2019届二轮复习函数学案（全国通用）
2018 二模汇编高考最后冲刺讲义——函数
一、考纲解读：
要求
内容
记忆水平 解释性理解水平 探究性理解水平
函数的
有关概念
理解函数的概念
熟悉函数表达的解析法、列表法和图像
法
懂得函数的抽象记号以及函数定义域和
值域的集合表示
掌握求函数定义域的基本方
法
在简单情形下能通过观察和
分析确定函数的值域
函数的运算 理解两个函数的和与积的概念
函数关系
的建立 会分析变量并建立函数关系
能根据不同问题灵活地用解
析法、列表法和图像法来表示
变量之间的关系
会建立具有实际背景的简单
问题的函数模型
一
、
函
数
及
其
基
本
性
质
函数的
基本性质
能用“二分法”求函数的零点
能利用函数的奇偶性描绘函数的图像
能从解析的角度理解函数的奇偶性、单
调性、零点、最大和最小值等基本性质
能 对 函 数 的 奇 偶 性 、 单 调
性、零点、最大和最小值等基
本性质进行解析研究
掌握函数的基本性质以及反
映这些基本性质的图像特征
掌握研究函数性质的方法
会用函数的性质来解决简单
的实际问题
要求
内容
记忆水平 解释性理解水平 探究性理解水平
简单的
幂函数、
二次函数
的性质
知道幂函数的概念
（所研究的幂函数的幂
指数
）
掌握简单的幂函数、二次函数
的性质
指数函数
的性质与
图像
理解指数函数的意义
理解指数函数的应用价值 掌握指数函数的性质和图像
对数 理解对数的意义
初步掌握换底公式的基本运用
掌握积、商、幂的对数的性质
会用计算器求对数
二
、
指
数
函
数
与
对
数
函
数 反函数 掌握互为反函数的两个函数之
间的关系
1 1 12, 1, , , ,1,2,32 3 2a ∈ − − −
对数函数
的性质与
图像
理解对数函数的意义
理解对数函数的应用价值 掌握对数函数的性质和图像
指数方程
和对数方
程
理解指数方程和对数方程的概念
初步掌握求指数方程和对数方程
近似解的常用方法，如图像法、逼
近法或使用计算器等
会解简单的指数方程和对数方
程
会利用函数的性质求解指数方
程、对数方程以及求方程的近似
解
体会函数与方程之间的内在联
系
函数的应
用
会建立函数模型解决简单的实
际问题
二、知识梳理：
1、函数的概念理解：对应关系中需要唯一的 y 值，掌握函数的解析法与图像法、分段函数问题
［举例 1 （2014 长宁区一模 18）函数 的定义域为 ，值域为 ， 变动时，方程 表示
的图形可以是 （ B ）
A． B． C． D．
[举例 2 （2013 杨浦区二模 14 题）函数 的定义域为 ，其图像上任一点 满足
．
① 函数 一定是偶函数；
② 函数 可能既不是偶函数，也不是奇函数；
③ 函数 可以是奇函数；
④ 函数 如果是偶函数，则值域是 或 ；
⑤ 函数 值域是 ，则 一定是奇函数．
其中正确命题的序号是 （填上所有正确的序号）．
【答案】②③⑤
2 xy = [ , ]a b [1,16] a ( )b g a=
a
b
O-4
4
a
b
O
4
-4 a
b
O
4
-4a
b
O-4
4
)(xfy = [ ) ( ]1,00,1 − ),( yxP
122 =+ yx
)(xfy =
)(xfy =
)(xfy =
)(xfy = [ )1,0 ( ]0,1−
)(xfy = ( )1,1− )(xfy =
2、奇函数对定义域内的任意 满足 ；偶函数对定义域内的任意 满足 .注
意：使用函数奇偶性的定义解题时，得到的是关于变量 的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数
图像关于 y 轴对称；若函数 是奇函数或偶函数，则此函数的定义域必关于原点对称；反之，若一函数的
定义域不关于原点对称，则该函数既非奇函数也非偶函数.若 是奇函数且 存在，则 ；反
之不然.
［举例 1 若函数 是奇函数，则实数 ＿＿＿＿＿＿＿；
分析：注意到 有意义，必有 ，代入得 .这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用，则事
半功倍.
[举例 2 若函数 是定义在区间 上的偶函数，则此函数的值域是＿.
分析：函数是偶函数，必有 ，得 ；又由 是偶函数，因而 .
即 ，所以此函数的值域为 .
3、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致，偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数 的
图像关于直线 对称，则它在对称轴的两侧的增减性相反；此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解
“抽象不等式（即函数不等式）”多用函数的单调性，但必须注意定义域.
［举例 若函数 是定义在区间 上的偶函数，且在 上单调递增，若实数
满足： ，求 的取值范围.
分析：因为 是偶函数， 等价于不等式 ，又此函数在 上
递增，则在 递减.所以 ，解得 .
4、要掌握函数图像几种变换：对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数 的图像，作出函数
的图像.（注意：图像变换的本质在于变量对应
关系的变换）；要特别关注 的图像.
［举例 1 函数 的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：函数 的图像是由函数 的图像经过下列变换得到的：先将函数
的图像上各点的横坐标缩短到原来的 （或将函数 的图像向上平移 1 个单位）得到函数
的图像，再将函数 的图像作关于 轴对称得到函数 的图像，再将函数
的图像向右平移 个单位，得到函数 的图像，再将函数 的
图像向下平移 1 个单位得到函数 ，最后将函数 的图像在 轴下方部分
翻折到 轴上方得到函数 的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化
（尤其是与 轴的交点不要搞错），从图像上可以看出此函数的单调递增区间是 与 .
需要注意的是：函数图像变化过程： 与变化过程：
不同.前者是先作关于 轴对称后平移，而后者是先平移后再作关
于直线 对称.
x 0)()( =+− xfxf x 0)()( =−− xfxf
x
)(xfy =
)(xfy = )0(f 0)0( =f
axf x
−
+
=
12
1)( =a
)0(f 0)0( =f 2
1=a
3)2()( 2 +−+= xbaxxf ]2,12[ aa −−
0)2()12( =−+− aa 1−=a ( )y f x= 2=b
]3,3[(3)( 2 −∈+−= xxxf ]3,6[−
)(xfy =
ax =
)(xfy = ]3,3[− ]0,3[− a
)()12( 2afaf <− a
)(xfy = )()12( 2afaf <− )(|)12(| 2afaf <− ]0,3[−
]3,0[ 2|12|3 aa >−≥ 211 +−<≤− a
)(xfy =
axfyaxfyxfyxfyxfy +=+===−= )(),(|,)(||),(|),(
|)(||),(| xfyxfy ==
|1|12|log|)( 2 −−= xxf
|1|12|log|)( 2 −−= xxf xy 2log=
xy 2log=
2
1 xy 2log=
xy 2log 2= xy 2log 2= y |2|log 2 xy =
|2|log 2 xy =
2
1 |12|log 2 −= xy |12|log 2 −= xy
1|12|log 2 −−= xy 1|12|log 2 −−= xy x
x |1|12|log|)( 2 −−= xxf
x 1 1[ , )2 2
− ),2
3[ +∞
|)(||)(|)( axfyxfyxfy −=⇒=⇒=
|)(|)()( axfyaxfyxfy −=⇒−=⇒= y
ax =
［举例 2 若函数 有四个不同的单调区间，则实数 的取值范围是
答案： 。
5、数与形的结合：研究方程根的个数、超越方程（不等式）的解（特别是含有参量的）、二次方程根的分布、二
次函数的值域、三角函数的性质（包括值域）、含有绝对值的函数及分段函数的性质（包括值域）等问题常利用
函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确：即找准特殊的点（函数图像与坐标轴的交点、拐点、
极值点等）、递增递减的区间、最值等.
［举例 1 已知函数 ，若不等式 的解集不为空集，则实数 的
取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：不等式 的解集不为空集，亦即函数 的图像上有点在函数 的图像的上方.
函数 的图像是 轴上方的半支抛物线，
函数 的图像是过点 斜率为 的直线.
当 时直线与抛物线相切，由图像知： .
（注意图中的虚线也满足题义）
[举例 2 若曲线 与直线 没有公共点，则 应当满足的条件是 .
分析：曲线 是由 与 组成，它们
与 轴的交点为 和 ，图像如图（实线部分）.可以看出若直线
与曲线 的图像没有公共点，此直线必与 轴平行，所以 ， .
[举例 3 设 是定义在 R 上的偶函数，对任意 ，都有 且当 时，
．若在区间 内关于 的方程 恰有 3 个不同的实数根，则
实数 的取值范围是( )
． ； ． ； ． ； ． ．
答案：D
[举例 4 ，若 互不相同，
且 ，则 的取值范围是
答案：
详解：根据题意，如图所示， ， ， ，所以答案为
2( ) (2 1) | |f x x a x= − + − a
1( , )2
+ ∞
1)(,12)( +=−= axxgxxf )()( xgxf > a
)()( xgxf > )(xfy = )(xgy =
12)( −= xxf x
1)( += axxg )1,0( a
2 1a = − 12 −
a
A (1,2) B (2, )+∞ C 3(1, 4) D 3( 4,2)
2
2
log (0 4)
( ) 2 708 ( 4)3 3
x x
f x
x x x
< ≤= − + >
, , ,a b c d
( ) ( ) ( ) ( )f a f b f c f d= = = abcd
(32,35)
1ab = 2(12 ) 12abcd cd c c c c= = − = − 4 5c< < (32,35)
x
y
O
2
1
1
1l
1
-1
x
y
O
教法指导：这类题出现较多，典型的数形结合题型，要让学生熟悉各类函数图象，以及相应的性质，
尤其是对称性和周期性；在草稿纸上作图的时候，虽然是草图，但有必要做出一些特殊点
进行定位；写区间的时候，务必考虑区间的开闭情况
6、反函数： 求解过程及抽象理解，性质关系及存在反函数的充要条件
［举例 1 函数 ，（ ），若此函数存在反函数，则实数 的取值范围是＿.
分析：由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应，平行于 轴的直线与函数的图像至多只
有一个交点.又由二次函数 图像的对称轴为直线 知： 或 必存在反函数，
或 必不存在反函数.当 时如何讨论？注意到函数在区间 上递减，在 上递
增，所以只要 或 即可.亦即 或 .综上知，实数 的取值范围是
.
［举例 2 函数 的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
分析：令 ，则 .因为 ，所以 ，
则 ， .又原函数的值域为 ，所以原函数的反函数
为 .（若是从反函数表达式得 求得 就不是反函数的定义域）.
［举例 3 设函数 存在反函数 ,且函数 的图象过点(1,2)，则函数
的图象一定过点 .（-1，2）
［举例 4 已知 是单调减函数，若将方程 与 的解分别称为函数 的不动点与稳定
点．则“ 是 的不动点”是“ 是 的稳定点”的 （ 充分非必要 ）条件
［举例 5 已知函数 定义在 R 上,存在反函数,且 ,若 的反函数是 ,则
=
答案：-1981
12)( 2 +−= axxxf ]4,3[]1,0[ ∈x a
x
12)( 2 +−= axxxf ax = 0≤a 4≥a
10 << a 43 << a ]3,1[∈a ]1,0[ ]4,3[
)1()4( ff < )0()3( ff > 32
5 ≤< a 2
31 <≤ a a
]0,(−∞ ),4[]3,2
5()2
3,1[ +∞
])2,((),22(log)( 2
2 −−∞∈++= xxxxf
)22(log 2
2 ++= xxy 12)1(222 22 −=+⇒=++ yy xxx 2−≤x 11 −≤+x
121 −−=+ yx 121 −−−= yx ),1[ +∞
)1(121)(1 ≥−−−=− xxf x 012 ≥−x 0≥x
( )y f x= 1( )y f x−= ( )y x f x= − 1( )y f x x−= −
( )f x ( )f x x= 1( ) ( )f x f x−= ( )f x
x ( )f x x ( )f x
( )f x (9) 18f = ( 1)y f x= + 1( 1)y f x−= +
(2008)f
分析先对 反解得出原函数为 与 为同一函数，即可得出关系
7、单调性的判别与证明，用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明：单调性的应用
函数 的单调性.
[举例 已知函数 在 上是单调增函数，求实数 的取值范围.
分析：函数 称为“耐克”函数，由基本不等式知：当 时，函数的最小值是 ，
当 时等号成立. 时，函数递减； 时，函数递增.记住此结论在解选择、
填空等小题时用起来比较方便.函数 在 上递增，则 ，得 .
但若是大题推理就不能这样描述性的说明，必需要按函数单调性的定义有严格的论证.
任设 且 . ，由函数 是单调增函数，
则 ，而 ，则 .所以 对于 且
恒成立，因 ，故 .
需要说明的是：在考试中若“小题大做”则浪费时间，因为“小题”只要结果；而“大题小做”则失分，
因为“大题”需要严格的论证过程.
8、基本初等函数的图像与性质
［举例 1 求函数 在区间 的最值.
分析：求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨
论，但求开口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即
可.
， .
［举例 2 已知 ，函数 .
(Ⅰ)当 时，求使 成立的 的集合；
(Ⅱ)求函数 在区间 上的最小值.
【解答】（Ⅰ）由题意， . …………………………………………1 分
a R∈ ( ) | |f x x x a= −
2a = ( )f x x≥ x
( )y f x= [1 2]，
( ) 2f x x x= −
1( 1)y f x−= + 1)( −= xfy ( 1)y f x= +
1)()1( −=−+ xfxf
)0,(, >+= bax
baxy
)0(1)( >+= axaxxf ),1[ +∞∈x a
)0,(, >+= bax
baxy 0>x ab2
a
bx = ],0( a
bx ∈ ),[ +∞∈
a
bx
)0(1)( >+= axaxxf ),1[ +∞ 11 ≤
a 1≥a
),,1[, 21 +∞∈xx 21 xx < )1)(()()(
21
2121 xxaxxxfxf −−=− )(xf
0)()( 21 <− xfxf 021 <− xx 01
21
>−
xxa
21
1
xxa > ),,1[, 21 +∞∈xx 21 xx <
11
21
<
xx 1≥a
12)( 2 +−= axxxf ]3,1[−
>+
≤−=
)1(22
)1(610)( max aa
aaxf
>−
≤≤−−
−<+
=
)1(610
)31(1
)1(22
)( 2
min
aa
aa
aa
xf
当 时， ，解得 ； ……………………………2 分
当 时， ，解得 . ……………………………3 分
综上，所求解集为 ……………………………………………………4 分
（Ⅱ）①当 时，在区间 上， ，其图像是开口向上的抛物线，对称轴是
，
∵ ，∴ ，
∴ ……………………………………………………6 分
② 当 时，在区间[1,2 上， ， ……8 分
③当 时，在区间[1,2 上， ，其图像是开口向下的抛物线，对称轴是
，
当 即 时， …………10 分
当 即 时，
∴综上， …………………………………………12 分
［举例 3 已知 为实数，函数 ．
（1）若 （ ），试求 的取值范围；
（2）若 ， ，求函数 的最小值．
（1） 即 ，又 ，2 分
所以 ，从而 的取值范围是 ． ……5 分
（2） ，令 ，则 ，因为 ，所以
，当且仅当 时，等号成立，8 分
由 解得 ，所以当 时，函数 的最小值是
； ……11 分
2x < ( ) (2 )f x x x x= − ≥ [0,1]x∈
2x ≥ ( ) ( 2)f x x x x= − ≥ [3, )x∈ +∞
[0,1] [3, )x∈ +∞
1a ≤ [1 2]，
2
2 2( ) ( )2 4
a af x x ax x= − = − −
2
ax =
1a ≤ 1 12 2
a ≤ <
min( ) (1) 1f x f a= = −
1 2a< < ( ) | | 0f x x x a= − ≥ min( ) 0f x =
2a ≥
2
2 2( ) ( )2 4
a af x x ax x= − + = − − +
2
ax =
1 3(1 ) 2 2
a≤ < (2 ) 3a≤ < min( ) (2) 2 4f x f a= = −
2 3
2 2
a ≥ 3a ≥ min( ) (1) 1f x f a= = −
min
1 1
0 1 2( ) 2 4 2 3
1 3
a a
af x a a
a a
− ≤
< <= − ≤ <
− ≥
θθ cos)( =f a−−=− 3cossin θθ )4sin(2cossin
πθθθ −=−
232 ≤+≤− a a ]23,23[ +−−−
21sin
)1(3)1(sin)()( +++
−++=+ aagf θθθθ x=+1sinθ 20 ≤< x 1>a
)1(32)1(3 −≥−+ ax
ax )1(3 −= ax
2)1(3 ≤−a 3
7≤a 3
71 ≤< a )()( θθ gf +
2)1(32 ++− aa
a 3sin)( ++= af θθ
θθ cos)( =f R∈θ a
1>a 1sin
)1(3)( +
−= θθ ag )()( θθ gf +
下面求当 时，函数 的最小值．
当 时， ，函数 在 上为减函数．所以函数 的最小值为
．
[当 时，函数 在 上为减函数的证明：任取 ，
，因为 ， ，所以 ，
，由单调性的定义函数 在 上为减函数．
于是，当 时，函数 的最小值是 ；当 时，函数 的
最小值 ．
9、求最值的常用方法：①用基本不等式（注意条件：一正、二定、三相等）；②二次函数；③单调性；④逆求法
（包括判别式法）；⑤换元法；⑥数形结合.一般而言：在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时，常用函数
的单调性；求二次函数（自变量受限制）的值域，先配方、再利用图像、单调性等；求分式
函数的值域（自变量没有限制）常用“逆求”（即判别式法）；求分式函数的值域（自变量受限制）通常分子、
分母同除一个式子，变分子（分母）为常数.
［举例 1 已知函数 的最大值不大于 ，又当 时， ，求实数 的值.
分析： ，则 ，又此二次函数开口向下，则有 .
知 .注意到：开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值；同样开口向上的二次函
数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值.
[举例 2 求函数 在区间 上的最大值与最小值.
分析：因为函数的定义域不是一切实数，用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的
应用.设 ，则 ， .当 时， 取最小值 4；当 时， 取最
大值 .所以函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 .注意：此类函数的值域（最值）问题在解
几的最值中经常涉及，要能熟练地掌握其解法.
3
7>a )()( θθ gf +
3
7>a 2)1(3 >−a x
axxh )1(3)(
−+= ]2,0( )()( θθ gf +
2
)1(522
)1(32
+=++−+ aaa
3
7>a x
axxh )1(3)(
−+= ]2,0( 20 21 ≤<< xx
])1(31)[()()(
12
1212 xx
axxxhxh
−−−=− 40 12 ≤< xx 4)1(3 >−a 0)1(31
12
<−−
xx
a
0)()( 12 <− xhxh x
axxh )1(3)(
−+= ]2,0(
3
71 ≤< a )()( θθ gf + 2)1(32 ++− aa 3
7>a )()( θθ gf +
2
)1(5 +a
)0(, >+= ax
axy
2
2
3)( xaxxf −=
6
1 ]2
1,4
1[∈x 8
1)( ≥xf a
6)3(2
3)(
2
2 aaxxf +−−= 16
1
6
2
2
≤⇒≤ aa 1
8
1)2
1(
8
1)4
1(
≥⇒
≥
≥
a
f
f
1=a
136
3)( 2 ++
+=
xx
xxf ]2,2[−
tx =+ 3
ttt
txf 4
1
4)( 2
+
=+= ]5,1[∈t 2=t tt 4+ 5=t tt 4+
5
29 )(xf ]2,2[−
4
1
29
5
10、遇到含参不等式（或含参方程）求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法，转化为求某函数的最大值
（或最小值）；但是若该参数分离不出来（或很难分离），那么也可以整体研究函数 的最值.特别注
意：双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量，另一个作为参数.
［举例
（1）已知不等式 对于 ）恒成立，求实数 的取值范围.
（2）若不等式 对于 恒成立，求实数 的取值范围.
分析：（1）由 得： 对于 ）恒成立，因 ，所以
，当 时等号成立.所以有 .
（2）注意到 对于 恒成立是关于 的一次不等式.不妨设
，则 在 上单调递减，则问题等价于 ，所以
或 ，则 取值范围为 .
（3）若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
答案：
（4）已知 ，若不等式 恒成立，则实数 的取值范围是_____
答案：（-8,2）
11、重视应用题
［举例 1 （2013 闸北二模理 8）某商场在节日期间举行促销活动，规定：
（1）若所购商品标价不超过 200 元，则不给予优惠；
（2）若所购商品标价超过 200 元但不超过 500 元，则超过 200 元的部分给予 9 折优惠；
（3）若所购商品标价超过 500 元，其 500 元内（含 500 元）的部分按第（2）条给予优惠，超过 500 元的部分给
予 8 折优惠．
某人来该商场购买一件家用电器共节省 330 元，则该件家电在商场标价为 ．
【答案】
［举例 2 据测算：2011 年，某企业如果不搞促销活动，那么某一种产品的销售量只能是 1 万件；如果搞促销活
动，那么该产品销售量（亦即该产品的年产量） 万件与年促销费用 万元（ ）满足 （ 为
常数）．已知 2011 年生产该产品的前期投入需要 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，企业将每件
该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍（定价不考虑促销成本）．
（1）若 2011 年该产品的销售量不少于 2 万件，则该产品年促销费用最少是多少？
（2）试将 2011 年该产品的年利润 （万元）表示为年促销费用 （万元）的函数，并求 2011 年的最大利润．
),( xafy =
0224 >+⋅− xx a +∞−∈ ,1[x a
0224 >+⋅− xx a ]3,(−∞∈a x
0224 >+⋅− xx a x
xa 2
22 +< +∞−∈ ,1[x 2
12 ≥x
222
22 ≥+
x
x 22 =x 22+⋅− xx a ]3,(−∞∈a a
)24(2)( ++⋅−= xx aaf )(af ]3,(−∞∈a 0)3( >f
2202234 >⇒>+⋅− xxx 12 (1,2)x ∈ k
]2,(−∞
1 90, 0, 1x y x y
> > + = 2 6 0m m x y+ − − < m
2000
m x 0≥x 13 +−=
x
km k
y x
11．解：（1）由题意可知，当 时， （万件），由 可得 ．
所以 ．………………………………………………………………………….3 分
由题意，有 ，解得 ．
所以，则该产品年促销费用最少是 1 万元． ………………………………………….4 分
（2）由题意，有每件产品的销售价格为 （元），
所以，2011 年的利润
． ……………………………………………….4 分
因为 ， ，
所以 ， ………………………………………4 分
当且仅当 ，即 （万元）时，利润最大为 21 万元．…………………..1 分
［举例 3 如图 1， ， 是某地一个湖泊的两条互相垂直的湖堤，线段 和曲线段 分别是湖泊中的一
座栈桥和一条防波堤.为观光旅游的需要，拟过栈桥 上某点 分别修建与 ， 平行的栈桥 、
，且以 、 为边建一个跨越水面的三角形观光平台
.建立如图 2 所示的直角坐标系，测得线段 的方程是
，曲线段 的方程是
，设点 的坐标为 ，记 .（题
中所涉及的长度单位均为米，栈桥和防波堤都不计宽度）
（1）求 的取值范围；
（2）试写出三角形观光平台 面积 关于 的函数解析
式，并求出该面积的最小值
解：（1）由题意，得 在线段 CD： 上，即 ，
又因为过点 M 要分别修建与 OA、OB 平行的栈桥 MG、M ，
所以 ；.…………………………………………………………………2 分.
；………………………4 分
所以 的取值范围是 ..………………………………………………6 分
0=x 1=m 13 +−=
x
km 2=k
1
23 +−=
xm
21
23 ≥+−=
xm 1≥x
m
m1685.1
+×
)168(]1685.1[ xmm
mmy ++−+×⋅=
xm −+= 84 xx
−+−×+= )1
23(84
1
1628 +−−=
xx
0≥x 8)1(1
16 ≥+++ xx
2129829)]1(1
16[ =+−≤++++−= xxy
11
16 +=+ xx 3=x
OA OB CD EF
CD M OA OB MG
MK MG MK
MGK CD
2 20 (0 20)x y x+ = ≤ ≤ EF
200 (5 40)xy x= ≤ ≤ M ( , )s t z s t= ⋅
z
MGK MGKS∆ z
( , )M s t 2 20 (0 20)x y x+ = ≤ ≤ 2 20s t+ =
5 10s≤ ≤
21 1(10 ) ( 10) 50, 5 102 2z s t s s s s= ⋅ = − = − − + ≤ ≤
z 75 502 z≤ ≤
图 1
D
B F
E
C AO
M G
K
D
B
F
E
C AO x
y
图 2
（2）由题意，得 ，..…………………………………………8 分
所以
则 ，..……………………………10 分
因为函数 在 单调递减，..………12 分
所以当 时，三角形观光平台的面积取最小值为 225 平方米 .………14 分
三、2018 年二模汇编：
四、直击高考：
1、填空题
1、（2009 年上海高考理 14）将函数 的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角
，得到曲线 .若对于每一个旋转角 ，曲线 都是一个函数的图像，则 的最大值为_____.
答案：
解析：由 得：（x－3）2＋（y＋2）2＝13， ，
它的图象是以（3，－2）为圆心， 为半径的一段圆弧，
设过原点且与曲线 C 相切的直线为 y＝x，当θ＝0 时， ＝－ ＝ ，此时直线
的倾斜角为β，
即 tanβ＝ ，当切线与 y 轴重合时，曲线上的点满足函数的定义，即是一个函数的图象，再逆时针
旋转时，曲线不再是一个函数的图象，旋转角为 90°－β，则 tan（90°－β）＝ ，即θ＝
2、（2009 年上海高考文 1）函数 的反函数 _____________.
答案：
解析：由 y＝x3+1，得 x＝ ，将 y 改成 x，x 改成 y 可得答案.
3、（2010 年上海高考理 8）对任意不等于 1 的正数 a，函数 f(x)= 的反函数的图像都经过点 P，则点
P 的坐标是 .
答案：（0，-2）
解析：f(x)= 的图像过定点（-2,0），所以其反函数的图像过定点（0，-2）
200 200( , ), ( , )K s G ts t
1 1 200 200 1 40000( )( ) ( 400)2 2 2MGKS MG MK s t stt s st∆ = ⋅ ⋅ = − − = + −
1 40000 75( 400), ,502 2MGKS z zz∆
= + − ∈
1 40000( 400)2MGKS z z∆ = + − 75 ,502z ∈
50z =
264 2 −−+= xxy [ ])60( ，∈x θ
)0( αθ ≤≤ C θ C α
2arctan 3
264 2 −−+= xxy [ ])60( ，∈x
13
OCk
1
2
3
2
3
2
3 2arctan 3
( ) 12 += xxf ( ) =− xf 1
3 1x −
3 1−y
log ( 3)a x +
log ( 3)a x +
4、（2010 年上海高考文 9）函数 的反函数的图像与 轴的交点坐标是 .
答案：（0，-2）
解析：法一：函数 的反函数为 ，另 x=0，有 y=-2
法二：函数 图像与 x 轴交点为（-2,0），利用对称性可知，函数 的反函数
的图像与 轴的交点为（0，-2）
5、（2011 年上海高考理 1）函数 的反函数为 .
答案：
6、（2011 年上海高考理 13）设 是定义在 上、以 1 为周期的函数，若 在 上的值域
为 ，则 在区间 上的值域为 。
答案：
7、（2011 年上海高考文 2）若函数 的反函数为 ，则
答案：
8、（2011 年上海高考文 14）设 是定义在 上、以 1 为周期的函数，若 在 上的值域
为 ，则 在区间 上的值域为
答案：
9、（2012 年上海高考理 7）已知函数 （ 为常数）.若 在区间 上是增函数，则 的取
值范围是 .
答案：
解析：根据函数 看出当 时函数增函数，而已知函数 在区间 上为增
函数，所以 的取值范围为： .
10、（2012 年上海高考理 9）已知 是奇函数，且 ，若 ，
则 .
答案：
解析：因为函数 为奇函数，所以
.
11、（2012 年上海高考理 13）已知函数 的图象是折线段 ，其中 、 、 ，函
数 （ ）的图象与 轴围成的图形的面积为 .
答案：
12、（2012 年上海高考文 6）方程 的解是 .
||)( axexf −= a )(xf ),1[ +∞ a
( ]1,∞−
,( )
,
x a
x a
x a
e x af x e
e x a
−
−
− +
≥= = <
ax ≥ )(xf [ )+∞,1
a ( ]1,∞−
2)( xxfy += 1)1( =f 2)()( += xfxg
=− )1(g
1−
2)( xxfy += ,3)1(,1)1(,2)1()1( ==+= gffg 所以，又
1232)1()1(,3)1( −=+−=+−=−−=− fgf ( 1) (1).f f− = −
)(xfy = ABC )0,0(A )5,2
1(B )0,1(C
)(xxfy = 10 ≤≤ x x
4
5
14 2 3 0x x+− − =
3( ) log ( 3)f x x= + y
3( ) log ( 3)f x x= + 33 −= xy
3( ) log ( 3)f x x= + 3( ) log ( 3)f x x= +
y
1( ) 2f x x
= −
1( )f x− =
1 2x
+
( )g x R ( ) ( )f x x g x= + [3,4]
[ 2,5]− ( )f x [ 10,10]−
[ 15,11]−
( ) 2 1f x x= + 1( )f x− 1( 2)f − − =
2−
( )g x R ( ) ( )f x x g x= + [0,1]
[ 2,5]− ( )f x [0,3]
[ 2,7]−
答案：
13、（2012 年上海高考文 9）已知 是奇函数，若 且 ，则 .
答案：
14、（2012 年上海高考文 13）已知函数 的图像是折线段 ，其中 、 、 ，函
数 （ ）的图像与 轴围成的图形的面积为 .
答案：
15、（2013 年上海高考理 6）方程 的实数解为________
答案：
16、（2013 年上海高考文 8）方程 的实数解为 ．
答案：
17、（2013 年上海高考文 13）设常数 ，若 对一切正实数 成立，则 的取值范围
为 ．
答案：
18、（2013 年上海高考理 12）设 为实常数， 是定义在 R 上的奇函数，当 时，
，若 对一切 成立，则 的取值范围为________
答案：
19、（2013 年上海高考理 14）对区间 I 上有定义的函数 ，记 ，已知定义域为
的函数 有反函数 ，且 ，若方程 有
解 ，则
答案：2
20、（2014 年上海高考理 4）设 若 ，则 的取值范围为 ．
答案：
21、（2014 年上海高考理 9）若 ，则满足 的 的取值范围是 ．
答案：
22、（2014 年上海高考文 3）设常数 ，函数 ．若 ，则 ．
答案：
3log 2
( )y f x= ( ) ( ) 2g x f x= + (1) 1g = ( 1)g − =
3
( )y f x= ABC (0,0)A 1( ,1)2B (1,0)C
( )y xf x= 0 1x≤ ≤ x
4
1
13 1 33 1 3
x
x
−+ =−
3log 4
9 1 33 1
x
x
+ =−
3log 4
0a >
2
9 1ax ax
+ ≥ + x a
)1 ,5
+∞
a ( )y f x= 0x <
2
( ) 9 7af x x x
= + + ( ) 1f x a≥ + 0x ≥ a
8
7a ≤ −
( )g x ( ) { | ( ), }g I y y g x x I= = ∈
[0,3] ( )y f x= 1( )y f x−= 1 1([0,1)) [1,2), ((2,4]) [0,1)f f− −= = ( ) 0f x x− =
0x 0 _____x =
2
, ( , ),( )
, [ , ).
x x af x
x x a
∈ −∞= ∈ + ∞
(2) 4f = a
( ],2−∞
2 1
3 2( )f x x x
−= − ( ) 0f x < x
(0,1)
a R∈ 2( ) 1f x x x a= − + − (2) 1f = (1)f =
23、（2014 年上海高考文 9）设 若 是 的最小值，则 的取值范围
为 ．
答案：
24、（2014 年上海高考文 11）若 ，则满足 的 的取值范围是 ．
答案：
25、（2015 年上海高考文理 7）方程 的解为 ．
【答案】
【解析】设 ，则
【考点定位】解指对数不等式
26、（2015 年上海高考问 4）设 为 的反函数，则 ___________.
分析：考查了反函数的知识点，较为基础。
答案：
27、（2015 年上海高考理 10）设 为 ， 的反函数，则 的最
大值为 ．
【答案】
28、（2016 年上海高考理 5）已知点 在函数 的图像上，则 的反函数 _____
分析：考查了反函数的知识点，较为基础。
答案：
【考点定位】求反函数
29、（2017 年上海高考理 8）定义在 上的函数 的反函数为 ，若
为奇函数，则 的解为
【答案】-8
【解析】 ，∴ 的解为
2、选择题
1、（2010 年上海高考理 17）若 是方程 的解，则 属于区间 （ ）
, 0,
( ) 1 , 0.
x a x
f x x xx
− + ≤= + >
(0)f ( )f x a
2 1
3 2( )f x x x
−= − ( ) 0f x < x
( ) ( )1 1
2 2log 9 5 log 3 2 2x x− −− = − +
2
13 ,( 0)x t t− = > 2 2
2 2log ( 5) log ( 2) 2 5 4( 2) 0t t t t− = − + ⇒ − = − >
2 14 3 0, 5 3 3 3 1 1 2xt t t t x x−⇒ − + = > ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇒ =
( )xf 1− ( )
12 +=
x
xxf ( )=− 21f
3
2−
( )1f x− ( ) 22 2
x xf x −= + [ ]0,2x∈ ( ) ( )1y f x f x−= +
4
(3,9) xaxf +=1)( ( )xf ( ) =− xf 1
( )1log2 −x
(0, )+∞ ( )y f x= 1( )y f x−=
3 1, 0( )
( ), 0
x xg x
f x x
− ≤= >
1( ) 2f x− =
( ) 3 1 (2) 9 1 8xf x f= − + ⇒ = − + = − 1( ) 2f x− = 8x = −
0x
1
31( )2
x x= 0x
A．( ,1) B．( , ) C．( , ) D．(0, )
答案：C
2、（2010 年上海高考文 17）若 是方程式 的解，则 属于区间 （ ）
A．（0，1） B．（1，1.25） C．（1.25，1.75） D．（1.75，2）
答案：D
3、（2011 年上海高考理 16）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为 （ ）
A． B． C． D．
答案：
4、（2011 年上海高考文 15）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为 （ ）
A． B． C． D．
答案：
5、（2013 年上海高考文 15）函数 的反函数为 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：
6、（2014 年上海高考理 18）设 若 是 的最小值，则 的取值范围为
（ ）
(A) (B) (C) (D)
7、（2016 年上海高考理 18）设 、 、 是定义域为 的三个函数，对于命题：①若
、 、 均为增函数，则 、 、 中至少有一个增函数；②若
、 、 均是以 为周期的函数，则 、 、 均是以 为周期的
函数，下列判断正确的是（ ）
、①和②均为真命题 、①和②均为假命题
、①为真命题，②为假命题 、①为假命题，②为真命题
答案：
3、解答题
1、（2011 年上海高考理 20）已知函数 ，其中常数 满足 。
⑴ 若 ，判断函数 的单调性；
⑵ 若 ，求 时 的取值范围。
解析：⑴ 当 时，任意 ，则
∵ ， ，
∴ ，函数 在 上是增函数。
当 时，同理，函数 在 上是减函数。
2
3
1
2
2
3
1
3
1
2
1
3
0x lg 2x x+ = 0x
(0, )+∞
1ln | |y x
= 3y x= | |2 xy = cosy x=
A
(0, )+∞
2y x−= 1y x−= 2y x=
1
3y x=
A
( ) ( )2 1 1f x x x= − ≥ ( )1f x− ( )1 2f −
3 3− 1 2+ 1 2−
A
2( ) , 0,
( ) 1 , 0.
x a x
f x
x a xx
− ≤= + + >
(0)f ( )f x a
[ 1 , 2]− [ 1, 0]− [1, 2] [0 , 2]
( )f x ( )g x ( )h x R
( ) ( )f x g x+ ( ) ( )f x h x+ ( ) ( )g x h x+ ( )f x ( )g x ( )h x
( ) ( )f x g x+ ( ) ( )f x h x+ ( ) ( )g x h x+ T ( )f x ( )g x ( )h x T
A B
C D
D
( ) 2 3x xf x a b= ⋅ + ⋅ ,a b 0ab ≠
0ab > ( )f x
0ab < ( 1) ( )f x f x+ > x
0, 0a b> > 1 2 1 2, ,x x R x x∈ < 1 2 1 2
1 2( ) ( ) (2 2 ) (3 3 )x x x xf x f x a b− = − + −
1 2 1 22 2 , 0 (2 2 ) 0x x x xa a< > ⇒ − < 1 2 1 23 3 , 0 (3 3 ) 0x x x xb b< > ⇒ − <
1 2( ) ( ) 0f x f x− < ( )f x R
0, 0a b< < ( )f x R
⑵
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
2、（2011 年上海高考文 21）已知函数 ，其中常数 满足 。
⑴ 若 ，判断函数 的单调性；[from:www.x 100.
⑵ 若 ，求 时 折取值范围。
解析：⑴ 当 时，任意 ，则
∵ ， ，
∴ ，函数 在 上是增函数。
当 时，同理，函数 在 上是减函数。
⑵
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
3、（2012 年上海高考理 20 文 20）．已知函数 .
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 是以 2 为周期的偶函数，且当 时，有 ，
求函数 的反函数.
解析：（1）由 ，得 .
由 得 .
因为 ，所以 ， .
由 得 .
（2）当 x∈[1,2 时，2-x∈[0,1 ，因此
.
由单调性可得 .
因为 ，所以所求反函数是 ， .
4、（2013 年上海高考理 20）甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求 ），每小时
可获得利润是 元.
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元，求 x 的取值范围；
(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
)1lg()( += xxf
1)()21(0 <−−< xfxf x
)(xg 10 ≤≤ x )()( xfxg =
)(xgy = ])2,1[( ∈x
>+
>−
01
022
x
x 11 <<− x
1lg)1lg()22lg(0 1
22 <=+−−< +
−
x
xxx 101 1
22 << +
−
x
x
01 >+x 1010221 +<−<+ xxx 3
1
3
2 <<− x
<<−
<<−
3
1
3
2
11
x
x
3
1
3
2 <<− x
)3lg()2()2()2()( xxfxgxgxgy −=−=−=−==
]2lg,0[∈y
yx 103 −= xy 103 −= ]2lg,0[∈x
( 1) ( ) 2 2 3 0x xf x f x a b+ − = ⋅ + ⋅ >
0, 0a b< > 3( )2 2
x a
b
> − 1.5log ( )2
ax b
> −
0, 0a b> < 3( )2 2
x a
b
< − 1.5log ( )2
ax b
< −
( ) 2 3x xf x a b= ⋅ + ⋅ ,a b 0ab ≠
0ab > ( )f x
0ab < ( 1) ( )f x f x+ > x
0, 0a b> > 1 2 1 2, ,x x R x x∈ < 1 2 1 2
1 2( ) ( ) (2 2 ) (3 3 )x x x xf x f x a b− = − + −
1 2 1 22 2 , 0 (2 2 ) 0x x x xa a< > ⇒ − < 1 2 1 23 3 , 0 (3 3 ) 0x x x xb b< > ⇒ − <
1 2( ) ( ) 0f x f x− < ( )f x R
0, 0a b< < ( )f x R
( 1) ( ) 2 2 3 0x xf x f x a b+ − = ⋅ + ⋅ >
0, 0a b< > 3( )2 2
x a
b
> − 1.5log ( )2
ax b
> −
0, 0a b> < 3( )2 2
x a
b
< − 1.5log ( )2
ax b
< −
1 10x≤ ≤
3100(5 1 )x x
+ −
解析： (1)根据题意，
又 ，可解得
(2)设利润为 元，则
故 时， 元．
5、（2013 年上海高考文 20）甲厂以 千米/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求 ），每小时
可获得的利润是 元．
（1）求证：生产 千克该产品所获得的利润为 ；
（2）要使生产 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度？并求此最大利润．
解析：
（1）生产 a 千克该产品，所用的时间是 小时
所获得的利润为 100
所以生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a 元
（2）生产 900 千克该产品，获得的利润为 90000 ，
1≤x≤10,记ƒ（x）=
则ƒ（x）=
获得最大利润 90000 元。
因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利润 457500 元。
6、（2009 年上海高考理 20 文 20）有时可用函数
描述学习某学 知识的掌握程度，其中 表示某学 知识的学习次数（ ）， 表示对该学 知识的掌握程
度，正实数 与学 知识有关。
（1） 证明：当 时，掌握程度的增加量 总是下降； 学
（2） 根据经验，学 甲、乙、丙对应的 的取值区间分别为 , , 。当学习某学
知识 6 次时，掌握程度是 85 ，请确定相应的学 。
解析：（1）当
3 3200(5 1 ) 3000 5 14 0x xx x
+ − ≥ ⇒ − − ≥
1 10x≤ ≤ 3 10x≤ ≤
y 4 2900 3 1 1 61100(5 1 ) 9 10 [ 3( ) ]6 12y xx x x
= ⋅ + − = × − − +
6x = max 457500y =
x 1 10x≤ ≤
3100(5 1 )x x
+ −
a 2
1 3100 (5 )a x x
+ −
900
a
x
35 1 ax x x
+ − ⋅
2
1 35 x x
+ −
2
1 35 x x
+ −
2
3 1 5,1 10xx x
− + + ≤ ≤
21 1 13 5, 66 12 xx
− − + + = 当且仅当 时取到最大值
61=45750012
×
0.1 15ln ,( 6)
( ) 4.4 ,( 6)4
a xa xf x x xx
+ ≤ −= − > −
x *x N∈ ( )f x
a
7x ≥ ( 1) ( )f x f x+ −
a (115,121] (121,127] (121,133]
0.47 ( 1) ( ) ( 3)( 4)x f x f x x x
≥ + − = − −时，
而当 ，函数 单调递增，且 >0
故 单调递减
当 ，掌握程度的增长量 总是下降
（2）由题意可知 0.1+15ln =0.85
整理得
解得
由此可知，该学 是乙学
7、（2009 年上海高考理 22）已知函数 的反函数。定义：若对给定的实数 ，函数
与 互为反函数，则称 满足“ 和性质”；若函数 与
互为反函数，则称 满足“ 积性质”。
（1） 判断函数 是否满足“1 和性质”，并说明理由；
（2） 求所有满足“2 和性质”的一次函数；
（3） 设函数 对任何 ，满足“ 积性质”。求 的表达式。
解析：（1）函数 的反函数是
而 其反函数为
故函数 不满足“1 和性质”
（2）设函数 满足“2 和性质”，
而 得反函数
由“2 和性质”定义可知 = 对 恒成立
即所求一次函数为
（3）设 ， ，且点 在 图像上，则 在函数 图象上，
故 ，可得 ，
7x ≥ 时 ( 3)( 4)y x x= − − ( 3)( 4)x x− −
( 1) ( )f x f x+ −
∴ 7x ≥ 时 ( 1) ( )f x f x+ −
6
a
a −
0.05
6
a ea
=−
0.05
0.05 6 20.50 6 123.0,123.0 (121,127]1
ea e
= ⋅ = × = ∈−
( )y f x= ( 0)a a ≠
( )y f x a= + 1( )y f x a−= + ( )y f x= a ( )y f ax=
1( )y f ax−= ( )y f x= a
2( ) 1( 0)g x x x= + >
( )( 0)y f x x= > 0a > a ( )y f x=
2( ) 1( 0)g x x x= + > 1( ) 1( 1)g x x x− = − > 1( 1) ( 0)g x x x−∴ + = >
2( 1) ( 1) 1( 1),g x x x+ = + + > − 1 1( 1)y x x= − − >
2( ) 1( 0)g x x x= + >
( ) ( )f x kx b x R= + ∈ 0.k ≠
1 1 2( ) ( ), ( 2)x b x bf x x R f xk k
− −− + −∴ = ∈ ∴ + =
( 2) ( 2) ( ),f x k x b x R+ = + + ∈ 2x b ky k
− −=
2x b
k
+ − 2x b k
k
− −
x R∈
1, ,k b R∴ = − ∈ ( ) ( )f x x b b R= − + ∈
0a > 0 0x > 0 0( , )x y ( )y f ax= 0 0( , )y x 1( )y f ax−=
0 0( )f ax y= 0 0 0( ) ( )ay f x af ax= =
1
0 0( )f ay x− =
令 ，则 。 ，即 。
综上所述， ，此时 ，其反函数就是 ，
而 ，故 与 互为反函数 .
8、（2010 年上海高考理 22）若实数 、 、 满足 ，则称 比 远离 .
（1）若 比 1 远离 0，求 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 远离 ；
（3）已知函数 的定义域 .任取 ， 等于 和 中
远离 0 的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）.
解析：(1) ；
(2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 ， ，
因为 ，
所以 ，即 a3+b3 比 a2b+ab2 远离 ；
9、（2010 年上海高考文 22）若实数 、 、 满足 ，则称 比 接近 .
（1）若 比 3 接近 0，求 的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数 、 ，证明： 比 接近 ；
（3）已知函数 的定义域 .任取 ， 等于 和 中接近
0 的那个值.写出函数 的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）.
解析：(1) x∈(−2,2)；
(2) 对任意两个不相等的正数 a、b，有 ， ，
因为 ，
所以 ，即 a2b+ab2 比 a3+b3 接近 ；
(3) , ∈ ，
f(x)是偶函数，f(x)是周期函数，最小正周期 T=π，函数 f(x)的最小值为 0，
函数 f(x)在区间 单调递增，在区间 单调递减， ∈ ．
10、（2014 年上海高考文理 20）
设常数 ，函数 ．
（1）若 ，求函数 的反函数 ；
2 2 2a b ab ab ab+ >
2 2 3 3 2| 2 | | 2 | ( )( ) 0a b ab ab ab a b ab ab a b a b+ − − + − = − + − <
[ , )2k k
ππ π−
0ax x=
0
xa x
= ∴ 0
0
( ) ( )xf x f xx
= 0 0( )( ) x f xf x x
=
1
11 n
nb q b−= = ( ) ( 0)kf x kx
= ≠ ( ) kf ax ax
= ky ax
=
1( ) kf ax ax
− = ( )y f ax= 1( )y f ax−=
x y m x m y m− −＞ x y m
2 1x − x
a b 3 3a b+ 2 2a b ab+ 2ab ab
( )f x kD= x|x + k Z x R 2 4
π π｛ ≠ ， ∈ ， ∈ ｝ x D∈ ( )f x sin x cos x
( )f x
( , 2) ( 2. )x∈ −∞ − + ∞
3 3 2a b ab ab+ >
3 3 2 2 2| 2 | | 2 | ( )( ) 0a b ab ab a b ab ab ab a b a b+ − − + − = + − >
3 3 2 2| 2 | | 2 |a b ab ab a b ab ab ab+ − > + − 2ab ab
x y m x m y m− < − x y m
2 1x − x
a b 2 2a b ab+ 3 3a b+ 2ab ab
( )f x { }, ,D x x k k Z x Rπ≠ ∈ ∈ x D∈ ( )f x 1 sin x+ 1 sin x−
( )f x
2 2 2a b ab ab ab+ > 3 3 2a b ab ab+ >
2 2 3 3| 2 | | 2 |a b ab ab ab a b ab ab+ − < + − 2ab ab
1 sin , (2 ,2 )( ) 1 | sin |,1 sin , (2 ,2 )
x x k kf x x x kx x k k
π π π ππ π π
+ ∈ −= = − ≠ − ∈ +
( , ]2k k
ππ π +
0≥a a
axf x
x
−
+=
2
2)(
4a = )(xfy = )(1 xfy −=
（2）根据 的不同取值，讨论函数 的奇偶性，并说明理由．
[解 ：
（1）因为 ，所以 ，得 或 ，且 ．
因此，所求反函数为 ， ．
（2）当 时， ，定义域为 ，故函数 是偶函数；
当 时， ，定义域为 ，
，故函数 为奇函数；
当 且 时，定义域为 关于原点不对称，
故函数 既不是奇函数，也不是偶函数．
11、（2015 年上海高考理 23）（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，
第 3 小题满分 8 分.
对于定义域为 的函数 ，若存在正常数 ，使得 是以 为周期的函数，则称 为余弦周期函
数，且称 为其余弦周期.已知 是以 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为 .设 单调递增，
， .
（1）验证 是以 为周期的余弦周期函数；
（2）设 ．证明对任意 ，存在 ，使得 ；
（3）证明：“ 为方程 在 上得解”的充要条件是“ 为方程 在
上有解”，并证明对任意 都有 .
【答案】（1）详见解析（2）详见解析（3）详见解析 学优高考
（2）由于 的值域为 ，所以对任意 ， 都是一个函数值，即有 ，使得
. 学优高考
a )(xfy =
2 4
2 4
x
xy
+= −
( )4 12 1
x y
y
+= − 1y < − 1y > ( )
2
4 1log 1
yx y
+= −
( )1
2
4 1( ) log 1
xf x x
− += − ( ) ( ), 1 1,x∈ −∞ − +∞
0a = ( ) 1f x = R ( )y f x=
1a = 2 1( ) 2 1
x
xf x
+= − ( ) ( ),0 0,−∞ +∞
2 1 2 1( ) ( )2 1 2 1
x x
x xf x f x
−
−
+ +− = = − = −− − ( )y f x=
0a > 1a ≠ ( ) ( )2 2,log log ,a a−∞ +∞
( )y f x=
R ( )g x Τ ( )cos g x Τ ( )g x
Τ ( )f x Τ R ( )f x
( )0 0f = ( ) 4f πΤ =
( ) sin 3
xh x x= + π6
ba < ( ) ( ),c f a f b∈ [ ]0 ,x a b∈ ( )0f x c=
0u ( )cos 1f x = [ ]0,Τ 0u + Τ ( )cos 1f x = [ ],2Τ Τ
[ ]0,x∈ Τ ( ) ( ) ( )f x f x f+ Τ = + Τ
( )f x R ( ) ( ),c f a f b∈ c 0 Rx ∈
( )0f x c=
若 ，则由 单调递增得到 ，与 矛盾，所以 .同理可证
.故存在 使得 .
（3）若 为 在 上的解，则 ，且 ，
，即 为方程 在 上的解.
同理，若 为方程 在 上的解，则 为该方程在 上的解.
以下证明最后一部分结论.
由（2）所证知存在 ，使得 ， ， ， ， ， .
而 ，故 .
类似地，当 ， ， ， 时，有 .
结论成立.
【考点定位】新定义问题
212、（2015 年上海高考文 20）（本题满分 14 分）已知函数 ，其中 为常数，
（1）根据 的不同取值，判断 的奇偶性，并说明理由；
（2）若 ，判断 在 上的单调性，并说明理由。
分析：比较简单的一类奇偶性的判断和证明，首先要注意本题要求先判断，所以解题时要把结论写在前面，然后
再去证明；第二问考查了函数单调性的一般步骤，及时含有参数，也比较容易能够判别符号。总体来说本题考查
的知识点偏基础。
答案：（1） 时， 为奇函数；
时， 非奇非偶。
（2）单调递增。
0x a< ( )f x ( ) ( )0c f x f a= < ( ) ( ),c f a f b∈ 0x a≥
0x b≤ [ ]0 ,x a b∈ ( )0f x c=
0u ( )cos 1f x = [ ]0,Τ ( )0cos 1f u = [ ]0 ,2u + Τ∈ Τ Τ
( ) ( )0 0cos cos 1f u f u+ Τ = = 0u + Τ ( )cos 1f x = [ ],2Τ Τ
0u + Τ ( )cos 1f x = [ ],2Τ Τ 0u [ ]0,Τ
0 1 2 3 40 x x x x x= < < < < = Τ ( )if x iπ= 0i = 1 2 3 4
( ) ( )cos cosf x f x+ Τ = ( ) ( ) ( ) ( )4f x f x f x fπ+ Τ = + = + Τ
[ ]1,i ix x x +∈ 1i = 2 3 ( ) ( ) ( )f x f x f+ Τ = + Τ
( )
xaxxf 12 += a
a ( )xf
( )3,1∈a ( )xf [1,2]
0a = ( )f x
0a ≠ ( )f x
13、（2016 年上海高考理 22）已知 ，函数 .
（1）当 时，解不等式 ；
（2）若关于 的方程 的解集中恰好有一个元素，求 的取值范围；
（3）设 ，若对任意 ，函数 在区间 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 的取值
范围.
解：（1）由 ，得 ，解得 ．
（2） ， ，
当 时， ，经检验，满足题意．
当 时， ，经检验，满足题意．
当 且 时， ， ， ．
是原方程的解当且仅当 ，即 ；
是原方程的解当且仅当 ，即 ．
于是满足题意的 ． 综上， 的取值范围为 ．
（3）当 时， ， ，
所以 在 上单调递减．
函数 在区间 上的最大值与最小值分别为 ， ．
即 ，对任意
成立．
因为 ，所以函数 在区间 上单调递增， 时，
有最小值 ，由 ，得 ． 故 的取值范围为 ．
a R∈ 2
1( ) log ( )f x ax
= +
5a = ( ) 0f x >
x 2( ) log [( 4) 2 5] 0f x a x a− − + − = a
0a > 1[ ,1]2t ∈ ( )f x [ , 1]t t + a
2
1log 5 0x
+ >
1 5 1x
+ > ( )1, 0,4x ∈ −∞ − +∞
( )1 4 2 5a a x ax
+ = − + − ( ) ( )24 5 1 0a x a x− + − − =
4a = 1x = −
3a = 1 2 1x x= = −
3a ≠ 4a ≠ 1
1
4x a
= − 2 1x = − 1 2x x≠
1x
1
1 0ax
+ > 2a >
2x
2
1 0ax
+ > 1a >
( ]1,2a∈ a ( ] { }1,2 3,4
1 20 x x< <
1 2
1 1a ax x
+ > + 2 2
1 2
1 1log loga ax x
+ > +
( )f x ( )0,+∞
( )f x [ ], 1t t + ( )f t ( )1f t +
( ) ( ) 2 2
1 11 log log 11f t f t a at t
− + = + − + ≤ +
( )2 1 1 0at a t+ + − ≥
1 ,12t ∈
0a > ( )2 1 1y at a t= + + − 1 ,12
1
2t = y
3 1
4 2a − 3 1 04 2a − ≥ 2
3a ≥ a 2 ,3
+∞
14、（2017 年上海高考理 21）设定义在 上的函数 满足：对于任意的 、 ，当 时，都有
.
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 为周期函数，证明： 是常值函数；
（3）设 恒大于零， 是定义在 上、恒大于零的周期函数， 是 的最大值.
函数 . 证明：“ 是周期函数”的充要条件是“ 是常值函数”.
R ( )f x 1x 2x ∈R 1 2x x<
1 2( ) ( )f x f x≤
3( ) 1f x ax= + a
( )f x ( )f x
( )f x ( )g x R M ( )g x
( ) ( ) ( )h x f x g x= ( )h x ( )f x
