地质统计学教材
第一章品位与储量计算第一节概述投资一个矿床开采项目，首先必须估算其品位和储量。一个矿床的矿量、品位及其空间分布是对矿床进行技术经济评价、可行性研究、矿山规划设计以及开采计划优化的基础，是矿山投资决策的重要依据。因此，品位估算、矿体圈定和储量计算是一项影响深远的工作，其质量直接影响到投资决策的正确性和矿山规划及开采计划的优劣。从一个市场经济条件下的矿业投资者的角度看，这一工作做不好可能导致两种对投资者不利的决策：(1)矿体圈定与品位、矿量估算结果比实际情况乐观，估计的矿床开采价值在较大程度上高于实际可能实现的最高价值，致使投资者投资于利润远低于期望值，甚至带来严重亏损的项目。(2)与第一种情况相反，矿床的矿量与品位的估算值在较大程度上低于实际值，使投资者错误地认为在现有技术经济条件下，矿床的开采不能带来可以接受的最低利润，从而放弃了一个好的投资机会。然而，准确地估算出一个矿床的矿量、品位绝非易事。大部分矿体被深深地埋于地下，即使有露头，也只能提供靠近地表的局部信息。进行矿体圈定和矿量、品位估算的已知数据主要来源于极其有限的钻孔岩心取样。已知数据量相对于被估算的量往往是一比几十万乃至几百万的关系，即对一吨岩心进行取样化验的结果，可能要用来推算几十万乃至几百万吨的矿量及其品位。可以不过分地说，矿量、品位的估算是世界上最大胆的外推。因此，矿体圈定与矿量、品位估算不仅是一项十分重要的工作，而且是一项极具挑战性的工作。做好这一工作要求掌握现代理论知识与手段，并应用它们对有限的已知数据进行各种详细、深入的定量、定性分析；同时也要求从事这一工作的地质与采矿工程师具有科学的态度和求实精神。本章将较详细地介绍当今世界上常用的矿量、品位估算方法，包括探矿数据的分析、处理和用于品位估值的剖面法、平面法及矿床模型法等。地质统计学作为品位估值的一种方法，从其诞生起就显示了强大的生命力，得到了越来越广泛的应用，本章对此给予较大的篇幅。本章的主要目的不是教会读者如何一步一步地应用所介绍的方法，对一个矿床进行矿量、品位估算，而是使读者了解这些方法的内涵，为读者提供在不同条件下应用最合理的分析、评价方法所需的知识基础。第二节探矿数据及其预处理一、 钻孔取样表1－1钻孔岩芯信息记录钻孔号：zk10；孔口坐标：6086.21E，6821.68N，205.01；设计深度：135M；实际深度：143.26M；开孔方位角：开孔倾角：90o；开孔日期：1994年10月12日；终孔日期：1994年10月23日换层深度每层提取每层岩芯岩石矿石描述自(M)至(M)共计(M)岩芯长度(M)采取率(%) 0.0013.9313.93 表土层13.9330.6916.761.69.5云母石英岩：黄绿色，片状结构，主要组成矿物为石英(约25～30％)，云母(约４０％)和角闪石（约２５％），其次有些磁铁矿。30.6943.0312.349.778.61阳起磁铁石英岩：钢灰色～灰白色，细粒结构，主要组成矿物为石英(约４０～４５％)，磁铁石(\n约３０～３５％)，阳起石(约１５～２０％)。 ： ： ：:: ： ： ： ： ： ： ： 用于矿体圈定与矿量、品位估算的数据主要来源于探矿钻孔的岩心取样。钻孔一般按照一定的网度布置在一些叫做勘探线的直线上（图1-1）。在钻孔过程中，每钻一定深度（一般在3米左右）将岩心取出，做好标记后按顺序放在箱中供搬运、贮存和化验。地质人员对取出的岩心进行定性观察和简单的测试，以确定每一段岩心的主要物理特性，如岩心长度、岩性、颜色、硬度等，并记录下来，形成对钻孔穿过地段的地质特性的定性描述。表1-1是一个钻孔的岩心观测结果的部分记录表。为直观起见，常常把表中的数据和文字描述绘成钻孔柱状图（图1-2）。为了确定岩心的化学成分和品位，将岩心的一半送往化验室进行化验，另一半保存下来备用。样品的化验结果记录在如表1-2所示的表中，或输入计算机的数据库中。手工记录时常将表1-1和表1-2合并为一个表，称为钻孔地质资料记录表。对所有钻孔的定性描述和取样化验结果构成了勘探区域的基本地质数据，这些取样化验数据是进行矿体圈定和矿量、品位估算的依据。在矿量和品位计算前，一般需要对取样数据进行预处理，包括样品组合处理和“极值”样品的处理。 表1-2钻孔岩芯取样化验结果记录钻孔号：zk10；孔口坐标：6086.21E，6821.68N，205.01；设计深度：135M；实际深度：143.26M；开孔方位角：开孔倾角：90o；开孔日期：1994年10月12日；终孔日期：1994年10月23日试样号采样间隔化学分析结果(%)备注 自(M)至(M)共计(M)TFeFeSFe 108330.6933.693.0029.8016.6022.50 108433.6936.693.0032.2015.6025.10 108536.6939.693.0032.9516.0028.00 108639.6943.033.3426.4014.0021.00 ：:::::: ：:::::: 二、样品组合处理\n样品组合处理就是将几个相邻样品组合成为一个组合样品，并求出组合样品的品位。当矿岩界限分明，且在矿石段内垂直方向上品位变化不大时，常常将矿石段内（即上下矿岩界限之间）的样品组合成一个组合样品（图13－3），这种组合称为矿段组合。组合样品的品位是组合段内各样品品位的加权平均值，即(1-1)式中，li为第i个样品的长度；gi为第i个样品的品位；n为矿石段内样品个数。式1-1中用的是长度加权，是最常用的方法。如果不同样品的比重相差较大，可以采用重量加权法。对于拟用露天开采的矿床，更具实际意义的样品组合处理是台阶样品组合，即把一个台阶高度内的样品组合成一个组合样品（图1-4）。组合样品的品位为：(1-2)式中，H为台阶高度。当一个样品跨越台阶分界线时（如图1-4中第一和第五个样品），在计算中样品的长度取落于本台阶的那部分长度（即图1-4中的l1’’和l5’’），样品的品位不变。对钻孔取样进行台阶样品组合处理的意义在于： (1)对取样数据进行统计学、地质统计学分析，以及利用取样值进行品位估值时，只有当每个样品具有相同的支持体，即每个样品的体积相同时，分析计算结果才有意义。(2)露天开采在垂直方向上是以台阶为开采单元的，一旦台阶的参考标高和台阶高度被确定，沿台阶高度无论品位如何变化，也无法进行选别开采。因此，在一个台阶高度内采用不同的取样品位是毫无意义的。(3)组合样品的品位较原样品品位变化小，在一定程度上减轻了“极值”品位对分析计算的影响，也使样品的统计分布曲线和半变异函数曲线（这些概念将在以后几节讲述）趋于规则。(4)样品组合处理减少了样品总数，节省计算机内存和计算时间。三、极值样品(Outlier)处理极值样品是指那些品位值比绝大多数样品的品位（或样品平均品位）高出许多的样品，它们在贵重金属矿床较为常见。例如，在一金矿床取样1000个，经化验，这些样品的平均品位为10克/吨，其中有十个样品的品位在100克/\n吨以上，这十个样品就可以被看成是极值样品。究竟品位比均值高出多少的样品算是极值样品，没有统一的、现成的标准，需视具体情况而定。极值样品虽然数量少，但对金属量影响大，为使品位的分析计算结果不致过分乐观，人们常常在实践中采用以下处理方法： (1)限值处理：即将极值样品的品位降至某一上限值。比如在上述例子中，将所有高于100克/吨的样品的品位降至100克/吨。(2)删除处理：即将极值样品从样本空间中删去，不参与分析计算。 使用上述处理方法时应非常谨慎。虽然极值样品在数量上占样品总数的比例很小，但由于其品位很高，对矿石的总体品位和金属量的贡献值都很大。因此，不加分析地进行降值或删除处理会严重歪曲矿床的实际品位和金属含量，人为地降低矿床的开采价值。这一点可用下面的例子说明。假设对一金矿床进行钻探取样后得知，品位值服从对数正态分布（图1-5）。所有样品的平均品位为=10克/吨，中值为m=3克/吨（即高于3克/吨和低于3克/吨的样品各占50％）；有1％的样品品位高于100克/吨。若将这1％的极值样品取出，单独计算其平均值，得190克/吨。那么这1％的样品对矿床总金属量的贡献为（190×1％）/=1.9/10=19%。也就是说，百分之一的数据量代表的是百分之十九的金属量！假如取边界品位为3克/吨（高于3克/吨为矿石，否则为废石），矿石的平均品位（即高于3克/吨的那部分样品的平均品位）经计算为16克/吨。如果把极值样品从样品空间删除，矿石的平均品位变为（16×50％－190×1％）/（50％－1％）＝12.45克/吨，也就是说，矿石品位被低估了22％。如果将极值样品进行限值处理，将其品位值降到100克/吨，矿石的平均品位变为(12.45×49%+100×1%)/50%=14.2克/吨，也就是说，将矿石品位低估了11％。 g/tm=3=101001.0%图1-5金矿取样品位对数正态分布示意图 在正常、稳定的经济环境中，采矿的利润率也就是15％左右。因此，不加分析地将极值样品进行删除或限值处理，很可能将本来能够获取正常利润的矿床人为地变为没有开采价值，从而导致错误的投资决策。这对于一个在市场经济条件下，以盈利为主要目的的矿业投资者来说，无疑是一个重大的决策失误。这里必须澄清的是，极值样品是实实在在存在的有效样品，并不是指那些由于化验或数据录入错误造成的、具有“错误品位值”的样品。如果有根据认为某些样品的品位是错误的，将这些样品从样本空间中删除不仅是合理的而且是必要的。对极值样品的最理想的处理方法是，经过对探矿区域的地质构造和成矿机理进行深入分析，将这些样品的发生区域（或构造）划分出来，在进行品位与矿量的分析计算时，这些样品只参与其发生区域的品位与矿量计算，而不把它们外推到发生区域之外。但是在大多数情况下，由于钻孔网度大，已知的地质信息满足不了这种区域划分的要求。这时，可以将矿床看成是由两种不同的矿化作用形成的：样品中占绝大多数的“正常样品”可以看作是由主体矿化作用产生的样本空间；极值样品是由次矿化作用产生的样本空间。然后利用统计学方法计算出空间任一点属于每一类矿化作用的概率，再根据这些概率计算矿床的品位与矿量。这一方法超出了本书的范畴，有兴趣的读者可参阅Journel(1988)和Parker等人(1979)的论文。第三节取样数据的统计学分析\n对取样数据进行上述的预处理以后，做一些统计学分析可以提供不少有关矿床的有用信息。因此统计学分析常常是取样数据分析的第一步。对数据进行统计学分析的主要目的是确定： (1)品位的统计分布规律及其特征值；(2)品位变化程度；(3)样品是否属于不同的样本空间；(4)根据样品的分布特征，初步估计矿床的平均品位以及对于给定边界品位的矿量和矿石平均品位。一、取样品位的统计分布规律为了确定取样品位的统计分布规律，首先将取样品位值绘成如图1-6所示的直方图。图中横轴为品位，竖轴为落入每一品位段的样品数占样品总数的百分比。从直方图的轮廓线形状可以看出品位大体上属于何种分布；从直方图在横轴方向的分散程度可看出取样品位的变化程度。图1-6给出的是几种常见的品位分布情况。图(a)是一品位变化程度中等的正态分布，这样的分布在矿体厚大的层状或块状的硫化类矿床（如铜矿）中最为常见；图(b)是一品位变化小的正态分布，常见于铁、镁等矿床；图(c)是一对数正态分布（即品位的对数值服从正态分布），品位变化大，此类分布常见于钼、锡、钨以及贵重金属（如金、铂）矿床；图(d)是一“双态”分布，即分布曲线是由两个不同分布组成的，说明样品来源于不同的样本空间。双态分布表明在矿床中很可能存在不同类型的矿石，或在不同区域呈现不同的成矿特征。如果图(d)所示的情况出现，就需要对矿床地质和成矿机理进行深入分析，尽可能找出对应于不同分布的区域，然后对矿床进行区域划分，把来源于每一区域的样品进行分离，并做单独分析计算。30%15%050%25%02.01.0%Cu(a)5025%Fe(b) (c)630%30%15%15%003g/tAu(d)图1-6常见取样品位分布规律的直方图 \n不同类型的矿床，其取样品位服从不同的统计学分布规律，但大多数矿床的品位服从正态分布或对数正态分布。下面对这两种分布的特征值及置信区间计算作简要介绍。二、正态分布检验样品值是否服从正态分布的一个简单方法是将样品的累加发生频率（即小于某一品位的样品数占样品总数的百分比）与品位绘在正态概率纸上（图1-7）。图中横坐标为累加概率，纵坐标为品位。如果数据点基本落在一条直线上，那么就可以将样品的分布看成是正态分布。正态分布的特征值有均值μ和方差σ2。μ和σ2的真值是未知的。当我们获得n个样品，每个样品的值为xi(i=1,2,……,n)时，μ和σ2的估计值和可分别用下面的式子计算。(1-3) (1-4)或(1-5)S2的平方根S是样本空间均方差σ的估计值。从统计学理论可知，一个正态样本空间的均值μ的估计量也服从正态分布，其均值为μ，方差为(1-6) 图1-7正态分布概率图 设均值μ小于μp的概率为p，大于μ1-p的概率也为p，那么μ落在μp与μ1-p之间的概率为\n1-2p（图1-8）。我们称[μp，μ1-p]为均值在置信度为1-2p时的置信区间。当样品数n>25时，均值的68％和95％（即p为16％和2.5％）置信区间可用下面的式子计算1-2pppμ1--pμp图1-8置信区间示意图 68％置信区间：(1-7)95％置信区间：(1-8)当n<25时，计算任意置信度的置信区间的一般公式如下：(1-9)式中t1-p是学生分布（也称为t分布）表中自由度为n-1时，t
1000时，γ可用下式计算：(1-18)置信度为1-2p的均值置信区间计算公式为：区间上限：(1-19)区间下限：(1-20)式中，Ψp为从附表1-3a中根据n和查出的系数。附表1-3a列出的是当p=0.95时的Ψ值，附表1-3b列出的是当p=0.05时的Ψ值。更为完整的表可以在有关概率统计书中找到。当n很大(>1000)时，Ψp可用下式计算：(1-21)式中，，tp是从学生分布表（附表1-1）中查得的数值。［例1-1］：设从一金矿床取样10个，取样品位服从二参数正态分布，即β=0。应用式(1-12)至(1-14)计算得：对数均值：=0.600，几何均值：=1.822，对数方差：=0.050。试估计矿体的平均品位和90％置信区间。解：从附表1-2中查得：当=0.04和n=10时γ=1.020，当=0.06和n=10时，γ=1.030。因此，对于=0.05和n=10，线性插值得γ=1.025。应用公式(1-17)，算得平均品位的估计值为：＝1.822×1.025=1.868置信度为90％（即0.9）时，p=0.05，1-p=0.95。从表3a和3b中分别查得：Ψ0.95=1.194Ψ0.05=0.897因此置信区间为：上限：下限：也就是说：有90％的可能性，平均品位的真值μ是在1.676和2.230之间。第四节品位－矿量曲线边界品位是用于区分矿石与废石的临界品位值，矿床中高于边界品位的部分是矿石，低于边界品位的是废石。很显然，边界品位定的越高，矿石量也就越小。因此，边界品位是一个重要的参数，它的取值将通过矿石量及其空间分布影响矿山的生产规模、开采寿命和矿山开采规划。在一定的技术经济条件下就一给定矿床而言，存在着一个使整个矿山的总经济效益达到最大的最佳边界品位。边界品位的优化是当今世界矿业界的重大科研课题之一，但由于超出本节范围，这里不加详述。 \n50403020103210边界品位（g/t） 矿量(Mt) 图1-10品位-矿量曲线示意图 将一系列边界品位和与之相对应的矿石量绘成曲线就形成所谓的品位－矿量曲线（图1-10），由上面对边界品位的定义可知，品位－矿量曲线是一条递减曲线。由于品位－矿量曲线指明了任一给定边界品位条件下的矿石量，它是对矿床进行初步技术经济评价的重要依据。当品位服从均值为μ和方差为σ2的正态分布时，品位－矿量曲线上的每一点可由下式求得：Tc=Tφ(uc)(1-22)式中，T为总矿岩量，即边界品位为零的矿量，对于一给定矿床或矿床中的一给定区域，T是已知的。φ(uc)是高斯函数，即标准正态分布从uc到∞的积分：(1-23)式中，uc是边界品位gc的标准正态变量，即：(1-24)Tc中含有的金属量Qc可由下式计算：(1-25)对应于边界品位gc的矿石平均品位，即品位高于边界品位gc的那部分物料的平均品位为：(1-26)当品位服从三参数对数正态分布时，可用下面的公式计算品位－矿量曲线：(1-27)式中，φ和T与正态分布条件下的定义相同；uc1为：(1-28)Tc中的金属含量Qc为：(1-29)\n式中，uc2由下式算得：(1-30)应用品位－矿量曲线进行品位、矿量分析时，必须注意以下几点： (1)品位分布是从样品值的分布得出的，分布的特征值μ，σ或σe是未知的，计算中只能用它们的估计值，S或Se。(2)露天开采时，矿石不是以几公斤大小的样品为单位采出的。对于选定的开采设备（电铲）和台阶高度，存在所谓的最小选别单元（SMU），矿床中的矿石是以SMU为单元采出的。SMU在体积上要比样品大得多，如果把整个矿床分为体积为SMU的小块（称为单元体），那么这些小块的品位分布较样品品位分布更为集中（即方差更小）。因此根据样品分布计算的品位－矿量曲线并不能用来预报将被采出的品位－矿量关系。(3)单元体的真实品位是未知的，单元体是否是矿石，不是根据其真实品位确定的，而是根据对单元体的品位的估计值确定的。由于估计有误差，根据估计值得出的品位－矿量曲线与实际采出的品位－矿量关系有一定的差别。 第五节品位、矿量计算的垂直断面法垂直断面法是传统的手工计算矿量的常用方法，其一般步骤为：第一步：沿勘探线做垂直剖面，将勘探线上的钻孔及其取样品位标在剖面图上（图1-11）。 3015000018342530232426193034191001218142019142821171623232425163232332273530232433292028262718312225193329263014182130261626282123182526251521图1-11标有取样品位的剖面图 第二步：根据给定的边界品位进行矿体圈定。简单地讲，矿体圈定的过程就是将相邻钻孔上高于边界品位的样品点相连的过程。当一条矿体被一个钻孔穿越，而在相邻的钻孔消失时，一般将矿体延伸到两钻孔的中点，或是根据矿体的自然尖灭趋势在两钻孔之间实行自然尖灭。在矿体圈定过程中，要充分考虑矿床的地质构造（如断层和岩性）和成矿规律。图1-12是当边界品位等于25％时根据图1-11中的取样品位圈定的矿体示意图。第三步：矿体圈定完成后，可用求积仪求得每个断面上的矿石面积，然后就可以进行矿量计算。\n(a)当一条矿体在两个相邻断面上的面积（S1和S2）相差不到40％时，两断面之间的矿体体积用下式计算：(1-31)式中，L为断面间距。(b)当两个相邻断面上的面积相差大于40％时，采用下式计算：(1-32)(c)当矿体在二断面间是楔形尖灭时，计算公式为：计算出两断面间矿石块段体积后，矿石块段的矿量为：(1-33)式中，γ为本块段矿石体重。然后将所有块段的矿量相加，即得矿床的总矿量。30150000183425302324261930341910012181420191428211716232324251623232332273530232433292028262718312225193329263014182130261626282123182526251521 图1-12边界品位为25％时矿体圈定示意图 第四步：计算矿体的平均品位：(a)对穿越矿体的每一钻孔的样品进行“矿段样品组合”，求出组合样品的品位。(b)求出每一组合样品的影响面积。该面积是以钻孔为中线向两侧各外推二分之一钻孔间距得到的矿体面积。(c)对组合样品品位以其影响面积为权值进行加权平均计算，求出矿体在断面上的平均品位。(d)一条矿体的总平均品位是该条矿体在各断面上的平均品位以断面所代表的矿量为权值的加权平均值。 \n上述矿体圈定与矿量、品位计算过程，可通过编制程序由计算机完成，但矿体圈定的完全计算机化具有较高的难度。垂直断面法是一种传统的手工方法，在我国仍广泛采用，但在发达国家由于计算机的广泛应用已基本成为过去。 第六节矿量、品位计算的水平断面法在露天矿山，矿石的开采是分台阶进行的，因此用于矿量、品位计算的一个水平断面即为一个台阶。常用的水平断面法有多边形法和三角形法。s-480.406600N300N600E300Es-200.175s-220.417s-210.489s-140.140s-130.427s-120.377s-240.685s-110.396s-230.215s-380.392s-370.320s-360.717s-150.806s-160.889s-350.475s-190.092s-180.089s-20.893s-171.009s-10.719s-270.453s-260.833s-250.230s-400.102s-410.023s-81.365s-420.915s-91.335s-430.519s-100.572s-440.040s-70.644s-460.258s-30.638s-371.615s-60.765s-450.034s-300.465s-280.409s-390.476s-500.012s-490.996s-310.063s-470.165s-510.228s-50.295s-330.027s-40.188s-320.228s-340.2250图1-13台阶水平面上钻孔取样分布示意图 \n一、多边形法(polygonalmethod)在多边形法中，水平断面上的每一钻孔取样（即进行台阶样品组合后的组合样品），位于一个多边形的中心。多边形的形成由以下步骤完成： 第一步：把穿越水平面的钻孔根据钻孔坐标，绘于水平面上，并将本平面的组合样品品位标注在图上（图1-13）。第二步：根据经验和地质统计学分析，确定影响半径R，R的确定将在后面的地质统计学部分介绍。第三步：以每一样品为中心，确定其相邻样品，一般情况下相邻样品是落在半径为2R的圈内的样品。以样品S-41为例，其相邻样品如图1-14a所示。第四步：用直线将中心样品和相邻样品连接起来（图1-14a）。第五步：在中心样品与每一相邻样品的连线中点作垂直于连线的直线（称为二分线），这些二分线相交围成的多边形即为所求的多边形。当两条二分线近于平行时，在二者相交之前，将与另外一条二分线相交，这时，取二者中离中心样品最近者作为多边形的边。以样品S-41为中心的多边形如图1-14b所示。 s-25 s-26 s-40 s-8 s-41 s-7 s-46 s-28 s-25 s-26 s-40 s-8 s-41 s-7 s-46 s-28 (b)(a)图1-14中心样品四周均有样品时多边形的形成过程 如果在某些区域，钻孔间距大于2R，就以中心样品为中心，以R为半径做一八边形。位于边缘上的样品，只在其一侧有相邻样品而在另一侧没有相邻样品。这时，在没有相邻样品的一侧以中心样品为中心，画一半径为R的圆。然后在0o,90o与±45o方向上分别作圆的切线，这些切线与有相邻样品一侧的二分线相交就形成了所求的多边形。图1-15是以边缘样品S－14为例的多边形形成过程。s-21 s-13 R s-14 s-35 s-2 s-19 s-18 (a) \n 图1-15边缘样品的多边形的形成过程(b)s-21 s-13 s-14 s-35 s-2 s-19 s-18 以每一样品为中心形成多边形后，在每一多边形内，品位被看作是常数且多边形的品位等于其中心样品的品位。第i个多边形的重量Ti由下式计算：Ti=SiγH(1-34)式中，Si为第i个多边形的面积，γ为体重；H为台阶高度。如果多边形的品位xi大于边界品位，该多边形即为矿石多边形，所有矿石多边形的集合就形成了该水平面上的矿体。基于图1-13中的样品分布，应用多边形法进行品位计算和矿体圈定的结果如图1-16所示。这里假设边界品位为0.6％。水平断面上的矿石总量T为矿石多边形的重量之和，矿石的平均品位为矿石多边形品位的面积加权平均值，即：(1-35) (1-36)式中，xi为矿石多边形i的品位，n为矿石多边形个数。在某些矿床中，往往不同区域的成矿作用与矿石种类不同，或是地质构造使矿体发生错动。在这种情况下，使用多边形法时，应注意多边形不跨越区域界限和构造线。\n图1-16多边形法品位估算与矿体圈定结果图1-16多边形品位估算与矿体圈定结果二、三角形法在多边形法中，中心样品的品位被外推到整个多边形，即一个多边形的平均品位只用了一个已知样品作估计。一般情况下，对一给定体积的品位进行估算时，利用的已知数据越多，估计误差越小。从而就产生了三角形法。在三角形法中，每一样品是三角形的一个顶点。图1-17是将图1-13中的样品相连形成的三角形。很显然，在一定条件下顶点连法不同，所得到的三角形也不同。一般性的连接原则是使每个三角形的边尽可能短，面积尽可能小。每一三角形的品位xi是位于其顶点上的三个样品品位的平均值，即：(1-37)品位高于边界品位的三角形是矿石三角形，水平面上所有矿石三角形的集合形成该水平面上的矿体。一个水平面上的总矿量为矿石三角形的重量之和，矿石的平均品位为矿石三角形品位的重量或面积加权平均值。\n7972600N300N600E300E2215212347474822211615211749749369772935282737511836606297116120966085552336264132232539501099210888100858874361211375079736969727059422431333757475963547160353543494336434226 图1-17三角形法品位估算与矿体圈定结果 三角形法的优点在于它利用三个样品的品位来估计一个三角形的平均品位。从理论上讲，利用三角形法求得的品位、矿量较多边形法误差小。在应用三角形法时，也要注意三角形不超越区域界限和地质构造线。第七节三维块状模型（貌似是块体模型？？）三维块状模型是将矿床划分为许多单元块形成的离散模型（图1-18）。单元块一般是尺寸相等的长方体。随着计算机在矿山的普及应用和计算机的容量与速度的不断提高，三维块状模型在国际上得到越来越广泛的应用。三维块状模型不仅被广泛用于品位、矿量计算，也被用于\n图1-18三维块段模型示意图露天矿最终开采境界优化和开采计划优化。实际上，许多优化方法是由于三维块状模型的引入而产生的，而且当今矿山优化界正在进行的各种优化方法的研究，绝大多数以三维块状模型为基础。在我国，虽然三维块状模型的概念引入较早，但由于观念的陈旧与国家有关储量计算和矿山设计规范的束缚等原因，三维块状模型除在矿山设计院有少量应用外，至今没有发挥应有的作用。原则：三维块状模型中单元块的高度等于露天矿台阶高度，单元块在水平方向一般取正方形，其边长视具体情况而定。有人错误地认为，单元块越小，品位、矿量计算结果越精确。但是，从地质统计学理论可知，在已知数据（即样品数与样品在空间的分布）一定的条件下，单元块越小，对其品位的估计误差越大。另外，当单元块小到一定程度时，相邻的几个单元块的品位估计值会非常接近，与它们的平均品位相差无几，这种现象称为平滑作用，故用一个大块代替几个小块，品位与矿量的计算结果变化很小。而这样做可以降低对计算机容量的要求，加快计算速度。一般的经验规则是，单元块在水平方向上的边长不应小于钻孔平均间距的1/4或1/5。对于100米的钻孔间距，单元块的边长一般取30米左右。将矿床分为单元块后，需要应用某种方法对每一小块的平均品位进行估计。常用的方法有三，即最近样品法、距离N次方反比法和地质统计学法（即克里金法克里格）。三者均基于样品加权平均的概念，即对落在以单元块为中心的影响范围内的样品品位进行加权平均求得单元块的品位。三种方法的根本区别在于所用权值不同。本节介绍前两种方法，第三种方法将在下节给予较详细的论述。一、最近样品法（最近距离法）所谓最近样品法就是将距离某一单元块最近的样品品位作为该单元块的品位估计值。前面介绍的多边形法其实是不规则单元块情况下的最近样品法，最近样品法的一般步骤为： 第一步：以被估计的单元块的中心为圆心，做半径为影响半径R的圆。第二步：计算落入影响范围内的每一样品与单元块中心点的距离。第三步：选取离单元块中心最近的样品，其品位即为被估单元块的品位。 当没有样品落入影响范围时，被估单元块的品位是未知的。一般情况下，未知单元块的品位取0值，当废石处理。如果有理由认为未知单元块所处的区域可能有矿石，未知单元块的出现表明该区域的数据量太少，要想确定其品位与矿量，需要增加钻孔。\n在三维状态下，上述的影响范围，由二维状态下的圆变为球，需要对落入球内的所有样品进行考查，找出离单元块中心最近的样品。0000181818184242494949000000000001818184242424949490000000212121214018184242424949491414141400021212121404069693838434343141414140002121212140406969383843434314141414000212139393232727281818989484814141400003939393232727281818989484848899999039393923237283834572721011018989999900101023232383834572721011018989999901010101022136136929213413452527744001010646422136138929213413452527744004848646422262664641611617676464633048484848414126262664641611617676464633048484848414141171766404010010011330048232323411717176640401001001110000232323232222221919333939111000023232323222222191933393939000000000022222223233339393900000000000023232323000000000000000232323230000000图1-19最近样品法品位估算与矿体圈定结果求得矿床中所有单元块的品位以后，品位大于边界品位的单元块的集合组成矿体。矿石量和矿石平均品位可由矿石单元块重量的简单累加和品位的平均求得。基于图1-13所示的样品分布和品位值，用最近样品法求得该台阶上单元块的品位如图1-19所示。这里采用的影响半径(R)为75m，边界品位(gc)为0.6％。将图1-19与图1-16作比较可见，用多边形法与最近样品法所得的矿体形态相近。 二、距离N次方反比法(InverseDistanceMethod)在多边形法和最近样品法中，只有一个样品参与单元块品位的估值，如果落入影响范围的样品都参与单元块的品位估值，估值结果会更为精确。然而，由于各样品距单元块中心的距离不同，其品位对单元体的影响程度也不同。显然，距离单元块越近的样品，其品位对单元体品位的影响也就越大。因而在计算中，离单元体近的样品的权值应比离单元体远的样品的权值大。距离N次方反比法就是基于这一思想产生的。在此法中，一个样品的权值等于样品到单元块中心距离的N次方的倒数（1/dN）。 参照图1-20，距离N次方反比法的一般步骤如下： 第一步：以被估单元块中心为圆心、以影响半径R\n为半径做圆，确定影响范围（在三维状态下，圆变为球）。第二步：计算落入影响范围内每一样品与被估单元块中心的距离。第三步：利用下式计算单元块的品位Xb：(1-38)式中，xi为落入影响范围的第i个样品的品位；di为第i个样品到单元块中心的距离。 G7(1.00%)(0.60%)G4G1(0.40%)G8(0.80%)G2(0.50%)G5(1.00%)G6(0.50%)G9(0.70%)(0.60%)G3d2(60m)d6(60m)d9(45m)d7(75m)d4(30m)图1-20距离N次方反比法示意图 在实际应用中，有时采用所谓的角度排除，即当一个样品与被估单元块中心的连线与另一个样品与被估单元块中心的连线之间的夹角小于某一给定值α时，距单元块较远的样品将不参与单元块的估值运算（如图1-20中的G3与G5）。α值一般在15度左右。如果没有样品落入影响范围之内，单元块的品位为零。公式(1-38)中的指数N对于不同的矿床取值不同。假设有两个矿床，第一个矿床的品位变化程度较第二个矿床的品位变化程度大，即第二个矿床的品位较第一个矿床连续性好。那么在离单元体同等距离的条件下，第一个矿床中样品对单元块品位的影响应比第二个矿床小。因此，在估算某一单元块的品位时第一个矿床中样品的权值在同等距离条件下应比第二个矿床中样品的权值小。也就是说在品位变化小的矿床，N取值较小；在品位变化大的矿床，N取值较大。在铁、镁等品位变化较小的矿床中，N一般取2；在贵重金属（如黄金）矿床中，N的取值一般大于2，有时高达4或5。如果有区域异性存在，不同区域中品位的变化不同，则需要在不同区域取不同的N值。同时，一个区域的样品一般不参与另一区域的单元块品位的估值运算。以图1-20为例，若n=2，则被估单元块的品位为0.628。\n00001818193042454949490000000000018181839424549494900000002121213333418174142434949141414140002122223140436462424243494914141414000212324253940586875385343451414141400021302121344040696838384343143114140000393939313249735981768995466863359990393239393232727281809089474780159990010142323138289508972103101768948969300N010121323239783584572721011018989999001029101010214136100911261341055249754004847105833221361369291134133525277404848484864642325261664521611317639474830484848414841361826266464161161777646463004834484841411717186540401001001100002323232320221716664040100100110000232323232222222219193340400000000000222222221919334039000000000000232323230000000000000000222323220000000 图1-21距离平方反比法品位计算与矿体圈定结果 基于图1-13所示的样品分布和品位值，应用上述方法，当N＝2，R=75m，gc=0.6％时，品位计算和矿体圈定结果如图1-21所示。将图1-16，1-19和1-21所示的计算结果作比较，应用距离平方反比法求得的矿体形态与前两种方法（多边形法与最近样品法）得出的矿体形态之间的差别较为明显。\n第八节地质统计学法（GeostatisticalMethod）地质统计学是60年代初期出现的一个新兴应用数学分支，其基本思想是由南非的DanieKrige在金矿的品位估算实践中提出来的，后来由法国的GeorgesMatheron经过数学加工，形成一套完整的理论体系。在过去的三十多年中，地质统计学不仅在理论上得到发展与完善，而且在实践中得到日益广泛的应用。如今，地质统计学在国际上除被用于矿床的品位估算外，也被用于其他领域中研究与位置有关的参数变化规律和参数估计。如农业中农作物的收成、环保中污染物的分布等等。本节将从矿床的品位估算的角度，简要介绍地质统计学的基本概念、原理和方法。一、区域化变量、协变异函数与半变异函数应用传统统计学（“传统”二字是相对于地质统计学而言的）可以对矿床的取样数据进行各种分析，并估计矿床的平均品位及其置信区间。在给定边界品位时，传统统计学也可用于初步估算矿石量和矿石平均品位。然而，传统统计学的分析计算均基于一个假设，即样品是从一个未知的样品空间随机选取的，而且是相互独立的。根据这一假设，样品在矿床中的空间位置是无关紧要的，从相隔上千米的矿床两端获取的两个样品与从相隔几米的两点获取的两个样品从理论上讲是没有区别的，它们都是一个样本空间的两个随机取样而已。但是在实践中，相互独立性是几乎不存在的，钻孔的位置（即样品的选取）在绝大多数情况下也不是随机的。当两个样品在空间的距离很小时，样品间会存在较强的相似性，而当距离很大时，相似性就会减弱或不存在。也就是说，样品之间存在着某种联系，这种联系的强弱是与样品的相对位置有关的。这样就引出了“区域化变量”的概念。 （一）区域化变量及协变异函数：如果以空间一点为中心获取一样品，样品的特征值X(z)是该点的空间位置z的函数，那么变量X即为一区域化变量。显然，矿床的品位是一个区域化变量，而控制这一区域化变量之变化规律的是地质构造和矿化作用。区域化变量的概念是整个地质统计学理论体系的核心，用于描述区域化变量变化规律的基本函数是协变异函数和半变异函数。设有两个随机变量X1与X2，如果X1与X2之间存在某种相关性，那么从传统统计学可知，这种相关关系由X1与X2的协方差σ(x1,x2)表示：σ(x1,x2)=E[(x1-E(x1))(x2-E(x2))](1-39)让和分别表示X1和X2的方差，则：(1-40)(1-41)式中，E[*]表示随机变量[*]的数学期望。X1与X2之间的相关系数为： (1-42)当X1和X2互相独立时，即二者之间不存在任何相关性时，协方差与相关系数均为零。当X1和X2“完全相关”时，相关系数为1.0（或-1.0）。如果X1和X2不是一般的随机变量，而是区域化变量X在矿体Ω中的取值，即： X1代表X(z)：区域化变量X在矿体Ω中z点的取值；X2代表X(z+h)：区域化变量X在矿体Ω中距z点h处的取值。\n 那么，由式(1-39)可计算X(z)与X(z+h)在矿体Ω中的协方差：(1-43)σ(h)称为区域化变量X在Ω中的协变异函数(Covariogram)。让和分别表示X(z)与X(z+h)在矿体Ω中的方差,则：(1-44)(1-45)那么X(z)与X(z+h)之间的相关系数为：(1-46)称为区域化变量X在Ω中的相关函数(Correlogram)。对于任何矿床，都可能计算出其协变异函数，但在利用对矿床中单元体的品位进行估值时，需满足二阶稳定性条件。 二阶稳定性条件](Secondorderstationarityconditions): ll X(z)的数学期望与空间位置z无关，即对任意位置z0：E[x(z0)]=μ(1-47)ll 协变异函数与空间位置无关只与距离h有关，即对于任何位置z0：(1-48) 当(1-48)成立时，X(z)与X(z+h)的方差相等，即：，式(1-46)变为(1-49)（二）半变异函数用于描述区域化变量变化规律的另一个更具实用性的函数是半变异函数(Semivariogram)。半变异函数的定义为：(1-50)如果满足二阶稳定性条件，半变异函数和协变异函数之间存在以下关系：(1-51)证明：\n 图1-22是关系式(1-51)的示意图。γ(h)σ2σ(h)图1-22半变异函数与协变异函数的关系示意图 N 当h=0时，点z和z+h变为一点，区域化变量X的取值X(z)与X(z+h)应变为同一取值。从以上各式可以看出，。实际上，在同一位置获得两个完全相同的样品是几乎不可能的。如果我们从紧挨着的两点(h=0)取两个样品，由于取样过程中的误差和微观矿化作用的变化，两个样品不会完全相同；即使是把同一个样品化验两次，由于化验过程中的误差，化验结果也难以完全相同。因此，半变异函数在原点附近实际上不等于零，这种现象称为块金效应。块金效应的大小用块金值N表示：(1-52)应用半变异函数进行参数估计时，需满足内蕴假设。 [内蕴假设](IntrinsicHypothesis) ll 区域化变量X的增量的数学期望与位置无关，即对于区域Ω内的任意位置z0:(1-53)ll 半变异函数与位置无关，即对于区域Ω内的任意位置z0:(1-54) 内蕴假设的内涵是：区域化变量的增量，在给定区域Ω内的所有位置上具有相同的概率分布。内蕴假设要求的条件要比二阶稳定性条件宽松得多，当满足后者时，前者自然得到满足。二、实验半变异函数及其计算象普通随机变量的概率分布特征值一样，半变异函数对任一给定矿床Ω是未知的，需要通过取样值对之进行估计。设从矿床Ω中获得一组样品，相距h的样品对数为n(h)，那么半变异函数γ(h)可以用下式估计：(1-55)式中，X(zi)是在zi处的样品值，X(zi+h)是在与zi相距h处的样品值。由(1-55)\n计算的半变异函数称为实验半变异函数。下面举例说明实验半变异函数的计算过程。 [例1-2]在一条直线上取得10个样品，其位置如图1-23所示，试计算实验半变异函数。３３７５５图1-23一维取样分布１２１０５１０２７８１２１１ 表1-3基于图1-23中数据的半变异函数计算结果间距h1234样品对数n(h)7666γ(h)2.8578.16715.66718.917 表1-4h=3时γ(h)的计算过程样品对 x(z)x(z+3)x(z)-x(z+3)(x(z)-x(z+3))2512-749711-4161275251129817341623-1+1 γ(3)=188/12=15.667188 4321γ(h)201612840h图1-24实验半变异函数 解：样品是一个离散集，因此我们只能对几个离散h值计算γ(h)。应用公式(1-55)计算结果列于表1-3中。以h=3为例，计算过程列于表1-4中。表1-3中的计算结果绘于图1-24。\n上例中样品落于一直线上，是一个在一维空间计算实验半变异函数的问题。在二维或三维空间，半变异函数是具有方向性的，即在不同的方向上，半变异函数可能不一样。下面是一个二维空间下求半变异函数的算例。 [例1-3]如图1-25所示，在矿床的某一台阶取样31个，样品位于间距为1的规则网格点上，各样品的品位如图中的数字所示。试求在4个方向上的实验半变异函数。方向581311466781076411731115177891311210344图1-25二维取样分布2341 解：在任一方向上计算过程与例1-2相同。只是在一给定方向上选取间距为h的样品对时，只能在该方向上选取。在方向1和2上的实验半变异函数计算结果列在表1-5中，在方向3和4上的计算结果列于表1-6中。表1-5例1-3中在方向1和2上的实验半变异函数计算结果 h=1h=2h=3方向n(h)γ(h)n(h)γ(h)n(h)γ(h)1113.91129.00811.062144.07147.64915.22 表1-6例1-3中在方向3和4上的实验半变异函数计算结果 h=h=h=方向n(h)γ(h)n(h)γ(h)n(h)γ(h)3105.901112.09620.08495.061212.92616.83 若将平面上所有方向上相距为h的样品对用于计算，得到的实验半变异函数称为该平面上的平均实验半变异函数，例1-3中的平均实验半变异函数计算结果列于表1-7。 表1-7例1-3中平均实验半变异函数计算结果h123n(h)251926231712\nγ(h)4.005.508.2712.5213.2618.46 所有4个方向上的实验半变异函数与平均半变异函数计算结果绘于图1-26。43234211γ(h)201612840h图1-26不同方向上的实验半变异函数平均 在实践中，样品在平面上的分布可能很不规则，不可能所有样品都位于规则的网格点上，样品间的距离也不会是一个基数的整数倍，而且往往需要计算任意方向的实验半变异函数。因此，恰好落在某一给定方向的方向线上和间距恰好等于某一给定h的样品对很少（或几乎不存在）。所以如图1-27所示，在计算实验半变异函数时，我们需要确定一个最大方向角偏差和距离偏差，如果一对样品X(zi)和X(zj)所在的位置所组成的向量Zi→Zj的方向落于α－和α＋之间，那么就可以认为X(zi)和X(zj)是在方向α上的一个样品对；如果样品X(zi)和X(zj)之间的距离落于h-和h+之间，就可认为这两个样品是相距h的一个样品对。2称为窗口(window)。在实际计算中，往往以2作为h的增量，以作为最小h值（即偏移量Offset）。例如，当2＝10米时，h取5米，15米，25米……。x(zi)ααΔVx(zj)hh+Δh h-ΔhΔ αx(zi)U’图1-27二维半变异函数的实用计算方法 在三维空间，图1-27中的扇形变为图1-28中的锥体，空间的某一方向由方位角φ与倾角Ψ\n表示。另外，在三维空间，一个样品不是一个二维点，而是具有一定长度的三维体，所以在计算半变异函数前，需要将样品进行组合处理，形成等长度的组合样品。在实验半变异函数的实际计算中，首先要对所有样品对进行矢量运算，找出落于方向与间距最大偏差范围内的样品对，然后对这些样品对应用公式(1-55)进行计算，获得半变异函数曲线上的一个点。需要说明的是，距离h是所有这些样品对的平均距离。三、半变异函数的数学模型实验半变异函数由一组离散点组成，在实际应用时很不方便。因此常常将实验半变异函数拟合为一个可以用数学解析式表达的数学模型。常见的半变异函数的数学模型有以下几种： h-△ｈh+△ｈ△αΨWX(Zj)X(Zi)фUV 图1-28三维半变异函数的实用计算方法 （一）球状模型(SphericalModel)实验半变异函数在大多数情况下可以拟合成球状模型。因此，球状模型是应用最广的一种半变异函数模型，其数学表达式为：(1-56)式中，C称为槛值或台基值(sill)，一般情况下可以认为C＝(为样品的方差），a称为变程(range)。图1-29是球状模型的图示。从图中可以看出，γ(h)随h的增加而增加，当h达到变程时，γ(h)达到槛值C；之后γ(h)便保持常值C。这种特征的物理意义是：当样品之间的距离小于变程时，样品是相互关联的，关联程度随间距的增加而减小，或者说，变异程度随间距的增加而增大；当间距达到一定值时，样品之间的关联性消失，变为完全随机，这时γ(h)即为样品的方差。因此，变程实际上代表样品的影响范围。\n （二）随机模型(RandomModel)当区域化变量X的取值是完全随机的，即样品之间的协方差σ(h)对于所有h都等于0时，半变异函数是一常量：(1-57)这一模型称为随机模型，其图示为一水平直线（图1-30）。随机模型表明样品之间互不相关。随机模型有时也被称为纯块金效应模型(Purenuggeteffectmodel)。 （三）指数模型(ExponentialModel)指数模型的数学表达式为：(1-58)指数模型的特征与球状模型相似（图1-31），变异速率较小。式(1-58)中的a是原点处的切线达到C时的h值。 （四）高斯模型(GaussianModel)高斯模型的数学表达式为：(1-59)如图1-32所示，高斯模型在原点的切线为水平线，表明γ(h)在短距离内变异很小。 （五）线性模型(LinearModel)线性模型的数学表达式为一线性方程，即：γ(h)＝(P2/2)h(1-60)式中，p2为一常量，且(1-61)如图1-33所示，线性模型没有槛值，γ(h)随h无限增加。 (六)对数模型(LogarithmicModel)对数模型的表达式为：(1-62)式中，a为常量。当h取对数坐标时，对数模型为一条直线（图1-34）。对数模型没有槛值。当h<1时，为负数，由半变异函数的定义（式1-55）可知不可能为负数。所以对数模型不能用于描述h<1时的区域化变量特性。\n hC图1-29球状模型示意图图1-31指数模型hC图1-32高斯模型haChaC图1-30随机模型 hp2/2h3α1001021 图1-34对数模型图1-33线性模型 \n除对数模型和随机模型外，均有。但由于取样、化验误差和矿化作用在短距离内（小于最小取样间距）的变化，在绝大多数情况下半变异函数在原点不等于零，即存在块金效应。因此，在实践中应用最广的模型是具有块金效应的球状模型，其数学表达式为：(1-63)式中，N为块金效应；N+C为槛值。在某些情况下，区域化变量的结构特性较复杂，难以用单一结构的数学模型描述。这时，往往采用几个结构的数学组合来描述较复杂的结构。带有块金效应的球模型（式1-63）实质上就是由两个结构组成的：一个是纯块金效应结构（或随机结构），另一个是球形结构。由多个半变异函数组成的结构称为嵌套结构(nestedstructures)。实践中较常见的嵌套结构由块金效应与两个球模型组成，即：(1-64)式中，和为具有不同a和C值的球模型。图1-35是这一嵌套结构的示意图：ha1a2N+C2N+C1嵌套结构球形结构2球形结构1块金效应结构N+C1+C2N图1-35球模型的嵌套结构示意图 四、半变异函数的拟合实践中半变异函数是根据有限数目的地质取样建立的，而通过取样我们只能得到由一些离散点组成的实验半变异函数。因此，需要对实验半变异函数进行加工获得实验半变异函数的数学模型。将实验半变异函数加工成数学模型的过程称为半变异函数的拟合。这里只讲球模型的拟合。图1-36是从一组样品得到的实验半变异函数。虽然数据点的分布不很规则，但仍可看出随h首先增加，然后趋于稳定的特点。因此，其数学模型应为具有块金效应的球模型。如果能确定块金效应N，槛值N+C和变程a，拟合也就完成了。 500400300200Y(h)h0.200.150.100.05N0100(134)(163)(49)(169)(106)(84)(135)(167)(133)(80)(3)a(20)Sill=0.1351 \n图1-36实验半变异函数的拟合 首先确定槛值。从数据点的分布很难看出稳定在何值，但从理论上讲，可以认为槛值等于样品的方差。因此，在实际拟合时，往往取为槛值。这里＝0.135，故N+C＝0.135。其次确定块金效应。根据槛值以下靠近原点的数据点变化趋势，作一条斜线，斜线与纵轴的截距即为块金效应N，从图中可以看出N≈0.02。这样C＝0.135-0.02=0.115。最后确定变程。根据球模型的数学表达式可知，在h=0处的切线斜率为C/()。所以上面求块金效应时所作的斜线与等于槛值的水平线的交点之横坐标为。从图中可以看出，约为100米，所以变程约为150米。利用实际数据进行半变异函数的拟合通常是个十分复杂的过程，需要对地质特征有较好的了解和拟合经验。当取样间距较大时，变程以内的数据点很少，很难确定半变异函数在该范围内的变化趋势，而恰恰这部分曲线是半变异函数最重要的组成部分。在这种情况下，常常求助于“沿钻孔实验半变异函数”(down-holevariogram)，即沿钻孔方向建立的实验半变异函数。因为沿钻孔取样间距小，沿钻孔半变异函数可以捕捉短距离内的结构特征，帮助确定半变异函数的块金效应和变化趋势。但必须注意，当存在各向异性时，沿钻孔半变异函数只代表区域化变量沿钻孔方向的变化特征，并不能完全代表其他方向上半变异函数在短距离的变化特征。 五、各向异性(Anisotropy)当区域化变量在不同方向呈现不同特征时，半变异函数在不同方向也具有不同的特性。我们称这种现象为各向异性。常见的各向异性有两种。(1)几何各向异性(GeometricAnisotropy)：几何各向异性的特点是半变异函数的槛值不变，变程随方向变化。如果求出任一平面内所有方向上的半变异函数，半变异函数在平面上的等值线是一组椭圆（图1-37）。椭圆的短轴和长轴称为主方向(PrincipalDirections)。对应于槛值的等值线上的每一点r到原点的距离是在o→r方向上半变异函数的变程。所以，对应于槛值的等值线椭圆称为各向异性椭圆，它是影响范围的一种表达。若平面为水平面，各向异性椭圆的长轴方向一般与矿体的走向重合（或非常接近）。因此即使矿体的产状是未知的，通过各向异性分析也可以确定矿体的走向。在三维空间，各向异性椭圆变为椭球体。(2)区域各向异性：区域各向异性的特点是半变异函数的槛值与变程均随方向变化，如图1-38所示。qooha1a2C0C0+Cp-p方向q-q方向ppr图1-37几何各向异性示意图x \nhoC图1-38区域异性示意图方向1方向2六、半变异函数平均值的计算应用地质统计学方法进行参数估值时，需要计算半变异函数在两个几何体之间或在一个几何体内的平均值。设在区域Ω中有两个几何体V和W，如果在V中任取一点z，在W中任取一点z,，z与z,之间的距离为h，那么半变异函数在两点上的值为γ(h)，记为γ(z,z,)。半变异函数在V和W之间的平均值就是当z取V中所有点、z,取W中所有点时，γ(z,z,)的平均值，即：(1-65)上式积分可以用数值方法计算。将V划分为n个大小相等的子体，每个子体的中心位于zi(i=1,2,……,n)；同理，将W划分为n,个子体，每个子体的中心位于z,j(j=1,2,……,n,)。这样，上面的积分可用下式逼近：(1-66)当V和W是同一几何体时，即为半变异函数在几何体V内的平均值：(1-67)式中，zi和zj都是V中的子体中心位置。根据半变异函数的定义，γ(zi,zj,)=，xi和xj,分别为区域化变量X在zi和zj,处的取值。这样，式（13－66)和(1-67)也可分别改写为以下的形式：(1-68)(1-69)如果几何体W代表的是一个样品，用ω表示，样品的中心位于z0，样品值为x0，而且样品ω的体积很小，不再划分为子体，即n,=1，那么式(1-66)变为：\n (1-70)式(1-68)变为：(1-71)称为半变异函数在样品ω与几何体V之间的平均值。如果V也代表一个样品ω，,ω，的中心位于z0,，ω，的取值为x0,，ω，的体积很小，不再划分为子体(n=1)，那么式(1-70)和(1-71)分别变为：(1-72)(1-73)称为半变异函数在两个样品之间的“平均值”。当然，如果样品的体积较大，需要把样品也划分为子体时，半变异函数在样品与几何体之间，样品与样品之间的平均值和半变异函数在两个几何体之间的平均值是一回事。因此，式(1-66)或(1-68)是计算半变异函数平均值的一般公式，其它公式都是这两个公式的特例。值得注意的是，当把样品也划分为离散点进行计算时，意味着半变异函数不是由具有一定体积的样品数值得来的，而是从无限小的点值得到的。这样的半变异函数称为点半变异函数(Pointsemivariogram)。但在实践中点半变异函数是未知的，半变异函数是通过具有一定体积的样品数据建立的。因此，在实际计算中一般把样品看作是“不可再分”的。七、克里金(Kriging)由于地质统计学法的基本思想是由DanieKrige（丹尼·克里金）提出的，所以应用地质统计学进行参数估值的方法被命名为克里金法(Kriging)。克里金估值是在一定条件下具有无偏性和最佳性的线性估值。所谓无偏性就是参数估值与真值之间的偏差的数学期望为零，即：(1-74)所谓最佳性是指估计值与真值之间偏差的平方的数学期望达到最小，即：(1-75)也称为估计方差(EstimationVariance)，用表示；用克里金法进行估值的估值方差称为克里金方差(KrigingVariance)或克里金误差(KrigingError)，用表示。所谓线性估值是指未知量的估计是若干个已知取样值xi的线性组合，即：(1-76)式中，bi为常数。\n设从区域Ω中取样n个，样品ωi的值为xi(i=1,2,……,n)；Ω中的一个单元体V的未知真值为（图1-39)。那么，用这n个样品对的克里金估值即为式(1-76)。1ωx1xiiω2x2ωV 图1-39克里金法示意图 根据无偏性要求，有；如果在区域Ω内，区域化变量满足内蕴假设且“无漂移”，E[xi]=E[]=μ（μ为参数在Ω的平均值），上式变为：，消去μ得：或(1-77)因此，估值具有无偏性的充要条件是取样值的权值之和为1。将几何体V看作是由m个相同的子体组成，每个子体的值为，那么等于子体值的平均值，即。这样克里金方差为：令xj’,表示另一个样品ω,j的值（当j’=i时，xj’,=xi）；vl表示V中的另一个子体的值（当1＝k时，v1=vk)。那么当时上式可以改写为：\n(1-78)从公式(1-73)可知，即半变异函数在样品和间的平均值；从公式(1-69)可知，即半变异函数在几何体V内的平均值；从公式(1-71)可知：，即半变异函数在样品ωi和V之间的平均值。将这些等价关系代入式(1-78)，得：(1-79)这样，最佳估值就是在的条件下求达到最小值时的权值bi(i=1,2,……,n)。应用拉格朗日乘子法，得拉格朗日函数：(1-80)式中，为拉格朗日乘子。在的条件下求达到最小的条件是拉格朗日函数对bi(i=1,2,……,n)和λ的一阶偏微分为零，即：对(1-81)将式(1-79)代入式(1-80)中并求导，得(1-81)的具体形式为： (1-82)将(1-82)展开，得：(1-83)式(1-83)是有n+1个方程组成的线性方程组，称为克里金方程组。解这个方程组就可求出\nn+1个未知数(b1,b2,……,bn,λ)。将求得的b1,b2,……,bn代入式(1-76)即得的无偏、最佳估值。式(1-83)也可用矩阵形式表示，令 式(1-83)可改写为：AB＝C(1-84)上式的解为：B＝A-1C(1-85)如果区域化变量在Ω中满足二阶稳定性假设，。因此，克里金方程组也可用协变异函数表示，这时： 式中，为协变异函数在两样品间的平均值；为协变异函数在样品ωi和几何体V之间的平均值。和的计算公式与和的计算公式在形式上相同。 [例1-4]如图1-40所示，矿床Ω中有一个方块，其边长为3，一个样品ω1位于方块的中心，其品位为x1=1.2；另一个样品ω2位于方块的一角，其品位为x2=0.5。半变异函数的方程为：\n假设品位在矿床中满足内蕴假设且无漂移，试用克里金法估计方块V的品位。 3= 3图1-40例1-4中方块与样品相对位置及半变异函数示意图ω1 ω2 5 V98764321h0.51.012 解:(1)计算：ω1与ω2之间的距离为，ω1和ω2到自身的距离为0根据公式(13－72)，有：(2)计算和：将V等分为如图所示的9个小块，根据公式(1-70)，有：式中z0为ω1的位置，zi为第i个小块的中心位置。当i=2时，样品ω1距第二小块的距离为1，因此γ(z0,z2)=γ(1)=0.5。类似地可以求出任意i的γ(z0,zi)：\n仿照上述做法，求得： (3)建立克里金方程组并求解：将上面求得的和代入式(1-83)，有：解上面的方程组得：b1=0.673,b2=0.327,λ=0.209 (4)求方块V的品位方块V的品位的估值为： (5)计算方块品位的克里金方差：计算克里金方差需要计算，根据式(1-67)式中zi和zj为两个小方块的位置，对于每一对zi和zj，γ(zi,zj)的算法与第(2)步中γ(z0,zi)的算法相同。这里不再重复，只给出计算结果如下：=0.683将有关数值代入式(1-79)得：=0.175对于图1-13所示的样品分布及品位值，通过不同方向的实验半变异函数计算和拟合，得知半变异函数在台阶上是各向异性的，长轴主方向为135o（即东南—西北），短轴主方向为45o\n（即西南—东北），两个主方向上的半变异函数均为球函数：长轴方向：N=0.015C=0.200a=137米短轴方向：N=0.010C=0.160a=122米用克里金法对台阶上所有方块的估值结果如图1-41所示：第九节影响范围当对块状模型中每一单元块的品位进行估值时，无论用什么方法，均需要确定由哪些样品参与估值运算。一般地讲，对被估单元块有影响的样品（即落入影响范围内的样品〕都应参与估值运算。地质统计学把品位看作是区域化变量，而且用半变异函数描述品位在矿床中的相互关联特征。因此地质统计学为帮助确定合理影响范围提供了理论依据。如前所述，在大多数情况下品位的半变异函数的数学模型为球模型。球模型的特点是：半变异函数γ(h)随距离h的增加而增加，当h增加到变程a时γ(h)达到槛值。由于槛值为样品的方差，这表明当h≥a时样品值变为完全随机的，样品之间失去了相互影响。因此，半变异函数的变程a可以被看作是影响半径的一种表述。然而当存在各向异性时，不同方向上的半变异函数具有不同的变程，影响范围是一椭球体，即各向异性椭球体。因此，确定合理影响范围首先要建立各个方向的半变异函数，进行各向异性分析。影响范围在品位、矿量计算中起着相当重要的作用，在某些情况下，所选取的影响范围不同，矿量计算结果会有很大的差别。然而，确定合理影响范围是一件不容易的事，需要对矿床的成矿特征有深入的了解，同时也需要丰富的实践经验。地质统计学可以帮助确定合理的影响范围，但并不意味着各向异性椭球体（在各向同性情况下为球体）就是最合理的影响范围，最后决策应是综合考虑各种因素（包括经验）的结果。 \n00001818180000000000000000018181842424949490000000000001818304242494949000000002121214040525853394245450141414000021212140404069693838434301414140000213032373548706763677065483514140000039393932327272818189894848000000039393127377773696679787983896399990010161723836883457272101101898999990010141013334499838391120109644887660010334344221361389292134134525277440006464642456259739315213268613428440048485049412828286464161161767648483300484845414121202025358078927318133300483531294117171766404010010011000002323230202019151515245950110000023232302222221919333939000000000002222222119319393900000000000002323230000000000000000023232300000000图1-41基于图1-13数据的克里金估值结果 小结本章介绍了取样数据的处理与分析以及品位（矿量）估算的几种常用方法。地质统计学法被大部分人认为是一种较好的品位估值方法，尤其适用于品位变化大，矿岩界线由品位控制的矿床，如侵染型的贵金属矿床。必须指出，无论方法在数学上如何复杂，在理论上如何先进，方法本身不能增加已知信息量，而品位与矿量估算的准确程度主要取决于已知信息量的大小。另外，不同的估值方法有不同的适用条件。对于一给定矿床，方法A最为合适；而对于另一矿床，也许方法B最为合适。各种方法在不同矿床的实际应用经验是选择估值方法的重要依据。在实践中，国际上通常的做法是：在对矿床进行初步评价或是数据量不足时，选用较简单的方法（一般是距离N次方反比法）。当有了足够的数据，对矿床进行正式可行性评价时，选用地质统计学法。地质统计学法也常被用于开采过程中局部范围内的矿岩重新圈定和品位、矿量计算。
