2021高考数学一轮复习课时作业20函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用理

2021高考数学一轮复习课时作业20函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用理

课时作业20　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用 ‎ [基础达标]‎ 一、选择题 ‎1．[2020·唐山联考]把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为(　　)‎ A．x＝0　B．x＝ C．x＝ D．x＝－ 解析：解法一　把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图象，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，则x＝，选C.‎ 解法二　将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图象，然后把选项代入检验，易知x＝符合题意，选C.‎ 答案：C ‎2．[2019·全国卷Ⅱ]若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)‎ A．2 B. C．1 D. 解析：由x1＝，x2＝是f(x)＝sin ωx两个相邻的极值点，可得＝－＝，则T＝π＝，得ω＝2，故选A.‎ 答案：A 7‎ ‎3．[2020·成都检测]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．现将函数f(x)图象上的所有点向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为(　　)‎ A．g(x)＝2sin B．g(x)＝2sin C．g(x)＝2cos 2x D．g(x)＝2sin 解析：由图象，知A＝2，T＝4×＝π，所以ω＝＝2，将点代入f(x)＝2sin(2x＋φ)得sin＝－1，即＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，结合|φ|<，得φ＝，所以f(x)＝2sin，所以g(x)＝f＝2sin，故选D.‎ 答案：D ‎4．[2020·北京一零一中学统考]将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移a(a>0)个单位长度得到函数g(x)＝cos(2x＋)的图象，则a的值可以为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：解法一　将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移a(a>0)个单位长度得到函数y＝sin(2x－2a＋)的图象，∵y＝sin(2x－2a＋)＝cos(2x－2a－)，∴g(x)＝cos(2x＋)和y＝cos(2x－2a－)是同一个函数，∴－2a－＝2kπ＋(k∈Z)，∴a＝－kπ－(k∈Z)，当k＝－1时，a＝，∴a的值可以为，故选C.‎ 7‎ 解法二　∵f(x)＝sin(2x＋)＝cos(2x＋－)＝cos(2x－)＝cos[2(x－)＋]，∴将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)＝cos(2x＋)的图象，又函数g(x)＝cos(2x＋)的周期为π，∴将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移π－＝个单位长度得到函数g(x)＝cos(2x＋)的图象，故选C.‎ 解法三　∵g(x)＝cos(2x＋)＝sin(2x＋－)＝sin(2x－)＝sin[2(x－)＋]，∴将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝cos(2x＋)的图象，故选C.‎ 解法四　∵f(x)＝sin(2x＋)＝cos(2x＋＋)＝cos(2x＋)＝cos[2(x＋)＋]，∴将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)＝cos(2x＋)的图象，故选C.‎ 答案：C ‎5．[2020·黑龙江牡丹江一中月考]关于函数f(x)＝sin(2x＋)与函数g(x)＝cos(2x－)，下列说法正确的是(　　)‎ A．函数f(x)和g(x)的图象有一个交点在y轴上 B．函数f(x)和g(x)的图象在区间(0，π)内有3个交点 C．函数f(x)和g(x)的图象关于直线x＝对称 D．函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0,0)对称 解析：∵g(－x)＝cos(－2x－)＝cos(2x＋)＝cos(2x＋＋)＝－sin(2x＋)，∴g(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)和g(x)的图象关于原点(0,0)对称，故选D.‎ 答案：D 二、填空题 ‎6．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为，则f＝________.‎ 解析：依题意＝，∴ω＝4.‎ 7‎ ‎∴f(x)＝tan 4x.‎ ‎∴f＝tan π＝0.‎ 答案：0‎ ‎7．[2020·四省八校联考，14]若f(x)＝2sin(ωx＋φ)－3(ω>0)对任意x∈R都有f(x＋)＝f(－x)成立，则f()＝________.‎ 解析：由题意知，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－3的图象的对称轴为直线x＝.当x＝时，函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－3取得最值，所以f()＝－5或－1.‎ 答案：－5或－1‎ ‎8．[2020·河南洛阳一中月考]设函数f(x)＝sin(2x＋φ) (|φ|<)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数，则φ＝________.‎ 解析：通解　f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)＝sin(2x＋＋φ)的图象，∵g(x)＝sin(2x＋＋φ)是偶函数，∴sin(φ＋)＝±1，∴φ＝kπ－(k∈Z)，∵|φ|<，∴φ＝－.‎ 优解　∵函数f(x)＝sin(2x＋φ) (|φ|<)的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数是一个偶函数，∴f(x)＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴sin(φ＋)＝±1，∴φ＝kπ－(k∈Z)，∵|φ|<，‎ ‎∴φ＝－.‎ 答案：－ 三、解答题 ‎9．已知函数f(x)＝2sin(其中0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．‎ ‎(1)试求ω的值；‎ ‎(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．‎ 解析：(1)∵点是函数f(x)图象的一个对称中心，‎ 7‎ ‎∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋.‎ ‎∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]，列表如下：‎ x＋ ‎－ ‎－ ‎0‎ π x ‎－π ‎－ ‎－ π y ‎－1‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－1‎ 则函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象如图所示．‎ ‎10．[2019·河北保定摸底]已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－π<φ<π，x∈R)在一个周期内的部分对应值如下表：‎ x ‎－ ‎－ ‎0‎ f(x)‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎(1)求f(x)的解析式；‎ ‎(2)求函数g(x)＝f(x)－2sin x的最大值及其对应的x的值．‎ 解析：(1)由表格可知，A＝2，f(x)的周期T＝－(－)＝π，‎ 所以ω＝＝2.‎ 又2sin(2×0＋φ)＝2，得sin φ＝1，‎ 因为－π<φ<π，所以φ＝，所以f(x)＝2sin(2x＋)＝2cos 2x.‎ ‎(2)g(x)＝f(x)－2sin x＝cos 2x－2sin x＝1－2sin2x－2sin x＝－2sin( x＋)2＋.‎ 7‎ 又sin x∈[－1,1]，所以当sin x＝－时，g(x)取得最大值，‎ 此时x＝2kπ－或x＝2kπ＋(k∈Z)．‎ ‎[能力挑战]‎ ‎11．[2019·吉林期末]若函数f(x)＝sin 2x－cos 2x在[0，t]上的值域为[－，2]，则t的取值范围为(　　)‎ A.[，] B.[，]‎ C.[，π ] D.[，π]‎ 解析：依题意，知f(x)＝2sin(2x－)，因为x∈[0，t]，所以2x－∈[－，2t－].又f(x)在[0，t]上的值域为[－，2]，则2t－∈[，]，即t∈[，].故选B.‎ 答案：B ‎12．[2019·辽宁辽阳期末]已知函数f(x)＝Asin ωx(A>0，ω>0)与g(x)＝cos ωx的部分图象如图所示，则(　　)‎ A．A＝1，ω＝ B．A＝2，ω＝ C．A＝1，ω＝ D．A＝2，ω＝ 解析：由已知图象，可知＝1，T＝＝1.5×4＝6，所以A＝2，ω＝.故选B.‎ 答案：B ‎13．[2020·陕西长安五中月考]已知函数f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω>0)，x∈R，若函数f(x)在(－ω，ω)上是增函数，且图象关于直线x＝－ω对称，则ω＝________.‎ 7‎ 解析：通解　∵函数f(x)＝sin(ωx－)的图象关于直线x＝－ω对称且f(x)在区间(－ω，ω)上是增函数，∴f(－ω)＝－，∴sin(－ω2－)＝－1，∴－ω2－＝2k1π－(k1∈Z)，∴ω2＝－2k1π＋(k1∈Z)．由2k2π－≤ωx－≤2k2π＋(k2∈Z)，得π≤x≤π(k2∈Z)，又x∈(－ω，ω)，∴π≤－ω(k2∈Z)且ω≤π(k2∈Z)，即0<ω2≤π(k2∈Z)且0<ω2≤π(k2∈Z)，得－0，∴0<ω≤，又ω2＝－2k1π＋(k1∈Z)，∴k1＝0，∴ω＝.‎ 优解　∵函数f(x)＝sin(ωx－)的图象关于直线x＝－ω对称且f(x)在区间(－ω，ω)上是增函数，∴f(－ω)＝－且2ω≤，∴sin(－ω2－)＝－1且ω2≤，‎ ‎∴－ω2－＝2kπ－(k∈Z)且ω2≤，∴ω2＝－2kπ＋(k∈Z)且ω2≤，∴ω2＝.∵ω>0，∴ω＝.‎ 答案： 7‎