广东省阳江市阳东广雅中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 阳东广雅中学2019-2020学年上学期高一期末考试试卷——数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 请在答题卡上填涂相应选项.‎ ‎1.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可．‎ ‎【详解】要使函数有意义，则，‎ 即，即x≥﹣2且x≠1，‎ 即函数的定义域为[﹣2，1）∪（1，+∞），‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解，属于基础题．‎ ‎2.圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（　　）‎ A. π B. 3π C. 2π D. 4π ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.‎ ‎【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,‎ 所以圆柱的表面积.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.‎ ‎3.直线的倾斜角是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 15 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由直线的方程求出斜率，再根据倾斜角的正切值等于斜率，再结合倾斜角的范围求出倾斜角.‎ ‎【详解】由直线,‎ 可得直线的斜率为，‎ 直线倾斜角的正切值是，‎ 又倾斜角大于或等于且小于，‎ 故直线的倾斜角为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线方程与直线的斜率、倾斜角，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于中档题.‎ ‎4.已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（　　）‎ A. m⊂α，n∥m⇒n∥α B. m⊂α，n⊥m⇒n⊥α C. m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α∥β D. n⊂β，n⊥α⇒α⊥β ‎【答案】D ‎【解析】‎ 在A选项中，可能有n⊂α，故A错误；‎ 在B选项中，可能有n⊂α，故B错误；‎ 在C选项中，两平面有可能相交，故C错误；‎ 在D选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D正确．‎ 故选D．‎ ‎5.设，则的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 15 -‎ ‎【分析】‎ 容易看出，0＜0.34＜1，40.3＞1，log40.3＜0，从而可得出a，b，c的大小关系．‎ ‎【详解】∵0＜0.34＜0.30＝1，40.3＞40＝1，log40.3＜log41＝0；‎ ‎∴c＜a＜b．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查指数函数、对数函数的单调性的应用和指数函数的值域问题，属于基础题．‎ ‎6.若直线3x+y+a=0过圆的圆心，则的值为（ ）‎ A. -1 B. 1 C. 3 D. -3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．‎ 解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），‎ 代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，‎ 故选 B．‎ 点评：本题考查根据圆的方程求圆心的坐标的方法，用待定系数法求参数的取值范围 ‎7.在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D - 15 -‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过分析幂函数和对数函数的特征可得解.‎ ‎【详解】函数，与，‎ 答案A没有幂函数图像，‎ 答案B.中，中，不符合，‎ 答案C中，中，不符合，‎ 答案D中，中，符合，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了幂函数和对数函数图像特征，属于基础题.‎ ‎8.已知函数在区间，上单调递增，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ， C. D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接根据二次函数性质，由对称轴和区间的位置关系即可得解.‎ 详解】依题意对称轴，解得，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性，属于基础题.‎ ‎9.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分直线过原点与不过原点两种情况求解，不过原点时只需斜率为-1即可.‎ - 15 -‎ ‎【详解】直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，‎ 当截距为0时，直线方程为：；‎ 当直线不过原点时，斜率为，直线方程：．‎ 直线方程为或．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线的截距的概念，容易忽略过原点的情况，属于易错题.‎ ‎10.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三线垂直且长度相等联想正方体，利用外接球的直径为正方体的对角线长，即可得解．‎ ‎【详解】由PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝1，可知该三棱锥为正方体的一角，其外接球直径为正方体的对角线长，即2R＝，∴，∴.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法，关键是补形的方法，属于基础题．‎ ‎11.对任意的实数，直线与圆的位置关系一定是 A. 相离 B. 相切 C. 相交但直线不过圆心 D. 相交且直线过圆心 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：过定点，点在圆内，所以直线与圆相交但不过圆心.‎ 考点：直线与圆的位置关系.‎ ‎【方法点睛】直线与圆的位置关系 - 15 -‎ ‎（1）直线与圆的位置关系有三种:相切 、 相交 、 相离 ．‎ ‎（2）判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法 ‎①代数法:把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式 ‎②几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系:．‎ ‎12.已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数的图像，根据对数函数的运算得到，再根据图像看出的范围，也即是的范围.‎ ‎【详解】画出函数图像如下图所示，由于，故，即，由推向可知，故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查分段函数的图像，考查对数的运算，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.‎ - 15 -‎ ‎13.若函数是幂函数，则函数（其中，）的图象过定点的坐标为__________．‎ ‎【答案】（3，0）‎ ‎【解析】‎ 若函数是幂函数，则，‎ 则函数（其中，），‎ 令，计算得出：，，‎ 其图象过定点的坐标为．‎ ‎14.已知是奇函数，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数可将自变量转换到已知解析式的函数部分再求解即可.‎ ‎【详解】是奇函数,‎ ‎,‎ 则,故.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值以及奇函数的性质运用等,属于基础题型.‎ ‎15.已知两圆和相交于两点，则直线的方程是　　　　　．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：两圆为①，②，可得，所以公共弦所在直线的方程为．‎ 考点：相交弦所在直线的方程 - 15 -‎ ‎16.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论 ‎①； ‎ ‎②与所成的角为； ‎ ‎③与是异面直线；‎ ‎④∥． ‎ 以上四个命题中，正确命题的序号是 _________‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将纸盒的平面展开图还原为正方体，进而根据空间中直线与直线的位置关系，进行判断和选择.‎ ‎【详解】将正方体的平面展开图还原为正方体，可得如下几何体：‎ 由图，根据正方体的特点，‎ 容易知，又因为//，故可得，故①正确；‎ 因为//，而三角形为等边三角形，故与的夹角为，‎ 则与的夹角也为，故②正确；‎ 由图可知和显然是异面直线，故③正确；‎ - 15 -‎ 由图可知与是异面直线，故④错误.‎ 故答案为：①②③.‎ ‎【点睛】本题考查还原几何体，以及直线与直线的位置关系，涉及异面直线夹角的求解，属基础题.‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17.求经过直线：与直线：的交点，且满足下列条件的直线方程 ‎（1）与直线平行；‎ ‎（2）与直线垂直.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）联立直线方程，即可得交点坐标，再根据直线平行，则斜率相等，写出点斜式即可；‎ ‎（2）根据直线垂直，即可求得目标直线的斜率，结合点的坐标，写出点斜式即可.‎ ‎【详解】由解得 ，‎ 所以交点为（-1，2）‎ ‎（1）由已知得所求直线的斜率 ‎ ‎∴所求直线方程为 即 ‎ ‎（2）因为已知直线斜率为，故所求直线的斜率 ‎ ‎∴所求直线方程为 即 ‎【点睛】本题考查直线方程的求解，涉及直线平行以及垂直时，斜率之间的关系，属基础题.‎ ‎18.如下图所示：在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点．‎ - 15 -‎ ‎（Ⅰ）求证：AC⊥BC1；‎ ‎（Ⅱ）求证：AC1∥平面CDB1；‎ ‎【答案】（Ⅰ）、（Ⅱ）证明过程详见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）利用三垂线定理即可证明；‎ ‎（Ⅱ）设线段C1B的中点为E，连接DE，显然直线DE∥C1A，由直线与平面垂直的判定定理可得结论成立．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）直三棱角柱ABC—A1B1C1底面三边长AC=3，BC=4，AB=5‎ ‎∴AC⊥BC且BC1在平面ABC内的射影为BC ‎∴AC⊥BC1‎ ‎（Ⅱ）设CB1与C1B的交点为E，连结DE ‎∵D是AB的中点，E是BC1的中点 ‎∴DE∥AC1‎ DE平面CDB1，AC1平面CDB1，‎ ‎∴AC1∥平面CDB1‎ 考点：异面直线垂直的判定；直线与平面垂直的判定．‎ ‎19.已知圆：外有一点，过点作直线.‎ - 15 -‎ ‎（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；‎ ‎（2）当直线的倾斜角为时，求直线被圆所截得的弦长.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）讨论直线斜率是否存在，斜率存在时，设出直线方程，根据圆心到直线的距离等于半径，列方程即可求得；‎ ‎（2）根据已知，写出直线方程，利用圆中的弦长公式即可求得.‎ ‎【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足题意. ‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 即，‎ 则，解得，‎ 此时直线的方程为 ‎ 所以直线的方程为或 ‎（2）当直线的倾斜角为时，‎ 直线的方程为，‎ 即 ‎ 圆心到直线的距离为 ‎ 所以直线被圆所截得的弦长.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆相切，求直线的方程，以及圆中弦长公式的使用，属基础题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若，求不等式的解集；‎ ‎（2）若为偶函数，求的值．‎ - 15 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据对数的单调性可将不等式转化为，解不等式可得其解集；（2）由函数是偶函数可得恒成立，代入可求得的值 试题解析：（1），，‎ ‎,即不等式的解集为．‎ ‎(2)由于为偶函数，∴即，‎ 对任意实数都成立,‎ 所以 考点：1.函数奇偶性的性质；2.对数函数图象与性质的综合应用 ‎21.已知如图：四边形是矩形，平面，且，，点为上一点，且平面.‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据平面，平面得到三角形为直角三角形，再转换三棱锥的顶点到，结合题中已知数据，求解体积即可；‎ ‎（2）根据二面角的定义，即可知即为所求，只需求解该角度即可.‎ ‎【详解】（1）由平面得：；‎ - 15 -‎ 由平面及 得: ，平面；‎ ‎∵， ‎ ‎∴平面，则； ‎ ‎∴ ，‎ 即三棱锥的体积为； ‎ ‎（2）由（1）知：，，‎ ‎∴ 平面，则； ‎ ‎∴ 是二面角的平面角； ‎ 在中，，‎ ‎∴ ，则；‎ ‎∴ 二面角的大小为 ‎【点睛】本题考查三棱锥体积的计算，以及二面角的求解，均属简单的求解，属基础题.‎ ‎22.已知函数的定义域为 ‎ ‎（1）试判断的单调性，并用定义证明；‎ ‎（2）若，‎ ‎①求在的值域；‎ ‎②是否存在实数，使得有解，若存在，求出取值范围；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）在单调递增，证明见详解；（2）①；②存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据单调性的定义，作差，定号即可证明；‎ ‎（2）①写出函数的解析式，整体换元，将问题转化为求解二次函数的值域问题；‎ - 15 -‎ ‎②分离参数，将问题转化为求函数的最小值问题，结合均值不等式即可求得.‎ ‎【详解】（1）在单调递增 设 ‎ 则 ‎ 因为故：‎ ‎ ，‎ 在单调递增，即证.‎ ‎（2）①‎ ‎ ‎ 令 ‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ 值域为 ‎ ‎②由得 ‎ 而当时， ‎ 所以的取值范围为 ‎【点睛】本题考查利用函数单调性的定义证明单调性，以及用换元的方法，求解指数型函数的值域，属综合性基础题.‎ - 15 -‎ ‎ ‎ - 15 -‎