2018届二轮复习专题19把你的知识综合起来学案（全国通用）

2018届二轮复习专题19把你的知识综合起来学案（全国通用）

专题19 把你的知识综合起来 考纲要求:‎ ‎1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）‎ ‎2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：‎ ‎(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；‎ ‎(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；‎ ‎(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.‎ ‎2.函数的极值与导数的关系 ‎(1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值.‎ ‎(2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.‎ ‎3.函数的最值与导数的关系 ‎(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.‎ ‎(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ‎①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；‎ ‎②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，‎ 最小的一个是最小值.‎ 应用举例 类型一、利用导数研究函数的单调性 ‎【例1】【广东省中山市第一中学2018届高三第一次统测】‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（3）若函数与直线有三个不同交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间是，，单调递减区间是（2）-20.（3）‎ ‎【例2】【山西省河津三中2018届高三一轮复习阶段性测评】‎ 已知函数在处有极值10.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）设，讨论函数在区间上的单调性.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据题意得到关于m的方程组 ‎，解方程组求得即可；（2）先判断函数的单调性，然后根据的取值情况分类讨论判断函数在区间上的单调性。‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∴‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ ‎1‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大 减 极小 增 ‎∴①当，即时，在区间上的单调递增；‎ 综上所述：‎ 当或时，在区间上单调递增；‎ 当时，在区间上上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在区间上单调递减；‎ 当时，在区间上单调递减，在上单调递增.‎ 点睛：解答本题的易错点有两个：（1）在第一问中忽视了对值的检验，因为导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件，这是很容易出现的错误。（2）第二问中不能熟练地通过对进行分类讨论求解；还有，即便是分类了，分类的情况也不完全或分类出现重漏的情况。 ‎ 类型二、用导数研究函数的极值(多维探究)‎ ‎【例3】已知函数.‎ ‎(1)求函数的极值点;‎ ‎(2)若f(x)≥x2+1在(0,2)上恒成立,求实数t的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当t≥0时,f(x)没有极值点；当t<0时,f(x)的极小值点为x=ln(-t),没有极大值点.（2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)首先对函数求导，考虑到导函数含有参数，对参数 大于等于0,和小于0两种情况进行讨论。‎ ‎(2)恒成立问题,首先利用参数分离，得到，再令，原问题转化为，从而求出参数的范围。‎ ‎【例4】已知函数.‎ ‎（1）求函数；‎ ‎（2）设函数，其中a∈(1，2)，求函数g(x)在区间[1，e]上的最小值.‎ ‎【答案】(1)是函数的极小值点，极大值点不存在.（2）的最小值为 ‎【解析】试题分析：对函数求导，令导数为零，求出值，划分区间，研究导数在个区间内的符号，得出极值点；写出函数，求导得出，令，得出，研究的单调性，根据，得出的范围，求出最值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）函数的定义域为，，由f′(x)=0得，‎ 所以f′(x)在区间上单调递减，在上单调递增.‎ 所以是函数的极小值点，极大值点不存在.‎ ‎（2），则,‎ 由,得.‎ 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.‎ 当a∈（1，2），，由于，当时，取得最小值 为. ‎ 类型三、利用导数求函数的最值 ‎【例5】【山东省临沂市临沭第一中学2018届高三10月学情调研测试】设函数 讨论的单调性；‎ 若有最大值-ln2，求m+n的最小值.‎ ‎【答案】(1)在上单调递增；在上单调递减;(2).‎ 当时，，∴在上单调递增；‎ 当时，得，‎ ‎∴在上单调递增；在上单调递减.‎ 点睛：讨论函数的单调性即讨论导函数的正负,导函数中有参数m，需要对m进行讨论，来判断正负；第二问已知函数最值可以求得两个变量的关系，，最终将 转化成一个变量的表达式，，根据的范围来求出函数式子的范围即可. ‎ ‎【例6】已知函数 ‎(1)当时,求函数的单调增区间；‎ ‎(2)求函数在区间上的最小值．‎ ‎(3)在（1）的条件下，设=+，‎ 求证：（），参考数据：.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由可解得的单调增区间；（2），由此对进行分类讨论，能求出的最小值；（3）令，从而得到，由此能证明结论.‎ ‎(1)当时，，‎ 或。函数的单调增区间为 ‎(2)，‎ 当，单调递增，‎ 当，单调递减，单调递增，‎ 当，单调递减，‎ ‎（3）令=—，，‎ ‎，单调递减，，，‎ ‎∴，‎ ‎==……=（）‎ 点睛：导数法解决函数的单调性问题 ‎(1)当f(x)不含参数时，可通过解不等式直接得到单调递增(或递减)区间．‎ ‎(2)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是不恒等于的参数的范围．‎ 方法、规律归纳:‎ 导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．‎ 实战演练:‎ ‎1．【甘肃省天水市第一中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数，（）.‎ ‎（1）若，恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设函数，若在上有零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1），恒成立，即求在上恒成立（2）函数在上有零点，等价于方程在上有解.‎ 化简，得.设，研究单调性，画出图像即得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题意，得的定义域为，‎ ‎.，∴、随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ 单调递减 极小值 单调递增 所以.在上恒成立，∴.‎ ‎ ，、随的变化情况如下表:‎ ‎1‎ ‎3‎ 单调递增 单调递减 单调递增 且，，，‎ ‎.‎ 作出在上的大致图象（如图所示）.‎ 所以，当时，在上有解.‎ 故实数的取值范围是.‎ 点睛：函数有零点的问题可以转化为方程有交点的问题，进而可以把方程进行变量分离，研究新函数的图像即得解. ‎ ‎2．设函数，.‎ ‎（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）(]‎ 试题解析：（1）当时，由得，‎ ‎∵，∴，∴有在上恒成立，‎ 令，由得，‎ 当，∴在上为减函数，在上为增函数，‎ ‎∴，∴实数的取值范围为；‎ ‎（2）当时，函数，‎ 在上恰有两个不同的零点，即在上恰有两个不同的零点，‎ 令，则，‎ 当，；当，，‎ ‎∴在上单减，在上单增，，‎ 又，如图所示，所以实数的取值范围为(]‎ ‎【点睛】本题以函数为载体，考查的知识点是利用导数研究函数的极值，函数的零点，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件．其中（1）的关键是构造函数，将问题转化为函数恒成立问题，（2）的关键是利用导数分析函数的单调性后，进而构造关于的不等式组． ‎ ‎3．设函数．‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若，求函数的最值．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎ ‎ ‎4．设函数的定义域为，若对任意，，都有，则称函数为“”函数．已知函数的图象为曲线，直线与曲线相切于．‎ ‎（1）求的解析式，并求的减区间；‎ ‎（2）设，若对任意，函数为“”函数，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）在上递减（2）‎ ‎【解析】试题分析：根据导数的几何意义，借助切点和斜率列方程求出，得出函数的解析式，利用导数解求出函数的单调减区间；对任意，函数为“”函数，等价于在上，，根据函数的在上的单调性，求出的最值，根据条件求出的范围，得出结论.‎ 试题解析：‎ ‎（1），‎ ‎∴∴‎ ‎∴，，‎ 列表可知：‎ 极大值 极小值 所以在上递减．‎ ‎ ‎ ‎5．【黑龙江省牡丹江市第一高级中学2018届高三10月月考】‎ 已知函数.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）设曲线与轴正半轴的交点为,曲线在点处的切线方程为,‎ 求证:对于任意的正实数,都有；‎ ‎（3）若方程为实数）有两个正实数根且,求证:.‎ ‎【答案】（1）单调递增区间是,单调递减区间是；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；（2）设出点的坐标，利用导数求出切线方程，构造辅助函数，利用导数得到对于任意实数，有，即对任意实数，都有；（3）由（2）知，，求出方程的根，，由在 单调递减，得到，同理得到，根据不等式性质则可证得.‎ 由于在单调递减,故在单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x,,对于任意的正实数,都有.‎ ‎（3）由（2）知,设方程的根为,可得,因为在单调递减,又由（II）知,所以.类似的,设曲线在原点处的切线为可得,对任意的,有即.设方程的根为,可得,因为在单调递增,且,因此,所以.‎ ‎6．【河南省洛阳市2017-2018学年高三期中考试】已知函数为偶函数，当时，，且曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求的值；；‎ ‎（2）若存在实数，对任意的，都有，求整数的最小值．‎ ‎【答案】（1）．（2）2．‎ 试题解析：（1）时，，‎ 所以曲线在点处的切线方程为，‎ 即．‎ 又曲线在点处的切线方程为，‎ 所以．‎ ‎（2）因为为偶函数，且当时，，‎ 那么，‎ 由得，‎ 两边取以为底的对数得，‎ 所以在上恒成立，‎ 设，‎ 则（因为）‎ 所以，‎ 设，易知在上单调递减，‎ 所以，‎ 故，‎ 若实数存在，必有，又，‎ 所以满足要求，故所求的最小正整数为2．‎ ‎7．【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期第一次月考】设函数（为自然对数的底数）．‎ ‎（1）当时，求的最大值；‎ ‎（2）当时，恒成立，证明：．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析．‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出当时，函数的导数，求得增区间和减区间，即可得到极大值，即为最大值； （2）①当时，即 ‎②当时，，分别求出右边函数的最值或值域，即可得证a=1．‎ 令h(x)＝ex－x，h′(x)＝ex－1＞0，则h(x)＞h(0)＝1，g′(x)＞0，g(x)＞g(0)＝1，a≤1.‎ 故a＝1．‎ ‎【点睛】本题考查导数的运用，求单调区间和极值、最值，主要考查函数的单调性的运用，解题时要注意不等式恒成立思想的运用． ‎ ‎8．已知函数．‎ ‎（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1,f（1））处的切线方程；‎ ‎（2）若函数f（x）在上为单调增函数，求a的取值范围；‎ ‎（3）设m，n为正实数，且m>n，求证：．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ 试题解析：（1），由题意知，代入得，经检验，符合题意．从而切线斜率，切点为（1,0），所以切线方程为 ‎（2），因为f（x）在上为单调增函数，‎ 所以在上恒成立，即在上恒成立．‎ 当时，由，得．‎ 设。，．‎ 所以当且仅当，即x=1时，g（x）有最小值2．‎ 所以，所以．‎ 所以a的取值范围是．‎ ‎ 9．【广东省中山市第一中学2018届高三第一次统测】已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的最小值；‎ ‎（3）若函数与直线有三个不同交点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间是，，单调递减区间是（2）-20.（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）对函数求导，求出的解，可求得单调区间在。（2）由f(x)‎ 的单调性，可求出最小值。（3）由（1）结合y=f(x)的图像，可求的m的范围。‎ 试题解析：（1），‎ 当或x>3时，，所以f(x)在和单调递增 当-1

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