2020届二轮复习高考解题的数学思想教案

2020届二轮复习高考解题的数学思想教案

‎ 数学思想渗其中， “解几”问题来体验 ‎【方法综述】‎ 大家知道，数学科的命题,在考查基础知识的基础上,注重对数学思想方法的考查,注重对数学能力的考查,展现数学的科学价值和人文价值,同时兼顾试题的基础性、综合性和应用性,重视试题间的层次性,合理调控综合程度,坚持多角度、多层次的考查,努力实现全面考查综合数学素养的要求.‎ 从直线与圆这部分内容看，所渗透的数学思想方法主要有：数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想、转化与化归思想.下面举例加以说明，通过解析几何问题，体验上述思想方法的应用.‎ ‎【解疑释惑】‎ ‎（一）数形结合思想 数形结合的思想，其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，实现代数问题几何化，几何问题代数化．是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．其应用包括以下两个方面：‎ ‎(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维．‎ ‎(2)“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确．‎ 例1.【数学奥林匹克高中训练题】若，则函数的最小值等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由配方得．‎ 左边可看作点与定点的距离的平方，‎ 约束条件表示点在直线的右上方区域．‎ 于是，问题转化为求点到区域的点之间距离的最小值，即点到直线的距离.‎ ‎．故 由，有，即．‎ 故答案为：‎ 例2. 从点出发的一束光线，经过直线反射，反射光线恰好通过点，求入射光线所在的直线方程．‎ ‎【答案】.‎ 点评：破解平面解析几何问题的关键是画出相应的图形，注意数形结合的相互渗透，并从相关的图形中挖掘对应的信息加以分析与研究．直线与圆锥曲线的位置关系的转化有两种，一种是通过数形结合建立相应的关系式，另一种是通过代数形式转化为二元二次方程组的解的问题进行讨论．‎ ‎（二）函数与方程思想 ‎1．函数的思想：是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题得到解决的思想．‎ ‎2．方程的思想：是建立方程或方程组或者构造方程或方程组，通过解方程或方程组或者运用方程的性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想．‎ 例3.在平面直角坐标系中，已知圆O：和点M(1，0) ．若在圆O上存在点A，在圆C：上存在点B，使得△MAB为等边三角形，则r的最大值为____．‎ ‎【答案】8‎ 设，则直线所在直线方程为：‎ 又 解得：或（舍）‎ 时取最大值 本题正确结果：‎ 例4. 过已知点(3,0)的直线l与圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0相交于P，Q两点，且OP⊥OQ(其中O为原点)，求直线l的方程．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设直线l的方程为x＋ay－3＝0(a≠0)，‎ 则点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的坐标满足方程组 消去y，得x2＋2＋x－6·＋3＝0，‎ 即x2＋x＋－＋3＝0.‎ 所以x1x2＝.①‎ 由方程组消去x，得(3－ay)2＋y2＋(3－ay)－6y＋3＝0，‎ 即(a2＋1)y2－(7a＋6)y＋15＝0.‎ 所以y1y2＝.②‎ 因为OP⊥OQ，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.‎ 由①②，得＋＝0.‎ 整理，得a2－6a＋8＝0.解得a＝2或a＝4.‎ 故直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0.‎ 点评：本题由条件OP⊥OQ，若设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则·＝－1.由P，Q在圆及直线上，借助方程，巧用根与系数的关系与方程思想，使问题得以顺利解决．‎ ‎（三）分类与整合思想　‎ 分类讨论思想：是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学思想．‎ 例5. 已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.‎ ‎【答案】5x－y＝0或x＋y－6＝0‎ 例6.(1)已知A(1,1)，B(3,5)，C(a,7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a，b的值．‎ ‎(2)已知直线l过点P(1,1)且与线段MN相交，其中M(2，－3)，N(－3，－2)，求直线l的斜率k的取值范围．‎ ‎【答案】（1）k＝2，a＝4，b＝－3; （2） ‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)由题意可知kAB＝＝2，‎ kAC＝＝，kAD＝＝.‎ 因为A，B，C，D四点在同一条直线上，所以k＝2＝＝，解得a＝4，b＝－3，‎ 所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.‎ ‎(2)如图所示，直线l绕着点P在直线PM与PN间旋转，l′是过P点且与x轴垂直的直线．当l在PN位置转到l′位置时，倾斜角增大到90°，k≥kPN＝.当l在l′位置转到PM位置时，倾斜角大于90°，k≤kPM ‎＝－4.综上所述：k∈(－∞，－4]∪.‎ 故答案为：（1）k＝2，a＝4，b＝－3; ‎ ‎（2）‎ ‎（四）转化与化归思想 转化与化归思想：就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种思想．其应用包括以下三个方面：‎ ‎(1)一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题．‎ ‎(2)将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题．‎ ‎(3)将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．‎ 例7.如图，函数的图像为两条射线，组成的折线，如果不等式的解集中有且仅有1个整数，那么实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 根据题意可知f（x），‎ 不等式f（x）≥x2﹣x﹣a等价于a≥x2﹣x﹣f（x），‎ 令g（x）＝x2﹣x﹣f（x）‎ ‎，‎ 可得g（x）的大致图象，如图所示，‎ 又g（0）＝﹣2，g（1）＝﹣1，g（﹣1）＝2，‎ ‎∴要使不等式的解集中有且仅有1个整数，‎ 则﹣2≤a＜1，‎ 即a取值范围是{a|﹣2≤a＜1}．‎ 故选：B．‎ 例8. 求圆(x－2)2＋(y＋3)2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的最大距离与最小距离．‎ ‎【答案】‎ 点评：圆是一个对称图形，依其对称性，圆上的点到直线的最大(小)距离为圆心到直线的距离加上(减去)半径．凡是涉及与圆有关的距离问题，均可转化为圆心到直线的距离问题．‎ ‎【提升训练】‎ 一、选择题 ‎1．若直线x－y＋m＝0被圆(x－1)2＋y2＝5截得的弦长为2，则m的值为(　　)‎ A.1 B.－3 C.1或－3 D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵圆(x－1)2＋y2＝5的圆心C(1，0)，半径r＝.‎ 又直线x－y＋m＝0被圆截得的弦长为2.‎ ‎∴圆心C到直线的距离d＝＝，‎ 因此＝，∴m＝1或m＝－3.‎ ‎2．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0).若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最大值为(　　)‎ A.7 B.6 C.5 D.4‎ ‎【答案】B ‎3．过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 设圆心坐标P为（a,-2），则r2＝，解得a=1，所以P（1，-2）.又直线过定点Q（-2，0），当直线PQ与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．‎ 故选：B．‎ 二、填空题 ‎4．已知1≤t≤2，过两点(u,2t)，(t－2，u)的直线l的斜率为2，则直线l在y轴上的截距的取值范围为________．‎ ‎【答案】[，2]‎ ‎【解析】 ‎ 由题意知，则.设直线与轴的交点为，则，则，故.‎ ‎5. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值为_____‎ ‎【答案】‎ ‎6. 在平面直角坐标系中，已知点在圆C：内，直线AB过点P，且与圆C交于A，B两点，若面积的最大值为5，则实数m的取值范围为______．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 点在圆C：内，，解得：面积的最大值为5，，，圆心到直线AB的距离，又，‎ ‎，解得或，‎ 又，或，‎ 故答案为或．‎ 三、解答题 ‎7. 【2017·全国Ⅲ卷】在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：‎ ‎(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；‎ ‎(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎【解析】(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：‎ 设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2是方程x2＋mx－2＝0的根，‎ 所以x1＋x2＝－m，x1x2＝－2，又C的坐标为(0，1)， ‎ 则由AC、BC的斜率x1x2＋1＝－2＋1＝－1≠0，‎ 所以不能出现AC⊥BC的情况.‎ 令x＝0得y1＝1，y2＝－2，所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为1－(－2)＝3.‎ 所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.‎ 法二　设过A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D，‎ 由x1x2＝－2可知原点O在圆内.‎ 由相交弦定理可得|OD||OC|＝|OA||OB|＝|x1||x2|＝2，又|OC|＝1，所以|OD|＝2，‎ 所以过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为|OC|＋|OD|＝3，为定值.‎ ‎8.【2016·江苏卷选】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|＝|OA|，求直线l的方程；‎ ‎ ‎ ‎【答案】2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.‎ ‎9. 光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．‎ ‎【答案】入射光线所在直线的方程为：5x－4y＋2＝0.反射光线所在直线的方程为：4x－5y＋1＝0.‎ ‎【解析】‎ 由题意，设点关于直线对称点为， ‎ 则，解得，即，‎ 由于反射光线经过点和，则直线的斜率为，‎ 所以反射光线所在直线的方程为，即，‎ 解方程组，得，即反射点，‎ 则入射光线的所在直线的斜率为,‎ 所以入射光线所在直线的方程为，即.‎ ‎10. 如图所示，某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1,2)，B(4,0)，一条河所在的直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P，使之到A，B两镇的管道最省，那么供水站P 应建在什么地方？‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】‎ 所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，‎ 解方程组得 所以P点的坐标为．‎ 故供水站应建在点P处．‎