规划的标准型StandardformofLP\n18九月2021(3)第二个约束条件是≥号，在≥号左端减去剩余变量(Surplusvariable)x5，x5≥0。也称松驰变量1.3线性规划的标准型StandardformofLP(2)第一个约束条件是≤号，在≤左端加入松驰变量(slackvariable)x4，x4≥0,化为等式；(4)第三个约束条件是≤号且常数项为负数，因此在≤左边加入松驰变量x6，x6≥0，同时两边乘以－1。（5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z′=－Z,得到maxZ′=－Z，即当Z达到最小值时Z′达到最大值，反之亦然。\n18九月2021综合起来得到下列标准型1.3线性规划的标准型StandardformofLP\n18九月2021当某个变量xj≤0时,令x/j=－xj。当某个约束是绝对值不等式时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束将其化为两个不等式再加入松驰变量化为等式。1.3线性规划的标准型StandardformofLP\n18九月2021【例1.13】将下例线性规划化为标准型【解】此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。令则有1.3线性规划的标准型StandardformofLP\n18九月2021得到线性规划的标准形式1.3线性规划的标准型StandardformofLP对于a≤x≤b(a、b均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方法。一种方法是增加两个约束x≥a及x≤b另一种方法是令x'=x－a，则a≤x≤b等价于0≤x'≤b－a，增加一个约束x'≤b－a并且将原问题所有x用x=x'+a替换。\n18九月20211.如何化标准形式？可以对照四条标准逐一判断！标准形式是人为定义的，目标函数可以是求最小值。2.用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。图解法时不必化为标准型。3.单纯形法求解时一定要化为标准型。作业：线性规划标准型.DOC1.3线性规划的标准型StandardformofLP下一节：基本概念\n1.4线性规划的有关概念BasicConceptsofLP\n18九月2021设线性规划的标准型maxZ=CX（1.1）AX=b（1.2）X≥0（1.3）式中A是m×n矩阵，m≤n并且r（A）=m，显然A中至少有一个m×m子矩阵B，使得r（B）=m。1.4基本概念BasicConcepts基(basis)A中m×m子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线性规划的一个基（或基矩阵basismatrix）。当m=n时，基矩阵唯一，当m0θi表1-4(1)XBx1x2x3x4bx3211040x4130130λj3400(2)x3x2λj(3)x1x2λj基变量110001/301/3105/31-1/3405/30-4/330103/5-1/51801-1/52/5400-1-1将3化为1乘以1/3后得到1.5单纯形法SimplexMethod3018\n18九月2021最优解X=(18，4，0，0)T，最优值Z=70O20301040(3,4)X(3)=(18,4)最优解X=(18,4)最优值Z=70X(1)=(0,0)2010x2x1301.5单纯形法SimplexMethodX(2)=(0,10)\n18九月2021单纯形法全过程的计算，可以用列表的方法计算更为简洁，这种表格称为单纯形表（表1.4）。计算步骤：1.求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中基变量的检验数必为零；2.判断：（a）若λj≤０（j＝１，２，…，n）得到最解；（b）某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解(见例1.18)。（c）若存在λk>0且aik(i=1,…,m)不全非正，则进行换基；1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021第Ｌ个比值最小，选最小比值对应行的基变量为出基变量，若有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素；(c）求新的基可行解：用初等行变换方法将aLk化为１,k列其它元素化为零（包括检验数行）得到新的可行基及基本可行解，再判断是否得到最优解。（b）选出基变量，求最小比值：1.5单纯形法SimplexMethod3.换基：（a）选进基变量设λk=max｛λj|λj>0｝,xk为进基变量\n18九月2021【例1.16】用单纯形法求解【解】将数学模型化为标准形式：不难看出x4、x5可作为初始基变量，单纯法计算结果如表1.５所示。1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021Cj12100bθCBXBx1x2x3x4x50x42－3210150x51/3150120λj121000x42x2λj1x12x2λj表1－51/3150120301713751/30－90－2M2025601017/31/31250128/9－1/92/335/300－98/9－1/9－7/3最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值Z=145/31.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021【例1.17】用单纯形法求解【解】这是一个极小化的线性规划问题,可以将其化为极大化问题求解,也可以直接求解,这时判断标准是：λj≥0(j=1，…，n)时得到最优解。容易观察到,系数矩阵中有一个3阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量。目标函数中含有基变量x4,由第二个约束得到x4=6+x1－x2，并代入目标函数消去x4得1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021XBx1x2x3x4x5bθx3x4x51-16[1]121000100015→6215621/2λj1-1↑000x2x4x51-241001-1-20100015111λj20100表中λj≥0,j=1,2,…,5所以最优解为X=(0,5,0,1,11,)最优值Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11极小值问题,注意判断标准,选进基变量时,应选λj<0的变量xj进基。1.5单纯形法SimplexMethod表1.6\n18九月2021【例1.18】求解线性规划【解】化为标准型1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021初始单纯形表为XBx1x2x3x4bx3x432－2－1100114λj－1100λ2=1>0,x2进基，而a12<0，a22<0，没有比值，从而线性规划的最优解无界。由模型可以看出，当固定x1使x2→+∞且满足约束条件，还可以用图解法看出具有无界解。1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021【例1.19】求解线性规划【解】:化为标准型后用单纯形法计算如下表所示1.5单纯形法SimplexMethod\nXBx1x2x3x4x5bθ(1)x3x4x5－111[2]2－11000100014→10225—λj24↑000(2)x2x4x5－1/2[2]1/21001/2－11/201000126→4—38λj4↑0－200(3)x2x1x50101001/4－1/2[3/4]1/41/2－1/40017/235/2→14—10/3λj000↑－20(4)x2x1x30101000011/31/3－1/3－1/32/34/38/314/310/3λj000－20\n18九月2021表(3)中λj全部非正,则最优解为:表(3)表明,非基变量x3的检验数λ3=0,x3若增加,目标函数值不变,即当x3进基时Z仍等于20。使x3进基x5出基继续迭代,得到表(4)的另一基本最优解X(1),X(2)是线性规划的两个最优解，它的凸组合仍是最优解，从而原线性规划有多重最优解。1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线规划具有唯一最优解。多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解。无界解的判断:某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。【例1.20】用大M法解下列线性规划1.大M单纯形法1.5.2大M和两阶段单纯形法1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021【解】首先将数学模型化为标准形式式中x4，x5为松弛变量，x5可作为一个基变量，第一、三约束中分别加入人工变量x6、x7，目标函数中加入―Mx6―Mx7一项，得到人工变量单纯形法数学模型用前面介绍的单纯形法求解，见下表。1.5单纯形法SimplexMethod\nCj32－100－M－MbCBXBx1x2x3x4x5x6x7－M0－Mx6x5x7－4123－1－212[1]－1000101000014101→λj3-2M2+M-1+2M↑－M000－M0－1x6x5x3－6－32[5]3－2001－1000101003→81λj5-6M5M↑0－M0020－1x2x5x3－6/5[3/5]－2/5100001－1/53/5－2/50103/531/5→11/5λj5↑000023－1x2x1x301010000111025/32/31331/319/3λj000－5-25/3\n18九月2021（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7，得到用非基变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用公式计算，如（2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；最优解X＝（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值Z＝152/3注意：1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021【例1.21】求解线性规划【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上Mx5一项，得到1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021用单纯形法计算如下表所示。Cj5－800MbCBXBx1x2x3x4x50Mx3x5[3]11－2100－1016→4λj5－M↑－8+2M0M05Mx1x5101/3－7/31/3－1/30－10122λj0－29/3+7/3M－5/3+1/3MM01.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021表中λj≥0，j=1，2，…，5，从而得到最优解X=（2，0，0，0，2），Z=10+2M。但最优解中含有人工变量x5≠0说明这个解是伪最优解，是不可行的，因此原问题无可行解。两阶段单纯形法与大M单纯形法的目的类似，将人工变量从基变量中换出，以求出原问题的初始基本可行解。将问题分成两个阶段求解，第一阶段的目标函数是约束条件是加入人工变量后的约束方程，当第一阶段的最优解中没有人工变量作基变量时，得到原线性规划的一个基本可行解，第二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解。当第一阶段的最优解w≠0时，说明还有不为零的人工变量是基变量，则原问题无可行解。1.5单纯形法SimplexMethod2.两阶段单纯形法\n18九月2021【例1.22】用两阶段单纯形法求解例19的线性规划。【解】标准型为在第一、三约束方程中加入人工变量x6、x7后，第一阶段问题为用单纯形法求解，得到第一阶段问题的计算表如下：1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021Cj0000011bCBXBx1x2x3x4x5x6x7101x6x5x7－4123－1－212[1]－1000101000014101→λj2－1－2↑1000100x6x5x3－6－32[5]3－2001－1000101003→81λj6－5↑0100000x2x5x3－6/53/5－2/5100001－1/53/5－2/50103/531/511/5λj000001.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021最优解为最优值w=0。第一阶段最后一张最优表说明找到了原问题的一组基可行解，将它作为初始基可行解，求原问题的最优解，即第二阶段问题为1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021Cj32-100bCBXBx1x2x3x4x520－1x2x5x3100001010λj5↑000023－1x2x1x3010100001110213λj000－5Cj32－100bCBXBx1x2x3x4x520－1x2x5x3－6/5[3/5]－2/5100001－1/53/5－2/50103/531/5→11/5λj5↑000023－1x2x1x301010000111025/32/31331/319/3λj000－5－25/3用单纯形法计算得到下表最优解X＝（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值Z＝152/31.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021【例1.23】用两阶段法求解例1.21的线性规划。【解】例1.21的第一阶段问题为用单纯形法计算如下表：1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021Cj00001bCBXBx1x2x3x4x501x3x5[3]11－2100－1016→4λj－1↑201001x1x5101/3－7/31/3－1/30－10122λj07/31/310λj≥0,得到第一阶段的最优解X=(2,0,0,0,2)T,最优目标值w=2≠0,x5仍在基变量中,从而原问题无可行解。1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021解的判断唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线规划具有唯一最优解多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则线则性规划具有多重最优解。无界解的判断:某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无界解退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。无可行解的判断：(1)当用大M单纯形法计算得到最优解并且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。(2)当第一阶段的最优值w≠0时，则原问题无可行解。1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021设有线性规划其中Am×n且r(A)=m,X≥0应理解为X大于等于零向量，即xj≥0,j=1,2…,n。1.5.3计算公式1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021不妨假设A＝（P1，P2，…，Pn）中前m个列向量构成一个可行基，记为B=(P1，P2，…，Pm)。矩阵A中后n－m列构成的矩阵记为N＝（Pm+1,…Pn）,则A可以写成分块矩阵A=（B，N）。对于基B，基变量为XB=（x1,x2，…，xm）T,非基变量为XN=(xm+1,xm+2,…xn)T。则X可表示成同理将C写成分块矩阵C=（CB，CN），CB=(C1,C2,…,Cm),CN=(Cm+1Cm+2，…，cn)则AX=b可写成1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021因为r（B）=m（或|B|≠0）所以B—1存在，因此可有令非基变量XN=0，XB=B—1b，由B是可行基的假设，则得到基本可行解X=(B－1b，0)T将目标函数写成1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021得到下列五个计算公式：(令XN=0)1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到，设初始矩阵单纯形表1-15将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,即求基本可行解和检验数。用B－1左乘表中第二行,得到表1-16XBXNbXBIB-1NB-1bCj-ZjCBCN0XBXNbXBBNbCj-ZjCBCN0表1－15表1－161.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021再将第二行左乘－CB后加到第三行,得到λΝXB－Z0XBXNbXBIB-1NB-1bλ＝Cj-Zj0CN-CBB－1N－CBB－1b表1－171.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021五个公式的应用【例1.24】线性规划已知可行基求(1)单纯形乘子π;(2)基可行解及目标值;(3)求λ3;(4)B1是否是最优基,为什么;(5)当可行基为时求λ1及λ3。1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021【解】(1)因为B1由A中第一列、第二列组成,故x1、x2为基变量，x3、x4、x5为非基变量,有关矩阵为CB=(c1,c2)=(1,2)CN=(c3,c4,c5)=(1,0,0)故单纯形乘子1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021(2)基变量的解为故基本可行解为目标函数值为1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021(3)求λ31.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021(4)要判断B1是不是最优基,亦是要求出所有检验数则否满足λj≤0,j=1…,5。x1,x2是基变量,故λ1=0,λ2=0,而剩下来求λ4,λ5，由λN计算公式得因λj≤0,j=1,…,5,故B1是最优基。1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021(5)因B2是A中第四列与第二列组成的,x4、x2是基变量x1、x3、x5是非基变量,这时有即1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021【例1.26】求解线性规划解用大M单纯形法，加入人工变量x4、x5，构造数学模型1.5.4退化与循环1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021Cj121MMbθCBXBx1x2x3x4x5(1)MMx4x514－2－9[4]1410014→1618/7λj1－5M2+11M1－18M↑00(2)1Mx3x5[1/4]1/2－1/2－2101/4－7/2011→244λj3/4－1/2M↑5/2+2M0－1/4+9/2M0(3)1Mx1x510－2[－1]4－21－40140→λj04+M↑－3+2M－1+5M0(4)12x1x210018[2]94－2－140→λj00－11↑M－17M－4(5)11x1x310－41/201122－1/240λj015/20M－17M－3/2表1－181.5单纯形法SimplexMethod\n18九月2021单纯形法迭代对于大多数退化解时是有效的，很少出现不收敛的情形．1955年Beale提出了一个用单纯形法计算失效的模型加入松弛变量后用单纯形法计算并且按字典序方法（按变量下标顺序）选进基变量，迭代6次后又回到初始表，继续迭代出现了无穷的循环，永远得不到最优解．但该模型的最优解为X＝(1，0，1，0)T，Z＝－5/4．1.5单纯形法SimplexMethod\n18九月20211.5单纯形法SimplexMethod1.将问题化为标准型，寻找一个初始可行基，化为典式，列出初始单纯性表；2.判断基本可行解。有3种情形：①已是最优解，②是无界解，③不能确定。前2种情形计算结束，第3种情形需要继续迭代，先进基后出基，初等变换求下一个基本可行解，直到出现最优解或无界解为止。3.人工变量是过度变量，当原问题有可行解时，人工变量最终会退出基变量。如果原问题没有可行解，人工变量就不会退出基变量。4.处理人工变量的方法有两种，无论哪一种结果都是一样。\n18九月2021TheEndofChapter1作业：P35T10～175.本节的5个公式是单纯形法的基本公式6.只要已知基矩阵，利用公式就能计算我们所需要的结果7.应用公式时注意数据的来源，即给定基矩阵B和CB、CN、N、b都是标准型的数据，而λ、Z0、π、是通过公式计算的结果。1.5单纯形法SimplexMethod\n部分习题答案\n18九月2021习题1.7(5)(1)(2)(3)\n18九月2021习题1.7(6)(1)(2)(3)