甘肃省民乐县第一中学2020届高三3月线上考试数学（理）试题

甘肃省民乐县第一中学2020届高三3月线上考试数学（理）试题

‎2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据补集的运算法则，求出集合A的补集，再求交集即可得解.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查集合的补集运算和交集运算，属于简单题目，考查基础知识的掌握.‎ ‎2.若复数，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简再求模.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以1‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查复数的运算和复数的模，还考查了运算求解的能力，属于基础题.‎ ‎3.等差数列的前项和为，且，，则（ ）‎ A. 2017 B. ‎2018 ‎C. 2019 D. 2020‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据已知条件构造关于，的方程组，求出数列的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，，‎ 所以解得，，‎ 故选：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.‎ ‎4.分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能.其计算式子为，其中，为静电常量，、分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知，，，且，则的近似值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 将，，代入，结合化简计算可得出的近似值.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查的近似计算，充分理解题中的计算方法是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.‎ ‎5.已知向量，满足，，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平方运算可求得，利用求得结果.‎ ‎【详解】由题意可知：，解得：‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.‎ ‎6.已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为．因为所以点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．与因为点M在椭圆的内部，所以，所以，所以 ，所以 ，故选C．‎ ‎ 【点睛】求离心率的值或范围就是找的值或关系．由想到点M的轨迹为以原点为圆心，半径为的圆．再由点M在椭圆的内部，可得，因为 ．所以由得，由关系求离心率的范围．‎ ‎7.已知数列的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且，，，，则（ ）‎ A. B. ‎19 ‎C. 20 D. 23‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对、进行化简，得出公差和公比的数值，然后对进行化简即可得出结果．‎ ‎【详解】设奇数项的公差为，偶数项的公比为，‎ 由，，得，，‎ 解得，，所以，故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．‎ ‎8.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面积为 A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由三视图可知，该几何体的直观图如图所示，平面平面，四棱锥的高为，四边形是边长为的正方形，则，故选.‎ 考点：1.三视图；2.几何体的表面积.‎ ‎9.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合指数式与对数式的性质，可将三个式子化为指数为 的形式，然后利用幂函数的单调性可得出答案.‎ ‎【详解】由题意，，，，‎ 因为函数在上单调递增，所以，即.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查几个数的大小比较，考查指数式与对数式的运算性质，考查幂函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.‎ ‎10. 形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字，千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1，2，3，4，5可组成数字不重复的五位“波浪数”的个数为 A. 20 B. ‎18 ‎C. 16 D. 11‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据“波浪数”的定义，可得“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4，分别计算出每种的个数，相加即可.‎ ‎【详解】此“波浪数”中，十位数字，千位数字必有5、另一数是3或4；‎ 是4时“波浪数”有；‎ 另一数3时4、5必须相邻即45132；45231；13254；23154四种．‎ 则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为16，‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，要对该问题准确分类，做到不充分，不遗漏，正确求解结果，属于中档题.‎ ‎11.已知双曲线的左，右焦点分别为、，点在双曲线上，且，的平分线交轴于点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义，及余弦定理，可求得，，借助，可得，即得解.‎ ‎【详解】‎ 不妨设在双曲线的右支，且 由余弦定理：‎ 由双曲线方程：‎ 代入可得：‎ 代入可得：‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了双曲线的焦点三角形的面积问题，考查了学生转化划归，综合分析，数学运算的能力，属于中档题.‎ ‎12.若均为任意实数，且，则 的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 该题可以看做是圆上的动点到曲线上的动点的距离的平方的最小值问题，可以转化为圆心到曲线上的动点的距离减去半径的平方的最值问题，结合图形，可以断定那个点应该满足与圆心的连线与曲线在该点的切线垂直的问题来解决，从而求得切点坐标，即满足条件的点，代入求得结果.‎ ‎【详解】由题意可得，其结果应为曲线上的点与以为圆心，以为半径的圆上的点的距离的平方的最小值，可以求曲线上的点与圆心的距离的最小值，在曲线上取一点，曲线有在点M处的切线的斜率为，从而有，即，整理得，解得，所以点满足条件，其到圆心的距离为，故其结果为，‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查函数在一点处切线斜率的应用，考查圆的程，两条直线垂直的斜率关系，属中档题.‎ 二、填空题（共4小题）‎ ‎13.若，，…，的平均数、方差分别是2和1，则的平均数为______，方差为______.‎ ‎【答案】 (1). 8 (2). 9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平均值和方差公式计算得到答案.‎ ‎【详解】，的方差 ‎ 故答案为：；‎ ‎【点睛】本题考查了平均值和方差计算，记忆公式是解题的关键.‎ ‎14.已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则_______.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用函数的奇偶性的定义以及函数的周期性化简，可得，代入已知解析式，求解即可得到答案.‎ ‎【详解】解：由已知函数是偶函数，且时，都有，‎ 当时，，‎ 所以.‎ 故答案为：1.‎ ‎【点睛】此题考查函数的奇偶性、周期性，利用周期进行求值，属于中档题.‎ ‎15.设满足约束条件若目标函数的最大值为,则的最小值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：试题分析： 由得，平移直线由图象可知，当过时目标函数的最大值为，即，则 ‎，当且仅当，即时，取等号，故的最小值为．‎ 考点：1、利用可行域求线性目标函数的最值；2、利用基本不等式求最值．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数目标函数最优解和均值不等式求最值，属于难题．含参变量线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键．‎ ‎16.正项等比数列满足，且2，，成等差数列，设，则取得最小值时的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由题意列关于的方程组，求得的通项公式，再表示出，即可求得答案.‎ ‎【详解】设等比数列的公比为.‎ 由，，成等差数列，可得，则，‎ 所以，解得(舍去)或.‎ 因为，所以.‎ 所以.所以.‎ 所以，‎ 当时，取得最小值，取得最小值.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查数列的综合问题，涉及等比数列、等差数列、等比数列求积、求最值等.利用等比数列的基本量进行运算是解题的突破口.‎ 三、解答题 ‎17.在平面直角坐标系中，设的内角所对的边分别为，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，，且，与的夹角为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.‎ ‎(2)将(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴由正弦定理得 ‎∵‎ ‎∴‎ 根据余弦定理得：‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）知代入已知,并结合正弦定理得 ‎,解得或（舍去）‎ 所以,‎ ‎∴‎ 而 ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.‎ ‎18.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R)．‎ ‎(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)若函数f(x)在(－1，1)上单调递增，求a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）[，+∞）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出a=2的函数f（x）的导数，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间；‎ ‎（2）求出f（x）的导数，由题意可得f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，再由二次函数的图象和性质，得到不等式组，即可解得a的范围．‎ ‎【详解】（1）a=2时，f（x）=（﹣x2+2x）•ex的导数为 f′（x）=ex（2﹣x2），‎ 由f′（x）＞0，解得﹣＜x＜，‎ 由f′（x）＜0，解得x＜﹣或x＞．‎ 即有函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞），‎ 单调增区间为（﹣，）．‎ ‎（2）函数f（x）=（﹣x2+ax）•ex的导数为 f′（x）=ex[a﹣x2+（a﹣2）x]，‎ 由函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，‎ 则有f′（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，‎ 即为a﹣x2+（a﹣2）x≥0，即有x2﹣（a﹣2）x﹣a≤0，‎ 则有1+（a﹣2）﹣a≤0且1﹣（a﹣2）﹣a≤0，‎ 解得a≥．‎ 则有a的取值范围为[，+∞）．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，同时考查导数的运用：求单调区间和判断单调性，属于中档题和易错题．‎ ‎19.如图，三棱柱的棱长均为2，O为AC的中点，平面A'OB⊥平面ABC，平面⊥平面ABC.‎ ‎（1）求证：A'O⊥平面ABC；‎ ‎（2）求二面角A﹣BC﹣C'的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得AC⊥BO，平面A'OB⊥平面ABC，可证AC⊥平面BOA′，进而证明AC⊥A′O，再由面⊥平面ABC.，即可证明结论；‎ ‎（2）以O为原点建立空间直角坐标系，求出坐标，求出平面法向量坐标，取平面ABC的法向量为（0，0，1），根据空间向量面面角公式，即可求解.‎ ‎【详解】（1）证明：∵三棱柱ABC﹣A'B'C'的棱长均为2，‎ O为AC的中点，∴AC⊥BO，‎ ‎∵平面A'OB⊥平面ABC，平面A'OB∩平面ABC＝OB，‎ 平面ABC，∴AC⊥平面BOA′，‎ 平面BOA′，∴AC⊥A′O，‎ ‎∵平面AA'C'C⊥平面ABC，平面AA'C'C∩平面ABC＝AC.‎ 平面，∴A'O⊥平面ABC.‎ ‎（2）解：由（1）得A'O⊥平面ABC，因为平面ABC，所以A'O⊥.‎ 以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA′为z轴，‎ 建立空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），B（，0，0），‎ C（0，1，0），C′（0，2，），‎ ‎（，1，0），（，2，），‎ 设平面BCC′的法向量（x，y，z），‎ 则，‎ 取x＝1，则，得（1，，﹣1），‎ 平面ABC的法向量（0，0，1），‎ ‎.‎ ‎∴二面角A﹣BC﹣C'的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面垂直证明、二面角的余弦，注意空间垂直之间的相互转化，考查数学计算能力，属于中档题.‎ ‎20.已知抛物线上一点到其焦点下的距离为10.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设过焦点F的的直线与抛物线C交于两点，且抛物线在两点处的切线分别交x轴于两点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由抛物线的定义，可得到，即可求出，从而得到抛物线的方程；（Ⅱ）直线的斜率一定存在，可设斜率为，直线为，设，，由可得，，，然后对求导，可得到的斜率及方程表达式，进而可表示出，同理可得到的表达式，然后对化简可求出范围．‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）已知到焦点的距离为10，则点到准线的距离为10.‎ ‎∵抛物线的准线为，∴，‎ 解得，∴抛物线的方程为.‎ ‎（Ⅱ）由已知可判断直线的斜率存在，设斜率为，因为，则：.‎ 设，，由消去得，，‎ ‎∴，.‎ 由于抛物线也是函数的图象，且，则：.‎ 令，解得，∴，从而.‎ 同理可得，，‎ ‎∴ .‎ ‎∵，∴的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的方程的求法，考查了抛物线中弦长的有关计算，考查了计算能力，属于难题．‎ ‎21.一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.‎ ‎（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；‎ ‎（2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望；‎ ‎（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.‎ ‎【答案】（1）；（2），；（3）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据独立重复试验中概率计算,可得仅出现一次音乐的概率.然后求得导函数,并令求得极值点.再根据的单调情况,求得的最大值.‎ ‎（2）由（1）可知,.先求得不出现音乐的概率, 由对立事件概率性质即可求得出现音乐的概率.结合二项分布的期望求法,即可得随机变量的期望;‎ ‎（3）求得每个得分的概率,根据公式即可求得得分的数学期望.构造函数,利用导函数即可证明数学期望为负数,即可说明分数变少.‎ ‎【详解】（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：‎ ‎,‎ 由得或（舍）‎ 当时,；‎ 当时,,‎ ‎∴在上单调递增,在上单调递减,‎ ‎∴当时,有最大值,即的最大值点；‎ ‎（2）由（1）可知,‎ 则每盘游戏出现音乐的概率为 由题可知 ‎∴；‎ ‎（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量,则的可能值为-300,50,100,150；‎ ‎∴；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎∴‎ ‎；‎ 令,则；‎ 所以在单调递增；‎ ‎∴；‎ 即有；‎ 这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.‎ ‎【点睛】本题考查了独立重复试验概率的求法,利用导数求得函数的最值,数学期望的求法,综合性较强,计算量较大,属于难题.‎ ‎22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）分别求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线交曲线于，两点，交曲线于，两点，求的长．‎ ‎【答案】（Ⅰ）曲线的极坐标方程为：；的直角坐标方程为：；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（I）消去参数，即可得到曲线的直角坐标方程，结合，即可得到曲线的极坐标方程．（II）计算直线l的直角坐标方程和极坐标方程，计算长，即可．‎ ‎【详解】解法一：（Ⅰ）曲线：（为参数）可化为直角坐标方程：，‎ 即，‎ 可得，‎ 所以曲线的极坐标方程为：.‎ 曲线：，即，‎ 则的直角坐标方程为：.‎ ‎（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，‎ 所以的极坐标方程为.‎ 联立，得，‎ 联立，得，‎ ‎.‎ 解法二：（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）直线的直角坐标方程为，‎ 联立，解得，‎ 联立，解得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.‎