2020届二轮复习坐标系与参数方程教案（全国通用）

2020届二轮复习坐标系与参数方程教案（全国通用）

‎2020届二轮复习 坐标系与参数方程 教案（全国通用）‎ 一、直角坐标与极坐标的互化 如图，把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则 ‎【特别提醒】在曲线方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性．‎ 二、直线、圆的极坐标方程 ‎(1)直线的极坐标方程 若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．‎ 几个特殊位置直线的极坐标方程 ‎①直线过极点：θ＝α；‎ ‎②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎③直线过点M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎(2)几个特殊位置圆的极坐标方程 ‎①圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；‎ ‎②圆心位于M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcos θ；‎ ‎③圆心位于M，半径为r：ρ＝2rsin θ.‎ ‎【特别提醒】当圆心不在直角坐标系的坐标轴上时，要建立圆的极坐标方程，通常把极点放置在圆心处，极轴与x轴同向，然后运用极坐标与直角坐标的变换公式．‎ 三、参数方程 ‎(1)直线的参数方程 过定点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆、椭圆的参数方程 ‎①圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．‎ ‎②椭圆＋＝1的参数方程为 ‎(θ为参数)．学科=网 ‎【特别提醒】在参数方程和普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．‎ 高频考点一　坐标系与极坐标 例1．（2018年全国I卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎【答案】 (1）．‎ ‎（2）的方程为．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得的直角坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． ‎ 综上，所求的方程为．‎ ‎【变式探究】【2017天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线为，圆为，因为 ，所以有两个交点 ‎【变式探究】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线过圆的圆心，因此 ‎【变式探究】在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)‎ A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1‎ D．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1‎ 解析　由ρ＝2cos θ得x2＋y2－2x＝0.‎ ‎∴(x－1)2＋y2＝1，‎ 圆的两条垂直于x轴的切线方程为x＝0和x＝2.‎ 故极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.‎ 答案　B 高频考点二　参数方程 例2．（2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）为参数， ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数，．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，．‎ ‎【变式探究】【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(‎ 为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【考点】参数方程化普通方程 ‎【变式探究】在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.‎ 是以为圆心，为半径的圆.学-科网 将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）曲线的公共点的极坐标满足方程组 若，由方程组得，由已知，‎ 可得，从而，解得（舍去），.‎ 时，极点也为的公共点，在上.所以.‎ ‎【变式探究】已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＝4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为________．‎ 解析　直线l的直角坐标方程为y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐标方程为x2－y2＝4，把y＝x＋2代入双曲线方程解得x＝－2，因此交点为(－2，0)，其极坐标为(2，π)．‎ 答案　(2，π)‎ ‎【变式探究】若以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 解析　∵∴y＝1－x化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρ＝.∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，∴0≤θ≤.故选A.‎ 答案　A ‎1. （2018年全国I卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．‎ ‎【答案】 (1）．‎ ‎（2）的方程为．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由，得的直角坐标方程为 ‎．‎ ‎（2）由（1）知是圆心为，半径为的圆．‎ 由题设知，是过点且关于轴对称的两条射线．记轴右边的射线为，轴左边的射线为．由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与只有一个公共点，与有两个公共点．‎ 当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以，故或．‎ 经检验，当时，与没有公共点；当时，与没有公共点． ‎ 综上，所求的方程为．‎ ‎2. （2018年全国Ⅱ卷理数）[选修4－4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求和的直角坐标方程； ‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．[来源:学*科*网Z*X*X*K]‎ ‎【答案】（1）当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为．（2）‎ ‎3. （2018年全国Ⅲ卷理数） [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）为参数， ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）的直角坐标方程为．‎ 当时，与交于两点．‎ 当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或．‎ 综上，的取值范围是．‎ ‎（2）的参数方程为为参数，．‎ 设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．‎ 于是，．又点的坐标满足 所以点的轨迹的参数方程是为参数，．‎ ‎4. （2018年江苏卷） [选修4—4：坐标系与参数方程]‎ 在极坐标系中，直线l的方程为，曲线C的方程为，求直线l被曲线C截得的弦长．‎ ‎【答案】直线l被曲线C截得的弦长为 ‎【解析】因为曲线C的极坐标方程为，‎ 所以曲线C的圆心为（2，0），直径为4的圆．‎ 因为直线l的极坐标方程为，‎ 则直线l过A（4，0），倾斜角为，‎ 所以A为直线l与圆C的一个交点．‎ 设另一个交点为B，则∠OAB=．‎ 连结OB，因为OA为直径，从而∠OBA=，‎ 所以．‎ 因此，直线l被曲线C截得的弦长为．‎ ‎1.【2017天津，理11】在极坐标系中，直线与圆的公共点的个数为___________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线为，圆为，因为 ，所以有两个交点 ‎2. 【2017北京，理11】在极坐标系中，点A在圆上，点P的坐标为（1,0），则|AP|的最小值为___________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】将圆的极坐标方程化为普通方程为，整理为，圆心，点是圆外一点，所以的最小值就是.‎ ‎3. 【2017课标1，理22】在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为 ‎.‎ ‎（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；‎ ‎（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.‎ ‎【答案】（1）与的交点坐标为， ；（2）或.‎ ‎【解析】（1）曲线的普通方程为.‎ 当时，直线的普通方程为.‎ 由解得或.‎ 从而与的交点坐标为， .‎ ‎（2）直线的普通方程为，故上的点到的距离为 ‎.‎ 当时， 的最大值为.由题设得，所以；‎ 当时， 的最大值为.由题设得，所以.‎ 综上， 或.‎ ‎【2017·江苏】[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面坐标系中中,已知直线的参考方程为(为参数),曲线的参数方程为(‎ 为参数).设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为.‎ 因为点在曲线上，设，‎ 从而点到直线的的距离，‎ 当时， .‎ 因此当点的坐标为时，曲线上点到直线的距离取到最小值. ‎ ‎1.【2016年高考北京理数】在极坐标系中，直线与圆交于A，B两点，则______.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】直线过圆的圆心，因此 ‎2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xy中,曲线C1的参数方程为（t为参数,a＞0）．‎ 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2：ρ=.‎ ‎（I）说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎（II）直线C3的极坐标方程为,其中满足tan=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a．‎ ‎【答案】（I）圆,（II）1‎ ‎【解析】解：（Ⅰ）消去参数得到的普通方程.‎ 是以为圆心，为半径的圆.‎ 将代入的普通方程中，得到的极坐标方程为 ‎.‎ ‎3.【2016高考新课标2理数】选修4—4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的方程为．‎ ‎（Ⅰ）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）直线的参数方程是（为参数）, 与交于两点，，求的斜率．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（I）由可得的极坐标方程 ‎（II）在（I）中建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为 由所对应的极径分别为将的极坐标方程代入的极坐标方程得 于是 ‎ [来源:]‎ 由得，‎ 所以的斜率为或.‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（I）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（II）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.‎ ‎【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；（Ⅱ）．‎ ‎1．(2015·广东，14)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点 A到直线l的距离为________．‎ 解析　依题已知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.学-科网 答案　 ‎2．(2015·北京，11)在极坐标系中，点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝6的距离为________．‎ 解析　在平面直角坐标系下，点化为(1，)，直线方程为：x＋y＝6，∴点(1，)到直线的距离为d＝＝＝1.‎ 答案　1‎ ‎3．(2015·安徽，12)在极坐标系中，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值是________．‎ 解析　由ρ＝8sin θ得x2＋y2＝8y，即x2＋(y－4)2＝16，由θ＝得y＝x，即x－y＝0，∴圆心(0，4)到直线y＝x的距离为2，圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝的最大距离为4＋2＝6.‎ 答案　6‎ ‎4．(2015·江苏，21)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径．‎ 解　以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.‎ 圆C的极坐标方程为 ρ2＋2ρ－4＝0，‎ 化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.‎ 则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，‎ 即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，‎ 所以圆C的半径为.‎ ‎5．(2015·新课标全国Ⅰ，23)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．[来源:]‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，‎ 所以△C2MN的面积为.‎ ‎6．(2015·福建，21(2))在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为 (t为参数)．在极坐标系(与平面直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴)中，直线l的方程为ρsin＝m(m∈R)．‎ ‎①求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎②设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．‎ 解　①消去参数t，得到圆C的普通方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9.‎ 由ρsin＝m，得 ρsin θ－ρcos θ－m＝0.‎ 所以直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0.[来源:学_科_网]‎ ‎②依题意，圆心C到直线l的距离等于2，‎ 即＝2，‎ 解得m＝－3±2.‎ ‎7．(2015·湖南，16Ⅱ)已知直线l： (t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 解　(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②式，得t2＋5t＋18＝0.‎ 设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，‎ ‎|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎1. 【2014高考安徽卷理第4题】以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线的参数方程是（为参数），圆的极坐标方程是，则直线被圆截得的弦长为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】将直线的参数方程消去参数，化成直角坐标方程为，圆的极坐标方程 两边同乘为，化成直角坐标方程为，则圆心到直线的距离，所以直线被圆截得的弦长，故选D.‎ ‎2. 【2014高考北京卷理第3题】曲线，（为参数）的对称中心（ ） ‎ A．在直线上 B．在直线上 ‎ C．在直线上 D．在直线上 ‎【答案】B ‎【解析】参数方程所表示的曲线为圆心在，半径为1的圆，其对称中心为，逐个代入选项可知，点满足，故选B.‎ ‎3. 【2014高考湖北卷理第16题】已知曲线的参数方程是，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直角坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由消去得，由得，解方程组得与的交点坐标为.‎ ‎4. 【2014高考湖南卷第11题】在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线与曲线，（为参数）交于、两点，且，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线的极坐标方程是________.‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】试题分析：利用可得曲线的普通方程为,即曲线为直角的圆,因为弦长,所以圆心在直线上,又因为直线的斜率为,所以直线的直角坐标方程为,则根据直角坐标与极坐标之间的转化可得 ‎,故填.‎ ‎5.【2014江西高考理第12题】若以直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段的极坐标为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据，得：‎ 解得，选A.‎ ‎6. 【2014重庆高考理第15题】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，则直线与曲线的公共点的极径________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由参数方程消法参数得直线的一般式方程为： （1）‎ 由曲线的极坐标方程两边同乘以得，，所以，曲线C在直角坐标系下的方程为 （2）‎ 解由方程（1）（2）能成的方程级得 所以，直线与曲线的交点坐标为，极径 所以，答案应为：‎ ‎7. 【2014陕西高考理第15题】在极坐标系中，点到直线的距离是 .‎ ‎【答案】1‎ ‎8. 【2014天津高考理第13题】在以为极点的极坐标系中，圆和直线相交于两点．若是等边三角形，则的值为___________．‎ ‎【答案】3．‎ ‎【解析】圆的方程为，直线为．是等边三角形，∴其中一个交点坐标为 ，代入圆的方程可得．‎ ‎9.【2014高考福建理第21（2）题】 已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为 ‎ ，（为常数）.‎ ‎ （I）求直线和圆的普通方程；‎ ‎ （II）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（I）,;（II）‎ ‎【解析】（I）由已知直线的参数方程为，（为参数）,消去参数即可得直线的普通方程.由圆的参数方程 为，（为常数）消去参数,即可得圆的普通方程.‎ ‎（II）由直线与圆 有公共点,等价于圆心到直线的距离小于或等于圆的半径4,由点到直线的距离公式即可得到结论.‎ 试题解析：（I）直线的普通方程为.圆C的普通方程为.‎ ‎（II）因为直线与圆有公共点,故圆C的圆心到直线的距离,解得.‎ ‎10. 【2014高考江苏第21C题】在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程（为参数），直线与抛物线相交于两点，求线段的长.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线的普通方程为，即，与抛物线方程联立方程组解得，∴.‎ ‎11. 【2014高考辽宁理第23题】将圆上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. ‎ ‎（Ⅰ）写出C的参数方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线与C的交点为，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程.‎ ‎【答案】（1） （t为参数）；（2）.‎ ‎【解析】（1）设为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得 由 得，即曲线C的方程为.，故C得参数方程为  （t为参数）.‎ ‎（2）由解得：，或.‎ 不妨设,则线段的中点坐标为,所求直线的斜率为，于是所求直线方程为，化极坐标方程，并整理得 ‎，即.‎ ‎12. 【2014高考全国1第23题】已知曲线，直线：（为参数）. ‎ ‎（I）写出曲线的参数方程，直线的普通方程； ‎ ‎（II）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，的最大值与最小值．‎ ‎【答案】（I）；（II）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎（I）曲线C的参数方程为（为参数）．直线的普通方程为．‎ ‎（II）曲线C上任意一点到的距离为．则 ‎．其中为锐角，且．‎ 当时，取到最大值，最大值为．‎ 当时，取到最小值，最小值为．‎ ‎13. 【2014高考全国2第23题】在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为，‎ ‎.‎ ‎（Ⅰ）求C的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标. ‎ ‎【答案】（Ⅰ）是参数，；（Ⅱ）‎ ‎【解析】（1）设点M是C上任意一点，则由可得C的普通方程为：，‎ 即，‎ 所以C的参数方程为是参数，.‎ ‎（2）设D点坐标为，由（1）知C是以G（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，‎ 因为C在点D处的切线与垂直，所以直线GD与的斜率相同，，，‎ 故D点的直角坐标为，即.‎ ‎14. 【2014高考上海理科】已知曲线C的极坐标方程为，则C与极轴的交点到极点的距离是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，，所以所求距离为.‎ ‎（2013·新课标I理）（23）（本小题10分）选修4—4：坐标系与参数方程 ‎ 已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ。‎ ‎（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）‎ ‎【答案】（1）因为，消去参数，得，即 ‎，‎ 故极坐标方程为；‎ ‎（2）的普通方程为，联立、的方程，解得或，所以交点的极坐标为.‎ ‎【解析】（1）先得到C1的一般方程，进而得到极坐标方程；（2）先联立求出交点坐标，进而求出极坐标.‎ ‎【考点定位】本题考查极坐标方程的应用以及转化，考查学生的转化与化归能力.‎ ‎（2013·新课标Ⅱ理）（23）（本小题满分10分）选修4——4；坐标系与参数方程 已知动点，Q都在曲线C：（β为参数）上，对应参数分别为β=α 与α=2π（0＜α＜2π），M为PQ的中点。[来源:]‎ ‎（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程 ‎（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点。‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意有, , ,‎ 因此,‎ M的轨迹的参数方程为,(为参数,).‎ ‎（Ⅱ）M点到坐标原点的距离为 ‎，‎ 当时，，故M的轨迹过坐标原点.学+科网 ‎【解题思路与技巧】本题第（Ⅰ）问，由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P的坐标,求出答案; 第（Ⅱ）问，由互化公式可得.‎ ‎【易错点】对第（Ⅰ）问，极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.‎ ‎【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.‎ ‎（2013·陕西理）C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .‎ ‎【考点定位】本题考查与圆的参数方程有关的问题，涉及圆的标准方程和参数方程等知识，属于容易题。‎ ‎（2013·江西理）15（1）．（坐标系与参数方程选做题）设曲线C的参数方程为：x=t，y=t2 （t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】.‎ ‎【考点定位】该题主要考查参数方程，极坐标系、极坐标方程以及它们的关系.‎ ‎（2013·广东理）14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线的参数方程为 (为参数),在点处的切线为,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线的普通方程为,其在点处的切线的方程为,对应的极坐标方程为,即.‎ ‎【考点定位】坐标系与参数方程 ‎（2013·福建理）(2).(本小题满分7分) 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为，且点A在直线上。‎ ‎ （Ⅰ）求的值及直线的直角坐标方程；‎ ‎ （Ⅱ）圆C的参数方程为，试判断直线l与圆C的位置关系.‎ ‎ 【答案】（Ⅰ）由点在直线上，可得 所以直线的方程可化为 从而直线的直角坐标方程为 ‎（Ⅱ）由已知得圆的直角坐标方程为 所以圆心为，半径 以为圆心到直线的距离，所以直线与圆相交 ‎【解析】 坐标系与参数方程无非就是坐标系之间的互化，之后就变为简单的解析几何问题也属于必得分题目。‎ ‎【考点定位】本题主要考查坐标间的互化以及圆的参数方程的基本内容，属于简单题。‎ ‎（2013·辽宁理）23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.‎ ‎（I）‎ ‎（II）‎ ‎【答案】（I）圆的直角坐标方程为：，直线的直角坐标方程为 联立得：得所以与交点的极坐标为 ‎（II）由（I）可得，P，Q的直角坐标为（0,2），（1,3），故PQ的直角坐标方程为 由参数方程可得，所以 ‎【解析】第一问首先利用将极坐标方程化为直角坐标方程，求方程组的解，最后在转化为极坐标，注意转化成极坐标后的答案不唯一。第二问主要是求得直线PQ的直角坐标方程，根据所给的参数方程实现二者的联系，求得a,b.‎ ‎ ‎