统计学—抽样推断

统计学—抽样推断

第六章抽样推断STAT本章重点提示：1、抽样推断的一般问题；2、抽样平均误差的概念及其计算；3、总体参数的区间估计；4、样本容量的确定；本章难点提示：1、抽样平均误差的概念及其计算；2、总体参数的区间估计1\n第六章抽样推断STAT第一节抽样推断的一般问题抽样推断过程包括三个方面：随机抽样、参数估计、假设检验。一、抽样推断的概念按随机原则，从总体中抽取一部分单位组成样本进行调查，并根据样本指标，对相应的总体指标作出具有一定可靠程度的估计和判断。随机原则：又称同等可能性原则，即机会面前、人人平等。作用：防止人的主观思想和利益关系的干扰。从总体中抽取样本的方法有概率抽样与非概率抽样两种：概率抽样也叫随机抽样，是按随机原则抽取样本。概率抽样可避免系统性误差、可计算和控制抽样误差、可说明估计结果的可靠程度。2\n第六章抽样推断STAT非概率抽样也叫非随机抽样，是根据经验或判断从总体中选取若干单位构成样本。如重点调查、典型调查、配额抽样、方便抽样等。非概率抽样难免掺杂调查者的主观偏见，存在系统性误差、不可以计算和控制抽样误差、不可以说明估计结果的可靠程度。统计上讲的抽样一般都是指概率抽样。二、抽样推断的特点1、是非全面调查与普查的区别；2、按随机原则抽取样本与典型调查和重点调查的区别；3、根据样本指标推断总体指标与重点调查的区别；4、抽样误差可以事先计算与控制与典型调查的区别。3\n第六章抽样推断STAT三、抽样推断的作用1、对某些社会现象不可能或不必要进行全面调查，但又必须了解其全面情况时，可采用抽样推断。（如：破坏性检验、无限总体、家计调查等等）；2、与全面调查比较，省时、省力、省费用、时效性高；3、可用抽样推断资料对全面调查资料加以补充或修正；4、可用于工业生产过程中的质量控制。四、抽样推断中的基本概念（一）总体与样本：1、总体（全及总体）：被观察对象的全体。N：总体单位数。2、样本（样本总体）：按随机原则从总体中抽取的部分单位所构成的整体。n：样本单位数、样本容量4\n全及总体是唯一确定的，样本总体不是唯一确定的。（二）抽样框将全及总体中的每个单位进行编号而制定的目录或表格就是抽样框。一个理想的抽样框应与目标总体一致，不重复、不遗漏。编制抽样框的目的：1、便于抽取样本；2、保证随机原则得以实现。（三）抽样方法1、重复抽样（回置抽样、放回抽样）特点：同一单位有多次被抽中的机会，每个单位中选的机会在每次都一样。2、不重复抽样（不回置抽样、不放回抽样）特点：同一单位只有一次被抽中的机会，每个单位中选的机会在各次都不相同。不重复抽样抽取的样本代表性高5\n第六章抽样推断STAT（四）总体指标与样本指标总体指标（总体参数）样本指标（样本统计量）总体指标是确定性变量，样本指标是随机变量。6\n第六章抽样推断STAT五、抽样推断的组织形式（一）简单（纯）随机抽样对总体不经过任何分组和排队，按照随机原则抽取样本单位。特点：1、最符合随机原则，不含任何主观影响；2、当总体单位标志值变异较大时，抽样误差较大；3、编号在某些情况下难度较大。4、是其他抽样组织形式及抽样推断的基础。7\n第六章抽样推断STAT（二）等距（机械）抽样1、概念：事先将总体全部单位按某一标志排队，再按照相同的间隔抽取样本单位。总体N、样本n抽样间隔K=N/n。第一个样本单位用简单随机抽样方法确定。[例]N=50n=5，则K=50/5=10；若用抽签法确定第一组的4号为样本单位则A4、A14、A24、A34、A442、排队方式（1）按无关标志排队：排队的标志与调查研究的标志无关。（2）按有关标志排队：排队的标志与调查研究的标志有关。3、特点：容易组织、按有关标志排队的等距抽样代表性较高。8\n第六章抽样推断STAT（三）分层（类型）抽样1、概念先将全部总体单位按主要标志进行分组（类），再按随机原则在各组进行纯随机抽样。2、抽样数目在各组的确定（1）类型平均抽样适用前提是各组单位数相等或差异不大的情况下。（2）不等比例抽样：i/=ni/n离差越大，抽得越多，反之亦反。（但事先不知道）9\n第六章抽样推断STAT***（2）等比例抽样：先将全部总体单位分类，再按同一比例在各类抽取样本单位。即：n1/N1=n2/N2==n/N样本与总体比例一致。例：10\n特点：*由于各类型组内标志差异程度缩小，类型抽样抽取的样本代表性高，抽样误差小。特别是总体各单位标志值大小悬殊时，类型抽样更具有优越性。（四）整群抽样1、概念先按某种标志或要求将总体区分为若干群（R），群内单位数（M）相等；再采取不重复抽样方式从R群随机抽出r群，尔后对样本群进行全面调查以推断总体。整群抽样和分层抽样都是统计分组和简单随机抽样结合的产物。但它们还是有本质区别的。其一，分群（层）原则不同。对于分层抽样，层间差异应尽可能大，层内差异应尽可能小；而对于整群抽样则相反。其二，抽样单位不同。分层抽样的抽样单位是基本单位（即总体单位），而整群抽样的抽样单位是群。其三，调查方式不同。对于分层抽样，在层内是抽样调查，在层间是全面调查；而对于整群抽样则相反。2、特点组织方便、省时省费用；但样本分布不均匀，代表性稍差。11\n第六章抽样推断STAT六、抽样推断的理论基础（一）大数定理和中心极限定理1、大数定理在大量观察和多次试验的情况下，随机现象的偶然离差趋向于互相抵消，总体呈现出稳定的统计规律性。大数定理说明随机变量随着样本容量n的不断增大，样本平均数（或成数）愈来愈接近总体平均数（或成数）。2、中心极限定理表明，在样本容量n充分大的条件下，不论总体的变量是否服从正态分布，其样本平均数趋向于以总体平均数为，方差为/n的正态分布N(,/n)。（二）抽样分布1、样本平均数的分布（见中心极限定理）2、样本成数的分布：当n大[n和n(1-)同时大于5]时，样本成数近似服从于以总体成数为P，方差为P（1-P）/n的正态分布。12\n第六章抽样推断STAT第二节、抽样误差的计算一、抽样误差的概念登记性误差调查误差系统性误差代表性误差实际抽样误差抽样误差抽样平均误差代表性误差是指由于样本的结构不能完全代表总体的结构所引起的误差。系统性误差是指由于抽样调查违反随机原则引起的误差；抽样误差是指由于抽样的随机性而产生的样本指标与总体指标的绝对离差。13\n第六章抽样推断STAT实际抽样误差：指某一次抽样结果所得的样本指标与总体指标之间的误差（不存在），实际抽样误差是随机变量；抽样平均误差：指所有可能的样本指标与总体指标之间的平均误差。用所有可能出现的样本指标的标准差表示（简称抽样误差），抽样平均误差是确定性变量。二、抽样平均误差概念举例例：一个4人的全及总体，日产量为：甲40件，乙50件，丙70件，丁80件，假定从中抽取2人进行调查，求抽样平均误差。解：采用不重复抽样，考虑顺序，可组成样本个数为：14\n第六章抽样推断STAT采用不重复抽样，不考虑顺序，可组成样本个数为：现采用不重复抽样，不考虑顺序，则可抽取到6个的样本。采用重复抽样，考虑顺序，可组成样本个数为：采用重复抽样，不考虑顺序，可组成样本个数为：15\n不重复抽样抽样平均误差计算表（为全及总体平均数,M为可能组成的样本个数,为抽样平均误差]16\n三、抽样平均误差的实际计算概率论研究证明，所有可能出现的样本平均数的标准差与总体平均数的标准差之间的关系为：则：(此公式为定义公式，不能据此公式计算抽样平均误差）即：6个样本平均数与总体平均数的平均离差为9.13件，不管抽到哪个样本，平均来说，误差是9.13件。注：因总体方差不知，可A、用历史资料替代，若有若干个，取最大值；B、用样本方差替代。（样本的方差可不断地接近于总体的方差）17\n第六章抽样推断STAT（一）纯随机抽样形式下1、抽样平均数抽样平均误差的计算重复抽样：不重复抽样：***由于校正因子总是<1，所以不重复抽样的抽样平均误差总比重复抽样的抽样平均误差小。在N很大时，校正因子趋近于1，因此，按不重复抽样方法抽取样本，也可按重复抽样的公式计算抽样平均误差。18\n第六章抽样推断STAT例：某工厂生产一种灯泡共2000只，随机抽取400只作耐用时间实验，测试结果为平均寿命为4800小时，样本标准差为300小时，求抽样平均误差。重复抽样：不重复抽样：19\n第六章抽样推断STAT2、抽样成数抽样平均误差的计算重复抽样：不重复抽样：注：（1）可用样本成数方差代替总体成数方差；（2）可用样本成数代替总体成数P；（3）有若干个P值时，取最接近0.5的P值；（4）无P值时，取P=0.5(此时方差最大)20\n第六章抽样推断STAT例：一批食品罐头60,000桶，随机抽查300桶，发现有6桶不合格，求合格率的抽样平均误差。解：已知样本的合格率=重复抽样：不重复抽样：21\n第六章抽样推断STAT方差的加法定理：总方差=组间方差+平均组内方差*所以：类型比例（等比例）抽样抽样误差的计算是将各类型组的平均组内方差代替纯随机抽样误差计算公式中的总体方差。抽样平均数平均组内方差：（二）分层（类型）抽样形式下22\n第六章抽样推断STAT抽样成数平均组内方差=1、抽样平均数抽样平均误差的计算重复抽样：不重复抽样：2、抽样成数抽样平均误差的计算重复抽样：23\n第六章抽样推断STAT例：某乡农户月平均收入抽样调查资料如下：不重复抽样试计算该乡农户月平均收入的抽样平均误差。24\n第六章抽样推断STAT接上例，设每户月收入400元及以上的高收入户为P，不足400元的为低收入户，试计算抽样成数的抽样平均误差。25\n第六章抽样推断STAT类型比例抽样抽样成数抽样平均误差计算表26\n第六章抽样推断STAT各组抽样成数的平均数：平均组内方差：重复抽样：不重复抽样：27\n第六章抽样推断STAT（三）机械（等距）抽样形式下1、按无关标志排队等距抽样的抽样平均误差按纯随机不重复抽样的抽样平均误差公式计算；2、按有关标志排队等距抽样的抽样平均误差，从理论上来讲，应采用类型抽样的误差公式计算，但因为每组只抽取一个样本单位，无法计算组内方差，实际工作中还是按纯随机不重复抽样的抽样平均误差公式计算。（四）整群抽样形式下28\n第六章抽样推断STAT方差的加法定理：总方差=组间方差+平均组内方差***所以，整群抽样抽样平均误差的计算是将群间方差代替纯随机抽样抽样平均误差计算公式中的总方差即可。抽样平均数的群间方差：抽样成数的群间方差：1、抽样平均数抽样平均误差的计算（一般为不重复抽样）29\n第六章抽样推断STAT2、抽样成数抽样平均误差的计算例：某农场播种某农作物3000亩，作物分布在60块地段上，每块地段50亩。现抽取5块地，全面调查农作物的收获情况和受灾损失，得到资料如下表：30\n第六章抽样推断STAT解：据题意，R=3000/50=60r=531\n32\n第六章抽样推断STAT四、影响抽样抽样平均误差的因素1、总体标志变动度的大小总体标志变动度大，大；总体标志变动度小，小。2、样本单位数的多少样本单位数多，小；样本单位数少，大。3、抽样方法及抽样的组织形式不重复抽样及类型抽样、按有关标志排队的等距抽样的抽样平均误差相对要小。33\n第六章抽样推断STAT第三节总体参数的估计一、估计量与估计值1、待估参数：待估的总体参数（指标），用表示。2、估计量：作为估计依据的样本统计量（指标），用表示。3、估计值：估计量的具体取值。例：二、估计量的优良标准1、无偏性如果一个随机变量的数学期望值等于被估参数的真值，即则数理统计证明，样本平均数和样本成数、样本中位数是无偏估计量，样本方差不是无偏估计量，即34\n第六章抽样推断STAT2、一致性当样本容量不断增大时，样本指标可以不断趋近于总体指标。根据中心极限定理，样本平均数是总体平均数的一致估计量；样本方差是总体方差的一致估计量。3、有效性要求估计量的离散程度要小。三、点估计点估计就是直接用样本指标代表总体指标。即：特点：计算简单，但不能表明准确程度和可靠程度35\n第六章抽样推断STAT公式意义：有的把握断定的真值落在区间内。为显著性水平，说明落在以外的概率。称为置信概率，也称作置信水平、置信度或置信系数，说明抽样估计的可靠程度。区间估计的要点：1、区间估计是根据样本指标和抽样平均误差去推断全及总体指标的可能范围；例：抽选100名学生得到调查结果，平均身高为172公分，若抽样四、区间估计（一）区间估计概述区间估计是根据样本指标在给定的抽样误差范围内来估计总体指标的可能范围。区间估计的含义公式：36\n第六章抽样推断STAT2、区间估计所表示的是一个可能的范围，而不是一个绝对可靠的范围；3、扩大抽样误差范围，可以提高推断的把握程度，缩小抽样误差范围，则会降低推断的把握程度。例：大学生平均身高为172公分，当抽样误差范围为2公分时，当抽样误差范围为4公分时，当抽样误差范围为6公分时，平均误差为2公分，则37\n第六章抽样推断STAT抽样误差范围与把握程度之间的关系可通过抽样极限误差来反映。抽样极限误差（允许误差）：样本指标与总体指标之间最大误差的可能范围，用表示。即：式中：为概率度，是扩大或缩小抽样误差范围的倍数。抽样极限误差（允许误差）同时包括两个内容：可靠程度和准确程度。一定时，越大，抽样极限误差越大，总体指标落在允许误差范围内的概率越大，抽样推断的可靠程度则越大；反之，抽样推断的可靠程度则越小。38\n第六章抽样推断STAT大时，说明样本的代表性差，抽样的准确性差，反之，说明样本的代表性大，抽样的准确性越高。数理统计证明，概率度与把握程度（概率）之间保持一定的函数关系。常用的正态分布概率表39\nSTAT（二）单个总体总体参数的区间估计基本公式：40\n第六章抽样推断STAT[例]某公司出口一种名茶，规定每包规格重量不低于150g，现用简单随机抽样方法抽取其中1%进行检验，结果如下（1）试以99.73%的概率保证程度估计这批茶叶平均每包的重量范围。（2）试以同样的概率保证程度估计这批茶叶包装的合格率范围。解n=100，N=1000041\n第六章抽样推断STAT[例]某公司出口一种名茶，规定每包规格重量不低于150g，现用简单随机抽样方法抽取其中1%进行检验，结果如下（1）试以99.73%的概率保证程度估计这批茶叶平均每包的重量范围。（2）试以同样的概率保证程度估计这批茶叶包装的合格率范围。解：n=100，N=1000042\n第六章抽样推断STAT（2）试以同样的概率保证程度估计这批茶叶包装的合格率范围。解：43\n[例]某厂有甲、乙两个车间生产保温瓶，乙车间产量是甲车间的2倍。现按产量比例共抽查了60支，结果如下。试以95.45%的可靠程度推断该厂生产的保温瓶的平均保温时间的可能范围。44\n第六章抽样推断STAT[例]某地一万住户，按城乡比例不重复抽取一千户，进行彩电拥有量调查，结果如下：试以95.45%的概率推断该地彩电拥有户比率的范围。45\n第六章抽样推断STAT[例]对某种电子元件，在一天24小时内，每小时抽取10分钟生产的全部元件进行质量检验，检验结果是产品合格率为90%，群间方差为0.08，试按95%的概率保证程度估计全天生产电子元件的合格率。解：46\n第六章抽样推断（三）两个总体平均数之差的区间估计1、两个正态总体且方差已知（适用于大小样本）当两个总体均服从正态分布，两个样本平均数之差也服从正态分布。两个样本平均数之差的抽样平均误差为：47\n第六章抽样推断例：某银行负责人想知道存户存入该行所属A、B两个储蓄所的存款数。他从这两个储蓄所各抽取了一个由25个存户组成的随机样本。资料如下：（109.32,140.68）有95%的把握认为两个总体的平均数之差在109.32~140.68之间。48\n第六章抽样推断2、两个总体均不服从正态分布且方差未知（适用于大样本）对不服从正态分布的2个总体，根据中心极限定理，一般都是抽取大样本。则：两个样本平均数之差的抽样平均误差为：（用样本的方差代替总体方差）49\n（四）两个总体成数之差的区间估计（适用于大样本）当两个样本都很大（当np和n（1-p）同时大于5）时，两个样本成数之差的抽样分布也近似服从正态分布。两个样本成数之差的抽样平均误差为：50\n例：某企业有A、B两个车间。为了降低废品率，该企业对车间B的工人首先进行了业务培训。3个月后，该企业负责人对两个车间的产品质量进行了检验。从车间A抽取了200件产品，从车间B抽取了220件产品，查得废品率A车间为15%，B车间为3%。试在95%的把握程度下，构建2个废品率之差的置信区间。51\n第六章抽样推断STAT一、根据规定精度或允许误差确定的抽样单位数（一）简单随机抽样1、估计时，n的确定A、重复抽样第四节必要抽样单位数的确定52\nSTATB、不重复抽样53\n第六章抽样推断STAT2、估计P时，n的确定A、重复抽样B、不重复抽样54\n第六章抽样推断STAT（二）类型抽样1、估计总体平均数时，n的确定2、估计总体成数时，n的确定55\n第六章抽样推断STAT（三）整群抽样1、估计总体平均数时，r的确定2、估计总体成数时，n的确定56\n第六章抽样推断STAT[例]某冷库对一批鸡蛋的变质率进行抽样调查。据以往三次调查的结果，其变质率分别为27%、25%、24%。现在允许误差不超过5%，推断的概率保证程度为95%。问至少要抽取多少鸡蛋进行调查？解：，p=5%，P1=27%，P2=25%，P3=24%结论：至少抽取303只鸡蛋进行调查。（取最接近0.5的p值）57\n[例]某冷库对一批鸡蛋的变质率进行抽样调查，允许误差不超过5%，推断的概率保证程度为95%。问至少要抽取多少鸡蛋进行调查？（385只）[例]某药厂为检查瓶装药片数量，随机抽取100瓶，结果平均每瓶101.5片，标准差为3片。试以99.73%的概率保证程度推断成品库该种药平均每瓶数量的区间。如果允许误差减少到原来的一半，其他条件不变，问需抽取多少瓶？解：58\n第六章抽样推断STAT1、总体方差（总体标志变动度与样本容量成正比）2、抽样误差范围（抽样误差范围与样本容量成反比）3、置信度（可靠程度与样本容量成正比）4、抽样的组织形式和抽样方法（类型抽样与按有关标志排队的等距抽样的样本容量相对小些；不重复抽样时样本容量相对小些）。二、影响样本容量的因素59\n第七章假设检验STAT第一节假设检验的基本问题一、什么是假设检验假设检验就是先对某一总体参数作出假设，然后随机抽样，搜集样本数据，求得样本统计值，并利用这些数据分析这个假设是否成立，得出“否定”或“不否定”原假设的结论，然后再根据这个结论进行决策。总体参数的假设值，一般有两部分：原假设（零假设）：原假设是接受检验的假设，记作替代假设（备择假设）：替代假设是当原假设被否定时另一种可成立的假设，记作原假设与替代假设是相互对立的。60\n第七章假设检验STAT总体参数的假设有三种情况：61\n第七章假设检验STAT假设检验的基本思想：在一次试验或一次观察中，小概率事件几乎不可能发生。在具体检验中，一般先认为提出的“原假设”是正确的，而某事件A在原假设为真的条件下发生的概率很小。如果经过抽样观察，小概率事件发生了，应怀疑原假设的正确性。（小概率指显著性水平α）检验统计量的基本公式：62\n第七章假设检验STAT二、第一类错误、第二类错误与显著性水平根据检验统计量的计算结果决策时，有下列四种情况：上表中，“弃真”为第一类错误，犯第一类错误的概率记为α，称其为显著性水平；“取伪”为第二类错误，犯第二类错误的概率记为β。本课程的假设检验问题只对犯第一类错误的概率α加以控制，这种检验称为显著性检验。63\n第七章假设检验三、双侧检验和单侧检验双侧检验：目的是观察在规定的显著性水平下所抽取的样本统计量是否会显著地高于或低于假设的总体参数。统计检验量数值落在双侧否定域内均否定原假设。（过大或过小都不行）单侧检验（可分为左侧检验和右侧检验）：64\n左侧检验（否定域在左尾）：目的是观察在规定的显著性水平下所抽取的样本统计量是否会显著地低于假设的总体参数。统计检验量数值落在否定域内，否定原假设（怕小不怕大）；右侧检验（否定域在右尾）：目的是观察在规定的显著性水平下所抽取的样本统计量是否会显著地高于假设的总体参数。统计检验量数值落在否定域内，否定原假设（怕大不怕小）；65\nSTAT四、假设检验的一般步骤1、根据研究问题的需要提出原假设与备择假设。2、选择显著性水平3、选择检验统计量及其分布4、根据α确定统计量的否定域或临界值，并注意是双边检验还是单边检验；否定域：概率为1-α下拒绝为真的数据域双边检验：否定域在两侧单侧检验左侧检验（否定域在左尾）右侧检验（否定域在右尾）接受域：否定域之外的取值范围临界值：否定域的端点双侧检验：否定域在两侧。检验统计量过大过小均被拒绝。例：双边检验当显著性α为0.05时,66\n第七章假设检验STAT否定域：（-∞，-1.96],[1.96，+∞)接收域：（-1.96，1.96）临界值:-1.96，1.965、根据样本数据计算检验统计量，并由此作出决策。如果检验统计量的值落在否定域内（包括临界值），说明原假设与样本描述的情况有显著差异，应该否定原假设；如果检验统计量的值落在接受域内说明原假设与样本描述的情况没有显著差异不否定原假设。67\n第二节总体平均数的假设检验一、总体为正态总体且总体方差已知（适用大小样本）[例]：设我国出口凤外尾鱼罐头，标准规格为每罐净重250克，根据以往经验，标准差为3克。现某食品厂生产一批供出口用的这种罐头，从中抽取100罐检验，其平均净重为251克。假定罐头重量服从正态分布，规定显著性水平为，问这批罐头是否合乎出口标准（即净重确为250克）。解：H0：=250克H1：250克-1.9601.9668\n第七章假设检验STAT此外：可通过置信区间来检验该假设，69\n第七章假设检验STAT例：一家食品加工公司的质量管理部门规定，某种包装食品每包净重不得少于20千克。经验表明，质量近似服从标准差为1.5千克的正态分布。假定从一个由30包食品构成的随机样本中得到的平均重量为19.5千克，问有无充分证据说明这些包装食品的平均重量减少了？()解：70\n第七章假设检验STAT例：设某地区小麦一般生产水平为亩产为120千克，其标准差为9千克。其产量服从正态分布。现用一种化肥进行实验。从31个小区取样结果，其平均产量为130千克，试问这种化肥能否使小麦增产？()71\n第七章假设检验STAT二、正态总体，未知，小样本当总体方差未知时，Z统计量包含未知参数，不能作为检验统计量，通常用样本的方差代替总体的方差，这时，应选择t检验统计量。三、正态总体，未知，大样本当n很大时，由于t分布非常逼近正态分布，故可用Z近似地作为检验统计量。四、非正态总体，大样本大样本时，样本平均数近似服从正态分布，可采用Z检验统计量。72\n第七章假设检验STAT第三节总体成数的假设检验当n很大，n和n（1-）同时大于5时，二项分布可以用正态分布来逼近。在n/N≤0.05情形下，单个总体成数的检验统计量为：73\n例：某企业的产品畅销于国内市场。据以往调查，购买该产品的顾客有50%是30岁以上的男子。该企业负责人关心这个比例是否发生了变化（无论增加还是减少）。于是，委托了一家咨询机构进行调查，这家咨询机构从众多的购买者中随机抽取了400名进行调查，结果有210名为30岁以上的男子。该厂负责人希望在显著性水平为0.05下检验“50%的顾客是30岁以上的男子”这个假设。解：n=400，n=400×52.5%=210n（1-）=190（同时大于5时）可使用正态分布进行检验。74\n例：一位关心环境保护的公共福利团体的发言人宣称：“在这个工业区域内，遵守政府制定的空气污染标准法则的工厂不到60%”，但环境保护局的工程师则相信至少有60%的工厂是遵守这个法则的。于是他从这个工业区域内抽取了60家工厂进行调查，发现33家是遵守空气污染标准法则的。现环保局想知道真正的比率是否少于60%？（设）解：n=60，n=60×55%=33n（1-）=27（同时大于5）可使用正态分布进行检验。75\n例：某会计部门负责人发现开出去的发票中有大量的笔误，而且相信在这些开出去的发票中，至少错误的发票占20%以上。随机抽取400张发票进行调查，发现错误的发票有100张，，占25%。问这是否可以证明该负责人的判断是正确的？（）解：n=400，np=400×25%=100n（1-p）=300（同时大于5）可使用正态分布进行检验。76