高考文科数学专题复习练习1不等关系与一元二次不等式
第七章不等式、推理与证明
7.1不等关系与一元二次不等式
91
不等式的性质及应用
1.(2015江西上饶重点中学一模,文16,不等式的性质与应用,填空题)若关于x的不等式|x-1|-|x+m|≥a有解时,实数a的最大值为5,则实数m的值为 .
解析:令f(x)=|x-1|-|x+m|,
由|x-1|-|x+m|≤|(x-1)-(x+m)|=|m+1|,
可得f(x)的最大值为|m+1|,
关于x的不等式|x-1|-|x+m|≥a有解,
即为a≤|m+1|,又实数a的最大值为5,
则|m+1|=5,解得m=4或-6.
答案:4或-6
2.(2015广西南宁一模,文10,不等式的性质与应用,选择题)设a=e636,b=e749,c=e864,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
解析:∵a=e636=e836e2,b=e749=e849e,c=e864,36e2>49e>64,∴a
1b,故A不正确.
可得ab=2,b2=1,∴ab>b2,故B不正确.
可得-ab=-2,-a2=-4,∴-ab>-a2,故C不正确.
答案:D
6.(2015甘肃河西五地一模,文6,不等式的性质及应用,选择题)函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则1m+1n的最小值为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1),
∵点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,∴m+n=1.
则1m+1n=(m+n)1m+1n=2+nm+mn≥2+2nm·mn=4,当且仅当m=n=12时取等号.
答案:B
92
一元二次不等式的解法
10.(2015江西吉安一模,文10,一元二次不等式的解法,选择题)定义在R上的函数f(x)=ln(1+x2)+|x|,满足f(2x-1)>f(x+1),则x满足的关系是( )
A.(2,+∞)∪(-∞,-1) B.(2,+∞)∪(-∞,1)
C.(-∞,1)∪(3,+∞) D.(2,+∞)∪(-∞,0)
解析:∵f(x)=ln(1+x2)+|x|,
∴f(-x)=ln(1+x2)+|-x|=ln(1+x2)+|x|=f(x),
∴f(x)是偶函数.当x≥0时,f(x)=ln(1+x2)+x为增函数,
则不等式f(2x-1)>f(x+1),等价为f(|2x-1|)>f(|x+1|),
即|2x-1|>|x+1|,平方得(2x-1)2>(x+1)2,
即x2-2x>0,解得x>2或x<0.
答案:D
15.(2015江西新八校联考一模,文15,一元二次不等式的解法,填空题)f(x)=1,x≥2,-1,x<2,则不等式x2·f(x)+x-2≤0的解集是 .
解析:当x≥2时,原不等式可化为x2+x-2≤0,
解得,-2≤x≤1,此时x不存在.
当x<2时,原不等式可化为-x2+x-2≤0,
即x2-x+2≥0,解不等式可得x∈R,此时x<2.
综上可得,原不等式的解集为{x|x<2}.
答案:{x|x<2}
7.2二次一次不等式(组)与简单的线性规划问题
94
二元一次不等式(组)表示的平面区域问题
1.(2015江西上饶重点中学一模,文15,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)已知变量x,y满足约束条件x+y-2≥0,2x-y-1≤0,x+4y-14≤0,则z=y+2x+1的取值范围是 .
解析:由约束条件x+y-2≥0,2x-y-1≤0,x+4y-14≤0作出可行域如图,
联立x+y-2=0,2x-y-1=0,解得A(1,1),
联立x+y-2=0,x+4y-14=0,解得C(-2,4),
z=y+2x+1的几何意义是可行域内的动点与定点P(-1,-2)连线的斜率,
∵kPA=-2-1-1-1=32,kPC=4+2-2+1=-6.
∴z=y+2x+1的取值范围是(-∞,-6]∪32,+∞.
答案:(-∞,-6]∪32,+∞
2.(2015江西赣州一模,文13,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)不等式组x-y≤0,x-2y+2≥0,x≥-1表示的平面区域的面积为 .
解析:由题意作出其平面区域如图,
方程x-y=0,x-2y+2=0与x=-1两两联立解得,H(-1,-1),G-1,12,I(2,2),
故S△HIG=12×12+1×3=94.
答案:94
9.(2015江西吉安一模,文9,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)在平面直角坐标系中,若不等式组x+y-1≥0,x-1≤0,ax-y+1≥0(a为常数)所表示的平面区域的面积等于5,则a的值为( )
A.-11 B.3 C.9 D.9或-11
解析:由题可知,a>0.作出不等式组对应的平面区域如图△ABC及其内部所示,
则A(1,0),B(0,1),C(1,1+a),
所以AC=1+a,
故△ABC的面积S=12×(1+a)·1=5,解得a=9.
答案:C
7.(2015贵州黔东南州一模,文7,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)设动点P(x,y)在区域Q:x≥0,y≥x,x+y≤4上,过点P任作直线l,设直线l与区域Q的公共部分为线段AB,则以AB为直径的圆的面积的最大值为( )
A.π B.2π C.3π D.4π
解析:作出不等式组表示的平面区域为△MNO及其内部,
得到如图的△MNO及其内部,
其中M(0,4),N(2,2),O为坐标原点.
∵直线l与区域Ω的公共部分为线段AB,
∴当直线l与y轴重合时,|AB|=|OM|=4达到最大值,此时圆的半径为2,
此时以AB为直径的圆的面积为S=π·22=4π.
答案:D
15.(2015江西南昌零模,文15,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)设D是不等式组2x-y+1≥0,y+1≥0,2x+y+1≤0表示的平面区域,则区域D中的点P(x,y)到直线x+y-1=0的距离的最小值是 .
解析:作出不等式组对应的平面区域如图,平移直线x+y-1=0,
由图象可知A到直线x+y-1=0的距离最小,
由2x-y+1=0,2x+y+1=0,解得x=-12,y=0,即A-12,0.
则A到直线x+y-1=0的距离d=-12-12=324,
答案:324
13.(2015广西防城港、桂林一模,文13,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)已知x,y满足条件x-y+5≥0,x+y≥0,x≤3,则z=y-1x+3的最大值是 .
解析:z的几何意义为区域内的点到定点D(-3,1)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图,
由图象可知AD的斜率最大,
由x-y+5=0,x+y=0,解得x=-52,y=52,
即D-52,52,此时z=52-1-52+3=3.
答案:3
15.(2015甘肃兰州一中模拟,文15,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)平面上满足约束条件x≥2,x+y≤0,x-y-10≤0的点(x,y)形成的区域为D,区域D关于直线y=2x,对称的区域为E,则区域D和E中距离最近两点的距离为 .
解析:先根据约束条件画出可行域,如图,作出区域D关于直线y=2x对称的区域,它们呈蝴蝶形,
由图可知,可行域内点A(2,-2)到A'的距离最小,最小值为A到直线y=2x的距离的两倍.
所以区域D和E中距离最近两点的距离为2×|4+2|5=655×2=1255.
答案:1255
10.(2015山西太原山大附中高三月考,文10,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)已知约束条件x-2y+1≤0,ax-y≥0,x≤1表示的平面区域为D,若区域D内至少有一个点在函数y=ex的图象上,那么实数a的取值范围为( )
A.[e,4) B.[e,+∞)
C.[1,3) D.[2,+∞)
解析:由题意作出其平面区域及函数y=ex的图象,
当x=1时,y=ex=e;结合函数图象知,
实数a的取值范围为[e,+∞).
答案:B
13.(2015甘肃兰州一中三模,文13,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,填空题)若平面区域|x|+|y|≤2,y+2≤k(x+1)是一个三角形,则k的取值范围是 .
解析:直线y+2=k(x+1)表示过(-1,-2)的直线,
根据约束条件画出可行域如图:
平面区域|x|+|y|≤2y+2≤k(x+1)是一个三角形,就是图中阴影部分,
所以k∈(-∞,-2)∪0,23.
答案:(-∞,-2)∪0,23
9.(2015甘肃兰州一模,文9,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)已知不等式组x+y≤1,x-y≥-1,y≥0所表示的平面区域为D,若直线y=kx-3与平面区域D有公共点,则k的取值范围是( )
A.[-3,3] B.-∞,13∪13,+∞
C.(-∞,-3]∪[3,+∞) D.-13,13
解析:作出不等式组对应的平面区域如图所示,y=kx-3过定点D(0,-3),
则kAD=-30-1=3,kBD=-30-(-1)=-3,
要使直线y=kx-3与平面区域M有公共点,
由图象可知k≥3或k≤-3.
答案:C
7.(2015甘肃庆阳一诊,文7,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)设不等式组x-2y+2≥0,x≤4,y≥-2表示的平面区域为D,则区域D的面积为( )
A.10 B.15 C.20 D.25
解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则区域D为△ABC,
由x=4,y=-2,得C(4,-2),
由x-2y+2=0,x=4,得x=4,y=3,即A(4,3),
由x-2y+2=0,y=-2,得x=-6,y=-2,即B(-6,-2),
则区域D的面积S=12AC·BC=12×5×10=25.
答案:D
8.(2015甘肃河西五地一模,文8,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)已知集合(x,y)2x+y-4≤0,x+y≥0,x-y≥0表示的平面区域为Ω,若在区域Ω内任取一点P(x,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为( )
A.3π16 B.π16 C.π32 D.3π32
解析:作出不等式组对应的平面区域如图,则对应的区域为△AOB,
由2x+y-4=0,x+y=0,解得x=4,y=-4,即B(4,-4),
由2x+y-4=0,x-y=0,解得x=43,y=43,
即A43,43,
直线2x+y-4=0与x轴的交点坐标为(2,0),
则△OAB的面积S=12×2×43+12×2×4=163,
点P的坐标满足不等式x2+y2≤2,区域面积S=14×π×(2)2=π2,
则由几何概型的概率公式得点P的坐标满足不等式x2+y2≤2的概率为π2163=3π32.
答案:D
95
与目标函数有关的最值问题
1.(2015吉林省实验中学二模,文4,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足线性约束条件x+y≤3,12x≤y≤2x,则z=2x+y的最大值为( )
A.0 B.4 C.5 D.7
解析:由约束条件x+y≤3,12x≤y≤2x作出可行域如图,
化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,
联立x+y=3,y=12x,解得A(2,1),
由图可知,当直线过A时目标函数有最大值为z=2×2+1=5.
答案:C
2.(2015山西太原一模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知x,y满足x≥2,x+y≤4,-2x+y+c≥0,且目标函数z=3x+y的最小值是5,则z的最大值是( )
A.10 B.12 C.14 D.15
解析:不等式组对应的平面区域如图:
由z=3x+y,得y=-3x+z,
平移直线y=-3x+z,则由图象可知当直线y=-3x+z经过点C时,直线y=-3x+z的截距最小,
此时z最小,为3x+y=5.
由3x+y=5,x=2,解得x=2,y=-1,即C(2,-1),
此时点C在-2x+y+c=0上,即-4-1+c=0,
解得c=5,即直线方程为-2x+y+5=0,
当目标函数经过B时,z取得最大值,
由x+y=4,-2x+y+5=0,解得x=3,y=1,
即B(3,1),此时z=3×3+1=10.
答案:A
3.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足约束条件x-y+1≥0,2x+y-2≤0,x+y+1≥0,则z=x-2y的最大值为( )
A.11 B.-1 C.12 D.-2
解析:由z=x-2y得y=12x-z2,
作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分):
平移直线y=12x-z2,
由图象可知当直线y=12x-z2过点C时,直线y=12x-z2的截距最小,此时z最大,
由2x+y-2=0,x+y+1=0,解得x=3,y=-4,即C(3,-4),
代入目标函数z=x-2y,得z=3+2×4=11.
故目标函数z=x-2y的最大值是11.
答案:A
4.(2015广西桂林、防城港联合调研,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足约束条件x,y≥0,x-y≥-1,x+y≤3,则z=x-2y的取值范围为( )
A.[-2,0] B.[-3,0] C.[-2,3] D.[-3,3]
解析:由约束条件x,y≥0,x-y≥-1,x+y≤3作出可行域如图,
联立x-y=-1,x+y=3,解得x=1,y=2,即B(1,2).
化目标函数z=x-2y为直线方程的斜截式y=x2-z2.
由图可知,当直线y=x2-z2过B(1,2)时,直线在y轴上的截距最大,z最小,最小值为1-2×2=-3;
当直线y=x2-z2过A(3,0)时,直线在y轴上的截距最小,z最大,最大值为3-2×0=3.
故z=x-2y的取值范围为[-3,3].
答案:D
5.(2015广西柳州一模,文14,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知x,y满足不等式组y≤x,x+y≥2,x≤2,则目标函数z=2x+y的最大值为 .
解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).
由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,
由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时,直线y=-2x+z的截距最大,此时z最大.
由x=2,y=x,解得x=2,y=2,即A(2,2),
代入目标函数z=2x+y得z=2×2+2=6.
即目标函数z=2x+y的最大值为6.
答案:6
7.(2015黑龙江大庆二模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知某线性规划问题的约束条件是y≤x,3y≥x,x+y≤4,则下列目标函数中,在点(3,1)处取得最小值的是( )
A.z=2x-y B.z=-2x+y
C.z=-12x-y D.z=2x+y
解析:作出不等式组对应的平面区域如图:
A.由z=2x-y得y=2x-z,平移直线可得当直线经过点A(3,1)时,截距最小,此时z最大,
B.由z=-2x+y得y=2x+z,平移直线可得当直线经过点A(3,1)时,截距最小,此时z最小,满足条件,
C.由z=-12x-y得y=-12x-z,平移直线可得当直线经过点B时,截距最大,此时z最小,
D.由z=2x+y得y=-2x+z,平移直线可得当直线经过点A(3,1)时,截距最大,此时z最大.
答案:B
8.(2015甘肃张掖4月模拟,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件x-y+3≥0,x+y≥0,x≤3,则z=x+2y的最大值为( )
A.21 B.15 C.-3 D.-15
解析:作出不等式对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=-12x+z2,
平移直线y=-12x+z2,
由图象可知当直线y=-12x+z2经过点B时,
直线y=-12x+z2的截距最大,此时z最大.
由x-y+3=0,x=3得x=3,y=6,即B(3,6),
此时z的最大值为z=3+2×6=15.
答案:B
14.(2015山西太原二模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知实数x,y满足条件x≥0,4x+3y≤4y≥0,,则z=y+1x的最小值为 .
解析:由约束条件x≥0,4x+3y≤4,y≥0,作出可行域如图,
z=y+1x=y-(-1)x-0,由图可知,可行域中只有A(1,0)与(0,-1)连线的斜率最小为1.
答案:1
9.(2015江西九江一模,文9,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足|x-2|≤y≤a,(a∈(0,+∞)),且z=2x+y的最大值为10,则a的值为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由|x-2|≤y≤a,作出可行域如图,
联立y=a,x-y-2=0,解得A(a+2,a),
化z=2x+y为y=-2x+z.
由图可知,当直线y=-2x+z过A时,z有最大值,
此时2(a+2)+a=10,解得a=2.
答案:B
6.(2015江西鹰潭一模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足约束条件3x-y-6≤0,x-y+2≥0,x,y≥0,若目标函数z=ax+by(a,b>0)的最大值是12,则a2+b2的最小值是( )
A.613 B.365 C.65 D.3613
解析:作出不等式组对应的平面区域如图,
由z=ax+by(a>0,b>0),得y=-abx+zb,
平移直线y=-abx+zb,由图象可知当直线y=-abx+zb经过点A时,直线y=-abx+zb的截距最大,此时确定最大值12,
由3x-y-6=0,x-y+2=0,解得x=4,y=6即A(4,6),
代入目标函数得4a+6b=12,即2a+3b=6,对应曲线为直线,
设m=a2+b2,则m的几何意义是直线2a+3b=6上的点到原点的距离的平方,
原点到直线2a+3b=6的距离d=|6|22+32=613,
故a2+b2的最小值m=d2=3613.
答案:D
10.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)在平面直角坐标系中,若P(x,y)满足x-4y+4≤0,2x+y-10≤0,5x-2y+2≥0,则z=x+2y的最大值是( )
A.2 B.8 C.14 D.16
解析:作出不等式组对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=-12x+z2,
平移直线y=-12x+z2,
由图象可知当直线y=-12x+z2经过点A时,
直线y=-12x+z2的截距最大,此时z最大.
由x-4y+4=0,2x+y-10=0,得x=4,y=2,即A(4,2),
此时z的最大值为z=4+2×2=8.
答案:B
6.(2015吉林三模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足y≤2,3x-y-3≤0,2x+y-2≥0,则目标函数z=3x+y的最大值为( )
A.2 B.3 C.7 D.8
解析:作出不等式组对应的平面区域如图,
由z=3x+y,得y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,
由图象可知当直线y=-3x+z,经过点C时,直线y=-3x+z的截距最大,此时z最大.
由y=2,3x-y-3=0,解得x=53,y=2,即C53,2.
此时z的最大值为z=3×53+2=7.
答案:C
8.(2015江西上饶二模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件y≥x,x+3y≤4,x≥-2,则z=|x-3y|的取值范围为( )
A.[2,8] B.[0,8] C.[4,8] D.[0,4]
解析:由约束条件y≥x,x+3y≤4,x≥-2,作出可行域如图,
z=x-3y,化为直线方程的斜截式得y=13x-z3,
联立x=-2,x+3y=4,解得A(-2,2),
联立x=-2,y=x,解得B(-2,-2),
由图可知,当直线y=13x-z3过B时,直线在y轴上的截距最小,z有最大值为-2-3×(-2)=4;
当直线y=13x-z3过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-2-3×2=-8.
故z=|x-3y|的取值范围是[0,8].
答案:B
9.(2015江西六校联考二模,文9,与目标函数有关的最值问题,选择题)设变量x,y满足约束条件x-y≥0,2x+y≤2,y+2≥0,则目标函数z=|x+3y|的最大值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
解析:由题意作出其平面区域,
令a=x+3y,可化为y=-13x+13a,13a相当于直线y=-13x+13a的纵截距,
当过点A23,23时,a有最大值23+3×23=223,
当过点B(-2,-2)时,a有最小值-2-2×3=-8;
故目标函数z=|x+3y|的最大值为8.
答案:C
8.(2015江西景德镇二模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足y≥0,y-x+1≤0,y-2x+4≥0,若z=y-ax(a≠0)取得的最优解(x,y)有无数个,则a的值为( )
A.2 B.1 C.1或2 D.-1
解析:由约束条件y≥0,y-x+1≤0,y-2x+4≥0,作出可行域如图,
由z=y-ax(a≠0),得y=ax+z,∵a≠0,
∴要使z=y-ax(a≠0)取得的最优解(x,y)有无数个,
a不能为负值,当a>0时,直线y=ax+z与线段AC所在直线重合时,使z=y-ax取得最大值的最优解有无数个;
直线y=ax+z与线段BC所在直线重合时,使z=y-ax取得最小值的最优解有无数个.
综上,要使z=y-ax(a≠0)取得的最优解(x,y)有无数个,则a=1或2.
答案:C
10.(2015江西鹰潭二模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)鹰潭市某学校计划招聘男教师x名,女教师y名,x和y须满足约束条件2x-y≥5,x-y≤2,x<6,则该校招聘的教师最多有( )名.
A.7 B.8 C.10 D.13
解析:设该校招聘的教师最多有z名,则z=x+y,作出不等式组对应的平面区域如图,
由z=x+y得y=-x+z,平移直线y=-x+z,
由图象可知当直线y=-x+z经过点A时,直线y=-x+z的截距最大,此时z最大.
但此时z最大值取不到,由图象当直线经过整点E(5,5)时,z=x+y取得最大值,
代入目标函数z=x+y得z=5+5=10.
即该校招聘的教师最多有10名.
答案:C
8.(2015广西南宁一模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)设x,y满足2x+y≥4,x-y≥-1,x-2y≤2,则z=x+y的最小值为( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分).
由z=x+y得y=-x+z,平移直线y=-x+z,
由图象可知当直线y=-x+z经过点B时,
直线y=-x+z的截距最小,此时z最小.
由2x+y=4,x-2y=2,解得x=2,y=0,即B(2,0),
代入目标函数z=x+y得z=2+0=2.
即目标函数z=x+y的最小值为2.
答案:D
8.(2015贵州贵阳二模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)若实数x,y满足不等式组y≤5,2x-y+3≤0,x+y-1≥0,则z=x+2y的最大值是( )
A.10 B.11 C.13 D.14
解析:作出不等式对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=-12x+z2,
平移直线y=-12x+z2,由图象可知当直线y=-12x+z2经过点B时,直线y=-12x+z2的截距最大,此时z最大.
由y=5,2x-y+3=0,得x=1,y=5,即B(1,5),
此时z的最大值为z=1+2×5=1+10=11.
答案:B
6.(2015广西梧州一模,文6,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足y≥1,y≤2x-1,x+y≤5,则z=x-y的最小值为( )
A.1 B.-1 C.2 D.-2
解析:作出不等式组对应的平面区域如图,
由z=x-y,得y=x-z,表示斜率为1纵截距为-z的一组平行直线,
平移直线y=x-z,当直线y=x-z经过点A时,直线y=x-z的截距最大,此时z最小,
由y=2x-1,x+y=5,解得x=2,y=3,
即A(2,3),此时zmin=2-3=-1.
答案:B
10.(2015江西新余二模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)若0≤x≤π2,sinx≤y≤cosx,则z=x+2y的取值范围是( )
A.0,π6 B.[0,3]
C.0,3-π6 D.0,3+π6
解析:如图作出不等式组对应的平面区域,
由z=x+2y,得y=-12x+z2,平移直线y=-12x+z2,由图象可知当直线经过点O时,
直线y=-12x+z2的截距最小,此时z最小,z=0,
当直线y=-12x+z2与y=cos x相切时,直线的截距最大,此时z最大,
函数y=cos x的导数f'(x)=-sin x,
目标函数的斜率k=-12,
由-sin x=-12得sin x=12,
解得x=π6,此时y=cos π6=32,
即切点坐标为Aπ6,32,
此时z=π6+2×32=3+π6,
故z的取值范围是0,3+π6.
答案:D
10.(2015贵州贵阳一模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0,若目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解为(1,3),则实数a的取值范围为( )
A.(1,+∞) B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,-1)
解析:由约束条件x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0,作出可行域如图,
化目标函数z=y-ax为y=ax+z,
联立x-y+2=0,x+y-4=0,解得A(1,3),
∵使目标函数z=y-ax取得最大值时的唯一最优解为(1,3),
由图可知a>1,∴实数a的取值范围为(1,+∞).
答案:A
11.(2015江西重点中学协作体一模,文11,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知x,y满足约束条件x-y≥0,2x-y-1≤0,当目标函数z=3ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取得最大值4时,a2+b2的最小值为( )
A.8 B.4 C.833 D.2
解析:作出不等式组对应的平面区域如图:
由z=3ax+by,得y=-3abx+zb,
∵a>0,b>0,
∴目标函数的斜率k=-3abx<0,
平移直线y=-3abx+zb,
由图象知当直线y=-3abx+zb经过点A时,直线的截距最大,此时z最大为4,
由x-y=0,2x-y-1=0,解得x=1,y=1,即A(1,1),
此时3a+b=4,a2+b2的几何意义为直线3a+b=4上的点到原点的距离的平方,
原点到直线3a+b=4的距离
d=|4|(3)2+1=42=2,
则a2+b2的最小值为d2=4.
答案:B
8.(2015江西上饶一模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)x,y满足约束条件x+y-2≤0,x-2y-2≤0,2x-y+2≥0,若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为( )
A.12或-1 B.2或12
C.2或1 D.2或-1
解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC).
由z=y-ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.
若a=0,此时y=z,此时,目标函数只在A处取得最大值,不满足条件,
若a>0,目标函数y=ax+z的斜率k=a>0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线2x-y+2=0平行,此时a=2,
若a<0,目标函数y=ax+z的斜率k=a<0,要使z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,
则直线y=ax+z与直线x+y-2=0平行,此时a=-1,
综上a=-1或a=2.
答案:D
10.(2015江西上饶重点中学二模,文10,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知变量x,y满足约束条件x-y≥2,x+y≤a,且z=x+ay的最大值为16,则实数a=( )
A.-5或6 B.5或-6
C.-6 D.6
解析:由题意可知,a≠0,
若a>0,由约束条件x-y≥2,x+y≤a作出可行域如图,
联立x-y=2,x+y=a,解得Aa+22,a-22,
化目标函数z=x+ay为y=-xa+za,
由图可知,当直线过A时z有最大值等于a+22+a2-2a2=a2-a+22=16,解得a=6.
若a<0,由约束条件x-y≥2,x+y≤a作出可行域如图,
化目标函数z=x+ay为y=-xa+za,
由图可知,使目标函数取得最大值的最优解不存在.
综上,a=6.
答案:D
8.(2015江西红色六校二模,文8,二元一次不等式(组)表示的平面区域问题,选择题)设变量x,y满足:y≥x,x+3y≤4,x≥-2,则z=|x-3y|的最大值为( )
A.3 B.8 C.134 D.92
解析:由题意作出其平面区域如图阴影部分所示,
m=|x-3y|10表示区域内的点到直线x-3y=0的距离,而m取得最大值时z也取得最大值.
当取点A(-2,2)时,m取得最大值;
故z=|x-3y|的最大值为|-2-3×2|=8.
答案:B
8.(2015江西宜春高安四校一模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知实数x,y满足不等式组x-y+2≥0,x+y-4≥0,2x-y-5≤0,若目标函数z=y-ax取得最小值时的唯一最优解是(1,3),则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-1) B.(0,1)
C.[1,+∞) D.(1,+∞)
解析:作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分ABC).
由z=y-ax得y=ax+z,即直线的截距最大,z也最大.
平移直线y=ax+z,要使目标函数z=y-ax取得最小值时的唯一最优解是(1,3),
即直线y=ax+z经过点A(1,3)时,截距最小,
由图象可知当阴影部分必须在直线y=ax+z的右上方,此时只要满足直线y=ax+z的斜率a小于直线AB的斜率即可,直线AB方程为x+y-4=0,即y=-x+4,直线的斜率为-1,
所以a<-1.故a的取值范围是(-∞,-1).
答案:A
14.(2015山西四校联考三模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)设变量x,y满足约束条件y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8,则yx-1的最小值是 .
解析:由约束条件y≤3x-2,x-2y+1≤0,2x+y≤8,作出可行域如图,
联立x-2y+1=0,2x+y=8,解得A(3,2),
yx-1的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为kPA=2-03-1=1.
答案:1
7.(2015山西太原五中二模,文7,与目标函数有关的最值问题,选择题)已知a>0,x,y满足约束条件x≥1,x+y≤3,y≥a(x-3),若z=2x+y的最小值为1,则a=( )
A.12 B.13 C.1 D.2
解析:作出不等式组对应的平面区域(阴影部分),
由z=2x+y,得y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,
由图象可知当直线y=-2x+z经过点C时,直线y=-2x+z的截距最小,此时z最小.
即2x+y=1,由x=1,2x+y=1,解得x=1,y=-1,
即C(1,-1),∵点C也在直线y=a(x-3)上,
∴-1=-2a,解得a=12.
答案:A
14.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)设实数x,y满足约束条件x+y-1≥0,x-1≤0,x-y+1≥0,若z=-2x+y,则z的最小值是 .
解析:由约束条件x+y-1≥0,x-1≤0,x-y+1≥0,作可行域如图,
由图可知,可行域中点A的坐标是使目标函数z=-2x+y取得最小值的最优解.
联立x+y-1=0,x-1=0,
解得x=1,y=0.
故点A的坐标为(1,0).
则z=-2x+y的最小值是-2×1+0=-2.
答案:-2
14.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文14,与目标函数有关的最值问题,填空题)已知变量x,y,满足x+y≤6,x-y≤2,x≥0,y≥1,则目标函数z=2x+y的最大值为 .
解析:作出不等式组x+y≤6,x-y≤2,x≥0,y≥1表示的平面区域,
得到如图的四边形ABCD及其内部,
其中A(0,1),B(3,1),C(4,2),D(0,6).
将直线l:z=2x+y进行平移,观察l在y轴上的截距变化,可得当l经过点C时,目标函数z达到最大值.
故z最大值=2×4+2=10.
答案:10
8.(2015江西三县部分高中一模,文8,与目标函数有关的最值问题,选择题)若变量x,y满足约束条件x-y≥0,x+y≤4,y+k≥0,且z=3x+y的最小值为-8,则k=( )
A.3 B.-3 C.2 D.-2
解析:目标函数z=3x+y的最小值为-8,
所以y=-3x+z,要使目标函数z=3x+y的最小值为-8,则平面区域位于直线y=-3x+z的右上方.
作出不等式组对应的平面区域如图:
则目标函数经过点A时,目标函数z=3x+y的最小值为-8,
由3x+y=-8,x-y=0,解得x=-2,y=-2,
即A(-2,-2),同时A也在直线y+k=0上,
即-2+k=0,解得k=2.
答案:C
5.(2015山西朔州怀仁一中一模,文5,与目标函数有关的最值问题,选择题)若变量x,y满足条件2x-y+2≥0,x-2y+1≤0,x+y-5<0则z=2x-y的取值范围为( )
A.[-2,4] B.(-2,4] C.[-2,4) D.(-2,4)
解析:由z=2x-y得y=2x-z,
作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图:
平移直线y=2x-z,由图象可知当直线y=2x-z和2x-y+2=0重合时,截距最大,此时z最小为-2.
当直线y=2x-z经过点C时,直线y=2x-z的截距最小,此时z最大.
由x-y+1=0,x+y-5=0,解得x=3,y=2,即C(3,2),
所以z的最大值为z=2×3-2=4,但此时取不到最大值,故-2≤z<4.
答案:C
11.(2015吉林实验中学六模,文11,与目标函数有关的最值问题,选择题)变量x,y满足线性约束条件3x+y-2≤0,y-x≤2,y≥-x-1,则目标函数z=kx-y仅在点(0,2)取得最小值,则k的取值范围是( )
A.k<-3 B.k>1 C.-30且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为 .
解析:∵x=-2时,y=loga1-1=-1,
∴函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(-2,-1),即A(-2,-1),
∵点A在直线mx+ny+1=0上,
∴-2m-n+1=0,即2m+n=1,
∵mn>0,∴m>0,n>0,1m+1n=1m+1n(2m+n)=3+nm+2mn≥3+22,当且仅当nm=2mn时取等号.故1m+1n的最小值为3+22.
答案:3+22
15.(2015江西景德镇二模,文15,利用基本不等式求最值,填空题)若△ABC的内角满足sin A,sin C,sin B成等差数列,则cos C的最小值是 .
解析:因为sin A,sin C,sin B成等差数列,
所以sin A+sin B=2sin C.
由正弦定理,得a+b=2c.
cos C=a2+b2-c22ab=a2+b2-a+b222ab=3a2+3b2-2ab8ab=38ab+ba-14≥38×2ab×ba-14=12,
当且仅当a=b时,等号成立.
答案:12
9.(2015江西新余二模,文9,利用基本不等式求最值,选择题)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a13成等比数列,若a1=1,Sn是数列{an}前n项的和,则2Sn+16an+3(n∈N*)的最小值为( )
A.4 B.3 C.23-2 D.92
解析:∵a1=1,a1,a3,a13成等比数列,
∴(1+2d)2=1+12d.
得d=2或d=0(舍去),∴an=2n-1.
∴Sn=n(1+2n-1)2=n2.
∴2Sn+16an+3=2n2+162n+2.
令t=n+1,则2Sn+16an+3=t+9t-2≥6-2=4.
当且仅当t=3,即n=2时,2Sn+16an+3的最小值为4.
答案:A
11.(2015江西南昌零模,文11,利用基本不等式求最值,选择题)在R上定义运算
