《连续体力学》习题及解答2_工学_高等教育_教育专区
2二阶张量及其若干运算法则（一）概念.理论和公式提要2-1张量的乘法①张量的外乘（并乘）张量的外乘用0表示，其外积为张量，其阶数等于外乘诸张量阶数之和。②张量的内乘（点乘）张量的点乘用匕”表示（有时也可省去“•”）,其内积为张量，其阶数为内乘诸张量阶数之和减去2倍内乘的次数。③张量的双点乘记作“：”（两次点乘），例如A：B；其积为张量，其阶数为诸张量阶数之和减2倍点乘次数。设A为CT（m）,B为CT（〃），C为CT（p）,则A：B：C=D9D为CT（m+斤+p-2x4）（2-1-1）取加=4,n=4,p=2,则D为CT（2）,其分量为Da=AijinnB,nnrPCrP（2T-2）其中A分量的后两个指标与B分量的前两个指标，B分量的后两个指标与C分量的询两个指标依次相同O二阶张量T的范数记为||7|定义为T：T=为正方根，且有(2-1-3)(2-1-4)(2-1-5)(2-1-6)(2-1-7)||T||>0,只当T=o吋才取等号|ar||=|a|||T||,|a|为标量◎的绝对值||r+i?||<||r||+WT：国聊|・|网|八忤制问为矢量"的模，/?亦为二阶张量。⑤设A和B分是是CT0）和CT（"则4和B外积的s次缩拼为张量C,记为CSA®B=CC为O+/-25）阶张量，其分量关系为\n・•mnCij…mn—Aj……k$Bk'kfks.反Z,如果已知B和C为张量，其分量与带指标的量务•满足上式，则务•为张量A的分量，称为商法则或张量识别定理。A的阶数等于C的阶数加减去B的阶数。特别地当s=t,B的分量的全部指标都是哑标时，则A的阶数等于B和c的阶数Z和。在笛卡尔坐标生系内，有xRe(2-1-9)(2-1-10)式屮兀和厂是点的位矢的分量，都是一阶张量，且丿是哑标，根据张量识别定理，巧是二阶张量的分量，这个二阶张量称为二阶单位张量，记作八其分量式为I=Sijei®ef=ei®®e}+e2®e2+e3®e3/的分量矩阵为单位矩阵。矢量°和〃的叉积为axb=eijkajbkel=ciej5二旬g/休(2-M2)已知二阶张量ax方=所以上式屮◎仇是二阶张量的分量；按张量识别定理，勺从是三阶张量的分量，称为置换张量，记作w：w二夠斤©®c■0ek(2-1-13)2-2张量的代数运算法则可以将矩阵的某些代数运算法则移用到二阶张量和矢量的运算。以下设T为CT(2),且记[门为T的分量矩阵,{a}为矢量"的列阵。①记卩/•为T的转置，则有[Tt]=[T]tTj=TJt(2-2-1)②记detT^jT的行列式，则有(222)detT=det[T]=detT设A和〃都是CT⑵，则\ndet(A•B)=det(B•A)=(detA)(detB)(2-2-3)①设坊和兀分别是相对于基幻)和2；和勺)的分量，则冇町]=|厶]爲|【厶1卩其中(det[Z])2=1,于是由上式可得det[7；；]=det[7；/](2-2-4)上式表明，张量T的行列式是坐标不变性的，称为张量T的三次主不变量。当detTH0时，称T为正则张量。②记trT为张量T的迹，则有trT=tr|T]=trT7(2-2-5)以及tr(A-B)=tr(BA)=AT：B=A：BT(2-2-6)于是又有tr(A•B•C)=tr(C•A-B)=tr(B•C•A)(2-2-7)诃如=班[厶]込][厶卩)=红込](2-2-8)上式表明，张量T的迹是坐标系不变性的，称为张量T的一次主不变量。③记厂】(或/)为张量T的逆，且有TT=I及\T]=[T]'1(2-2-9)当张量存在逆时，称张量为可逆的；张量可逆的条件是张量为正则的。对于正则张量T,如果Ta=o,贝肱=0。④T=T2f则冇|72]=|7|2(2-2-10)以及Tn=T-T--T^n个相乘，贝IJ[Tn]=[T]\〃为正整数(2-2-11)⑤设Ta=b,b为矢量,则有[T]{a}={b}(2-2-12)⑥设a・T=b,则有{a}T[T]={b'}或者[T]T{a}={b'},后一式对应于Tta=b'o由此可得\n(2-3-2)(2-3-3)(2-3-4)(2-3-5)(2-3-6)(2-3-7)(2-3-8)于是(Aa)(Bb)=aArBb(2-2-14)2-3二阶张量的特征值和特征矢(1)二阶张量是仿射量，它将一个矢量线性变换为另一个矢量(映象)；一般地原矢量与其映象的方向和人小(模)都不相同。但是，对于任意二阶张量T存在特殊的矢量"使得Tv=Av(2-3-1)2为待求标量。上式表明，卩与映象方位相同。满足上式的矢量卩称为张量T的特征矢，2则称为T的特征值。式(2・3・1河写成(T-AZ)v=o/为二阶单位张量。上式的分量式(相对于给定的基)为(Ty—A8^)Vy=0,i9j=1,2,3式(2・3・2)或(2・3・3)存在非零解(卩ho)的条件是系数行列式等于零det(T-A1)=0上式的展示式为23一I{(T)才+Z2(r)2-厶(T)=0上式称为张量T的特征方程；其中I、(T)=trT/2(T)=|[(trD2-trr2|>z3(r)=detr厶(巧又可写成分量式前已说明，detT和UT都是坐标系不变性的量，因此人(巧、厶(巧和厶(巧都是坐\n标系不变性的量，分别称为张量丁的一次、二次和三次主不变量。由此可见，特征方程(式2-3-6)的3个根也都是坐标系不变性的，记这3个根为人，j=1,2,3,它们是二阶张量T的特征值。已求出人，将它们依次代入式(2-3-3),结合|v(z)|=l,可以求出3个对应的特征矢v%/=1,2,3o显然，二阶张量的特征矢是坐标系不变性的。当取"|=1，贝h称为特征方向。张量的幕厂与T的特征方向相同，但特征值为FTw-v=Avv,几为正整数(2-3-9)如果T是正则的，则〃可以是任意整数。2-4特殊张量(1)对称张量设T=Tt,称T为对称张量。对称张量总有3个实的特征值和3个实的特征方向，常分别称为张量的主值和主方向或主轴。当三个主值不相等时，三个主方向相互正交；当其中两个主值相等吋，在与之对应的主轴所在平面内的任何方向都是主方向；当三个主借都相等吋，则任何方向都是主方向。因此，在任何情况下，对于对称张量总可选取三个相互正交的主轴作局部坐标系的基(卩⑴)，相对于这个局部基，二阶张量的分量式为T=如⑴®v(0=知⑴®v(l)+A2v(2)®v(2)+23v(3)®v(3)(2-4-1)或T=尹⑴®v(7)=S⑴®v(7)(2-4-2)指标下加一横线表示该指标不是哑标，但随哑标取值。式(2・4・1)或(2・4・2)称为T的谱表示。显然，相对于主轴基(汕))的分量矩阵为0■0[T]=0久20(2-4-3)00T的主不变量可表示为\n2>(1)®v(1)+◎⑵®y(2)+◎⑶gy(3)(2-4-7)Z>(,)®v(1)+A^(2)®v(2)+^v(3)®v(3)(2-4-8)IE零矢丁量a,如果>0,称T为正定的(2-4-9)>0,称F为半正定的(2-4-10)<0,称T为负定的(2-4-11)<0,称:T为半负定的(2-4-12)(2-4-5)(2-4-6)(2-4-13)(2-444)/,(T)=入+人+几3I->(7*)=人几？+几2免3+&3人Z3(T)=2i2223当入f时，式(2-4-1)变为T=A}/+(A3-^)v(3)®v⑶当21=22=23时,上式进一步简化为T=A}I具有上列形式的二阶张量称为球张量。根据式(2・3・9),可以写出T2=^v(/)®v(/)Tn=2>0)®v(/)对任意二阶张量〃，有(Ba)(B•a)=a•B'•Ba>0(BTa)(BTa)=aBBra>0此处BTB和都是对称张量，按式(2-4-10),它们都是半正定的。如果B是正则的，则当B・d=o吋卫=0。这时矿・B和是正定张量。根据T的谱表示，有d•7*•d=+几■)Q.；+入。］勺为非零矢量a在基(”⑴)上的分量。于是根据式(2-4-9h(2-4-12),可得当人〉0(/=1,2,3)时，T是正定的(2415)当人•v0(/=1,2,3)时，T是负定的当A,.>0,其中至少有一个为零时，卩是半正定的当<0,其屮至少有一个为零时，T是半负定的\n(2-4-16)(2-4-1刀(2-4-18)(2-4-19)T%=^v(l)®v(/)=^v(1)®v(1)+v(2)®v(2)+2^v(3)®v(3)如果T是正则的，则存在逆/。用/左点乘式(2・3・1)两侧，得到这表明,的主方向与T相同，主值则是T的主值的倒数。类似地可得(T)n*v=rwv于是在T存在逆的情况下，我们有n为任意整数。主轴依次相同的张量称为同轴张量。两个张量A和B同轴的充要条件是AB=BA(2-4-20)(1)反称张量女口果T+厂=o或纬=—坊.，贝IJ称T为反称张量。显然反称张量的正分量为零。可以证明，任意反称张量W和任意对称张量S的双点乘乘积恒为零(2-4-21)W：S=tr(W•S)三0置换张量w与任意矢量a之点积为反称张量。现记W=ew(2-4-22)W为矢量。由上式可解i44i(e：e=2Z)iv=-1e：W(2-4-23)2以上两式表明，任一•反称张量w恒有一矢量w与Z对偶；反Z亦然。w称为反称张量W的轴矢量。利用反称张量W■与其轴矢量wZ间的关系(式2-4-22和2-4-23),可得Wa=wxa(2-4-24)Ww=o(2-4-25)设W⑴和w⑴、W⑵和⑷⑵分别为两个反称张量及其轴矢量，则有w⑴•W⑵=W⑵®W⑴-(w⑴•W⑵)/(2-4-26)\nW⑴：W⑵=2w⑴w⑵(2-4-27)设a和〃是两个矢量，贝\\b®a-a®b是反称张量，英轴矢量为ax〃。\n另外，还有如下关系W=wxl(2-4-28)反称张量只有一个实的特征值2=0,与其对应的特征矢即它的轴矢量。这一结论从式(2-4-25)已可看到。任何二阶张量可唯一地分解为对称部分和反称部分。(1)偏斜张量和球张量D：H=0迹恒为零(但正分量不全为零)的二阶张量称为偏斜张量，具有形式aI的张量称为球张量，Q为任意标量，/为二阶单位张量。球张量的三个主值相等，所有方向都是主方向。易证偏斜张量(记作D)和球张量(记作H)的双点乘乘积恒为零(2-4-30)任意对称张量T恒可唯一地分解为偏斜部分T和球张量部分T(0)之和:厂+卩(0)(2-4-31)T'=T-T(0)(2)正交张量使任意矢量a变换后的映象/的模"卜问的二阶张量0称为正交张量。正交张量具有下列性质：QQ」=Q『Q=［，Q=Qr(2-4-32)detg=±l(2-4-33)detg=1时，称为正常正交张量，detg=-m，称为非正常正交张量。任意两矢量a和b经Q变换后其夹角不变，即有a・b=a*・b：Qa=a,Qb=t)(2-4-34)标准正交基C)与正交变换矩阵|厶］之间有如下关系S=Q勺(2-4-35)\nQ的分量矩阵［01与正交变换矩阵|厶］之间冇如下关系\n记N为矢量4经Q变换后的映象，设e\=Qet,则可证明N相对于基®)的分量等于Q相对于基G)的分量；这反映了0的刚性变换性质，它只使矢量发生转动或镜射。当detg=lDj*,记作Q(+),0+)的典则表示式为0(+)=s®e\+(勺®+勺geJcosO+G-et®e2)sin^(2-4-37)式中03为转轴方向，&为绕勺按右手法则的转和。上式也可写作0(+)=/cos+(1-cos0)n®n-sin0gn(2-4-38)式中n=y是Q(+)的转轴方向,3为转动角度,-wm是以〃为轴矢量的反称张量；记N=-gn,N2=n®n-I(参阅式2-4-26),则式(2-4-38)又可写成0(+)=7+sin&N+(1—cos&)N2(2-4-39)记镜射变换为0,其表达式为Qr=I-2n®n(2-4-40)舁为镜射平面的法线方向；显然detQ,=-1。记Q(_)为非正常正交张量，则一般地。(・)可表示为将0+)的典则式(2-4-39)及式(2440)代入上式，可以得到Q的统一•表达式Q=(det0)/+sin〃N+(detg)(l-cos0)N2(2-4-41)(1)相似张量B和炉是两个二阶张量，0是正交张量，如杲下列关系成B=QBQt(2-4-42)则称B和矿为相似张量。可以证明，当£：二0•勺时，则炉相对于2；眈；)的分量坊等于B相对于2卫幻)的分量切因此可将视作B经刚性变换(式2-4-42)后的映象。相似张量的行列式、迹和范数相等detQ=detB(2-4-43)trB*=trB(2■牛44)B*=||B||(2-4-45)\n相似张量的特征值相同，但矿的主方向/与B的主方向卩有下列关系v*=Qv(2-4-46)(1)各向同性张量当笛卡尔坐标系作任意旋转时(detg=1或det［厶］=1),如果张量相对于不同皋的分量不变，则称为该张量为各向同性张量。①所有标量都是各向同性的。②不存在非零的各向同性矢量。③任意标量a与二阶张量单位张量Z之积是唯一的各向同性二阶张量，其表达式为T=aLTjj=a%(2-4-47)④任意标量a与置换张量^=eijkei®e.®ek是唯一的各向同性三阶张量，其表达式为T=ae(2-4-48)⑤各向同性四阶张量CT(4)为T與=码几+叭g+咽心(2-4-49)2、“、“为任意标量。更高阶的各向同性张量可由哲和旬&构成。2-5Cayley-Hamilton定理任意二阶张量恒满足它的特征方程，称为Cayley-Hamilton定理。例如在3维欧氏空间内二阶张量T应满足卜•列方程(参阅式2-3-6)r3-ZI(T)T2+12(T)T-厶(T)I=o(2-5-1)式屮人(巧、厶(巧、厶(门是卩的主不变量(见式2-3-7)o上式称为Cayley-Hamilton方程，简称C-H方程。在码内，T的C・H方程为T2=o(2-5-2)式中/)=trT,I2=detT\nC-H定理的一个重要用途是可以将一个以张量0为变量的三次以上多项式化成T的二次多项式。2-6张量函数①以张量为变量的函数称为张量函数；函数本身为标量的张量函数称为标量值张量函数，函数木身是张量函数称为张量值张量函数。②设有张量值张量函数F(D，F为CT(〃)，T为CT(h),则张量函数的导数记为(2-6-1)dF(T)~drF是(加+对阶张量；F的增量为(2-6-2)式屮“•”表示〃次缩拼。加=0对应于标量值张量函数。③线性张量函数线性标量值张量函数是张量的线性组合。设T是CT(2),则F(T)=L：T=glI・T)(2-6-3)是线性标量值张量函数，如果乙是给沱的二阶张量。如果厶是给泄的四阶张量,则(2-6-4)F(T)=L：T是线性张量值张量函数。M(巧dr①二阶张量T的主不变量的导数分别为(2-6-5)茁‘门=“2(TH一I、(巧卩+尸］卩=13⑺T\n已知厶(T)=detT,上列第三式又可写作(2-6-6)①各向同性张量函数设有函数Y=戸(片)(2-6-7)歹与戸为同阶张量，F■和片可分别为标量、矢量或二阶张量。记尸和尹分别为歹和片的刚性变换，英变换法则为标量：y*=y,矢量：y*=QYfX*=QX(2-6-8)张量：Y*=QYQ\=QXQt如果疋和疋*仍然保持原来的函数关系(式2-6-7)F=F(X*)(2-6-9)则称张量函数戸(戈)是齐向同性张量函数。当歹是标量，片是矢量时，F(X)为各向同性矢量函数的条件是F(QX)=F(X)(2-6-10)当歹为标量，劝二阶张量时，F(X)为各向同性张量函数的条件为F(QXQT)=F(X)(2-6-11)如果X是对称张量，人、厶、厶是X的主不变量，则F(x)为各向同性张量函数的充要条件是F(X)=F(I\,/2,厶)(2-6-12)如果歹和君*是二阶张量，则F(X)为齐向同性张量函数的条件是F(QXQt)=QF(X)Qt(2-6-13)当X是二阶对称张量，则F(X)满足上式的充耍条件为F(X)=a()I+a}X+a2X2(2-6-14)式中勺、①、色是X主不变量的标量值函数。\n如呆X的主值冇两个相等，则F(X)=+Q|X(2-6-15)如果X的三个主值相等，则F(X)为球张量\nF(X)=aQI(2-6-16)(二)习题和解答2-1设S是CT(3),(三阶卡氏张量，以下类推)，T是CT(2),它们相对于基2J的分量分别是几和乙,，证明尙几是CT(5)；又当S是CT(〃)，T是CT(m)时，将上述结论推广到后一情况。解按题意有S=Sijket.®j®ek,T=Tlmel®efn按坐标变换式，有Syk=li'plj'qlk'rSpqr，丁血=IJm'几于是^ijkTlm~Ii'pljp—s】戸勺工*上式是CT(5)的坐标变换式，所以尙乙,是CT⑸。显然上述结论易于推广到S为CT(n),T为CT(加)的一般情况,即S屈血.仏是CT(〃+加)。2-2已知S是CT(3),T是CT(2),试证UiJk=SijpTpk是CT⑶V,-=SijpTpk是CT(1)解设新坐标系的基为(耳)，则有U讹=S佔=lrlIj>,„I/)tlIprIk
2=O两侧，得到n=O02-6试证＜=^ji土T是CT(4),以及竝=g血=0。解设血‘是相对于基C)的指标量，则相对于基9)其表达式为Aiikl〃土&/'%)\n式屮SJT=lfnlrsSnSSrr=M九Sfk'=―几将上列有关式代入式(a),得到Aijki=加屛厶*（几％—h'nJj'tJk'rhs^mnsr上式表明/爲满足CT(4)的坐标变换公式，所以它是CT(4)o另外I1〔5Aijkk=-^siksik土兀5)=3©土务)=£"证毕。2-7设竝专血6±0心)，证明(1)若坊是对称的CT⑵，贝I」人話几=%,AjjklTkl=0(a)(2)若7；•是反对称的CT(2),贝IJ4；好乙^tjki^ki=Tq(b)解⑴当坊是对称的CT⑵时，于是式(a)得证。当幼是反对称的CT⑵时,Tjj=S于是\n曲=岔±心)彳;式(b)得证。2-8若7；•是任意的CT(2),证明(1)是CT(1)(2)当且只当eiJkTjk=OHt，7；是对称的。(1)已知％是CT(3),切兀是张量w和:T的双点乘乘积，即的二次缩并。根据商法则，除乙是一阶张量。(2)如果7；•是对称的,S，则有或者eijkTjk二*%(乙-心)二0表明只要坊是对称的，则％乙=0如果eijkTik=0,则有从而eijkTjk+eikjTki=eijk6-Tkj)=0即7；•是对称的CT(2)o证毕。2-9若地是反称的CT(2),则vvz=~eiJkWjk称为W的轴矢量，证明(1)ew=W；\丿ipqiqp'(2)wxa=Wa,a为任意矢量；(3)ux卩是卩®u-u®v的轴矢量。解(1)按题给定义，有\nI=e^2e^=2{5pj5qk"pgWjk=孰叫=%证毕。(2)wxa=eiJkwia.ek=陆/勺®=Wa证毕。(3)uxv=eijkUjVkei9将这个矢量记作w=w角，且设w(=uxy)是反称张量W的轴矢量，则W与w的关系为Wqp=弓冈叫二即启汕儿=Up人-uqvp即W为W=v®u-u®v所以“xy是"®u-u®v的轴矢量。当然也可rh⑵的结果证明(3)。已知wxa=Wa9a为任意矢量。取w=“xy,贝ljwxa=(uxv)xa=(ua)v-(va)u=(v®u-u®v)a=W•a因为a是任意矢量，所以W=v®u-u®vT[•轴矢量为uxvo2-10若0丁门O'[Ty]=-T\200000是反称的CT⑵相对于基的分量阵，证明对于基的任何变化©=I门j(i,j-1,2)厶二勺，该张量的分量矩阵不变。解按题意坐标变换矩阵为\nsI于是相对于任意的基0),T的分量矩阵为［石］=百］爲］［九］000在推导上式中,应用Tdet［Ztf］=Zn/2.2-Zr2/2)1=102-11如果detr0,试从det(T-2Z)=0导出deter-1-27)=0,以及T的主不变量同丁―的主不变量Z间的关系。解由于detT0,所以丁存在逆卩7使得TT-'=I0于是有T-2Z=2T(2_,Z-T_,)从而有det(T-2Z)=det(AT)det(Z!Z-T_l)=0式中det"0,一般地2h0,从而有det(厂】-『7)=0如果2=0,则由det(r-AZ)=0,将导致detr=0,这与题给条件矛盾。本题结果表明，当T是正则的CT(2),其主值为2,则:rT的主值为/Tl于是的特征方程为r3_i}(r)r2+/2(r_,)r'-厶(t~1)=q用才遍乘上式，再与卩的特征方程才一/,(T)22+12(7)2一厶(T)=0相比较，即得到0的主不变量人(巧、厶(巧、厶(巧与"的主不变量人(")、厶旷)、厶旷)之间的关系如下：/,(T-,)=/2(T)//3(T)/2(T_)=/|(T)〃3(T)厶(TT)=1〃3(T)\n2-11设T是正则的CT(2)，证明(1)T-1=(T2-/1T+/2Z)//3(2)T"可用人T、厂表示，〃可为正或负的整数；式中人、厶、厶是丁的主不变量。解T的C-H方程为r3-/1r2+/2r-/3/=oT是正则的，它存在逆卩巴用丁“遍乘上式各项，即可从所得方程解出T1=(T2-71T+厶门〃3由T的C・H方程可解出厂用人t、厂表示的三项式；再用八厂…逐次遍乘T的C・H方程，即可求出八用人T、厂表示的三项式，其系数为丁的主不变量的函数。类似地用丁"、T\……卩一〃逐次遍乘丁的C-H方程，可分别得到T\T\Tn用人：Th表示的三项式。由此可以得出结论：对于0的任何多项式都町简化为用人T和尸表示的三项式。2-13设入、人和几3是对称二阶张量卩的特征值，：止明卩的丄不变量可表示为(a)I°(T)=人2°+久^久3+几3人13(T)=人几2兄3解T的特征方程为/-厶(r)/l2+12(TU-厶(r)=0(b)(c)题设入、几2、禺是卩的特征值，亦即式(b)的根，因此式(a)乂可写成(/l-z,)(/l-/l2)(Z-A3)=O展开上式，并写式(b)进行比较，即可得式⑷。\n2-14如果两个对称的二阶张量S和T的特征方向(主轴)依次重合，则称它们是同轴的。证明，当且只当ST=TS时，它们同轴。\n3解设S和卩同轴，其主轴为畀⑴，心1,2,3,则有S二/=13T=£a*）（8）泸），2和兀分别是S和T的特征值。于是易证/=!一一-TS••sT®n(i)即如果S和T同轴，贝iJS・T=T・S。设ST=TS9并令八和加⑴分别是S和T的主轴，则有Sn=AnTm=）Cm将第二式两侧分別右点乘和左点乘第一式的两侧，注意到S、T为对称张量及n-ST-m=AA'n-mmT•5•/i=A'Amn将以上二式相减，得到（n-in）ST（m-n）-0上式要求n=m,即如果ST=TS,则S和F同轴。证毕。2-15设C）是固定的标准正交基，其小乞是对称二阶张量卩的一个特征方向，对应的特征值记为禺。如果人和人是©的另两个特征值，证明存在一个角度&使得0可表示成：(a)T=(入cos20+^2sin20)0®e}+(人sin?&+22cos20)e2®e2+(入~/l2)sin0cos0(e}®e2+e2(8)勺)+A3e3®解设卩⑴、产）和卩⑶是卩的三个特征方向，其中乞"⑶；令&是勺和卩⑴的夹角（从勺逆吋针量为正），则有\nv(l)=cos&e}+sin&e2,v(2)=一sin。e{+cos〃e2e3=v(3)T的谱表示式为T=/Ip⑴®v(1)+Z2v(2)®卩⑵+几v⑶®v(3)将汕)与耳的关系式代入上式，并按基C&J)集项，即得式@)。2-16令u、y及0=w/制构成一局部标准正交基，其屮w是反称张量W的轴矢量。证明(1)W可表示成W=W(v,w)(v®w-w®v)式中W(v,u)是双线性表达式(2)W可表示成W=(W•w)®w-w®(W•w)解(1)W只有一个实的特征方向，即轴矢量方向心，在此方向的特征值为零，因此W只在(“，巧平面内有分量。W的正交分量W(u,M)和W(v,巧均为零，交叉分量W(v,w)=-W(w,v)o于是有W=W(”，w)(v®u-u®v)(a)(2)以m右点乘上式，得到W•w=W(v,w)(v®w-w®v)•w=W(v,u)v此处已用到uu=L"7=0。于是式(a)可写作W=(W-u)®u-u®(W-u)(b)2-17止常止交张量。的典则式为Q=u®u+(v®v+w®w)cos0+(w®v-v®w)sin0\n式屮"为Q的特征矢，对应的特征值为1,即眈是转轴方向。卩、w与“构成一标准止交基。试证，对于任意矢量。，有\nQa=acos&+(a•u)w(l一cos&)+mxasin0解a在基(w>v>w)上的分量分别为a・”和aw,因此冇(b)(C)(a•u)u+(a・v)v+(a•w)w=aw(a•v)-v(a•w)=mxa在推导式(c)吋，用到下列关系式W=uxv,V=Wxu^,uxu=o利用以上关系式⑹和(c),可证式(a)。2-18证明正交张量只有一个实的特征值。解根据Q的典则方程(见上题)，相对于局部标准正交基(m,”，w),0的分量矩阵为「100[Q]=0cos〃一sin&0sin<9cos<9于是易于求得。的主不变量分别为厶(0)=1+2cos&=/2(0)，厶如1Q的特征方程为才-人才+y一厶=护_(1+2cos&)才+(1+2cos&)2-1=0或者(八1)(才_2心％+1)=02的三个根分别为2=1,A=cos0±7cos20在一般情况卞(&工0,龙)，兄只有一个实根，即Q只有一个实的特征值。当0=0或龙时,Q的三个特征值为乙=心=久3i或入i，A=^=-lo前者对应于Q=/(没有转动)，后者对应于基包，V,w)绕U转动180“的角。\n2-19设人是对称二阶张量T的特征值，试讨论T为正定、半正定吋人的条件，以及T%、厂的定义(或谱表示式)解设a为任意非零矢量，则在特征矢坐标系内，有a-T•a=如：+几2。；+勺是a在T的特征方向的分量。如果T是正定的，贝I」曲a・T・a〉0及a为任意矢量，可以导出人＞0,,=1,2,3。如果T是半正定的，贝IJ由及azo,可以导出至少有一个特征值为零，其余特征值不为负。如果T是半正定的，＞0,i=1,2,3o则可按下式定义T%为T的正平方根丁％二立知)W)/=1式中处是入的正方根，沁)为T的主轴。显然，尸/2唯一确定于T如果卩是正定的，\＞0,i=1,2,3,则卩的逆存在H唯一地定义为T1®v(/)/=1显然，丁％、：T"必与卩同轴。2-20设〃是CT(2),试推导(1)当〃为对称张量时(2)当B为反称张量时(3)当〃既不是对称的，又不是反称的吋\n•般地，我们有下式(2)当B是对■称张量时，则冇由上式可得dBtj1莎P佔心心oBtj1d血二才d叭=于（瓦6+$•心）d叭妙/2=”Bjj+BjJ=dBjj(1)当〃是反称张量时6BI-5B由上式易得及dB=（佔-8u8ik）^Bkl=l（dfiZ/.-d5,）=dfi,2-21设a和方是给定的矢量，"为任意矢量；如果有下列关系(a®b}u=(b-u)a,证明(1)(a®b)为二阶张量，并写出It分量；(2)如果a®h=b®a,则有a=Ah,2为任意标量;(3)如果u(a®by=(au)b,则也是二阶张量，而且(a®bf=a®b。解⑴在式(a®b)u=(b-”)a中,(b•u)为标量，所以此式右侧为一矢量。\n上式左侧“为一矢量，且有(a®b)(ku)=k(b・u)a。^a®b是一个线性变换，即二阶张量。令a®b=B,则相对于标准正交基2,)冇B・n=(b•u)a或Buujei=bjujajei由上式可得BjjUj=aibjUj。其中m是任意矢量，于是得到3或a0〃的分量式为B甘=a占)或者.B=a©b=讣冋0ej(2)当a®b=b®aW^f你bjjcij表明a®b是对称张量。又由aibj=b“可得—=—(对z,丿彳、求和，,=1,2,3)Sbj上式要求a.=A勺或者a=久b,2为任意标量。还有另一种证法。已知(a®b)u=(b・u)a则(b®a)u=(a-u)b。已知a®b=b®a,所以有(b•u)a=(a•u)b,a=⑺⑴b(b•u)这表明a和〃方位相同，即冇"方，八3(bu)因为"为任意矢量。所以久为任意标量。(3)由题给关系式(a®b)u=(b-u)a,可得«•(a®ft)=(a•u)b；乂知u(a®b^=(a•u)b,所以有u\a®b')=u\a®b^由于〃是任意矢量，所以上式要求\na®b=(a®b)上式表明(a®by亦为二阶张量。2-22设A和B为任意二阶张量，对于任意矢量m有下列恒等式(A・n=A(B•w),w(A-=(u•A)•B(a)证明：A•〃和(AB)*都是二阶张量，=解已知B为二阶张量，所以(By)为矢量；又4为二阶张量，因此A(Bw)为矢量;从而(AB)u亦为矢量，于是(A・B)为二阶张量，类似地可证(AB)*为二阶张量。现在记AB=C,(A・BY=C,则恒等式(a)可写成分量形式Cijuj=A0由式(2・4・9)及(2・4・13)(此处〃是正则的)可知刃B是正定对称张量。现在令B=QU,因Q是止交张量。所以BTB=UQTQU=U2因此U=(BrB^是正定对称张量，且是唯一的。又因detl/>0,所以存在逆17,以3遍乘B=QU,得到Q=BU3是给定的,d是唯一的，所以0也是唯一的，即分解B=QU是唯一的。下面再\n证分解的存在性。定义U=U是正定对称张量，它存在逆3。令BU=A因detB0,dett/>0,所以detA=(detB)(det1/)^0又A1A=UBBU=UU2U=I因此A为正交张量0这就证明了式(a)的存在性。类似地可以证明B=VQ的唯一性和存在性。通常称式(a)和(b)为张量的极分解；且称式(a)为右极分解，式(b)为左极分解。2-28设a是与二阶张量〃的特征值2对应的特征矢，证明任何与a平行的矢量都是对应于2的特征矢。解已知Ba=Aa设方=ka,k工0,表明a//bo于是冇B-=-bkk或者Bb=Ab证毕。2-29设是二阶张量B的主方向。求B相对基(,))的分量。解已知B相对于基少⑴)的分量可表示为Blf=v(i)Bv(J)其中\n=hjv(J)(①为〃的主值)\n所以或者%=b、,B22-b29B33-b32-30设CT⑵〃相对于基G）的分量场严53I=0,证明勺是〃的特征矢，相应的特征值为％O解对于基G）,冇Be\=Biiei=511^1+〃2&2+禺<3=叭£|（=几心）证毕。类似地可证，当B12=532=O0t,则勺是特征方向之_，特征值为B22；等等。2-31证明，二阶张量B的主值勺、乞和S包含了张量〃相对于任何基仏）的相应分量矩阵主对角元索中的最大值和最小值。解设v⑴为B的主方向，贝IJ任意基矢0）可写作严的线性组合：e；=”=”+/j⑵+3⑶显然有弟+珞+/；=lo〃相对于（£；•）的分量为Bu=e^Be.=eibkv（k）®v{k）e\IlIt*_*=bk—=bj；=b盘+b2lf2+b3lf3式中勺、方2、爲是B的主值。设b{>b2>b3,则有Bu=S-（b、-b2）/^-0|-bjl：b3证毕。2-32各向同性CT（4）张量F的分量式一般地口J写作\nTjjki=几§ijg+“(兀0〃+&3弘)+v23ji-认QjJ@)如果T具冇如下对•称性Tqid=Tjjki，Tijkl=Tylk⑹则陽表达式如何。解当T具冇式(b)的对称性，贝IJ式(a)中的一0。2-33证明tr/是各向同性张量函数，B是CT⑵。解ti/2是〃的标量值张量函数，即F(B)=trB2F(〃)为各向同性函数的条件是F(B)=F(QBQt)=F(B^现在F(庆)=ti〃2,又矿=QBQ丁,B~=QB2Qr于是有F(B、=trB*2=tr(QB2QT)=trB2=F(B)所以口毎是〃的各向同性标量值函数。3-34如果两个二阶对称张量A和〃满足关系AB=B4(称A和B同轴，或称A和B是可交换的)。又设B=ab,即0是对应丁B的特征值2的特征矢。证明Ab也是对应于A的特征矢。解已设Bb=Ab,于是B(Ab)=(BA)b=ABb=2(Ab)上式表明，(A〃)是B的一个特征矢，对应的特征矢为久。反过来，可以证明，如果有Bb=九b,〃⑷)=2⑷)则B和A是可交换的。(请读者自行证明)。由以上分析结果口J以得出以下的“交换定理”。记b(B)为〃的所有特征值的集合，称为B的谱或〃的特征值谱。对丁内的任一特征値2,〃的特征\n矢的集合记作r(z),称为对应于特征值久的b的特征空间。设两个二阶张量A和3是可交换的，则A使〃的每个特征空间不变，即若〃属于B的特征空间，必也属于同一个特征空间。反之，若A使对称张量〃的特征空间不变，则〃和A是可交换的。此即所谓交换定理。2-35设〃是二阶对称张量，F(〃)是各向同性张量值函数，则〃的每个特征矢也是F(B)的特征矢(即〃与F(B)同轴)。这一陈述称为转移定理。证明此定理。解设卩是B的一个特征矢，取0为以％为单位法线的平面的镜射，即Q=Q,=I-2/1)®叫于是Si=~n{(a)设/为与兀正交的矢量，显然2位在反射平面上，即有ln}=0,QI=I(b)B的谱表示为(勺为〃的主值)B-bini®ni丁•是易证QBQT=bi(Qni)®(QnJ=bini®ni=B上式也可如下证明，设卩是B的特征方向，b,是对应的特征值，于是〃的谱表示为B-bxn}®n}+b2n2®n2+b3n3®n3及B(Qn])=-Bnl=b】(Q绚)B(Qn)=btQni按交换定律，〃和Q是可交换的，即有BQ=QB或者\nB=OBO已知F(B)是各向同性张量值函数，故QF(B)QT=F(QBQT)=F(B)此处取Q=Q,=1-2^®^.由上式可得QF(B)=F(B)Q在上式两侧乘®,得到QF(B)n}=F(B)Q阿=-F(B)nA因此,Q=Q,使矢量反向,即F(B)阿〃®或者F(B)nl=axiix上式表明F(B)与B有相同的特征矢。转移定理得证。2-36设〃是二阶对称张量，证明当〃的三个主值互不相等时，/、BW是线性无关的，即若aB~+f3B-\-yI=o贝ljQ=0=了=0。解设〃的主方向为”主值为如将B和矿的谱表示(或谱分解)代入式(a),得到由上式可得方程组a/＞：+0勺+了=0ab；+/3b2+y=0a员+0伏+了二0这是关于伐、0、厂的线性齐次方程组，如果其系数行列式不等于零，则6Z=/?=/=0o而=—(b、一b2)(b2-b3)(&3—b})当B的三个主值互不相等时，上列行列式不等于零，因此6z=/?=/=0o\n如果〃的主值有两个相等，例如仇则B=®n2+/>2(/i2®n2+w3®w3)这时可证B和/线性独立。按上述类似步骤，可以得到下列方程组：其系数行列式为b2所以a=f3=^7和B线性独立。如果B的三个主值相等，则B=bLb为〃的主值。2-37对于对称张量B,当且仅当存在B的标量值函数勺、④和色，使得F(B)=aQI-\-axB+a2B~(a)时，张量函数F(⑵是各向同性的。以上陈述称为各向同性张量值函数的第一表示定理。证明此定理。解先证明充分性，即若式(a)存在，则F(B)是各向同性的。已经给出，B的主不变量是B的各向同性标量函数，即冇厶(BK0B/)因此F(QBQ)=+a.QBQ7+a2QB2Qr=Q(^qI+活+a2B2)QT=QF(B)Qt上式表明，式(a)是各向同性的。再证必耍性,即如果F(B)是各向同性的,则式(a)必定成立。设B的主方向为=1,2,3,及设三个主值不相同，其谱表示为B=bini®nj切是〃的主值已知F(B)是各向同性函数,根据转移定理(参见习题2-35),〃与F(〃)同轴,\n故启F(B)=f凸®n,是F(B)的主值又根据习题2・36的结果，当对称张量〃的三个主值不相等吋，/、〃和护线性独立，即有aQI+a{B+a2B~工0从而可取F(B)=aQI+a}B-\-a2B2=(%-^a2bf)nl®nf式中兔、⑦和冬都是B的主不变量的标量函数。必要性得证。说明：①如果B有两个主值相等，贝U根据习题2・36,式⑷应改为F(B)=（对j不求和）8U5U式⑶得证。
