高考数学考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式

高考数学考点14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式

1 考点 14 三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系 与诱导公式 1．任意角的概念、弧度制 （1）了解任意角的概念. （2）了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化. 2．三角函数 （1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. （2）能利用单位圆中的三角函数线推导出 ， 的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出 的图象，了解三角函数的周期性. （3）理解同角三角函数的基本关系式： ， . 一、角的有关概念 1．定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．分类 （1）按旋转方向不同分为正角、负角、零角． （2）按终边位置不同分为象限角和轴线角．学= （ 3 ） 终 边 相 同 的 角 ： 所 有 与 角 终 边 相 同 的 角 ， 连 同 角 在 内 ， 可 构 成 一 个 集 合 ． 3．象限角与轴线角 第一象限角的集合为 ； 第二象限角的集合为 ； 第三象限角的集合为 ； 第四象限角的集合为 2   π  sin , cos , tany x y x y x   2 2sin cos 1x x  sin tancos x xx    ·3{ | }60 ,S k k      Z π2 π 2 π ,2k k k        Z π2 π 2 π π ,2k k k         Z 3π2 π π 2 π ,2k k k         Z 3π2 π 2 π 2π , .2k k k         Z 2 终边与 轴非负半轴重合的角的集合为 ； 终边与 轴非正半轴重合的角的集合为 ； 终边与 轴重合的角的集合为 ； 终边与 轴非负半轴重合的角的集合为 ； 终边与 轴非正半轴重合的角的集合为 ； 终边与 轴重合的角的集合为 ； 终边与坐标轴重合的角的集合为 ． 二、弧度制 1．1 弧度的角 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角． 规定： 是以角 作为圆心角时所对圆弧的长， 为半径．正角的弧度数为正数，负角的弧度 数为负数，零角 的弧度数为零． 2．弧度制 用“弧度”做单位来度量角的单位制叫做弧度制．比值 与所取的 的大小无关，仅与角的大小有关． 3．弧度与角度的换算 ． 4．弧长公式 ，其中 的单位是弧度， 与 的单位要统一. 角度制下的弧长公式为： （其中 为扇形圆心角的角度数）. 5．扇形的面积公式 . x  2 π ,k k   Z x  2 π π ,k k    Z x  π ,k k   Z y π2 π ,2k k       Z y π2 π ,2k k       Z y ππ ,2k k       Z π ,2 k k      Z ,l lr   r l r r 180 π180 π rad ,1rad = 57.3 ,1 = radπ 180          l r  l r π 180 n rl  n 21 1 2 2S lr r  3 角度制下的扇形面积公式为： （其中 为扇形圆心角的角度数）. 三、任意角的三角函数 1．定义 设 是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，点 是角 的终边上任 意 一 点 ， 到 原 点 的 距 离 ， 那 么 角 的 正 弦 、 余 弦 、 正 切 分 别 是 ． 注意：正切函数 的定义域是 ，正弦函数和余弦函数的定义域都是 . 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．三角函数线 设角 的顶点与原点重合，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 ，过 作 垂直于 轴 于 ． 由 三 角 函 数 的 定 义 知 ， 点 的 坐 标 为 ， 即 ， 其 中 单位圆与 轴的正半轴交于点 ，单位圆在 点的切线与 的终边或其 反向延长线相交于点 ，则 ．我们把有向线段 分别叫做 的余弦线、正弦 线、正切线． 各象限内的三角函数线如下： 角所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2π 360 n rS  n  x  ,P x y  P  0OP r r   sin , cos , tany x y r r x     tan y x  ππ ,2k k       Z R  x P P PM x M P  cos , sin   cos , sinP   cos , sin ,OM MP   x A A  T tan AT  , ,OM MP AT  4 图形 4．特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 补充： 四、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系 ． 2．商的关系 ． 3．同角三角函数基本关系式的变形 （1）平方关系的变形： ； （2）商的关系的变形： ； 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360  π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 3π 4 5π 6 π 3π 2 2π sin 1 2 2 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 cos 3 2 2 2 1 2 1 2 2 2 3 2 1 tan 3 3 3 3 1 3 3 6 2 6 2sin15 cos75 , sin 75 cos15 ,4 4          tan15 2 3 , tan 75 2 3 .      2 2sin cos 1   sin cos tan   2 2 2 2sin 1 cos , cos 1 sin       sinsin tan cos , cos tan        5 （3） ． 五、三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α （k∈Z） π+α −α π−α −α +α 正弦 sin α −sinα −sinα sinα cosα cosα 余弦 cos α −cosα cosα −cosα sinα −sinα 正切 tan α tanα −tanα −tanα 口诀 函数名不变， 符号看象限 函数名改变， 符号看象限 考向一 三角函数的定义 1．利用三角函数的定义求角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标 x、 纵坐标 y、该点到原点的距离 r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情 况(点所在象限不同)． 2．利用三角函数线解三角不等式的步骤：①确定区域的边界；②确定区域；③写出解集． 3．已知角 α 的终边所在的直线方程或角 α 的大小，根据三角函数的定义可求角 α 终边上某特定点的坐 标． 4．三角函数值的符号及角的位置的判断．已知一角的三角函数值( ， ， )中任意两个的符 号，可分别确定出角的终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特 殊情况. 典例 1 已知角 的终边上有一点 P（ ，m），且 m，求 与 的值. 2 2 2 2 1 1 1tan 1, 1cos sin tan      2  2  sin cos tan  3 2sin 4  cos tan 6 【名师点睛】任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关，而与角 α 终边上点 P 的位置无关．若角 α 已 经给出，则无论点 P 选择在 α 终边上的什么位置，角 α 的三角函数值都是确定的． 1．已知角 的终边经过点 ,其中 ,则 等于 A． B． C． D． 考向二 象限角和终边相同的角的判断及表示方法 1．已知 θ 所在的象限，求 或 nθ（n N*）所在的象限的方法是：将 θ 的范围用不等式（含有 k）表示， 然后两边同除以 n 或乘以 n，再对 k 进行讨论，得到 或 nθ（n N*）所在的象限． 2．象限角的判定有两种方法： 一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想； 二是先将此角化为 k·360°＋α（0°≤α<360°，k Z）的形式，即找出与此角终边相同的角 α，再由角 α 终边所 在的象限来判断此角是第几象限角． 3．由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号 得负”求解. 典例 2 已知 , ,试确定角 α 是第几象限的角. n   n    sin 3 2 5   4cos 2 5    7 【名师点睛】角 与 所在象限的对应关系： 若角 是第一象限角，则 是第一象限角或第三象限角； 若角 是第二象限角，则 是第一象限角或第三象限角； 若角 是第三象限角，则 是第二象限角或第四象限角； 若角 是第四象限角，则 是第二象限角或第四象限角． 2．若 ， ，则角 是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考向三 同角三角函数基本关系式的应用 1．利用 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 可以实现角 的弦切互 化． 2． 的齐次式的应用：分式中分子与分母是关于 的齐次式，或含有 及 的式子求值时，可将所求式子的分母看作“1”，利用“ ”代换后转化为“切”后求 解. 典例 3 已知 ， . 2    2   2   2   2  tan 0sin    2 2sin +cos 1    sin cos tan    sin ,cos  sin ,cos  2 2sin ,cos  sin cos  2 2sin +cos 1   8 （1）当 时，求 的值； （2）当 时，求 的值. 【解析】（1）由已知得 ，所以 ，∴ ， 又 ，∴ ，∴ . （2）当 时， .① 方法 1： ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ .② 由①②可得 ， ，∴ . 方法 2： ， ∴ ，∴ ， ∴ 或 ， 又 ，∴ ，∴ ， ∴ . 3．已知角 的始边与 轴的非负半轴重合，顶点与坐标原点重合，终边过点 ，则 __________． 考向四 诱导公式的应用 1．应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过 诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值． 2．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似 的形式时， 需要对 k 的取值进行分类讨论，从而确定出三角函数值的正负． 3．利用诱导公式化简三角函数式的思路： （1）分析结构特点，选择恰当公式； sin 2cos sin cos       πk  9 （2）利用公式化成单角三角函数； （3）整理得最简形式． 利用诱导公式化简三角函数式的要求： （1）化简过程是恒等变形； （2）结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值． 4．巧用相关角的关系能简化解题的过程． 常见的互余关系有 与 ， 与 ， 与 等； 常见的互补关系有 与 ， 与 等. 典例 4 已知 ,且 ，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵ ，∴ . ∵ ，∴ ，则 . ∵ ，∴ .故选 A． 典例 5 （1）化简： ； （2）化简： . 【解析】（1） = π 3  π 6  π 3  π 6  π 4  π 4  π 3  2π 3  π 4  3π 4    2sin π 3   π ,02       tan 2π   2 5 5 2 5 5 5 2 5 2   2sin π 3   2sin 3   π ,02      5cos 3  2 5tan 5    tan 2π tan      2 5tan 2π 5              sin π cos 3π tan π tan 2π tan 4π sin 5π a                         sin 540 cos 360tan 540 tantan 900 sin x xx xx x                          sin π cos 3π tan π tan 2π sin cos tan tan tan 4π sin 5π tan sina                      10 . （2）原式 . 4．已知角 的终边经过点 . （1）求 的值； （2）求 的值. 考向五 同角三角函数的基本关系式、诱导公式在三角形中的应用 与三角形相结合时，诱导公式在三角形中经常使用，常用的角的变形有： , ， 等，于是可得 ， 等． 典例 6 在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，若 ， ， ，则 ______， ________. 【答案】 ， cos tan sin       2sin costan tan cos sintan sin x xx x x xx x            3,4P  tan π      πcos 2 sin 2π cos π5πsin 2                πA B C   2 2 2π 2A B C   π 2 2 2 2 A B C   in i(s s n)A B C cos sin2 2 A B C  ABC△ π 3C  3 5 11 5．在 中， ，求 的值． 1．与 终边相同的角为 A． B． C． D． 2．若角 的顶点为坐标原点，始边在 轴的非负半轴上，终边在直线 上，则角 的取值集合是 A． B． C． D． 3．已知扇形面积为 ，半径是 l，则扇形的圆心角是 A． B． C． D． 4．已知 ，且 ，则角 是 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 5．若 ，则 A． B． C． D． 6．若 ， ，则 A．2 B． C．3 D． 7．在平面直角坐标系中，若角 的终边经过点 ，则 ABC△ 2sin cos 2A A  3π 8 3π 16 3π 8 3π 4 3π 2 tan 0  sin 0  cos 0  sin 2 0  cos2 0     sin 3sin π       π, 0, 2      tan tan    1 2 1 3  5π 5πsin ,cos3 3P      sin π   12 A． B． C． D． 8．已知 ，则 A． B． C． D． 9．若 ， ，则 的值为 A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边过点 ，则 __________， __________． 11．在平面直角坐标系中, 点的坐标为 , 是第三象限内一点, ,且 ,则 点的横 坐标为_________. 12．已知 的终边与单位圆交于点 ,点 关于直线 对称后的点为 ,点 关于 轴对 称后的点为 ,设角 的终边为射线 . （1） 与 的关系为_________; （2）若 ,则 ________. 3 2 1 2 1 2 3 2   3πsin 3π 2sin 2             πsin π 4sin 2 5sin 2π 2cos 2π              1 2 1 3 1 6 1 6 3 4,5 5      3π 4POQ  π(0 )2   P P y x M M y N  ON   1sin 3  tan  13 13． 在 中， ，且 cos A＝－ cos（π－ B），则 C 等于 ． 14．化简：（1） ； （2） . 15．已知 . (1)求 的值； (2)求 的值. 16．已知向量 与 互相平行，其中 θ . ABC△ 3sin( ) 3sin( )2 A A     3           πsin 2π cos π cos 2 sin π sin 3π cos π                       πsin π 2cos 2 sin cos π              2,sin（ ）a 1,cos（ ）b  (0, )2  14 （1）求 sinθ 和 cosθ 的值； （2）若 sin（θ－φ）＝ ，0<φ< ，求 cosφ 的值． 1．【答案】B 2．【答案】D 【解析】由 ，得 ，又 ，所以 ，所以 为第四象限角， 选 D． 3．【答案】10 【解析】根据角 的终边过 ，利用三角函数的定义可以求得 ， 所以有 ，故答案是 10. 4．【解析】因为角 的终边经过点 ，设 ， ，则 ， 10 10 2  变式拓展 4tan 3  4 102sin 2cos tan 2 3 3 104 1sin cos tan 1 13 3                3,4P 3x  4y  2 23 4 5r    15 所以 ， ， . （1） ； （2） . 5．【解析】∵ ①，∴ ，即 ，∴ ． ∵ ，∴ ， ．∴ ． ∵ ，∴ ②． ①+②，得 ． ①−②，得 ． ∴ ． 3．【答案】C 【解析】设扇形的圆心角是 ，则 ，解得 ，故选 C． 4．【答案】D 【 解 析 】 由 可 知 ， 结 合 可 得 ： ， 即 4sin 5 y r   3cos 5 x r   4tan 3 y x    tan π tan    4 3      πcos 2 sin 2π cos π5πsin 2                 sin sin coscos       2 2 4sin 5        16 25  2sin cos 2A A   2 1sin cos 2A A   2 3sin cos 1 2sin cos 2A A A A    2 6sin 4A  2 6cos 4A  sin 2 6 4tan 2 3cos 4 2 6 AA A        考点冲关  23π 1 18 2  3π 4  16 ，据此可得角 是第四象限角.故选 D. 5．【答案】C 【解析】由 得 α 是第一、三象限角，若 α 是第三象限角，则 A，B 错；由 知 ，C 正确；α 取 时， ，D 错． 6．【答案】A 【 解 析 】 因 为 ， 所 以 即 ， 选 A． 7．【答案】B 【解析】由诱导公式可得： ， ，即 ，由三角函数的定义可得： ，则 .故选 B. 8．【答案】D 【解析】 ，即 ， 则 ，故选 D． 9．【答案】C 【解析】由诱导公式得 ，两边平方得 ，则 ，所以 ， 又因为 ，所以 ，所以 ，故选 C． tan 0  sin 2 2sin cos   sin 2 0  π 3 2 21 1cos2 2cos 1 2 ( ) 1 02 2            sin 3sin π       sin cos 2cos sin ,    tan 2tan  5π π π 3sin sin 2π sin3 3 3 2          5π π πcos cos 2π cos3 3 3       1 2 3 1,2 2P     2 2 1 12sin 23 1 2 2               sin π   1sin 2     3πsin 3π 2sin , sin 2cos2            sin 2cos        πsin π 4sin 2 5sin 2π 2cos 2π              sin 4cos 2cos 4cos 2 1 5sin 2cos 10cos 2cos 12 6                17 11．【答案】 【解析】设 ,则 , Q 点的横坐标为 . 12．【答案】（1） ;（2） 【解析】（1）由题意可得点 为单位圆上的点，并且以射线 为终边的角的大小为 ， 所以 又因为 两点关于直线 对称，所以 即 则 . （2） 故 14．【解析】（1） ； 7 2 10 xOP   3 4cos ,sin5 5   3π 7 2cos 4 10      π 2   2 2 P OP  (cos ,sin ),P   P M， y x (sin ,cos )M   ． π πcos sin2 2M             （ ， ）． π 2   π π 1, cos cos sin ,2 2 3                π π 2 20 , sin sin cos ,2 2 3             sintan 2 2.cos     18 （2） . 15．【解析】(1)因为 ,所以 . (2) . 16．【解析】（1）∵a 与 b 互相平行，∴sinθ＝2cosθ， 代入 sin2θ＋cos2θ＝1，可得 cosθ＝ ， 又 θ∈ ，∴cosθ＝ ，∴sinθ＝ . （2）∵0<φ< ，0<θ< ，∴－ <θ－φ< ， 又 sin（θ－φ）＝ ，∴cos（θ－φ）＝ ＝ ， ∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos（θ－φ）＋sinθsin（θ－φ）= .                 πsin 2π cos π cos sin cos sin2 1sin π sin 3π cos π sin sin cos                                  π 4sin π 2cos 3sin 2sin 3sin2 5 124 3sin cos π sin cos sin cos 5 5                               5 5 (0, )2  5 5 2 5 5 2  2  2  2  10 10 21 sin ( )   3 10 10 2 2