天津市和平区2019届高三下学期第三次质量调查理科数学试卷 Word版含解析

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天津市和平区2019届高三理数第三次质量调查试卷 一、单选题（共8题；共16分）‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得集合B，然后进行交集运算即可.‎ ‎【详解】由于：，‎ 故由题意可知：，结合交集的定义可知：.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎2.设，，则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求解不等式确定p,q所表示的范围，然后考查充分性和必要性是否成立即可.‎ ‎【详解】求解绝对值不等式可得：，‎ 求解指数不等式可得，‎ 据此可知是成立的充分不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，指数不等式的解法，充分条件与必要条件的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ - 20 -‎ ‎3.设，满足约束条件，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定其取值范围即可.‎ ‎【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 目标函数表示可行域内的点与点之间连线的斜率，‎ 数形结合可知目标函数在点处取得最大值：，‎ 目标函数在点处取得最小值：，‎ 故目标函数的取值范围是.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．‎ ‎(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．‎ ‎4.在如图所示的计算程序框图中，判断框内应填入的条件是（ ）‎ - 20 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合流程图所要实现功能确定判断框内应填入的条件即可.‎ ‎【详解】由题意结合流程图可知当时，程序应执行，，‎ 再次进入判断框时应该跳出循环，输出的值；‎ 结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查流程图的运行，由流程图的输出结果确定判定条件的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎5.已知菱形的边长为2，，点，分别在边，上，，，若，则的值为（ ）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意利用向量数量积的定义和平面向量基本定理整理计算即可确定的值.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ ‎，‎ - 20 -‎ 且：，‎ 故，解得：.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义与运算法则，平面向量基本定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎6.若函数的图象关于对称，则函数在上的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先整理函数的解析式，结合函数的一个对称中心确定的值，最后由函数的解析式可得函数的最小值.‎ ‎【详解】由辅助角公式可得：，函数图像关于对称，‎ 则当时，，即，‎ 由于，故令可得，‎ 函数的解析式为，‎ ‎，则，故函数在定义域内单调递减，‎ 函数的最小值为：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】‎ - 20 -‎ 本题主要考查三角函数的对称性，三角函数最值的求解，辅助角公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎7.设，分别为具有公共焦点，的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）‎ A. B. C. 2 D. 不确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意首先求得的长度，然后结合勾股定理整理计算即可求得最终结果.‎ ‎【详解】设椭圆、双曲线的长轴长分别为，焦距为，‎ 则：，解得：，‎ 由勾股定理可得：，‎ 即：，整理可得：.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、勾股定理、|PF1|＋|PF2|＝2a，得到a，c的关系．‎ ‎8.已知函数，，若方程有两个不同实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ g（x）=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，画出其图象，可得y=|g（x）|的图象．f（x）=﹣|x﹣a|+a=‎ - 20 -‎ ‎．对a分类讨论，数形结合，利用直线与抛物线相切相交的位置与判别式的关系即可判断出结论．‎ ‎【详解】依题意画出的图象如图所示：‎ ‎∵函数，∴．‎ 当直线与相切时，即联立，得．‎ ‎①当时，函数的图象与的图象无交点，不满足题意；‎ ‎②当时，函数的图象与的图象交于点，不满足题意；‎ ‎②当时，当经过函数图象上的点时，恰好经过点函数图象上的点，则要使方程恰有2个不同的实数根，只需，即，故；‎ ‎③当时，函数的图象与的图象有3个交点，不满足题意；‎ ‎④当时，函数的图象与的图象有2个交点，满足题意．‎ 综上：或，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】已知函数有零点 (方程有根)‎ - 20 -‎ ‎ 求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 二、填空题（共6题；共7分）‎ ‎9.若，其中，是虚数单位，则______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合复数的运算法则和复数相等的充分必要条件即可确定a,b的值，然后求解其模即可.‎ ‎【详解】由题意可得：，则：，即，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数模的求解，复数相等的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10.由曲线，以及轴围成的封闭图形面积为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得交点坐标，然后求解封闭图形的面积即可.‎ ‎【详解】联立直线方程：可得：，故交点坐标为，‎ 故封闭图形的面积：.‎ - 20 -‎ ‎【点睛】本题主要考查定积分的应用与几何意义，求解封闭图形面积的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎11.已知两条不重合的直线，，两个不重合的平面，，有下列四个命题：‎ ‎①若，，则；‎ ‎②若，，且，则；‎ ‎③若，，，，则；‎ ‎④若，，且，，则．‎ 其中所有正确命题的序号为______．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用线面平行的判定定理、线面垂直的性质定理、面面平行的判定定理逐一考查所给的命题是否成立即可.‎ ‎【详解】逐一考查所给的命题：‎ ‎①若，，有可能，不一定有，题中的命题错误；‎ ‎②若，，且，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确；‎ ‎③若，，，，若，有可能与相交，题中的命题错误；‎ ‎④若，，且，，由线面垂直的性质定理可得，题中的命题正确．‎ - 20 -‎ 综上可得：正确命题的序号为②④.‎ ‎【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：‎ ‎（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；‎ ‎（2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.‎ ‎12.已知曲线的参数方程为（为参数），是曲线的焦点，点的极坐标为，曲线上有某点，使得取得最小值，则点的坐标为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得参数的普通方程，然后结合抛物线的定义和几何性质即可确定点P的坐标.‎ ‎【详解】曲线的参数方程化为直角坐标方程即：，表示开口向右的抛物线，‎ 点A的极坐标方程化为直角坐标方程为：，‎ 如图所示，设抛物线的准线为，过点作于点，‎ 由抛物线的定义可知，则，‎ 故点三点共线时有最小值，此时，‎ 由抛物线方程可得，‎ - 20 -‎ 故点的坐标为.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，抛物线的定义及其应用，抛物线中的最值问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎13.已知，，且，则最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值.‎ ‎【详解】，‎ 结合可知原式，‎ 且 ‎，‎ 当且仅当时等号成立.‎ 即最小值为.‎ ‎【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．‎ ‎14.用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2不相邻，这样的六位数的个数是 （用数字作答)．‎ ‎【答案】32‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 20 -‎ 欲求可组成符合条件的六位数的个数，先考虑任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，再利用间接法求解．‎ ‎【详解】任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，可分三步来做这件事：‎ 第一步：先将3、5排列，共有A22种排法；‎ 第二步：再将4、6插空排列，共有2A22种排法；‎ 第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有C51种排法．‎ 由分步乘法计数原理得共有A22•2A22•C51＝40（种）．又任何相邻两个数字的奇偶性不同，共有＝72种，‎ ‎∴任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2不相邻，这样的六位数的个数是72﹣40＝32．‎ 故答案为：32‎ ‎【点睛】本题考查的是分步计数原理，考查间接法，考查学生的计算能力，属于基础题．‎ 三、解答题（共5题；共30分）‎ ‎15.在中，角的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角A的值；‎ ‎（2）若边上的中线，求的面积．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理、两角和的正弦公式化简题设中的边角关系可得 ‎（2）结合（1）可得为等腰三角形，在中利用余弦定理可求，从而可求的面积.‎ ‎【详解】（1）由正弦定理可得，‎ 整理得到，‎ 因为，故，故，‎ 因为，故.‎ - 20 -‎ ‎（2）因为，，故，故为等腰三角形且.‎ 设，则，‎ 由余弦定理可得，故，‎ 所以，故.‎ ‎【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式，另外解三角形时注意分析已知哪些条件，这样就可以选择合适的定理来解决问题.‎ ‎16.某城市为鼓励人们乘坐地铁出行，地铁公司决定按照乘客经过地铁站的数量实施分段优惠政策，不超过30站的地铁票价如下表：‎ 乘坐站数 票价（元）‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ 现有甲、乙两位乘客同时从起点乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过30站，甲、乙乘坐不超过10站的概率分别为，；甲、乙乘坐超过20站的概率分别为，．‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人付费相同的概率；‎ ‎（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1) 由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为 ，乙乘坐超过站且不超过站的概率为 ，利用乘法概率公式及互斥原理得到甲、乙两人付费相同的概率；‎ ‎(2) 由题意可知的所有可能取值为：，，，，.求得相应的概率值，即可得到 - 20 -‎ 的分布列和数学期望.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意知甲乘坐超过站且不超过站的概率为，‎ 乙乘坐超过站且不超过站的概率为，‎ 设“甲、乙两人付费相同”为事件，‎ 则 ，‎ 所以甲、乙两人付费相同的概率是.‎ ‎（2）由题意可知的所有可能取值为：，，，，.‎ ‎，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎.‎ 因此的分布列如下：‎ 所以的数学期望 .‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是:“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或事件的概率是否正确；‎ - 20 -‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X～B(n，p))，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)＝np)求得.‎ ‎17.如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，．‎ ‎（Ⅰ）求证：直线平面；‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；‎ ‎（Ⅲ）设点在线段上，且二面角的余弦值为，求点到底面的距离．‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)；(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意利用线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；‎ ‎(Ⅱ)建立空间直角坐标系，分别求得直线的方向向量和平面的法向量，然后求解线面角的正切值即可；‎ ‎(Ⅲ)设，由题意结合空间直角坐标系求得的值即可确定点到底面的距离．‎ ‎【详解】(Ⅰ)由菱形性质可知，‎ 由线面垂直的定义可知：，且，‎ 由线面垂直的判定定理可得：直线平面；‎ ‎(Ⅱ)以点A为坐标原点，AD,AP方向为y轴,z轴正方向，如图所示，在平面ABCD内与AD垂直的方向为x轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，‎ - 20 -‎ 则：，‎ 则直线PB的方向向量，很明显平面的法向量为，‎ 设直线与平面所成角为，‎ 则，.‎ ‎(Ⅲ)设，且，‎ 由于，‎ 故：，据此可得：，‎ 即点M的坐标为，‎ 设平面CMB的法向量为：，则：‎ ‎，‎ 据此可得平面CMB的一个法向量为：，‎ 设平面MBA的法向量为：，则：‎ - 20 -‎ ‎，‎ 据此可得平面MBA的一个法向量为：，‎ 二面角的余弦值为，故：，‎ 整理得 ，‎ 解得：.‎ 由点M的坐标易知点到底面的距离为或者.‎ ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理，空间向量在立体几何中的应用，立体几何中的探索问题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18.设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，，分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；‎ ‎（Ⅲ）设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；‎ - 20 -‎ ‎(Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和向量的坐标运算法则求得直线的斜率即可确定直线方程；‎ ‎(Ⅲ)由题意结合点差法得到的表达式，结合其表达式求解取值范围即可.‎ ‎【详解】(Ⅰ)抛物线的焦点坐标为，故，‎ 结合可得：，故椭圆方程为：.‎ ‎(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，设，‎ 假设存在满足题意的直线方程：，‎ 与椭圆方程联立可得：，‎ 则，‎ 则：‎ ‎，‎ 结合题意和韦达定理有：，‎ 解得：，即存在满足题意的直线方程：.‎ ‎(Ⅲ)设，设直线AB的方程为，‎ 由于：，‎ 两式作差整理变形可得：，‎ 即：. ①‎ 又 ②‎ ‎ ③‎ - 20 -‎ ‎①×②可得： ④‎ ‎④代入③可得： ⑤‎ ‎④⑤代入①整理可得：，‎ ‎，据此可得：，‎ 从而.‎ ‎【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．‎ ‎(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．‎ ‎19.已知函数，.（为自然对数的底数）‎ ‎（1）设；‎ ‎①若函数在处的切线过点，求的值；‎ ‎②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围.‎ ‎（2）设函数，且，求证：当时，.‎ ‎【答案】(1) ， (2)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）①由和可得在处的切线方程，代入点得；‎ ‎②当，可得，讨论和时函数的单调性进而研究零点即可；‎ ‎（2）等价于，令，求得求最值即可证得.‎ 试题解析：‎ - 20 -‎ ‎（1）①由题意，得，‎ 所以函数在处的切线斜率，又，‎ 所以函数在处的切线方程，‎ 将点代入，得． ‎ ‎②当，可得，因为，所以，‎ 当时，，函数在上单调递增，而，‎ 所以只需，解得，从而． ‎ 当时，由，解得，‎ 当时，，单调递减；当时，，‎ 单调递增．所以函数在上有最小值为，‎ 令，解得，所以． 综上所述，． ‎ ‎（2）由题意，，‎ 而等价于． ‎ 令， ‎ 则，且，．‎ 令，则．‎ 因为， 所以，所以导数在上单调递增，‎ 于是．‎ 从而函数上单调递增，即． ‎ 即当时，． ‎ 点睛：分析 - 20 -‎ 函数单调性是历来导数的一个重点，务必引起重视，同时要学会讨论完整，主要是明确参数对导函数的符号的影响，函数无零点可根据函数图像得条件，也可以分析函数最值，当函数的最大值恒小于零，最小值恒大于零时也可做到函数无零点，具体情况多结合图像分析. ‎ - 20 -‎