上海市2020届高三模拟考试2数学试题 Word版含解析

上海市2020届高三模拟考试2数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学模拟试卷（2）‎ 考生注意：‎ ‎1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.‎ ‎2.本考试分设试卷和答题纸，试卷包括试题与答题要求，作答必须涂(选择题)或写(非选择题)在答题 纸上，在试卷上作答一律不得分 ‎3.答卷前，务必用黑色钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名､班级､准考证号.‎ 一､填空题(本大题共有12题，满分54分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1题至第6题每个空格填对得4分，第7题至第12题每个空格填对得5分，否则一律得零分 ‎1.若集合，，则=________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出中的范围确定出，求出中不等式的解集确定出，找出两集合的交集即可．‎ ‎【详解】解：由中，得到，‎ 解得：，即，‎ 由中不等式变形得：，即，‎ 则，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎2.若函数，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ - 20 -‎ 根据偶次根式被开方数大于等于零可求得定义域，取交集得到的定义域，将解析式相加可得所求结果.‎ ‎【详解】定义域为：；定义域为：‎ 的定义域为 故答案为 ‎【点睛】本题考查函数解析式的求解，易错点是忽略了函数定义域的要求，造成所求函数的定义域缺失.‎ ‎3.若且是第二象限角，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由是第二象限角，及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，进而确定出的值，利用二倍角的正切函数公式化简，求出的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，把的值代入计算，即可求出值．‎ ‎【详解】解：是第二象限角，且，‎ ‎，，‎ ‎，即，‎ 解得：或，‎ 因为是第二象限角，是第一象限或第三象限角，‎ - 20 -‎ 则．则．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】此题考查了两角和与差的正切函数公式，二倍角的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于中档题．‎ ‎4.若函数的反函数是,则不等式的解集为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由求出反函数，直接解不等式即可.‎ ‎【详解】设,‎ 则,,互换,得,,,‎ ‎∵,‎ ‎∴,∴,∴,‎ 解得.‎ ‎∴不等式的解集为.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了反函数，不等式的解，属于容易题.‎ ‎5.函数是定义在上的偶函数，在上单调递减，且，则使得的实数的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意，得到函数在上单调递增，；再由函数单调性，即可求出结果.‎ - 20 -‎ ‎【详解】因为是定义在上的偶函数，在上单调递减，‎ 所以函数在上单调递增；‎ 又，所以，‎ 所以当时，由得：；‎ 当时，因为函数单调递减，由可得：；‎ 综上，使得的实数的取值范围是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查由函数奇偶性与单调性解不等式，熟记函数奇偶性与单调性即可，属于常考题型.‎ ‎6.已知在单调递增，则实数的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦函数的单调区间,结合函数在单调递增,即可求得的最大值.‎ ‎【详解】设,‎ 因为 且单调递增,在上单调递增 所以 ‎ 即 所以的最大值为 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.‎ - 20 -‎ ‎7.设P是曲线为参数）上的一动点，为坐标原点，M为线段的中点，则点M的轨迹的普通方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，设P（x0，y0），M（x，y），运用中点坐标公式，代入曲线方程，化简整理即可得到所求轨迹方程．‎ ‎【详解】曲线（θ为参数），即有 ‎，‎ 由sec2θ﹣tan2θ＝1，可得曲线的方程为2x2﹣y2＝1，‎ 设P（x0，y0），M（x，y），‎ 可得 ‎，代入曲线方程，可得 ‎2x02﹣y02＝1，即为2（2x）2﹣（2y）2＝1，‎ 即为8x2﹣4y2＝1．‎ 故答案为8x2﹣4y2＝1．‎ ‎【点睛】本题考查中点的轨迹方程的求法，注意运用代入法和中点坐标公式，考查参数方程和普通方程的互化，注意运用同角的平方关系，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎8.如图,已知正方体,若在其12条棱中随机地取3条,则这三条棱两两是异面直线的概率是______(结果用最简分数表示)‎ - 20 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎12条棱随机取出3条，利用组合数确定基本事件总数，再求出三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数，利用古典概型求解.‎ ‎【详解】正方体,在其12条棱中随机地取3条,‎ 基本事件总数,‎ 这三条棱两两是异面直线包含的基本事件个数,‎ ‎∴这三条棱两两是异面直线的概率是.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正方体的结构特点，异面直线，古典概型，属于中档题.‎ ‎9.若函数最大值记为,则函数的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简，利用对勾函数求值域，分类讨论与值域中点的大小，即可写出最大值.‎ ‎【详解】∵,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ - 20 -‎ ‎∴,‎ ‎∴当时,函数有最小值为;‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了对勾函数的应用及分段函数的应用，同时考查了正弦函数的性质及整体思想与分类讨论的思想，属于难题．‎ ‎10.如图所示，三个边长为的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记（），则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，可得，，，求出直线的方程，可设，，可得，运用向量的数量积的坐标表示，计算即可得到所求和．‎ ‎【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，‎ 可得，，，‎ 直线的方程为，‎ 可设，，可得，‎ 即有 ‎，‎ - 20 -‎ 则．‎ 故答案为：180．‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积的坐标表示，注意运用直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．‎ ‎11.设函数若不等式的解集为则实数的取值范围为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数，结合指数函数的单调性，推出不等式，求解即可得到答案．‎ ‎【详解】，且，设函数，若不等式的解集是，，‎ 当时，，可得，解得；‎ 当，即时，，不等式恒成立可得．‎ 综上可得．‎ 实数的取值范围为：，．‎ 故答案为：，．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用，函数的单调性的应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．‎ ‎12.已知，从集合中选出（,）个数，使之同时满足下面两个条件：①； ②（‎ - 20 -‎ ‎），则称数组为从个元素中选出个元素且限距为组合，其组合数记为. 例如根据集合可得.给定集合，可得______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意得即从定集，2，3，4，5，6，中选出3个元素且限距为2的组合，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：由题意得即从定集，2，3，4，5，6，中选出3个元素且限距为2的组合．‎ 于是若从，3，5，中任选3个均符合要求则有个，‎ 若选，4，也满足条件；‎ 另外还有，3，，，3，，，4，，，5，，，5，均满足条件，故，‎ 故答案为：10．‎ ‎【点睛】本题考查进行简单的合情推理，考查学生的计算能力，正确转化是关键，属于难题．‎ 二､选择题(本大题共有4题，满分20分)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. ‎ ‎13.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 20 -‎ 该几何体为半圆柱，底面为半径为1的半圆，高为2，因此表面积为 ,选D.‎ ‎14.过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于、两点，且这两点的横坐标之和为，则满足条件的直线（ ）‎ A. 有且只有一条 B. 有两条 C. 有无穷多条 D. 必不存在 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出的方程，联立方程组消元，根据根与系数的关系列方程判断解得个数．‎ ‎【详解】解：抛物线的焦点坐标为，‎ 若无斜率，则方程为，显然不符合题意．‎ 若有斜率，设直线的方程为：，设，，，，‎ 联立方程组，消元得：，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎15.若，则“”是“”成立的（ ）条件.‎ A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，由，，可得，充分性不成立；反之成立．‎ ‎【详解】解：设，由，，则，故充分性不成立；‎ - 20 -‎ 由，则，所以，，即必要性成立．‎ 所以“”是“”必要不充分条件.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的性质、复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎16.对于正实数,记是满足下列条件的函数构成的集合:对于任意的实数且,都有成立.下列结论中正确的是( )‎ A. 若,,则 B. 若,且,则 C. 若,,则 D. 若,且,则 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意知，从而求得．‎ ‎【详解】解：对于,‎ 即有,‎ 令,‎ 则,‎ 若,,‎ 即有,,‎ 所以,‎ - 20 -‎ 则有,‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的性质的判断与应用，属于中档题．‎ 三､解答题(本大题共有5题，满分76分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17.在锐角△中，．‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求△的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）将等式左边利用两角和与差的正弦公式展开后，再利用同角三角函数之间的关系可得定值，进而得；（2）由，可得，进而可得△的面积.‎ 试题解析：（1）在△中，‎ 又为锐角，∴．‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ 考点：1、利用两角和与差的正弦公式；2、平面向量数量积公式.‎ - 20 -‎ ‎18.某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为.‎ ‎（1）求这种“笼具”的体积（结果精确到0.1）；‎ ‎（2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据“笼具”的构造，可知其体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，即可求出；‎ ‎（2）求出“笼具”的表面积，即可求出50个“笼具”的总造价．‎ ‎【详解】设圆柱的底面半径为，高为；圆锥的母线长为，高为，‎ 根据题意可知：‎ ‎（1），cm，cm，‎ 所以“笼具”的体积cm．‎ ‎（2）圆柱的侧面积cm，圆柱的底面积cm，‎ 圆锥侧面积cm，所以“笼具”的表面积为 cm，‎ 故造50个“笼具”的总造价：元．‎ 答：这种“笼具”的体积约为 cm，生产50个“笼具”的总造价为元.‎ ‎【点睛】本题主要考查简单组合体的体积和表面积的计算，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．‎ ‎19.某企业参加项目生产的工人为人，平均每人每年创造利润 - 20 -‎ 万元.根据现实的需要，从项目中调出人参与项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润万元（），项目余下的工人每人每年创造利图需要提高 ‎（1）若要保证项目余下的工人创造的年总利润不低于原来名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加项目从事售后服务工作？‎ ‎（2）在（1）的条件下，当从项目调出的人数不能超过总人数的时，才能使得项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，列出不等式，求解即可；‎ ‎（2）求出的范围，得出不等式，整理可得恒成立，根据的范围，可知函数在定义域内为减函数，当时，函数取得最小值．‎ ‎【详解】设调出人参加项目从事售后服务工作 ‎（1）由题意得：，‎ 即，又，所以．即最多调整500名员工从事第三产业．‎ ‎（2）由题知，，‎ 从事第三产业的员工创造的年总利润为万元，‎ 从事原来产业的员工的年总利润为万元，‎ 则，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即恒成立，‎ 因为，‎ - 20 -‎ 所以，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 即的取值范围为．‎ ‎【点睛】考查了利用不等式解决实际问题，难点是建立不等式关系，利用函数单调性求出最值．‎ ‎20.教材曾有介绍：圆上的点处的切线方程为．我们将其结论推广：椭圆上的点处的切线方程为，在解本题时可以直接应用．已知，直线与椭圆有且只有一个公共点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设为坐标原点，过椭圆上的两点、分别作该椭圆的两条切线、，且与交于点．当变化时，求面积的最大值；‎ ‎（3）在（2）条件下，经过点作直线与该椭圆交于、两点，在线段上存在点，使成立，试问：点是否在直线上，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将直线y＝x - 20 -‎ 代入椭圆方程，得到x的方程，由直线和椭圆相切的条件：判别式为0，解方程可得a的值；（2）设切点A（x1，y1），B（x2，y2），可得切线,,，再将M代入上式，结合两点确定一条直线，可得切点弦方程，AB的方程为x+my＝1，将直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，求得△OAB的面积，化简整理，运用基本不等式即可得到所求最大值；（3）点在直线上，因为 设、、，且，于是，向量坐标化，得、、、，将代入椭圆方程，结合、在椭圆上，整理化简得，即在直线上.‎ ‎【详解】（1）联立，整理得 依题意，即 ‎（2）设、,于是直线、的方程分别为、‎ 将代入、的方程得且 所以直线的方程为 联立 显然，由，是该方程的两个实根，有，‎ 面积 - 20 -‎ 即 当且仅当时，“=”成立，取得最大值 ‎（3）点在直线上，因为 设、、，且 于是，即、、、‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，即在直线上.‎ ‎【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系的判断，考查直线和椭圆相切的条件：判别式为0，以及切线的方程的运用，同时考查直线和椭圆相交的三角形的面积的最值的求法，注意运用基本不等式，属于中档题．‎ ‎21.已知各项不为零的数列的前项和为，且，（）‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）设数列满足：，且，求正整数的值；‎ ‎（3）若、均为正整数，且，，在数列中，，，求.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）2（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过，利用整理得，进而可知数列 - 20 -‎ 是首项、公差均为1的等差数列；‎ ‎（2）通过（1）可知，进而可知，进而利用等比数列的求和公式计算、取极限即得结论；‎ ‎（3）通过及分别计算出、、、的表达式，进而累乘化简，利用二项式定理计算即得结论．‎ ‎【详解】（1）证明：，‎ ‎，‎ 整理得：，‎ 又，，‎ 数列的通项公式，‎ 即数列是首项、公差均为1的等差数列；‎ ‎（2）解：由（1）可知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 又，即，‎ 解得：；‎ ‎（3）解：，，，‎ ‎，，‎ ‎，‎ - 20 -‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 显然当时满足上式 ‎．‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项及前项和，考查累乘法，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ ‎ ‎ - 20 -‎ - 20 -‎