2017-2018学年山东省青岛市西海岸新区胶南第一高级中学高二3月月考数学（文）试题（Word版）
2017-2018学年山东省青岛市西海岸新区胶南第一高级中学高二3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．曲线在点处的切线方程为 （ ）
A. B. C. D.
2．已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
3．函数在上的最大值是（ ）
A. B. C. D.
4．函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. D.
5．若在上不是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A. B. 或 C. D. 或
6．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①-2是函数的极值点；
②1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增.
则正确命题的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
7．某产品近四年的广告费x万元与销售额y万元的统计数据如下表，
根据此表可得回归方程中的=9.4，据此模型预测下一年该产品广告费预算为60万元时，其销售额为( )万元.
A. 650 B. 655 C. 677 D. 720
8．在某城市的发展过程中,交通状况逐渐受到更多的关注,据有关统计数据显示,从上午6时到9时,车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用函数表示为:y=-t3-t2+36t-,则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是 ( )
A. 6时 B. 7时 C. 8时 D. 9时
9．已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是 ( )
A. (2,3)
B. (3,+∞)
C. (2,+∞)
D. (-∞,3)
10．若函数的图象总在直线的上方,则实数 的取值范围是
A. B. C. D.
11．定义在上的函数是它的导函数,且恒有成立,则
A. B.
C. D.
12．已知函数，若在定义域内恒成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13．若曲线在点处的切线经过坐标原点，则__________．
14．函数在区间上的值域为__________．
15．若在上是减函数，则的取值范围是__________．
16．已知函数，若函数在区间上存在最值，则实数的取值范围是_______________．
三、解答题
17．已知曲线y＝x3，求：
(1)曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)过点P(1,0)的曲线的切线方程．
18．已知函数，且曲线在点处的切线斜率为-3.
（Ⅰ）求单调区间；
（Ⅱ）求的极值．
19．某地区预计从2015年初开始的第月，商品的价格（， ，价格单位：元），且第月该商品的销售量（单位：万件）.
（1）商品在2015年的最低价格是多少？[]
（2）2015年的哪一个月的销售收入最少，最少是多少？
20．已知函数．
（Ⅰ）当时，求函数的单调区间;
（Ⅱ）当时，证明．
21．（本小题满分12分）
设函数
（Ⅰ）若，求的单调区间；
（Ⅱ）若当≥0时≥0，求的取值范围．
22．高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”，彰显出中国式创新的强劲活力，某移动支付公司在我市随机抽取了100名移动支付用户进行调查，得到如下数据：
每周移动支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及以上
男
4
3
3
7
8
30
女
6
5
4
4
6
20
合计
10
8
7
11
14
50
（1）如果认为每周使用移动支付超过3次的用户“喜欢使用移动支付”，能否在犯错误概率不超过的前提下，认为是否“喜欢使用移动支付”与性别有关？
（2）每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”，视频率为概率，在我市所有“移动支付达人”中，随机抽取4名用户，
①求抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率；
②为了鼓励女性用户使用移动支付，对抽出的女“移动支付达人”每人奖励500元，记奖励总金额为，求的数学期望.
附表及公式：
参考答案
1．A
【解析】由题意可得，则，即切线过点(1,0)，斜率为1，切线方程为.
本题选择A选项.
2．C
【解析】 ,选C.
3．A
【解析】
函数在上均是减函数，所以在上是减函数，所以函数最大值为，选A.
4．C
【解析】函数，定义域为， ，令，所以单调曾区间为
点睛：求函数的单调区间时务必要注意先求定义域
5．D
【解析】，∵若函数在上不是单调函数，∴有两个不等的根，∴则或，故选D.
点睛：本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数的取值范围，属于中档题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解；求出函数的导数，由题意得函数的导数在上至少有一个零点，主要不能有两个相等的零点，即可求出实数的取值范围.
6．D
【解析】根据导函数图像可知，-2是导函数得零点且-2的左右两侧导函数值符号异号，故-2是极值点，1不是极值点，因为1的左右两侧导函数符号不一致，0处的导函数值即为此点的切线斜率显然为正值，导函数在恒大等于零，故为函数的增区间，所以选D
点睛：根据导函数和原函数的关系很容易分析单调性，然后要注意对极值点的理解，极值点除了是导函数得解还一定要保证在导函数值在此点两侧异号
7．B
【解析】 ， ，那么 ，解得： ，所以回归直线方程为 ，当时， ，故选B.
8．C
【解析】y′=-t2-t+36=- (t+12)(t-8),令y′=0,得t=-12(舍去)或t=8,当6≤t<8时,y′>0,当8
0得x>3或x<2.
所以从选项看函数的一个递增区间是(3,+∞).
点睛：本题考查的是利用导数研究函数的单调性和极值问题：（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f ′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f ′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
10．A
【解析】构造函数
当
函数 在
故答案为：A。
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；（3）若 恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）
11．B
【解析】构造函数,则,即在上单调递增,
由于，所以,即,
本题选择B选项.
12．C
【解析】，即函数的定义域为， 在上恒成立，即在上恒成立，令， ，令，解得，当时， 单调递减，当时， 单调递增， ， ， 的取值范围是，故选C.
【方法点晴】本题主要考查“分离常数”在解题中的应用、函数的定义域及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围，本题是利用方法 ① 求解的．
13．2
【解析】因为 ，因为切线经过点（1，2）和（0，0），
所以切线方程为 ，
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为： ．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
14．
【解析】∵，
∴，
∴函数在区间上单调递增，
∴，即．
∴函数在区间上的值域为．
答案：
15．
【解析】由题在上恒成立．即b≤x2在x∈（1，+∞）上恒成立，因为x2＞1，所以b≤1．
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：
（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；
（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；
（3）若 恒成立，可转化为 .
16．
【解析】由题可得，因为函数在区间上存在最值，所以，即，解得，故实数
的取值范围是．
17．（1）3x－y－2＝0；（2）3x－y－2＝0
【解析】试题分析：（1）求出y的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；
（2）设切点为(x0，y0)，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得x0，进而得到切线的方程.
试题解析：
y′＝3x2.
(1)当x＝1时，y′＝3，即在点P(1,1)处的切线的斜率为3，
∴切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
(2)设切点坐标为(x0，y0)，则过点P的切线的斜率为3x，
由直线的点斜式，得切线方程y－x＝3x (x－x0)，
即3xx－y－2x＝0.
∵P(1,0)在切线上，∴3x－2x＝0.
解之得x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，切线方程为y＝0.
当x0＝时，切线方程为27x－4y－27＝0.
点睛：对于导数的几何意义，要注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别。
（1）“曲线在点P处的切线”表示点P为切点，且点P在曲线上，过点P的切线只有一条；
（2）“曲线过点P的切线”表示点P不一定在曲线上，即使点P在曲线上时也不一定为切点，此时过点P的切线不一定只有一条。
18．（I）在递增，在递减，在递增；（II）， .
【解析】试题分析：（Ⅰ）由导数几何意义，求出的值；（Ⅱ）由求极值的步骤，求出极大值和极小值。
试题解析：
解：（1），由，解得： ，
故， ，
令，解得： 或，
令，解得： ，
故在递增，在递减，在递增；
（2）由（1）知，
．
19．（1）最低价格为16.5元；（2）第5月的销售收入最低.最低销售收入为289万元.
【解析】试题分析：
(1)对二次函数的解析式进行配方，结合二次函数的性质可知第6月的价格最低，最低价格为16.5元；
(2)写出销售收入的函数解析式，对函数求导， 利用导函数与原函数的关系可得第5月的销售收入最低.最低销售收入为289万元.
试题解析：（1）， 当时， 取得最小值，
即第6月的价格最低，最低价格为16.5元；
（2）设第月的销售收入为（万元），依题意有
，
，
所以当时， 递减；
当时， 递增，
所以当时， 最小，即第5个月销售收入最少.最低销售收入为289万元.
答：2013年再第5月的销售收入最低.最低销售收入为289万元.
20．（Ⅰ）当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间，
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间为，
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间为；
（Ⅱ）证明见解析．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）易求得函数的定义域为，由函数，则，令或，即可求得函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，，要证，只需证，所以此问就是求函数在定义域区间的最小值．
试题解析： （Ⅰ）易求得函数的定义域为，
已知函数，
所以，
令，即
当时，恒成立，所以函数的单调递增区间是，无单调递减区间。
当时，不等式的解为或
又因为，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间为
当时，不等式的解为或
又因为，
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间为
综上所述，当时，函数的单调递增区间是，无单调递减区间。
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间为
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间为
（Ⅱ）当时，
所以
已知
令，得
所以函数的单调递增区间是，单调递减区间为
所以
所以
考点：导函数的应用．
21．（I）函数的增区间为（），（），减区间为（－1,0）.（II）a≤1。
【解析】试题分析：本题主要考查利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力．第一问，先对求导，再利用和判断函数的单调性；第二问， ，构造函数，分类讨论，先利用导数判断确定函数的单调性，再确定函数的正负，从而求出函数的正负，即可得到a的取值范围．
试题解析：（Ⅰ） 时， ，
。
当时;当时， ;当时， 。
故在， 单调增加，在（-1，0）单调递减．
（Ⅱ）,令，则．
若，则当时， ， 为增函数，而，
从而当x≥0时≥0，即≥0．
若，则当时， ， 为减函数，而，
从而当时＜0，即＜0．
综合得的取值范围为
考点：利用导数求闭区间上函数的极值和最值、利用导数研究函数的单调性．
22．（1）在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用移动支付”与性别有关；
（2）①②800元
【解析】试题分析：
（1）根据题中的数据得到2×2列联表，再根据列联表求得，最后根据临界值表可得结论．（2）由题意得随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“
移动支付达人”的概率为．①运用对立事件的概率求解即可；②设抽出的女“移动支付达人”人数为Y，则．根据题意可得Y~B(4, )，所以E(Y)＝，根据均值的性质可得E(X)＝500E(Y)＝800元．
试题解析：
（1）由图中表格可得2×2列联表如下：
将列联表中的数据代入公式计算得
≈3.03＜3.841，
所以在犯错误概率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用移动支付”与性别有关．
（2）视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为，女“移动支付达人”的概率为．
①抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为
P＝1－()4－()4＝；
②记抽出的女“移动支付达人”人数为Y，则．
由题意得Y~B(4, )，
所以，
所以X的数学期望E(X)＝500E(Y)＝800元．
点睛：
（1）求离散型随机变量的期望与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用期望、方差公式进行计算．另外解题时要注意观察随机变量的概率分布特征，若属于二项分布，则用二项分布的期望与方差公式计算则更为简单．
（2）解题中注意均值与方差的性质的利用：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b(a，b为常数)；②D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数)，利用这些结论解题可带来方便．
