2019-2020学年辽宁省朝阳市高一上学期期中联考数学试题（解析版）

2019-2020学年辽宁省朝阳市高一上学期期中联考数学试题（解析版）

‎2019-2020学年辽宁省朝阳市高一上学期期中联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先解出不等式,可得,再利用交集的定义求解即可 ‎【详解】‎ 由题,,‎ 所以,‎ 故选:A ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算,属于基础题 ‎2．方程组的解集为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将代入中,求解即可 ‎【详解】‎ 由,得或,故所求方程组的解集为,‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查列举法表示解集,考查解方程组 ‎3．命题“，”的否定是( )‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】全称命题的否定是特称命题,进而得到答案 ‎【详解】‎ 由题, “,”的否定是,,‎ 故选:C ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定,属于基础题 ‎4．已知，，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据指数函数、对数函数的性质可知,,,即可得到结果 ‎【详解】‎ 由题,,,,‎ 所以,‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查指数、对数比较大小,借助中间值是解题关键 ‎5．已知是非空集合，：，：，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】根据集合的运算关系分析两个条件的推出关系即可得解.‎ ‎【详解】‎ 若，则一定成立；‎ 若，则，则不一定是空集.‎ 故是的充分不必要条件.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确掌握充分条件与必要条件之间的推出关系，准确辨析即可得解.‎ ‎6．函数的零点所在的大致区间为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】显然函数连续,利用零点存在性定理判断即可 ‎【详解】‎ 由题,在上连续,‎ 因为,,,,,‎ 所以,‎ 所以的零点所在的大致区间为 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查零点所在区间问题,考查零点存在性定理的应用 ‎7．函数的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先判断的奇偶性，由此可排除C与D，再求，令其跟1比较，据此可排除C，从而可得到正确选项.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以为奇函数，排除C与D.因为，所以排除B，所以A正确.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的判断，根据函数的性质和利用赋值进行排除是解决此类问题的常用方法，属中档题.‎ ‎8．若函数在上的最小值为．则 A．或 B． C．或 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先确定对称轴为，分别在、、三种情况下根据函数单调性确定最小值点，利用最小值构造方程求得结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意得：对称轴为 ‎①当时，在上单调递减 ‎，解得：（舍）‎ ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增 ‎，解得：（舍）或 ‎③当时，在上单调递增 ‎，解得：（舍）‎ 综上所述：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据二次函数最值求解参数值的问题，关键是能够根据对称轴所在位置得到最小值点，从而构造方程求得结果.‎ 二、多选题 ‎9．若函数在上是单调函数，则的取值可能是（ ）‎ A．0 B．1 C． D．3‎ ‎【答案】BC ‎【解析】根据函数的单调性求出a的取值范围，即可得到选项.‎ ‎【详解】‎ 当时，为增函数，‎ 所以当时，也为增函数，‎ 所以，解得.‎ 故选：BC ‎【点睛】‎ 此题考查根据分段函数的单调性求参数的取值范围，易错点在于忽略掉分段区间端点处的函数值辨析导致产生增根.‎ ‎10．已知函数是定义在上的偶函数，且对任意的，总有，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】CD ‎【解析】根据得在上是增函数，结合是偶函数，得关于直线对称，在上是增函数，即可判定选项.‎ ‎【详解】‎ 因为对任意的，有，‎ 不妨设，因为，所以，‎ ‎，‎ 所以在上是增函数，‎ 所以在上是增函数.因为是偶函数，所以的图象关于轴对称，故的图象关于直线对称，所以，，则.‎ 故选：CD ‎【点睛】‎ 此题考查函数单调性的判断，根据奇偶性判断函数的对称性，对性质综合应用进行函数值的大小比较.‎ ‎11．已知函数,若关于x的方程有8个不同的实根，则a的值可能为（ ）.‎ A．-6 B．8 C．9 D．12‎ ‎【答案】CD ‎【解析】分的不同进行讨论再数形结合分析即可.‎ ‎【详解】‎ 当时, 仅一根,故有8个不同的实根不可能成立.‎ 当时, 画出图象,当时, ,,‎ 又有8个不同的实根,故有三根,且.‎ 故.又有三根, 有两根,且满足.‎ 综上可知,.‎ 故选：CD ‎【点睛】‎ 本题主要考查了数形结合以及分类讨论求解的方法,需要根据题意将复合函数零点分步讨论,属于中等题型.‎ 三、填空题 ‎12．函数的最小值是_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求得定义域,再根据函数的单调性求得最小值 ‎【详解】‎ 由题,,可得,所以的定义域是,‎ 因为单调递增,单调递减,所以单调递增,‎ 所以当时,取得的最小值是,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用函数的单调性求函数的最值,求最值时需注意函数的定义域 ‎13．已知，则的最小值为______.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】根据题意，，利用基本不等式或勾型函数求最值.‎ ‎【详解】‎ 法一：，当且仅当，即时取等号.‎ 法二：根据勾型函数性质在递减，在递增，时取得最小值7.‎ 故答案为：7‎ ‎【点睛】‎ 此题考查求函数的最值，根据函数单调性求最值，或根据基本不等式求最值，注意考虑最值取得的条件.‎ ‎14．不等式组的解集为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分别求解不等式和,再由两个不等式的解集求交集即可 ‎【详解】‎ 由题,因为,则；‎ 因为,所以或,则或,‎ 故原不等式组的解集为,‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解一元二次不等式,考查解含绝对值的不等式 ‎15．已知函数，，若函数，则______，的最大值为______.‎ ‎【答案】0 6 ‎ ‎【解析】①计算出，，根据函数关系即可得值；‎ ‎②作出函数图象即可得到最值.‎ ‎【详解】‎ ‎①因为，，所以.‎ 画出函数的图象（实线部分），由图象可得，当时，取得最大值6.‎ 故答案为：①0；②6‎ ‎【点睛】‎ 此题考查函数新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义求解，数形结合处理最值更加直观，减少计算量.‎ 四、解答题 ‎16．已知集，集合.‎ ‎(1)当时，求，；‎ ‎(2)若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)，；(2)‎ ‎【解析】（1）先求得,将代入可得,再由交集、并集、补集的定义求解即可；‎ ‎（2）若,则,可得,进而求解即可 ‎【详解】‎ ‎(1)由题,,‎ 当时,,‎ 所以,‎ 因为或,‎ 所以 ‎(2)因为,所以,‎ 又因为,,‎ 所以,‎ 解得,‎ 所以实数的取值范围是 ‎【点睛】‎ 本题考查集合的运算,考查已知集合的包含关系求参数 ‎17．(1)用分析法证明:.‎ ‎(2)已知，，证明:.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 ‎【解析】（1）利用平方法证明即可；‎ ‎（2）先利用均值定理证得,再在该不等式两边加上,进而证明即可 ‎【详解】‎ 证明:(1)欲证,‎ 只需证,‎ 即证,‎ 只需证,‎ 因为显然成立,‎ 所以成立 ‎(2)因为,‎ 在不等式两边同时加上,‎ 得,‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的证明,考查利用均值定理证明不等式 ‎18．已知函数是定义在上的奇函数，当时，‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】(1)若，则，先求出时函数的解析式，即得函数的解析式；（2）解不等式组或即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)若，则，‎ 因为当时，所以.‎ 因为是奇函数，所以.‎ 因为是定义在上的奇函数，所以.‎ 故.‎ ‎(2)因为，所以或 解得或.‎ 故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查分段函数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19．（1）已知，求的解析式；‎ ‎（2）已知，求的解析式．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）采用换元法，令，解得，代入可求得，进而得到；（2）采用构造方程组法，将替换为，可得到关于和的方程组，解方程组求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意得：定义域为 设，则 ‎ ‎（2）由…①得：…②‎ ‎①②联立消去得：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式中的换元法和构造方程组法的应用，关键是能够熟练掌握不同的形式所对应的求解解析式的方法.‎ ‎20．某市有一面积为12000平方米的三角形地块，其中边长为200米，现计划建一个如图所示的长方形停车场，停车场的四个顶点都在的三条边上，其余的地面全部绿化.若建停车场的费用为180元/平方米，绿化的费用为60元/平方米，设米，建设工程的总费用为元.‎ ‎（1）求关于的函数表达式：‎ ‎（2）求停车场面积最大时的值，并求此时的工程总费用.‎ ‎【答案】（1），.（2）；144万元 ‎【解析】（1）根据三角形面积公式求高，再根据三角形相似列出自变量与长方形宽的等式，即可求解.‎ ‎（2）由（1）列出停车场面积S与自变量的关系式，求解面积最大值时值，代入即可求解工程总费用.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，得，‎ 由，得，‎ 解得.‎ 所以停车场的面积，‎ 所以剩余面积为，‎ 所以，.‎ ‎（2）由（1）知停车场的面积，‎ 当时，取得最大值，‎ 此时，即停车场面积最大时的工程总费用为144万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查：（1）利用三角形相关知识解决实际问题的能力（2）实际应用中二次函数最值问题，属于中等题型.‎ ‎21．已知是定义在上的函数，且.若对任意，，恒成立，，且当时，.‎ ‎(1)试判断函数上的单调性，并用定义法证明；‎ ‎(2)求不等式的解集.‎ ‎【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)‎ ‎【解析】（1）设,则,则,利用可得,进而判断与1的大小关系,即可证明；‎ ‎（2）转化为,利用赋值法可得,进而由函数单调性求解即可 ‎【详解】‎ ‎(1)函数在上为增函数,‎ 证明:设,则,‎ 因为当时,,‎ 所以,‎ 因为,‎ 所以由得,,‎ 所以,‎ 又由条件知,所以,‎ 所以函数在上为增函数 ‎(2)令,可得,则,‎ 由题,‎ 所以等价于,‎ 即,‎ 由(1)知函数在上为增函数,所以,‎ 整理得,即,‎ 所以,解得,‎ 故原不等式的解集为 ‎【点睛】‎ 本题考查定义法证明函数的单调性,考查利用单调性解抽象函数不等式问题