高中数学 1_4_1、2课时同步练习 新人教A版选修2-1
第1章 1.4.1、2
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1
C．∀x∈R，x2>0 D．∀x∈R,2x>0
解析： A中当x＝1时，lg x＝0，是真命题．
B中当x＝＋kπ时，tan x＝1，是真命题．
C中当x＝0时，x2＝0不大于0，是假命题．
D中∀x∈R,2x>0是真命题．
答案： C
2．下列命题中，真命题是( )
A．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．∀m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析： ∵当m＝0时，f(x)＝x2(x∈R)．
∴f(x)是偶函数
又∵当m＝1时，f(x)＝x2＋x(x∈R)
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
∴A对，B、C、D错．故选A.
答案： A
3．下列4个命题：
p1：∃x∈(0，＋∞)，x
logx；
p3：∀x∈(0，＋∞)，x>logx；
p4：∀x∈，xx成立．
所以p1是假命题，排除A、B；
对于命题p3，在平面直角坐标系中作出函数y＝x与函数
y＝logx的图象，可知在(0，＋∞)上，函数y＝x的图象并不是始终在函数y＝logx图象的上方，所以p3是假命题，排除C.故选D.
答案： D
4．若命题p：∀x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a≤－3或a>2 B．a≥2
C．a>－2 D．－20”用“∃”或“∀”可表述为________．
答案： ∃x0<0，使(1＋x0)(1－9x0)>0
6．已知命题p：∃x0∈R，tan x0＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p且q”是________命题．(填“真”或“假”)
解析： 当x0＝时，tan x0＝，
∴命题p为真命题；
x2－x＋1＝2＋>0恒成立，
∴命题q为真命题，
∴“p且q”为真命题．
答案： 真
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．指出下列命题中哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假：
(1)若a>0，且a≠1，则对任意实数x，ax>0.
(2)对任意实数x1，x2，若x10(a>0且a≠1)恒成立，∴命题(1)是真命题．
(2)存在x1＝0，x2＝π，x10.
∴命题(4)是假命题．
8．选择合适的量词(∀、∃)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题：
(1)x>2；
(2)x2≥0；
(3)x是偶数；
(4)若x是无理数，则x2是无理数；
(5)a2＋b2＝c2(这是含有三个变量的语句，则p(a，b，c)表示)
解析： (1)∃x∈R，x>2.
(2)∀x∈R，x2≥0；∃x∈R，x2≥0都是真命题．
(3)∃x∈Z，x是偶数．
(4)存在实数x，若x是无理数，则x2是无理数．(如)
(5)∃a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解析： (1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；
(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，
即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0，a∈[－1,1]．
