[经济学]计量经济学第二章

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第二章一元线性回归模型第一节一元线性回归模型及其古典假定第二节参数估计第三节最小二乘估计量的统计特性第四节统计显著性检验第五节预测与控制山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n第一节回归模型的一般描述（1）确定性关系或函数关系：变量之间有唯一确定性的函数关系。其一般表现形式为：一、回归模型的一般形式变量间的关系经济变量之间的关系，大体可分为两类：（2.1)山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n（2）统计关系或相关关系：变量之间为非确定性依赖关系。其一般表现形式为：(2.2)例如：函数关系：圆面积S=统计依赖关系/统计相关关系：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n若x和y之间确有因果关系，则称(2.2)为总体回归模型，x(一个或几个）为自变量（或解释变量或外生变量），y为因变量（或被解释变量或内生变量），u为随机项，是没有包含在模型中的自变量和其他一些随机因素对y的总影响。一般说来，随机项来自以下几个方面：1、变量的省略。由于人们认识的局限不能穷尽所有的影响因素或由于受时间、费用、数据质量等制约而没有引入模型之中的对被解释变量有一定影响的自变量。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n2、统计误差。数据搜集中由于计量、计算、记录等导致的登记误差；或由样本信息推断总体信息时产生的代表性误差。3、模型的设定误差。如在模型构造时，非线性关系用线性模型描述了；复杂关系用简单模型描述了；此非线性关系用彼非线性模型描述了等等。4、随机误差。被解释变量还受一些不可控制的众多的、细小的偶然因素的影响。若相互依赖的变量间没有因果关系，则称其有相关关系。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n对变量间统计关系的分析主要是通过相关分析、方差分析或回归分析(regressionanalysis)来完成的。他们各有特点、职责和分析范围。相关分析和方差分析本身虽然可以独立的进行某些方面的数量分析，但在大多数情况下，则是和回归分析结合在一起，进行综合分析，作为回归分析方法的补充。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n回归分析(regressionanalysis)是研究一个变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系的计算方法和理论。其用意：在于通过后者的已知或设定值，去估计和（或）预测前者的（总体）均值。这里：前一个变量被称为被解释变量(ExplainedVariable）或因变量（DependentVariable），后一个（些）变量被称为解释变量（ExplanatoryVariable）或自变量（IndependentVariable）。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n回归与回归分析的内容（一）回归分析的基本思想和方法及“回归”名称的由来英国统计学家高尔顿（F.Ｇalton，1822－1911）和他的学生皮尔逊（Ｋ.Pearson，1856－1936）在研究父母身高与其子女身高的遗传问题时，观察了1078对夫妇，以每对夫妇的平均身高作为，而取他们的一个成年儿子的身高作为，将结果在平面直角坐标系上绘成散点图，发现趋势近乎一条直线，计算出的回归直线方程为y＝33.73＋0.516x这一方程表明：父母平均身高每增减一个单位时，其成年子女的身高仅平增减0.516个单位。这项研究结果表明，虽然高个子父辈有生高个子儿子的趋势，矮个子的父辈有生山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n矮个子儿子的趋势，但父辈身高增减一个单位，儿子身高仅增减半个单位左右。通俗地说，一群特高个子父辈的儿子们在同龄人中平均仅为高个子，一群高个子父辈的儿子们在同龄人中平均仅为略高个子；一群特矮个子父辈的儿子们在同龄人中平均仅为矮个子，一群矮个子父辈的儿子们在同龄人中平均仅为略矮个子，即子代的平均身高向中间回归了。所以高尔顿引用了“回归”（regression）一词来描述父辈身高与子代身高之间的关系。尽管“回归”这个名称的由来具有特定的含义，但是，人们在研究大量的经济变量间的统计关系时已远远超出了这一特定的含义了，我们现在使用回归这一名称仅仅是接受了高尔顿先生的回归分析基本思想和方法。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n(二）回归分析的主要内容一般认为，回归分析的主要内容包括以下三个方面：１、进行参数估计。即如何根据既定的样本观测值对回归模型的参数进行估计，求出具体的回归方程。２、进行统计显著性检验。即对回归方程、参数估计值进行显著性检验与校正，以便使回归方程或参数更加优良。３、进行预测和控制。如何根据回归方程进行适当的预测和控制是回归分析的最终目的。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n1、有相关关系并不意味着一定有因果关系；2、回归分析/相关分析研究一个变量对另一个（些）变量的统计依赖关系，但它们并不意味着一定有因果关系。3、相关分析对称地对待任何（两个）变量，两个变量都被看作是随机的。回归分析对变量的处理方法存在不对称性，即区分应变量（被解释变量）和自变量（解释变量）：前者是随机变量，后者不是。▲注意：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n对于总体回归模型，(2.4)其中和为两个待定参数，为直线的截距，为直线的斜率。我们称（2.4）为一元线性总体回归模型。若给定的n次观察值，（1,2,3,…,n）代入模型（2.4），得(1,2,3,…,n)（2.5）特别地,当只有一个自变量且时，则有：二、一元线性回归模型山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n一是被解释变量y与解释变量x之间为线性关系，即解释变量x仅以一次方的形式出现在模型之中。用数学语言表示为：二是被解释变量y与参数β之间为线性关系，即参数β仅以一次方的形式出现在模型之中。用数学语言表示为：线性回归模型”中的“线性”一词在这里有两重含义：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n就属于被解释变量y与解释变量x之间不为线性关系的情形，如果我们令在计量经济学中，我们更关心被解释变量y与参数β之间的线性关系。因为只要被解释变量y与参数β之间为线性关系，即使被解释变量y与解释变量x之间不为线性关系，我们也可以通过变量替换方便地将其化为线性。例如，模型此时非线性模型就变成线性模型了山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n三、一元线性回归模型中随机项的假定在给定样本观测值(样本值)，i=1,2,3,…,n后，为了估计（2.5）式的参数和，必须对随机项做出某些合理的假定。这些假定通常称为古典假定。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n假定1E(ui|xi)=0i=1,2,…,n；随机误差项u具有零均值.假定2Var(ui|xi)=E{[ui-E(ui)]2}=E(ui2)=u2i=1,2,…,n随机误差项u具有同方差.假定3Cov(ui,uj)=E{[ui-E(ui)][uj-E(uj)]}=0i≠j,i,j=1,2,…,n随机误差项u具有不序列相关性.假定4Cov(ui,xi)=0i=1,2,…,n随机误差项u与解释变量x之间不相关.假定5ui~N(0,u2)i=1,2,…,nu服从零均值、同方差的正态分布.山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n注意:1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;2、如果假设4满足，则假设2也满足;3、假定2，3称为高斯—马尔柯夫(Gauss-Markov)假定;4、在假定5成立的前提下，随机变量yi的条件分布也为正态分布，即：yi~N(β0+β1xi,u2)i=1,2,…,n以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n第二节参数估计一、样本回归方程二、普通最小二乘估计（OLS）三、一元线性回归模型参数的极大似然估计(ML)四、一元线性回归模型参数的矩估计(MM)山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n一、样本回归方程对于一元线性回归模型，在满足古典假设条件下，两边取条件均值，得一元线性回归方程：简称总体回归线。其中总体回归系数和是未知的，实际上总体回归线是无法求得的，它只是理论上的存在，所以称为理论回归方程。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n我们称（2.8）为样本回归模型。它由两部分组成：称为系统分量，是可以被x解释的部分，也称为可解释分量；是不能被解释的部分，称为残差(Residual),它是随机项的代表值，也称为不可解释分量。（2.8）如果变量x和y之间存在线性相关关系，对于任意抽取的若干个观测（样本）点，有:山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n将系统分量表示为:（2.9）(2.9)称为一元线性样本回归方程，简称样本回归方程。又因(2.9)式的建立依赖于样本观测值，所以我们又称其为经验回归方程。为样本回归系数。其中，是估计的回归直线在y轴上的截距，是总体回归系数的样本估计值；是直线的斜率，是总体回归系数的样本估计值。的实际意义为x每变动一个单位时，y的平均变动值，即x的变动对y变动的边际贡献率。是实际观测值的拟合值或估计值。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n二、普通最小二乘法（OLS）即在给定样本观测值之下，选择出使与之差的平方和最小。给定一组样本观测值（xi,yi）（i=1,2,…n）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）给出的判断标准是：二者差的平方和最小山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n和应满足下列方程组：整理得正规方程组：(2.10)山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n由克莱姆法则解得：由（2.10）或（2.11）估计出的和称为：普通最小二乘估计量（OrdinaryLeastSquaresEstimators---OLSE）其中：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n由最小二乘法确定的一元线性回归方程有以下性质：1、它是由所选取的样本唯一决定的。即对于一个给定的样本，只能估计出一个，但对于不同的样本，估计出的和可能不相等，即它们是服从某种分布的随机变量。3、残差与的大小无关，进而与的大小无关，即4、由知：。说明回归直线通过样本的平均点。2、残差的均值为零，即山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n例2-1某汽车厂销售部经理认为，汽车的销售量与广告费用之间存在着密切的关系。为此，他收集了12个汽车销售分公司的有关数据如下表，试求样本回归方程。分公司名称销售量y广告费xx2xyy2A10003571274493570001000000B11003851482254235001210000C12504201764005250001562500D12804061648365196801638400E13604902401006664001849600F14805252756257770002190400G15006023624049030002250000H172065142380111197202958400I180073554022513230003240000J189072151984113626903572100K210084070560017640004410000M220092485377620328004840000合计18680705645382821177379030721400山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n代入（2.11）式得:于是得一元线性回归方程:由上表计算知：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n三、参数的极大似然估计法(ML)对于一元线性回归模型：其密度函数可以写为：对于给定样本，有：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n解得：(2.12)山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n矩方法（MM）的基本思想是通过让真实矩等于样本矩，解由此得到的方程组，就可以确定未知参数的估计量。三、参数的矩估计(MM)在一元线性统计模型里，因为我们假设有用样本数据表示这个矩条件就是解满足这个样本矩条件的就得到了参数的矩估计量.山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n事实上，它就是最小二乘估计量，因为这些样本矩条件就是最小二乘估计量的正规条件。最大似然估计量也可看成是一个矩估计量。矩估计原理更多地应用在在工具变量模型里。如果矩条件的个数和未知参数的个数相等，使得我们刚好得到一个估计值，称为恰好识别。有的时候，矩条件的个数大于未知参数的个数，这就产生超识别问题，这时候用到广义矩方法（GMM）。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n第三节最小二乘估计量的统计特性线性性无偏性最优性随机项方差的样本估计回归系数的区间估计山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n第三节最小二乘估计量的统计特性当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性☆线性性，即它是否是另一变量的线性函数；☆无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；☆最优性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n这三个准则也称作估计量的小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计量（bestlinerunbiasedestimator,BLUE）。当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本或渐近性质：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n因为：所以：一、线性性其中：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n其中：同理可证也是yi的线性组合由于yi是随机变量，所以作为yi的线性组合的和也是随机变量，因而各有其概率分布、均值、方差、标准差及协方差。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n二、无偏性因为：所以：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n故即是的无偏估计，同理可证是的无偏估计，即进一步有这表明回归值是的无偏估计。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n三、最优性由（2.13）式和得：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n同理可以证明山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n由（2.15）和（2.16）知，回归系数不仅与随机项的方差有关，而且还与自变量x取值的波动程度有关。要想使的估计值的方差小，在收集数据时，就应该考虑x的取值尽可能分散些，样本容量也尽可能大一些。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n对于给定的，则因为假定服从正态分布，所以yi也是一个服从正态分布的随机变量。又由于是因变量yi的线性函数，所以也服从正态分布，由前面的计算结果知：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n下面以为例，证明OLSE的最小方差性假定也是总体回归系数的线性无偏估计量，即有：显然，必须有：（2.21）（2.22）山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n可见要使（2.22）的值最小，只有使，此时：OLSE的最小方差性得证。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n高斯—马尔可夫定理(Gauss-Markovtheorem)在给定经典线性回归的假定下，最小二乘估计量是具有最小方差的线性无偏估计量。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n四、随机误差项方差的样本估计在上述推导与计算中我们多次用到了随机项ui的条件方差u2.实际上，u2是不可能知道的。在实际应用中，我们使用样本残差的方差Se2作为其无偏估计量，记为。可以证明，是u2的最小二乘估计量，是无偏估计量。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n对于，例题2-1山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n五、回归系数的区间估计为了反映回归系数的估计精度，需给出其区间估计，即在置信水平为下的置信区间。置信区间长度越短，说明估计值与参数和就越接近，估计值就越精确；反之，就越不精确。由于：如果记：则有：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n可以证明β1在置信水平为1-α下的置信区间为：β0在置信水平为1-α下的置信区间为：即：即：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n其中=为置信度为1-α，自由度为n-2的t分布临界值。β0在置信水平为95％下的置信区间为：（224.5299891，502.8481466）对于例2-1，从输出结果可见：β1在置信水平为95％下的置信区间为：（1.802588122，2.255158812）山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n第四节统计显著性检验一、回归系数的显著性检验二、拟合优度检验三、方程显著性检验四、三种检验的关系五、回归方程的标准记法\n回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归线。尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等于该真值。那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行统计检验。主要包括拟合优度检验、回归系数的显著性检验及方程显著性检验。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n一、回归系数显著性检验回归分析是要判断解释变量X是否是被解释变量Y的一个显著性的影响因素。在一元线性模型中，就是要判断X是否对Y具有显著的线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假设检验。计量经计学中，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n1、假设检验所谓假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。假设检验采用的逻辑推理方法是反证法。先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易发生”这一原理的山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n2、显著性检验—t检验由于真实的未知，在用它的无偏估计量替代时，可构造如下统计量：对于一元线性回归方程中的，已经知道它服从正态分布：其中：的标准差的样本估计值。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n检验步骤：（1）提出假设原假设H0：1=0，备选假设H1：10（2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值（3）给定显著性水平，查t分布表，得临界值t/2(n-2)（4）比较，判断，作出统计决策若|t|≥t/2(n-2)，则拒绝H0，接受H1：认为1显著不为零，说明y对x的线性相关关系显著；若|t|1.812，所以拒绝原假设，认为1显著不为零，即y对x的一元线性相关关系显著。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n二、拟合优度检验(GoodnessofFitTest)拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检验。度量拟合优度的指标：样本决定系数R2问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n问题在于，在一个特定的条件下做得最好的并不一定就是高质量的。普通最小二乘法所保证的最好拟合，是同一个问题内部的比较，拟合优度检验结果所表示的优劣是不同问题之间的比较。例如图1和图2中的直线方程都是由散点表示的样本观测值的最小二乘估计结果，对于每个问题它们都满足残差的平方和最小，但是二者对样本观测值的拟合程度显然是不同的。图1图2山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n1、总离差平方和的分解已知由一组样本观测值（xi,yi），i=1,2…,n得到如下样本回归直线而y的第i个观测值与样本均值的离差可以分解为两个部分之和。即总离差和可以分解为可解释离差与残差的和。对上式两边求平方和得到：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n即总离差平方和（TotalSumofSquares）可以分为可解释平方和（ExplainedSumofSquares）与残差平方和（ResidualSumofSquares），简记为：TSS=ESS+RSS其中山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\nTSS为总体平方和，反映样本观测值总体离差的大小；ESS为回归平方和，是由回归方程确定的，反映由模型中解释变量所解释的那部分离差的大小，即由x的变动引起的；RSS为残差平方和，反映样本观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变量未解释的那部分离差的大小，即由随机项u的波动引起的。故TSS中，能够由自变量x解释的部分为ESS，由x以外的因素（即随机项）解释的部分为RSS。﹖既然RSS反映样本观测值与估计值偏离的大小，可否直接用它作为拟合优度检验的统计量？山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n可见，回归平方和（可解释平方和）ESS在TSS中所占比例越大，残差平方和RSS在TSS中所占比例就越小，说明回归效果就越好，即回归线与样本观测值拟和的越好。为此定义样本决定系数为回归平方和ESS比总离差平方和TSS，记为：称R2为（样本）决定系数/判定系数（coefficientofdetermination)。可决系数的取值范围：[0,1]R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n样本决定系数还可以用以下形式表达：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n三、方程显著性检验—F检验方程的显著性检验，即F检验属于回归方程的显著性检验，它是对所有参数感兴趣的一种显著性检验，是指对模型中被解释变量与解释变量之间的线性关系在总体上是否显著成立（即以多大的可能性成立）作出推断。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n其检验步骤为：第一步：提出假设。原假设H0：1=0备择假设H1：1≠0第二步：构造F统计量。可以证明：所以：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n即F统计量服从第一自由度为1,第二自由度为n-2的F分布。F统计量的计算一般通过下列方差分析表进行。第三步：给定显著水平α，查F分布临界值得到第四步：做出统计决策变差来源平方和自由度均方F统计量回归残差ESSRSS1n-2ESS总变差TSSn-1山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n方法一：查自由度为（1,n-2）的F分布表，得到临界值（i）若则在1-水平下拒绝原假设H0，即模型的线性关系显著成立，模型是显著的；否则接受原假设H0，即模型的线性关系不是显著成立的，模型是不显著的。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n方法二：或者查自由度为(1,n-2),F值为计算统计量的概率,记为p，若p≥则接受原假设，否则拒绝原假设。方法三：在给定的显著性水平下，计算F的置信区间。若F值落在区间内则接受原假设，否则拒绝原假设。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n拒绝域接受域山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n例2.3：以例2.1资料为例，F检验过程如下：第一步：提出假设。原假设H0：1=0备择假设H1：1≠0第二步：计算F统计量因为ESS＝1602708.6(计算过程见表2.2)或直接取自输出结果2.1中的方差分析部分“回归分析（行）SS（列）”(1602708.6)。RSS＝40158.071(计算过程见计算表2.2)或直接取自输出结果2.1中的方差分析部分“残差（行）SS（列）”(40158.071)。(见方差分析表)山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n或直接取自输出结果2.1中的方差分析部分“回归分析（行）F（列）”(399.09999)。(见下表)变差来源平方和自由度均方F统计量回归残差1602708.640158.0711101602708.64015.8071399.09999总变差1642866.711山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n，所以我们拒绝原假设0H，接受备择假设，认为x与y关系显著即回归方程显著，F检验通过。因为F=399.09999山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n因此，对于一元线性回归方程，我们只需作其中的一种检验即可。但对于多元线性回归方程这三种检验有着不同的意义，并不是等价的，需分别进行检验。四、三种检验的关系前面介绍了t检验、拟合优度R2检验、F检验，对于一元线性回归方程来说，这三种检验是等价的，可以证明：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n五、回归方程的标准记法为了方便，我们往往将回归方程的参数估计和系数的显著性检验统计量结果放在一起。例如，对于例2.1，我们可以采用以下标准记法：有时S（回归系数的标准差，有时也记为Se）也可不写；t统计量右上角*的表示显著性水平的大小，**一般表示在显著性水平1％下显著，*一般表示在显著性水平5％下显著，无*表示5％下不显著。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n第五节预测与控制一、预测（点预测、区间预测）二、控制山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n对于一元线性回归模型给定样本以外的解释变量的观测值x0，可以得到被解释变量的预测值，可以此作为其条件均值E(y|x=x0)或个别值y0的一个近似估计.注意：严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因:（1）参数估计量不确定；（2）随机项的影响一、预测（一）点预测山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n于是，我们把点预测分为两种：一是平均值的点预测，二是个别值的点预测。利用回归方程，对于x的一个固定值，推算出y的平均值的一个估计值，就是平均值的点预测；如果对于x的一个特定值，推算出y的一个个别值的估计值，则属于个别值的点预测。即是的无偏估计量，但不是的无偏估计量。但，说明预测误差在多次观察中，平均值趋于零。因此，也可以用作为的点估计值。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n例2.5：仍以例2.1资料为例，若要估计广告费用为1000万元时，所有12个汽车销售分公司的汽车销售量的平均数，就是平均值的点预测，即：若要估计广告费用为602万元的那个汽车销售分公司的汽车销售量为，就属于个别值的点预测，即：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n区间预测是指，对于给定的显著水平α，找一个区间(y1,y2)，使对应于某个特定的x0的实际值y0，以1–α的概率被区间(y1,y2)所包含。即：(二)区间预测值区间预测分为两种：个别值的区间预测和平均值的区间预测。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n1、个别值的区间预测由于服从正态分布，所以：进一步，由于：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n可以证明：因此：故：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n又由于预测误差的均值预测误差e0的方差为：所以：进而可知：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n于是y0的置信水平为的置信区间为：对于显著水平α，样本容量n越大，Lxx就越大；x0越靠近，则置信区间长度就越短，此时的预测精度就越高。所以，为了提高预测精度，样本容量n应越大越好，所给定的x0不能偏离太大，当时，预测结果精度最高；当很大时，预测结果就比较差。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n2、平均值的区间预测易知：于是E(y0)的置信水平为的置信区间为：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n在上述汽车销售例中，得到的样本回归函数为则在x0=1000处，所有12个汽车销售分公司的汽车销售量的平均数区间预测的上下限为：即区间预测为：（2310，2476）山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n若要估计广告费用为602万元的那个汽车销售分公司的汽车销售量为，就属于个别值的区间预测，即：即区间预测为：（1443，1727）山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间（置信区间）:（1）样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低；（2）样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n二、控制所谓控制实际上就是预测的反问题。即若因变量y取值于一定范围内，例如y10，即应有：山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n由从而y1和y2应该满足：即为x的控制范围。同理，对于平均值的区间预测，可以解出x1与x2作为x的控制限。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n已知某地区1978年~2003年的国内生产总值GDP与货运周转量的数据如下表所示：案例：一元线性回归模型的应用山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n试对其进行一元线性回归分析。若2005年国内生产总值GDP达到80亿元，试对其货运周转量做出区间预测。一、相关分析绘制散点图，以观察国内生产总值GDP与货运周转量之间的关系形态。用Excel软件制作散点图的步骤如下：第一步：选择“插入”下拉菜单。第二步：选择“图表”选项第三步：选择XY散点图。第四步：输入数据区域。第五步：定义x轴为“国内生产总值GDP”、y轴为“货运周转量”。第六步：选择新工作表插入还是作为其中的对象插入(在这里我们选择作为其中的对象插入)。按“完成”。图形如下所示.山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n由图可以看出，国内生产总值GDP与货运周转量之间具有线性相关关系。于是我们可以对国内生产总值x与货运周转量y建立一元线性回归方程二、回归分析用Excel软件进行回归计算的步骤如下：第一步：选择“工具”下拉菜单。第二步：选择“数据分析”选项。第三步：在分析工具中，选择“回归”，然后按“确定”。第四步：定义自变量、因变量、置信度、输出区域。选择“确定”后得到如输出结果如下所示。山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\n输出结果包括三部分内容：第一部分是“回归统计”。给出了相关系数(MultipleR)、可决系数（RSquare）、修正的可决系数（AdjustedRSquare）、标准误差和观测值的个数。第二部分是“方差分析”。给出了自由度（df）、回归平方和与残差平方和（SS）、回归平方和与残差平方和的均方（MS）、F统计量和F检验的显著水平（SignificanceF）。第三部分是参数估计的有关内容。给出了回归方程的截距（Intercept）的估计值（Coefficients）、斜率（XVariable1）的估计值（Coefficients）、截距和斜率标准误差山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室\nt检验中的t统计量（tStat）、P-值.（P-value）以及截距和斜率标准误差、t检验中的t统计量、P-值。由输出结果2.6.1知，；SignificanceF=1.395E-21；P-value=1.395E-21<5%；R=0.9893081；R2=0.9787304；=1.8803252山东经济学院统计与数学学院计量经济教研室