2017-2018学年河北省邯郸市高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年河北省邯郸市高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（　　）‎ A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（　　）‎ A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2‎ C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣2‎ ‎3．（5分）设数列{an}满足an=3an﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（　　）‎ A．317 B．318 C．319 D．320‎ ‎4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（　　）‎ A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c ‎6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（　　）‎ A． B．‎ C．=1 D．=1‎ ‎7．（5分）若公差为d的等差数列{an}满足an=（3a﹣1）n2+2an，则d=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）已知F是椭圆C：‎ 的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（　　）‎ A．5 B．9 C．6 D．10‎ ‎9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎10．（5分）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n（2n﹣1）an，且a1=1，则Sn=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（　　）‎ A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 ‎12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）设x，y满足约束条件 ‎，则z=4x﹣y的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为　 　．‎ ‎15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是　 　．‎ ‎16．（5分）设Sn为正项数列{an}的前n项和，a1=1，an+1（Sn+Sn+1）=n，则S16=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；‎ ‎（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．‎ ‎18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg（mx2﹣mx+1）有意义．‎ ‎（1）若p∨q为真，求m的取值范围；‎ ‎（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．‎ ‎（1）求A的大小；‎ ‎（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．‎ ‎20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．‎ ‎21．（12分）已知数列{an}满足a1=2，an=2﹣（n≥2），记bn=．‎ ‎（1）证明：数列{bn}为等差数列；‎ ‎（2）求数列{anan+1+an+an+1+1}的前n项和Sn．‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河北省邯郸市高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1．（5分）已知集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}，B={x|y=lgx}，则A∩B=（　　）‎ A．（0，3） B．[0，3） C．（3，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎【分析】化简集合A、B，根据交集的定义写出A∩B．‎ ‎【解答】解：集合A={x|（x+2）（3﹣x）＞0}={x|（x+2）（x﹣3）＜0}={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），‎ B={x|y=lgx}={x|x＞0}=（0，+∞），‎ 则A∩B=（0，3）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知命题p：∀x＜0，x+≤﹣2，则￢p是（　　）‎ A．∀x＜0，x+＞﹣2 B．∀x≥0，x+＞﹣2‎ C．∃x0＜0，x0＞﹣2 D．∃x0≥0，x0＞﹣2‎ ‎【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．‎ ‎【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定是特称命题，‎ 则￢p是∃x0＜0，x0＞﹣2，‎ 故选：C ‎【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设数列{an}满足an=3an﹣1（n≥2），且a1=3，则a20=（　　）‎ A．317 B．318 C．319 D．320‎ ‎【分析】先求出等比数列的通项公式即可求出答案 ‎【解答】解：数列{an}满足an=3an﹣1（n≥2），且a1=3，‎ ‎∴{an}设一3为首项，以3为公比的等比数列，‎ ‎∴an=3n，‎ ‎∴a20=320，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题 ‎　‎ ‎4．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2c，cosC=，则sinA=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，求出sinC的值，进一步利用正弦定理求出结果．‎ ‎【解答】解：由于：，‎ 则：=，‎ 又a=2c，‎ 利用正弦定理：，‎ 解得：，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）若a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，则（　　）‎ A．a≥b＞c B．a≥c≥b C．b＞a＞c D．b≥a＞c ‎【分析】作差判断差的符号，可得a≥b，且b＞c，综合可得答案．‎ ‎【解答】解：∵a=2x2+1，b=x2+2x，c=﹣x﹣3，‎ ‎∴a﹣b=（2x2+1）﹣（x2+2x）=x2﹣2x+1=（x﹣1）2≥0，即a≥b，‎ b﹣c=（x2+2x）﹣（﹣x﹣3）=x2+3x+3=（x+）2+＞0，即b＞c，‎ 综上可得：a≥b＞c，‎ 故选：A ‎【点评】本题考查的知识点是不等式与不等关系，作差法比较不等式的大小，难度中档．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知椭圆M的焦点为椭圆x2=1在长轴上的顶点，且M经过点（1，﹣），则M的方程为（　　）‎ A． B．‎ C．=1 D．=1‎ ‎【分析】求出椭圆x2=1在长轴上的顶点；设椭圆M的焦点坐标，利用椭圆经过的点，求解椭圆方程即可．‎ ‎【解答】解：椭圆x2=1在长轴上的顶点（0，±2）．所求椭圆的焦点坐标为：（0，±2），‎ 设椭圆M的方程为：（m＞n＞0），‎ 由题意可得，m2﹣n2=4，，解得：m2=6，n2=2，‎ 即有椭圆M的方程为：．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程和性质，注意求出椭圆的基本元素，考查方程的思想的运用，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若公差为d的等差数列{an}满足an=（3a﹣1）n2+2an，则d=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由公差为d的等差数列{an}满足an=（3a﹣1）n2+2an，依次求出前3项，由2a2=a1+a3，求出a=，由此能求出d．‎ ‎【解答】解：∵公差为d的等差数列{an}满足an=（3a﹣1）n2+2an，‎ ‎∴a1=3a﹣1+2a=5a﹣1，‎ a2=（3a﹣1）×4+2a×2=16a﹣4，‎ a3=（3a﹣1）×9+2a×3=33a﹣9，‎ ‎∵a1，a2，a3成等差数列，‎ ‎∴2a2=a1+a3，即2（16a﹣4）=（5a﹣1）+（33a﹣9），‎ 解得a=，‎ ‎∴d=a2﹣a1=（3a﹣1）×4+4a﹣（3a﹣1+2a）=11a﹣3==．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知F是椭圆C：的左焦点，P为C上的一点，A（﹣1，2），则|PA|+|PF|的最大值为（　　）‎ A．5 B．9 C．6 D．10‎ ‎【分析】涉及|PF|时，一般可以想到椭圆的定义，所以设该椭圆的右焦点为F′，则：|PF|+|PF′|=6，所以|PA|+|PF|=6+|PA|﹣|PF′|‎ ‎．这时候可以作出图形，根据图形即可看出||PA|﹣|PF′||≤|AF′|，这样即可求得|PA|﹣|PF′|的最大值，从而求出|PA|+|PF|的最大值．‎ ‎【解答】解：F是椭圆C：的左焦点，如图，设椭圆的右焦点为F′，则|PF|+|PF′|=6；F′（2，0），|PF′|==，‎ ‎∴|PA|+|PF|=|PA|+6﹣|PF′|=6+|PA|﹣|PF′|；‎ 由图形知，当P在直线AF′上时，||PA|﹣|PF′||=|AF′|=，‎ ‎∴|PA|+|PF|的最大值为6+，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】考查椭圆的标准方程，椭圆的焦点，以及椭圆的定义，以及三角形两边之差小于第三边，及数形结合求最值．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2=1，则“a3＞5”是“S3+S9＞93”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】根据充分必要条件的定义以及等差数列的性质判断即可．‎ ‎【解答】解：设公差是d，若a2=1，a3＞5，则d＞3，‎ 故S3+S9=3a2+9（a2+3d）=12+27d＞12+27×3=12+81=93，充分性成立，‎ 反之，令a3=4.5，也能推出S3+S9＞93，故S3+S9＞93时，推不出a3＞5，必要性不成立，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了充分必要条件，考查等差数列，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设数列{an}的前n项和Sn满足Sn=n（2n﹣1）an，且a1=1，则Sn=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】Sn=n（2n﹣1）an，n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）（2n﹣3）an﹣1，可得an=n（2n﹣1）an﹣（n﹣1）（2n﹣3）an﹣1，化为：=．利用“累乘求积”即可得出．‎ ‎【解答】解：∵Sn=n（2n﹣1）an，n≥2时，Sn﹣1=（n﹣1）（2n﹣3）an﹣1，‎ ‎∴an=n（2n﹣1）an﹣（n﹣1）（2n﹣3）an﹣1，‎ 化为：=．‎ ‎∴an=•…•••×1‎ ‎=．‎ ‎∴Sn=n（2n﹣1）•=，n=1时也成立．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、“累乘求积”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）如图，海中有一小岛C，一小船从A地出发由西向东航行，望见小岛C在北偏东60°，航行8海里到达B处，望见小岛C在北偏东15°．若此小船不改变航行的方向继续前行海里，则离小岛C的距离为（　　）‎ A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 ‎【分析】利用正弦定理计算AC，再利用余弦定理计算距离．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，AB=8，∠BAC=30°，∠ABC=105°，‎ ‎∴∠ACB=45°，‎ 由正弦定理得：，即，‎ 解得AC=4+4，‎ 设小船继续航行2（﹣1）海里到达D处，则AD=2+6，‎ 在△ACD中，由余弦定理得：CD2=（4+4）2+（2+6）2﹣2（4+4）（2+6）×=16+8，‎ ‎∴CD==2（+1）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了解三角形的应用，正余弦定理，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F2‎ ‎，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF2|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，依题意可得．△F1AF2∽△MOF2，⇒，由⇒‎ 即可求解．‎ ‎【解答】解：如图，取椭圆的左焦点为F1，连接AF1，‎ 依题意：|OA|=|OF2|=2|OM|=c，可得．‎ ‎△F1AF2∽△MOF2，⇒==，‎ ‎∵AF1+AF2=2a，∴．‎ 由⇒‎ ‎，∴．‎ 则椭圆C的离心率为：，‎ 故选：D ‎【点评】本题考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．（5分）设x，y满足约束条件，则z=4x﹣y的最小值为　﹣1　．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出x，y满足约束条件，对应的平面区域如图：‎ 由z=4x﹣y得y=4x﹣z，‎ 平移直线y=4x﹣z，‎ 由图象可知当直线y=4x﹣z经过点A时，此时z最小，‎ 由，解得A（1，5），此时z=4×1﹣5=﹣1，‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）若椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，则其长轴长为　　．‎ ‎【分析】利用椭圆的离心率求出m，然后求解椭圆的长轴长即可．‎ ‎【解答】解：椭圆C：=1（m＞0）的离心率为，‎ 可得：，解得m=2，‎ 椭圆长轴长为：2=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，bsinA=6sinB，若符合条件的三角形有两解，则b的取值范围是　　．‎ ‎【分析】直接利用三角形内角和定理的应用求出B的值，进一步利用正弦定理求出a的值，进一步利用三角形解的情况求出b的范围．‎ ‎【解答】解：△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，A+C=2B，‎ 则：A+B+C=180°，‎ 解得：B=60°，‎ 由于：bsinA=6sinB，‎ 则：，‎ 解得：a=6．‎ 若符合条件的三角形有两解，‎ 则：a＞b≥asinB，‎ 即：，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：三角形内角和定理的应用，正弦定理的应用，三角形解的情况的应用．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）设Sn为正项数列{an}的前n项和，a1=1，an+1（Sn+Sn+1）=n，则S16=　11　．‎ ‎【分析】an+1（Sn+Sn+1）=n，可得（Sn+1﹣Sn）（Sn+Sn+1）=n，可得﹣=n，利用累加求和即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an+1（Sn+Sn+1）=n，‎ ‎∴（Sn+1﹣Sn）（Sn+Sn+1）=n，‎ ‎∴﹣=n，‎ ‎∴=（n﹣1）+（n﹣2）+…+1+12=+1．‎ 则=+1=121，S16＞0．‎ ‎∴S16=11．‎ 故答案为：11．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式及求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（共6小题，满分70分）‎ ‎17．（10分）求分别满足下列条件的椭圆的标准方程：‎ ‎（1）焦点在y轴上，焦距为8，且经过点A（﹣1，3）；‎ ‎（2）焦点在x轴上，短轴长为8，离心率为．‎ ‎【分析】（1）根据题意，分析可得要求椭圆的焦点为（0，4）和（0，﹣4），结合椭圆经过点的坐标可得2a=+=6，结合椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；‎ ‎（2）根据题意，分析可得要求椭圆中b=4，由离心率公式变形可得e2===1﹣=，解可得a2的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，要求椭圆的焦点在y轴上，且焦距为8，即c=4，‎ 则椭圆的焦点为（0，4）和（0，﹣4），‎ 又由椭圆经过点A（﹣1，3），‎ 则2a=+=6，则a=3，‎ 又由c=4，‎ 则b2=a2﹣c2=2，‎ 则要求椭圆的方程为+=1；‎ ‎（2）根据题意，要求椭圆的短轴长为8，即2b=8，则b=4，‎ 离心率为，则有e2===1﹣=，‎ 解可得a2=25；‎ 则要求椭圆的方程为：+=1．‎ ‎【点评】本题考查椭圆标准方程的求法，要先确定椭圆的焦点位置，不能确定要进行分类讨论．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知p：∃x∈R，m≥﹣cos2x+2sinx+3；q：∀x∈R，函数f（x）=lg（mx2﹣mx+1）有意义．‎ ‎（1）若p∨q为真，求m的取值范围；‎ ‎（2）若（￢p）∧q为真，求m的取值范围．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，（1）求出p，q的并集即可；（2）判断出p假q真，得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：令g（x）=﹣cos2x+2sinx+3=（sinx+1）2+1，显然g（x）≥1，‎ 故p为真时，m≥1；‎ m=0时，f（x）=lg1有意义，‎ m≠0时，只需，解得：0＜m＜4，‎ 故q为真时，0≤m＜4，‎ ‎（1）若p∨q为真，则m≥0；‎ ‎（2）若（￢p）∧q为真，‎ 则p假q真，则，‎ 故m∈[0，1]．‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的判断，考查三角函数以及对数函数的性质，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA．‎ ‎（1）求A的大小；‎ ‎（2）若a=7，b=5，求△ABC的面积．‎ ‎【分析】（1）直接利用正弦定理求出A的值．‎ ‎（2）利用（1）的结论和同角三角函数的关系式求出sinC的值，进一步利用正弦定理和三角形的面积公式求出结果．‎ ‎【解答】解：（1）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB=3bcosA，‎ 利用正弦定理：sinAsinB=3sinBcosA，‎ 解得：tanA=3，‎ 则：A=arctan3．‎ ‎（2）由tanA=3，解得：sinA=，cosA=，‎ 由于：a=7，b=5，‎ 利用正弦定理：，‎ 解得：sinB=，‎ 则：cosB=，‎ 所以：sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．‎ 所以：=．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）用硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，这个纸盒的长，宽各为多少时，表面积最小？并求出最小值．‎ ‎【分析】首先利用长方体的体积公式求出xy=20，进一步利用表面积公式和均值不等式求出结果．‎ ‎【解答】解：硬纸做一个体积为80cm3，高为4cm的长方形无盖纸盒，‎ 设这个纸盒的长，宽各为x和y时，‎ 则：4xy=80，‎ 解得：xy=20．‎ 则表面积S=xy+2（4x+4y）≥20+32，‎ 当且仅当x=y=2时表面积的最小值为20+32．‎ ‎【点评】本题考查的知识要点：长方体面积和体积公式的应用，均值不等式的应用．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知数列{an}满足a1=2，an=2﹣（n≥2），记bn=．‎ ‎（1）证明：数列{bn}为等差数列；‎ ‎（2）求数列{anan+1+an+an+1+1}的前n项和Sn．‎ ‎【分析】（1）根据题意，对an=2﹣变形分析可得=+，又由bn=可得bn=bn﹣1+，由等差数列的定义分析可得答案；‎ ‎（2）由（1）的结论可得bn=，即=，变形可得an=﹣1，代入anan+1+an+an+1+1中化简可得anan+1+an+an+1+1=9（﹣），由裂项相消法计算可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，数列{an}满足an=2﹣，‎ 则有an+1=3﹣=，‎ 变形可得=+，‎ 由于bn=，‎ 即bn=bn﹣1+，‎ b1==，‎ 数列{bn}为等差数列，其首项为，公差为；‎ ‎（2）有（1）可得：bn=，即=，‎ 则an=﹣1，‎ 则anan+1+an+an+1+1=（﹣1）（﹣1）+（﹣1）+（﹣1）+1==9（﹣）；‎ 则Sn=9（1）+9（﹣）+9（﹣）+…+9（﹣）=9（1﹣）=．‎ ‎【点评】本题考查数列的求和以及数列的递推公式的应用，关键是对an=2﹣正确变形．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），圆O：x2+y2=4恰好经过椭圆C的两个焦点和两个顶点．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）经过原点的直线l（不与坐标轴重合）交椭圆于A，B两点，AM⊥x轴于点M，连接BM并延长交椭圆C于N，证明：以线段BN为直径的圆经过点A．‎ ‎【分析】（1）根据圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，可得b，c，a，‎ ‎（2）设直线AB的方程为：y=kx，设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则M（x1，0），k=，kBM==‎ 可设直线BN方程为：y=，联立椭圆方程，可得N的坐标，只需求得 即可证明以线段BN为直径的圆经过点A．‎ ‎【解答】解：（1）∵圆O：x2+y2=4（O为坐标原点）‎ 经过椭圆C：=1（a＞b＞0）的短轴端点和两个焦点，‎ ‎∴b=2，c=2，则a2=b2+c2=8．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：．‎ ‎（2）证明：设直线AB的方程为：y=kx，‎ 设A（x1，y1），B（﹣x1，﹣y1），则M（x1，0），k=‎ ‎∴kBM==‎ ‎∴可设直线BN方程为：y=‎ 由得，‎ xB+xN=﹣x1+xN=⇒xN=，‎ yN==，‎ ‎∴，‎ ‎∴=﹣+k2x12==0．‎ ‎∴AB⊥AN，即以线段BN为直径的圆经过点A．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、点与椭圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎