2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．已知全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据图像判断出阴影部分表示，由此求得正确选项.‎ ‎【详解】‎ 根据图像可知，阴影部分表示，，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查集合交集与补集的概念和运算，考查韦恩图，属于基础题.‎ ‎2．设函数，则（ ）‎ A．2 B． C．0 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用将数值转化，可求.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数求值，属于基础题.‎ ‎3．已知函数且的图像恒过定点，点在幂函数的图像上，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数型函数过定点求得点坐标，设出幂函数的解析式，代入点的坐标求得的解析式，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 对于函数，当，即时，，所以.由于为幂函数，设，代入点的坐标得.所以，，所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本小题主要考查指数型函数过定点问题，考查幂函数解析式的求法，考查对数运算，属于基础题.‎ ‎4．函数的图像大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据函数的奇偶性和特殊值排除选项即得.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为.‎ ‎，是偶函数，其图象关于轴对称，排除；‎ 令.又，排除，选.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的图象，属于基础题.‎ ‎5．函数f（x）=log2x--1的零点所在的区间为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】连续函数f（x）=log2x--1在（0，+∞）上单调递增且f（3）f（4）＜0，根据函数的零点的判定定理可求结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）=log2x--1在定义域（0，+∞）上单调递增，‎ ‎∴f（3）=log23-1-1＜0，f（4）=2--1＞0，‎ ‎∴根据根的存在性定理得f（x）=log2x--1的零点所在的一个区间是（3，4），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数零点定义及判定的应用，属于基础试题．‎ ‎6．下列函数是偶函数且在区间上单调递减的是（ ）‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】对选项逐一分析函数的奇偶性和在区间上的单调性，由此确定正确选项.‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，为非奇非偶函数，不符合题意；‎ 对于B选项，为偶函数，当时，为减函数，符合题意；‎ 对于C选项，为非奇非偶函数，不符合题意；‎ 对于D选项，为奇函数，不符合题意；‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.‎ ‎7．已知，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出再利用指数函数与函数单调性比较大小 ‎【详解】‎ ‎，， ‎ 又 ，故 故选A ‎【点睛】‎ 本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎8．下列函数中，其定义域和值域分别与的定义域和值域相同的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出函数的定义域和值域，逐一验证即得.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域和值域均为.‎ 对于选项，的定义域为，值域为；‎ 对于选项， 的定义域为，值域为；‎ 对于选项， 的定义域为，值域为；‎ 对于选项， 的定义域为，值域为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的定义域、值域，属于基础题.‎ ‎9．若函数有最大值，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复合函数的性质，结合的最大值，求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于函数有最大值，所以，且当时，取得最大值为，故.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据指数型复合函数的最值求参数，属于基础题.‎ ‎10．已知是上的偶函数，且在区间上单调递减，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据的奇偶性和单调性化简不等式，由此求得不等式中的的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 由于是上的偶函数，且在区间上单调递减，所以在上递增.由得，所以，解得，所以不等式的的取值范围是.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的奇偶性和单调性解不等式，属于基础题.‎ ‎11．设函数，则满足的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】画出的大致图像，根据图像化简不等式，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 画出的大致图像如下图所示，由图可知，，解得，所以满足的的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据分段函数解析式解不等式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎12．设函数的最大值为，最小值为，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】判断出的对称中心，由此求得的值.‎ ‎【详解】‎ 由于，且，所以关于中心对称，所以最大值与最小值的和.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本小题主要考查函数的对称性，属于基础题.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，,则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由f（x）为R上的奇函数即可得出f（2）＝﹣f（﹣2），并且x<0时，f（x）＝﹣x，从而将x＝﹣2带入f（x）＝﹣x的解析式即可求出f（﹣2），从而求出f（2）．‎ ‎【详解】‎ ‎∵f（x）是定义在R上的奇函数，并且x<0时，f（x）＝﹣x；‎ ‎∴f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣[-1﹣（﹣2）]＝-1．‎ 故答案为：-1．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查奇函数的定义，以及已知函数求值的方法，熟记奇函数性质是关键，是基础题 ‎14．函数的零点个数为________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】在同一个坐标系画两个函数再研究通过观察即可得到所求零点个数．‎ ‎【详解】‎ 在同一个坐标系画两个函数，如图所示 则f（x）的零点个数为2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的零点个数的求法，注意运用数形结合思想方法，考查观察和判断能力，属于基础题．‎ ‎15．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令t（x）＝x2﹣ax+2a，则由题意可得t的对称轴x1，且 t（1）＝1+a＞0，由此求得a的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 令t（x）＝x2﹣ax+2a，则函数f（x）＝log2t（x），又单调递增，则t（x）＝x2﹣ax+2a在区间单调递增 由题意可得函数t（x）的图象的对称轴 x1，且 t（1）＝1+a＞0，‎ 求得a≤2，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．‎ ‎16．已知函数，若函数在上有三个不同的零点，则实数的取值范围是______________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据函数在上有三个不同的零点，通过换元法令，转化为有两解，结合或两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 令，则，由于函数在上有三个不同的零点，所以必有两解，所以或.‎ 当时，的图像如下图所示，由图可知，必有两个零点，由于有两个解，所以有一个解，即，解得.‎ 当时，的大致图像如下图所示，必有两个零点，由于有两个解，所以有一个解，所以，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据分段函数零点个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．设集合,.‎ ‎(1)若,求;‎ ‎(2)若,求的取值范围，‎ ‎【答案】(1)；(2) 或.‎ ‎【解析】（1）求解指数不等式化简集合A，代入m=3求得B,再求并集和补集 ‎（2）对集合B分类讨论，当B为空集时满足题意，求出m的范围，当B≠∅时，由两集合端点值间的关系列不等式求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1），当时，，‎ ‎∴,∴.‎ ‎（2）若，则，即，;‎ 若，即时，要使，则,解得,‎ 综上可得或.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查子集与真子集，考查了集合的包含关系及其应用，训练了指数不等式的解法，是中档题．‎ ‎18．计算下列各式的值：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用根式、指数和对数运算，化简求得表达式的值.‎ ‎（2）利用对数运算，化简求得表达式的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）原式．‎ ‎（2）原式．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根式、指数和对数运算，属于基础题.‎ ‎19．已知幂函数的图像过点和．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若函数在区间上的最大值等于最小值的倍，求实数的值．‎ ‎【答案】（1）（2）或 ‎【解析】（1）根据点求得幂函数的解析式，由此求得的值.‎ ‎（2）根据复合函数最值的求法，结合两种情况进行分类讨论，由此求得实数的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，依题意可得，，，‎ ‎．‎ ‎（2），，‎ 当时，，，由题意得，解得；‎ 当时，，，由题意得，解得．‎ 综上，所求实数的值为或．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查复合函数最值，考查指数函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.‎ ‎20．定义在R上的偶函数满足:当时,.‎ ‎(1)求时, 的解析式;‎ ‎(2)若函数在区间上的最大值为4,求的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】(1) 当时，，,再利用偶函数性质求解即可 ‎(2)讨论二次函数对称轴与区间的位置关系，求最大值即可求解 ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，, ‎ ‎∵为偶函数，∴.‎ ‎（2）当，即时，在上递减，∴,，不符合；‎ 当，即时，,，此时；‎ 当，即时，在上递增，∴.,，不符合，‎ 综上可得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查偶函数性质，考查二次函数最值，考查分类讨论思想，是中档题 ‎21．已知函数的图像关于轴对称．‎ ‎（1）求的定义域及实数的值；‎ ‎（2）若关于的方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.根据的对称性判断出的奇偶性，根据函数的奇偶性列式求得的值.‎ ‎（2）由（1）求得的表达式，由此化简方程，得到且，构造函数，结合二次函数零点分布问题的求解列不等式组，解不等式组求得实数的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由解得，的定义域为．‎ 依题意可知为偶函数，，‎ ‎，即，‎ 即在上恒成立，．‎ ‎（2）由（1）可知，其中，‎ 所以方程化简得，其中，‎ 令，由题意可得，解得．‎ ‎（或分离参数，数形结合可得）‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查对数型复合函数定义域的求法，考查根据函数的奇偶性求参数，考查二次函数在给定区间上的零点分布问题的求解，属于中档题.‎ ‎22．已知函数是定义在上的奇函数．‎ ‎（1）求函数的零点；‎ ‎（2）当时，求函数的值域．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用奇函数的性质列方程，由此求得的值.令，由此求得函数的零点.‎ ‎（2）利用配方法，结合指数函数、二次函数的性质，求得当时，函数的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）是奇函数，，即，，，‎ 由得，，，‎ 故的零点是．‎ ‎（2）时，，‎ ‎，当即时，取得最小值，当即时，取得最大值，‎ 故值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查函数零点的求法，考查复合函数值域的求法，属于中档题.‎