【数学】河北省邯郸市曲周县第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试试题 （解析版）

【数学】河北省邯郸市曲周县第一中学2019-2020学年高一下学期开学考试试题 （解析版）

河北省邯郸市曲周县第一中学2019-2020学年高一下学期 开学考试数学试题 一、选择题 ‎1.下面的几何体中是棱柱的有（ ）‎ A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 ‎【答案】C ‎【解析】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，‎ 观察图形满足棱柱概念的几何体有：①②③④⑤，共五个．‎ 故选：C．‎ ‎2.下列说法中，不正确是（ ）‎ A. 平行于同一个平面的两平面平行 B. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，必定与另一个也相交 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 一个平面与两条均不在该平面内的平行直线中的一条平行，必定与另一条也平行 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】A项，由面面平行的判定定理可得：平行于同一个平面的两个平面平行.故A表述正确.‎ B项，利用反证法可得：一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交.故B表述正确.‎ C项，平行于同一直线的两个平面平行或者相交.故C表述不正确.‎ D项，根据平行的传递性，一个平面与两条均不在该平面内的平行直线中的一条平行，必定与另一条也平行.故D表述正确.‎ 故选：C.‎ ‎3.下列说法的正确的是 A. 经过定点的直线的方程都可以表示为 B. 经过定点的直线的方程都可以表示为 C. 不经过原点的直线的方程都可以表示为 D. 经过任意两个不同的点的直线的方程都可以表示为 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】经过定点的直线的方程都可以表示为但斜率不存在时，无法表示，故A错，同理B错．斜率不存在和平行于x轴的直线也无法表示，故C错．所以D正确．故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了直线方程的定义和直线方程的基本应用，一定要注意斜率不存在的情况．‎ ‎4.若直线则之间的距离为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】当a=0时，直线所以 若直线与平行，则，‎ 求得，‎ 故则与之的方程即：直线与，‎ 即直线与，‎ 与之间的距离为，‎ 故答案为B ‎5.已知如图，六棱锥的底面是正六边形，平面.则下列结论不正确的是（ ）‎ A. 平面 B. 平面 ‎ C. 平面 D. 平面 ‎【答案】D ‎【解析】A. 因为平面，所以平面，故正确；‎ B 平面，平面，所以，又，所以平面，故正确；‎ C. 因为平面，所以平面，故正确；‎ D. 因为与成角，所以与平面不垂直，故错误；‎ 故选：D ‎6.已知，则的垂直平分线方程为（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设线段的中点坐标为，则，中点坐标为，‎ 直线的斜率，垂直平分线的斜率为3，‎ 则的垂直平分线方程为,化简得，故选B.‎ ‎7.如图所示,为测一棵树的高度,在地面上选取A,B两点,从A,B两点分别测得树尖P的仰角为30°,45°,且A,B两点之间的距离为‎60m,则树的高度h为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵,∴.‎ 由已知及正弦定理,得,∴.‎ ‎∴.‎ 故选：A ‎8.若是等差数列的前项和，若点在直线上，则的值为（ ）‎ A. 12 B. ‎8 ‎C. 22 D. 44‎ ‎【答案】C ‎【解析】点在直线上，，‎ ‎，‎ 又数列为等差数列，为其前项和，‎ ‎，解得，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎9.已知数列的前项和为，把的前项和称为“和谐和”，用来表示，对于 ‎，其“和谐和”等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ‎，‎ 故选：A.‎ ‎10.在中，，，的对边分别为，，，，则的形状一定是（ ）‎ A. 正三角形 B. 直角三角形 ‎ C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】B ‎【解析】因为所以 所以即 所以因为，所以，因为 所以，即是直角三角形故选：B ‎11.在中，内角、、的对边分别是、、，若，且，则（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】把余弦定理代入得a=，‎ 由得.‎ 所以.‎ 故选C ‎12.过点，且与原点距离最大的直线方程是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】过点，且与原点距离最大的直线即为过点且与垂直的直线，,利用垂直的条件，可以求直线的斜率为，所以直线方程为：，整理得.‎ 故选D.‎ 二、填空题 ‎13.若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．‎ ‎【答案】①⑤‎ ‎【解析】两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为．‎ 又动直线被l1与l2所截的线段长为2，故动直线与两直线的夹角应为30°，‎ 所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．‎ 因此只有①⑤适合．‎ ‎14.某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行 后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是______.‎ ‎【答案】海里 ‎【解析】设灯塔为A，船从B处航行至C处，‎ ‎ ‎ 则，，‎ ‎，，则是等腰三角形，‎ ‎，‎ 在中，由正弦定理得，即，解得.‎ 故答案为：海里 ‎15.已知数列的前项和，则的前项和_____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】根据数列的项与和的关系，由，可以求得，所以当时，，当时，，所以当时，，当时，，所以.‎ ‎16.如图所示，在圆锥中，为底面圆的两条直径，，且,，为的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接，则，即为异面直线与所成的角，‎ 又，，，‎ 平面，，即，‎ 为直角三角形，.‎ 三、解答题 ‎17.如图所示（单位：cm），求图中阴影部分绕所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积和体积.‎ 解：由题意知，所求几何体的表面积由三部分组成：圆台下底面、侧面和一半球面.‎ 过点D作于点E，则，，‎ ‎，，，‎ 故所求几何体的表面积为.‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以所求几何体的体积为.‎ ‎18.已知中的内角的对边分别为，若.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的面积.‎ 解：（1）因为，所以，由正弦定理，‎ 得，由余弦定理，得，由，可得.‎ ‎（2）由余弦定理，又，‎ 得，‎ 所以的面积.‎ ‎19.张先生2018年年底购买了一辆排量小轿车，为积极响应政府发展森林碳汇（指森林植物吸收大气中的二氧化碳并将其固定在植被或土壤中）的号召，买车的同时出资1万元向中国绿色碳汇基金会购买了 2亩荒山用于植树造林.科学研究表明：轿车每行驶3000公里就要排放1吨二氧化碳，林木每生长1立方米，平均可吸收1.8吨二氧化碳.‎ ‎（1）若张先生第一年（即2019年）会用车1.2万公里，以后逐年増加1000公里，则该轿车使用10年共要排放二氧化碳多少吨？‎ ‎（2）若种植的林木第一年（即2019年）生长了1立方米，以后每年以10%的生长速度递增，问林木至少生长多少年，吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量（参考数据：，，）?‎ 解：（1）设第年小轿车排出的二氧化碳的吨数为，‎ 则，，，…，‎ 显然其构成首项为，公差为的等差数列，‎ 记其前项和为，则，‎ 所以该轿车使用10年共排放二氧化碳55吨.‎ ‎（2）记第年林木吸收二氧化碳吨数为，‎ 则，，，…，‎ 显然其构成首项为，公比为的等比数列，‎ 记其前项和为，‎ 由题意，有，解得.‎ 所以林木至少生长15年，其吸收的二氧化碳的量超过轿车使用10年排出的二氧化碳的量.‎ ‎20.已知直线与直线的交点为M.‎ ‎(1)求过点M且到点的距离为2的直线的方程；‎ ‎(2)求过点M且与直线平行的直线的方程.‎ ‎【详解】（1）由l1：x-2y+3=0与l2：2x+3y-8=0联立方程x-2y+3=0与2x+3y-8=0解得，‎ ‎∴l1，l2的交点M为（1，2），‎ 设所求直线方程为y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，‎ ‎∵P（0，4）到直线距离为2，‎ ‎∴，解得k=0或，∴直线方程为y=2或4x-3y+2=0；‎ ‎（2）过点（1，2）且与x+3y+1=0平行的直线的斜率为：-，‎ 所求的直线方程为：y-2=-（x-1），即x+3y-7=0．‎ ‎21.如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AB＝2EF，∠EAB＝90°，平面ABFE⊥平面ABCD.‎ ‎(1)若G点是DC的中点，求证：FG∥平面AED.‎ ‎(2)求证：平面DAF⊥平面BAF.‎ ‎(3)若AE＝AD＝1，AB＝2，求三棱锥D-AFC的体积．‎ 解：（1）点是的中点， ,,四边形是平行四边形，,又平面，平面，所以平面.‎ ‎(2)平面平面，面平面，平面 ， 平面 .‎ 又 平面，平面 平面.‎ ‎(3) ,平面平面，平面平面,，平面，所以平面.‎ ‎ ，又 平面， 平面， 平面，‎ 到平面的距离为到平面的距离且为，.‎ ‎22.已知为等差数列，前n项和为，是首项为2的等比数列，且公比大于0，‎ ‎（Ⅰ）求和的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前n项和.‎ 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.由已知，得，而，所以.又因为，解得.所以，.‎ 由，可得.由，可得，联立①②，解得，由此可得.‎ 所以，的通项公式为，的通项公式为.‎ ‎（Ⅱ）解：设数列的前项和为，由，有 ‎，‎ ‎，‎ 上述两式相减，得 ‎.‎ 得.‎ 所以，数列的前项和为.‎