2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（ ）‎ A. 的共轭复数为 B. 的虚部为 C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 ‎【答案】D ‎【解析】,的共轭复数为,的虚部为, ,在复平面内对应的点为,故选D.‎ ‎2．设，，都是正数，则三个数，，（ ）‎ A. 都大于2 B. 至少有一个大于2‎ C. 至少有一个不小于2 D. 至少有一个不大于2‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用均值不等式，求解，即可得到结论．‎ 详解：由题意 都是正数，‎ 则，‎ 当且仅当时，等号是成立的，‎ 所以中至少有一个不小于，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，其中解答中构造均值不等式的条件是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力．‎ ‎3．当在上变化时，导函数的符号变化如下表：‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 则函数的图像大致形状为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据上表中导函数的取值，得到函数的单调性，即可选出图象．‎ 详解：由上表可知，‎ 当时，，所以函数在单调递减；‎ 当时，，所以函数在单调递增，‎ 所以函数如选项C所示，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了函数的导数与函数图象的关系，正确理解导函数与原函数的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．‎ ‎4．直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 1 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】 由直线与曲线相切于点，‎ ‎ 则点满足直线的方程，即，即 由，则，则，解得，故选A．‎ ‎5．已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）‎ A. B. C. -2或 D. -2‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由函数，求得，根据函数在处取得极大值，‎ 得方程组，即可求解的值，进而得到的值．‎ 详解：由函数，可得，‎ 因为函数在处取得极大值，‎ 则，即，解得或，‎ 经验证，当时，时取得极小值，不符合题意（舍去）‎ 所以，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值的应用，其中利用题设条件，列出方程组是解答的关键，其中对的值进行验证是解答的一个易错点，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎6．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由变到时，左边增加了（ ）‎ A. 1项 B. 项 C. 项 D. 项 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：时左面为，时左面为，所以增加的项数为 ‎【考点】数学归纳法 ‎7．若曲线与曲线在交点处由公切线，则（ ）‎ A. -1 B. 0 C. 2 D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由曲线与曲线在交点出有公切线，根据斜率相等，求解，根据点在曲线上，求得，进而求得的值，即可求解．‎ 详解：由曲线，得，则，‎ 由曲线，得，则，‎ 因为曲线与曲线在交点出有公切线，‎ 所以，解得，‎ 又由，即交点为，‎ 将代入曲线，得，所以，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中根据在点处的公切线，建立方程求解是解答的关键，，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎8．若函数（）有最大值-4，则的值是（ ）‎ A. 1 B. -1 C. 4 D. -4‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：由函数，得，要使得函数有最大值，则，进而得函数的单调性，得当时，函数取得最大值，即可求解．‎ 详解：由函数，则，‎ 要使得函数有最大值，则，‎ 则当时，，函数在上单调递增，‎ 当时，，函数在上单调递减，‎ 所以当时，函数取得最大值，即，‎ 解得，故选B．‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数问题中的应用，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数求解函数的最值等知识点的综合运用，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎9．函数在上有最小值，则实数的范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由函数，得，得到函数的单调性，再由，令，解得或，结合函数的图象，即可求解实数的取值范围；‎ 详解：由函数，得，‎ 当时，，所以在区间单调递增，‎ 当时，，所以在区间单调递减，‎ 又由，令，即，解得或，‎ 要使得函数在上有最小值，‎ 结合函数的图象可得，实数的取值范围是，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，其中解答中利用导数研究函数的单调性和极值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎10．将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（ ）‎ A. 第一列 B. 第二列 C. 第三列 D. 第四列 ‎【答案】C ‎【解析】分析：由题意，得数字是第个奇数，又由数表可知，每行个数字，得第个奇数位于第行的第2个数，即可判定，得到结论．‎ 详解：由题意，令，解得，即数字是第个奇数，‎ 又由数表可知，每行个数字，则，‎ 则第个奇数位于第行的第2个数，所以位于第三列，故选C．‎ 点睛：本题主要考查了归纳推理和数列知识的应用，其中认真审题，读懂题意是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎11．设定义在上的函数的导函数满足，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题意的，设，则，‎ 所以函数在上为单调递增函数，由，即可得到结果．‎ 详解：由定义在上的函数的导函数满足，‎ 则，即，‎ 设，则，‎ 所以函数在上为单调递增函数，‎ 则，即，所以，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了函数值的比较大小问题，其中解答中根据题意构造新函数，利用导数得到新函数的单调性，利用单调性比较是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎12．一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意，按“前进步，然后再后退步”的步骤，发现机器人每秒为周期的移动方式，解出相应的数值，根据规律推导，即可得到结果．‎ 详解：由题意可知，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进步，然后再后退步的规律移动，所以机器人的移动方式具有以秒为周期的移动方式，且每秒前进个单位，‎ 所以是正确的；‎ 由，，‎ 所以是正确的；‎ 由，，‎ 所以是不正确，故选D．‎ 点睛：本题主要考查了数列的实际应用问题，其中解答中得到机器人的移动方式具有以秒为周期，且每秒前进个单位的移动规律是解答的关键，同时注意数轴上点的移动规律“左减右加”，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ 二、填空题 ‎13．__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：先根据定积分的几何意义求出，再根据定积分计算出的值，即可求解结果．‎ 详解：因为表示以为圆心，以为半径的圆的四分之一，‎ 所以，‎ 所以．‎ 点睛：本题主要考查了定积分的几何意义及微积分基本定理的应用，其中熟记定积分的几何意义和微积分基本定理是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎14．我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】类比在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，得棱长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，‎ 如图，不妨设O为正四面体ABCD外接球球心，F为CD中点，E为A在平面BCD上的射影 ，由棱长为a可以得到BF＝a，BO＝AO＝a－OE，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2＝BE2＋OE2，把数据代入得到OE＝a，所以棱长为a的正四面体内任一点到各个面的距离之和为4×a＝a ‎15．已知函数（），若函数在上为单调函数，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】∪[1，＋∞)‎ ‎【解析】分析：求出原函数的导数，由函数在上为单调函数，得到时，或恒成立，分类参数引入新函数，即可求解．‎ 详解：由函数，得，‎ 因为函数在上为单调函数，所以时，或恒成立，‎ 即或在上恒成立，且，‎ 设，‎ 因为函数在上单调递增，所以或，‎ 解得或，即实数的取值范围是．‎ 点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用，以及函数的恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎16．定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上市一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：根据题意得到，即方程在区间上有两个解，利用二次函数的性质即可求出的取值范围．‎ 详解：因为，所以，‎ 因为函数是区间上的双中值函数，‎ 所以区间上存在满足，‎ 所以方程在区间上有两个不相等的解，‎ 令，‎ 则，解得，所以实数的取值范围是．‎ 点睛：本题主要考查了函数的解得个数问题的应用，考查了导数在函数中的综合应用，把函数是区间上的双中值函数，方程在区间上有两个不相等的解是解答关键，着重考查了转化与化归思想，及函数与方程思想与推理与论证能力，试题有一定难度，属于中档试题．‎ 三、解答题 ‎17．已知是虚数单位，复数满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若复数的虚部为2，且是实数，求.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意，利用复数的除法运算，求解复数，进而求得复数的模；‎ ‎（2）设,由是实数，求解的值，即可求解复数．‎ 详解：（1）．‎ ‎（2）设,‎ 则,‎ 是实数∴．‎ ‎∴．‎ 点睛：本题主要考查了复数的四则运算及复数相等、复数的模等问题，其中熟记复数的基本概念和复数的四则运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．‎ ‎18．设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.‎ ‎（1）当时，求点的坐标；‎ ‎（2）当有最小值时，求点的坐标.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）设点的横坐标为，得点的坐标，利用定积分求解，利用，求得的值，即可求得点的坐标．‎ ‎（2）由（1）可求当，化简后，为的函数，再利用导数求得的最小值．‎ 详解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），‎ 直线OP的方程为y=tx S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，‎ 因为S1=S2，，所以，点P的坐标为 ‎（2）S=S1+S2=‎ S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t=‎ 因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0‎ 所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为．‎ 点睛：本题主要考查了定积分的应用及利用导数求解函数的最值问题，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．‎ ‎19．已知函数在与时都取得极值.‎ ‎（1）求，的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）由，求得，由，求得的值，得到函数的解析式，利用导数即可求解函数的单调区间．‎ ‎（2）由题意，设，分和两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．‎ 详解：（1）‎ 由，得 ‎，‎ 随着变化时，的变化情况如下表：‎ 极大值 ¯ 极小值 所以函数的递增区间是与,递减区间是；‎ ‎（2），‎ 当时，由（1）知在上的最大值为 所以只需要，得 当时，由（1）知在上的最大值为 所以只需要，解得 所以 综上所述，的取值范围为 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的奇迹诶，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎20．已知数列，，…，，为该数列的前项和.‎ ‎（1）计算，，，；‎ ‎（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题中所给的条件计算可得： ；‎ ‎(2)由题意归纳推理猜想，然后利用数学归纳法证得该结论成立即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）．‎ ‎（2）猜想，‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，，猜想成立；‎ ‎② 假设当时，猜想成立，即，‎ 当时，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故当时，猜想成立．‎ 由①②可知，对于任意的，都成立．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）如果对恒成立，求的范围.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）由题意，求得，又由，即可证得；‎ 由题意知恒成立，设，求得，可分和 两种情况分类讨论，即可求解的取值范围．‎ 详解：（1）证明：‎ 故 由题意知恒成立，‎ 设，则 ‎，‎ 符合题意 ‎ ，‎ 即 ，‎ ‎ 单调递减，‎ 不合题意，‎ 综上，的取值范围为．‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，其中利用导数求函数的单调性与最值(极值)，是解决函数的恒成立与有解问题常考点，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎22．已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，存在实数， ，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减；(2).‎ ‎【解析】分析：（1）确定函数的定义域，求到数，利用导数的正负，即可求解函数的单调区间；‎ ‎（2）假设存在，使得成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围．‎ 详解：(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，‎ ‎∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，‎ ‎∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．‎ ‎(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.‎ ‎∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，‎ ‎∴.‎ ‎①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；‎ ‎②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；‎ ‎③当00，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)

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