数学理卷·2018届山东省、湖北省部分重点中学高三上学期第二次（12月）联考试题（解析版）

数学理卷·2018届山东省、湖北省部分重点中学高三上学期第二次（12月）联考试题（解析版）

山东、湖北部分重点中学2018年第二次联考(理)‎ 数学试题（理工农医类）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】 ,则.故选B.‎ ‎2. 已知全集，，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 ，‎ ‎.‎ ‎.‎ 则 .‎ 故选B.‎ ‎3. 在等差数列中，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】在等差数列中，‎ ‎,则.‎ 故选C.‎ ‎4. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】三视图还原为三棱锥，如图所示，‎ 则三棱锥的表面积为 .‎ 故选A.‎ ‎5. 已知,则的大小为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】,.‎ 所以.‎ 故选D.‎ ‎6. 若函数图象的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标不变,再向左平移得到函数的图象，则有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】.‎ 故选A.‎ 点睛：三角函数中函数图象的平移变化是常考知识点，也是易错题型.‎ 首项必须看清题目中是由哪个函数平移，平移后是哪个函数；‎ 其次，在平移时，还要注意自变量x的系数是否为1，如果x有系数，需要将系数提出来求平移量，平移时遵循“左加右减”.‎ ‎7. 已知命题若，则，命题若，则，则有（ ）‎ A. 为真 B. 为真 C. 为真 D. 为真 ‎【答案】D ‎【解析】为假， ，为真. 则为真，故选D.‎ ‎8. 若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ‎ 或(舍),‎ 故选C.‎ ‎9. 如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕旋转一周，则图中阴影部分绕旋转一周所得几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】扇形绕旋转一周所得几何体的体积为球体积的，则，绕旋转一周所得几何体为圆锥，体积为，阴影部分旋转所得几何体的体积为，故选C.‎ ‎10. 函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】为奇函数，排除B；‎ ‎；排除D；，排除C.‎ 故选A.‎ ‎11. 已知从1开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表，第一行为1，第二行为3，5，第三行为7，9，11，第四行为13，15，17，19，如图所示，在宝塔形数表中位于第行，第列的数记为，比如，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】奇数数列，即为底1009个奇数.‎ 按照蛇形排列，第1行到第行末共有个奇数,则第1行到第行末共有个奇数；第1行到第行末共有个奇数；则2017位于第45行；而第行是从右到左依次递增，且共有个奇数；故位于第45行，从右到左第19列，则，故选D.‎ 点睛：本题归纳推理以及等差数列的求和公式，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.‎ ‎12. 已知函数，给出下列命题：①函数的最小正周期为；②函数关于对称；③函数关于对称；④函数的值域为，则其中正确的命题个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】的周期显然为；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎，故②正确.‎ ‎；‎ ‎，故③正确. ‎ ‎，‎ 设，则，‎ ‎，故④正确.‎ 故选D.‎ 点睛：复杂函数求对称中心，如函数满足，则对称中心为，如函数满足，则对称轴为 此处需要学生对函数的对称性非常熟悉，然后将具体函数代入计算，得到等式，等式成立的条件就是常数和含自变量的式子对应相等，最后解得答案。‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎13. 若，若，则_____．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ 答案为：-1.‎ ‎14. 已知实数满足，则的最小值为_________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 由题意可得可行域为如图所示（含边界），，‎ 则在点处取得最小值.‎ 联立，解得：‎ 代入得最小值5.‎ 答案为：5.‎ 点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎15. 已知在数列的前项之和为，若，则_______．‎ ‎【答案】1078‎ ‎ ‎ ‎.‎ ‎.‎ 答案为：1078.‎ ‎16. 四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面是以为斜边的等腰直角三角形，若，则四棱锥的体积取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17. 已知单调的等比数列的前项的和为，若，且是的等差中项.‎ ‎(Ⅰ)求数列的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若数列满足，且前项的和为，求.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知得，从而求得，由，得，进而得通项公式；‎ ‎(Ⅱ) ，，利用裂项相消求和即可.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)因为是的等差中项，‎ 所以或（舍）； ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ) ；‎ ‎ ‎ 点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.‎ ‎18. 设函数 ‎(Ⅰ) 求的单调增区间；‎ ‎(Ⅱ) 已知的内角分别为，若，且能够盖住的最大圆面积为，求的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)6.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)由三角形两角和的正弦展开利用二倍角公式化简可得，令，求解增区间即可；‎ ‎（Ⅱ）由，得，由题意可知：的内切圆半径为，根据切线长相等结合图象得，再结合余弦定理得，利用均值不等式求最值即可.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ) .‎ ‎.‎ 的单调增区间为.‎ ‎(Ⅱ) ‎ ‎，所以.‎ 由余弦定理可知：.‎ 由题意可知：的内切圆半径为.‎ 的内角的对边分别为，‎ 如图所示可得： ‎ ‎.‎ 或（舍）‎ ‎，‎ 当且仅当时，的最小值为.‎ 令也可以这样转化：‎ 代入；‎ 或（舍）； ‎ ‎，‎ 当且仅当时，的最小值为.‎ ‎19. 如图，三棱台中， 侧面与侧面是全等的梯形，若,且.‎ ‎（Ⅰ）若，，证明：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）若二面角为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ) 连接，由比例可得∥，进而得线面平行；‎ ‎（Ⅱ）过点作的垂线，建立空间直角坐标系，不妨设，则求得平面的法向量为，设平面的法向量为，由求二面角余弦即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证明：连接，梯形，,‎ 易知：；‎ 又，则∥；‎ 平面，平面，‎ 可得：∥平面；‎ ‎（Ⅱ）侧面是梯形，，‎ ‎,,‎ 则为二面角的平面角， ；‎ 均为正三角形，在平面内，过点作的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设，则 ‎,故点，‎ ‎；‎ 设平面的法向量为，则有：；‎ 设平面的法向量为，则有：；‎ ‎，‎ 故平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.‎ ‎20. 设函数 ‎（Ⅰ）若在处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）若是的极小值点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意可知：，即可求得的值；‎ ‎（Ⅱ）函数求得，讨论，和时，导数的正负，进而得函数的单调性，即可得出是的极小值点时的取值范围.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）解：；‎ 由题意可知：；‎ ‎；‎ 易得切点坐标为，则有；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：； ‎ ‎（1）当时，，；；是的极小值点，∴适合题意；； ‎ ‎（2）当时，或，且；‎ ‎；；；‎ 是的极小值点，∴适合题意；； ‎ ‎（2）当时，或，且；‎ ‎；；；‎ 是的极大值点，∴不适合题意； ‎ 综上，实数的取值范围为；‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）若在上是减函数，求实数的取值范围.‎ ‎（Ⅱ）若的最大值为，求实数的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)在上是减函数，即为在恒成立，得在恒成立，令，求最小值即可；‎ ‎（Ⅱ）注意到，又的最大值为，则，得，只需证明：时，即可，即证，设，求到求最值即可证得.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）在恒成立；‎ 在恒成立；‎ 设，则，由得：；‎ 在上为增函数，有最小值. ∴；‎ ‎（Ⅱ）注意到，又的最大值为，则 ‎；‎ 下面证明：时，，即,‎ ‎； ‎ 设； ‎ ‎.‎ 在上为增函数；‎ 在上为减函数；‎ 有最大值； ‎ ‎ ‎ ‎∴适合题意.‎ 点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出．导数专题在高考中的命题方向及命题角度：从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．‎ 选做题（请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分）‎ ‎22. 【选修4−4：坐标系与参数方程】‎ 已知直线的参数方程为为参数)．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系, 圆的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求直线与圆的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线分圆所得的弧长之比为，求实数的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 或.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)消去参数方程中的即可得普通方程，利用，即得圆的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）直线分圆所得的弧长之比为则弧所对的圆心角为90°，可得弦长为，利用垂径定理可得距离，进而利用点到直线距离可得参数的值.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）由题意知：，‎ ‎；‎ ‎（Ⅱ）；‎ 直线分圆所得的弧长之比为则弧所对的圆心角为90°，可得弦长为；‎ ‎； ‎ 或.‎ ‎23. 【选修4—5：不等式选讲】‎ 已知函数, ‎ ‎（Ⅰ）解不等式； ‎ ‎（Ⅱ）若不等式的解集为，，且满足，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)分类讨论去绝对值解不等式即可；‎ ‎（Ⅱ）根据题意可得在恒成立，进而得在恒成立，去绝对值求解的取值范围即可.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）可化为 ‎，或，或；‎ ‎，或，或； ‎ 不等式的解集为；‎ ‎（Ⅱ）易知；‎ 所以，所以在恒成立；‎ 在恒成立； ‎ 在恒成立；‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎