2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

2017-2018学年甘肃省兰州第一中学高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版）

兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题 数 学（理科）‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设函数在处可导，且，则等于（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知函数的导函数为，且满足，则（ ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5.某次志愿活动，需要从6名同学中选出4人负责A、B、C、D四项工作（每人负责一项），若甲、乙均不能负责D项工作，则不同的选择方案有（　　）‎ ‎ A.96种 B.144种 C.240种 D.300种 ‎6.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7. 在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时 从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是（　　）‎ ‎ A. 　 B. ‎ ‎ C. 　 D.‎ ‎8.已知都是定义在上的函数，，，且,且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（　 　）‎ ‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎9.函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是（ ）‎ ‎ A.10 B.9 C.8 D.‎ ‎10.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.定义在R上的函数满足:的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） ‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎12.定义在R上的可导函数 ，当x∈(0,1)时取得极大值，当 x∈(1, 2)时，取得极小值，若(1﹣t)a+b+t﹣3＞0恒成立，则实数t的取值范围为（　　）‎ ‎ A. B. C.(2，+∞） D. [2，+∞）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众做了一项预测：‎ 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．‎ 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．‎ 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．‎ 比赛结果出来后，发现三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是__________．‎ ‎14.计算 =__________． ‎ ‎15.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为_________________ ‎ ‎16题图 ‎16.如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第个几何体的表面积是______________个平方单位.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ ‎ （1）用分析法证明：；‎ ‎ （2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知关于的方程有实数根b.‎ ‎ （1）求实数的值;‎ ‎ （2）若复数满足.求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 设，是否存在使等式：‎ 对任意都成立，并证明你的结论．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求曲线的点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，若在区间上的最小值为－2，求的取值范围.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知二次函数 直线l2与函数的图象以及直线l1、l2与函数的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为 ‎（1）求函数的解析式； ‎ ‎（2）定义函数的三条切线，求实数m的取值范围.‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；‎ ‎ （2）若函数在其定义域上是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎ （3）若，证明对任意的正整数，.‎ 兰州一中2017-2018-2学期高二年级期中考试试题 数 学(理科)‎ 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设函数在处可导，且，则等于（C ）‎ ‎ A. B. C. D .‎ ‎2.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ A ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知函数的导函数为，且满足，则（A ） ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知上可导函数的图象如图所示，则不等式的解集为（C ）‎ ‎ A. B. ‎ ‎ C. D. ‎ ‎5.某次志愿活动，需要从6名同学中选出4人负责A、B、C、D四项工作（每人负责一项），若甲、乙均不能负责D项工作，则不同的选择方案有（　C　）‎ ‎ A.96种 B.144种 C.240种 D.300种 ‎6.用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ D ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎7.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有： 设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时 从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN，如果用表示三个侧面面积，表示截面面积，那么你类比得到的结论是（　B ）‎ ‎ A. 　B.‎ ‎ C. 　 D. ‎ ‎8.已知都是定义在上的函数,,，且,且，．若数列的前项和大于，则的最小值为（　 A　）‎ ‎ A.6 B.7 C.8 D.9‎ ‎9.函数在点处的切线斜率为2，则的最小值是（ B ）‎ ‎ A.10 B.9 C.8 D.‎ ‎10.设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ A ）‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎11.定义在R上的函数满足:的导函数，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为( B )‎ ‎ A. B. C. D. []‎ ‎12.定义在R上的可导函数 ，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1， 2）时，取得极小值，若（1﹣t）a+b+t﹣3＞0恒成立，则实数t的取值范围为（　D　）‎ ‎ A. B. C.（2，+∞） D. [2，+∞）‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.在一项田径比赛中，甲、乙、丙三人的夺冠呼声最高．观众做了一项预测：‎ 说：“我认为冠军不会是甲，也不会是乙”．‎ 说：“我觉得冠军不会是甲，冠军会是丙”．‎ 说：“我认为冠军不会是丙，而是甲”．‎ 比赛结果出来后，发现三人中有一人的两个判断都对，一人的两个判断都错，还有一人的两个判断一对一错，根据以上情况可判断冠军是____甲______．‎ ‎14.计算 =__________． ‎ ‎15.如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为__84_________ ‎ ‎16题图 ‎16.如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位. 依此规律,则第个几何体的表面积是_3n(n+1)__ 个平方单位.‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17.（本小题满分10分）‎ ‎ （1）用分析法证明：；‎ ‎ （2）用反证法证明：三个数中，至少有一个大于或等于.‎ 解：（1）因为和都是正数，所以要证，‎ 只要证，‎ 展开得，‎ 只要证，‎ 只要证，‎ 因为成立，所以成立.‎ ‎（2）假设这三个数没有一个大于或等于，‎ 即，‎ 上面不等式相加得（1）‎ 而，与(1)矛盾,假设不成立,原命题正确.‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 已知关于的方程有实数根b;‎ ‎ （1）求实数的值.‎ ‎ （2）若复数满足.求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值.‎ 解：（1）∵是方程的实根 ‎∴‎ ‎∴解得 ‎（2）设，其对应点为 由得：即 ‎∴点的轨迹是以O1（－1，1）为圆心，为半径的圆，如图所示,当点在OO1的连线上时, 取到最值∵‎ ‎∴当时，有最小值，且 ‎19.（本小题满分12分）‎ 设，是否存在使等式：‎ 对任意都成立，并证明你的结论．‎ 解析：（I）由得：，，，‎ 当时,,得．‎ 当时,,得．‎ 当时,,得.‎ 猜想：．‎ 下面证明：对任意都成立 证明：（1）当时，已验证成立．‎ ‎（2）假设（，）时成立，‎ 即 当时，‎ 左边=‎ 所以,左边=‎ 即当命题也成立．‎ 综上，当时，等式对任意的都成立．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎ （1）当时，求曲线的点处的切线方程；‎ ‎ （2）当时，若在区间上的最小值为－2，求的取值范围.‎ 解析：（1）当时，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴切线方程为.‎ ‎（2）函数的定义域为，‎ 当时，，‎ 令得或.‎ ‎①当，即时，在上递增.‎ ‎∴在上的最小值为，符合题意；‎ ‎②当，即时，在上递减，在上递增，‎ ‎∴在上的最小值为，不合题意；‎ ‎③当，即时，在上递减，‎ ‎∴在上的最小值为，不合题意；‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知二次函数 直线l2与函数的图象以及直线l1、l2与函数的图象所围成的封闭图形如图中阴影所示，设这两个阴影区域的面积之和为 ‎ ‎ （1）求函数的解析式； ‎ ‎ （2）定义函数的三条切线，求实数m的取值范围.‎ ‎（1）由 ‎ 所以 所以 因为 分别为 的图象的交点的横坐标 与 所以直线 所以 ‎.‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎]||‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎3‎ ‎[‎ ‎]| |‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎3‎ ‎[‎ ‎]‎ ‎3‎ ‎)‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎[(‎ ‎)]‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎(‎ ‎3‎ ‎[‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ + - + = + - + - + = - - + - - = < + < < < + + = = + + + + ò ò t t x t x x x t dx tx x x dx x x tx t S t t t x f l t x x t t t t ‎（2）依据定义， ‎ ‎.‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎0‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎0‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎6‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎6‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎3‎ ‎),‎ ‎,‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎.‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎4‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎0‎ - < > > ¢ - = ¢ + - = = + - - - + - + = - + = = ¹ x x x g x x g m x x x g m x x x m x x x y x M x h y A x h y m A m 或 得 由 则 设 有三个不等实根 化简整理得 则 设切点为 的切线 作曲线 过点 上 不在曲线 则点 因为 ‎.‎ ‎)‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎,‎ ‎)‎ ‎,‎ ‎1‎ ‎(‎ ‎),‎ ‎1‎ ‎,‎ ‎(‎ ‎)‎ ‎(‎ ‎0‎ 上单调递减 在 上单调递增 在区间 所以 - +¥ - -¥ x g ‎ ‎ ‎1‎ 所以，当当 ‎ 因此，关于x0的方程 ‎ ‎ 故实数m的取值范围是（－4，4）. ‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 设函数.‎ ‎（1）若对定义域内的任意，都有成立，求实数的值；‎ ‎（2）若函数在其定义域上是单调函数，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若，证明对任意的正整数，.‎ 解：（1）由,得．∴的定义域为．‎ 因为对x∈,都有，∴是函数的最小值，故有．‎ 解得．‎ 经检验，时，在上单调减，在上单调增．为最小值．故得证．‎ ‎（2）∵又函数在定义域上是单调函数，‎ ‎∴或在上恒成立．‎ 若，则 在上恒成立,‎ 即=恒成立,由此得；‎ 若,则 在上恒成立,‎ 即=恒成立．‎ 因在上没有最小值，∴不存在实数使恒成立．‎ 综上所述，实数的取值范围是．‎ ‎（3）当时，函数．‎ 令，‎ 则．‎ 当时，，所以函数在上单调递减．‎ 又，当时，恒有，即恒成立．‎ 故当时，有．‎ 而，．取，则有．‎ ‎．所以结论成立．‎