2020版高考数学大一轮复习（讲义·理·新人教A版）第十章 计数原理概率随机变量及其分布
第8节 离散型随机变量的均值与方差
考试要求 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.
知 识 梳 理
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝__(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
[微点提醒]
1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).
2.均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X)＝.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( )
(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.( )
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.( )
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.( )
解析 均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(选修2－3P68A1改编)已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )
A. B.4 C.－1 D.1
解析 E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案 A
3.(选修2－3P68练习2改编)若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)的值为________.
解析 ∵P(X＝c)＝1，∴E(X)＝c×1＝c，
∴D(X)＝(c－c)2×1＝0.
答案 0
4.(2018·浙江卷)设0
120
发电机最多可运行台数
1
2
3
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？
解 (1)依题意，得p1＝P(40120)＝＝0.1.
由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为
p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝＋4××＝0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，
对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
②安装2台发电机的情形.
依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.
因此得Y的分布列如下：
Y
3 400
9 200
15 000
P
0.2
0.7
0.1
所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.
[思维升华]
基本方法
1.已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；
2.已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数Y＝aX＋b的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；
3.如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.
[易错防范]
1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.
2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E(X)＝( )
A. B.2 C. D.3
解析 由数学期望公式可得
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案 A
2.已知离散型随机变量X的概率分布列为
X
1
3
5
P
0.5
m
0.2
则其方差D(X)＝( )
A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4
解析 由0.5＋m＋0.2＝1得m＝0.3，∴E(X)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴D(X)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.
答案 C
3.(2019·宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(n∈N*)个黑球.现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)＝1，则E(X)＝( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由题意，X～B(4，p)，∵D(X)＝4p(1－p)＝1，
∴p＝，E(X)＝4p＝4×＝2.
答案 B
4.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为( )
A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6
解析 由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝.由数学期望的定义可求得E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.25.
答案 B
5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为( )
A. B. C. D.
解析 依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为＋＝.
若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X＝2)＝，
P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝＝，
故E(X)＝2×＋4×＋6×＝.
答案 B
二、填空题
6.已知随机变量ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
0.5
x
y
若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________.
解析 由分布列性质，得x＋y＝0.5.
又E(ξ)＝，得2x＋3y＝，可得
D(ξ)＝×＋×＋×＝.
答案
7.(2019·杭州期末)在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为ξ，则数学期望E(ξ)＝______，方差D(ξ)的最大值为________.
解析 记事件A发生的次数ξ可能的值为0，1.
ξ
0
1
P
1－p
p
数学期望E(ξ)＝0×(1－p)＋1×p＝p，
方差D(ξ)＝(0－p)2×(1－p)＋(1－p)2×p＝p(1－p)≤.
故数学期望E(ξ)＝p，方差D(ξ)的最大值为.
答案 p
8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是________.
解析 随机变量X的取值为0，1，2，4，
则P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝4)＝＝，因此E(X)＝.
答案
三、解答题
9.(2019·天津和平区模拟)某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：[90，100)，第二组：[100，110)，……，第五组：[130，140].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.
(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；
(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X
的分布列与数学期望.
解 (1)由频率分布直方图知，成绩在[100，120)内的人数为50×0.016×10＋50×0.038×10＝27，
∴该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.
(2)由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×50＝3个成绩，第五组有0.008×10×50＝4个成绩，即第一、五组中共有7个成绩.
由题意，X的可能取值为0，1，2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
则X的分布列为
X
0
1
2
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
10.(2016·全国Ⅰ卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解 (1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04；
所以X的分布列为
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).
当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)＝3，则D(X)＝( )
A. B. C. D.
解析 由题意，X～B，
又E(X)＝＝3，∴m＝2，
则X～B，故D(X)＝5××＝.
答案 B
12.(2019·潍坊期末)某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是( )
A.3 B. C.2 D.
解析 在一轮投篮中，甲通过的概率为p＝，通不过的概率为.
由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，
则P(X＝0)＝＝；
P(X＝1)＝C××＝；
P(X＝2)＝C××＝；
P(X＝3)＝.
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝，或由二项分布的期望公式可得E(X)＝.
答案 B
13.某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满100元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击3次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射击到3次为止.设甲每次击中的概率为p(p≠0)，射击次数为Y，若Y的数学期望E(Y)>，则p的取值范围是________.
解析 由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，
P(Y＝3)＝(1－p)2，
则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，
解得p>或p<，
又p∈(0，1)，所以p∈.
答案
14.(2019·青岛二中月考)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？
课外体育不达标
课外体育达标
总计
男
60
女
110
总计
(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.15
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解 (1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，
则“课外体育不达标”人数为150，
∴列联表如下：
课外体育不达标
课外体育达标
总计
男
60
30
90
女
90
20
110
总计
150
50
200
∴K2＝＝≈6.061<6.635.
∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关.
(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1，2，3，
P(ξ＝1)＝＝＝；
P(ξ＝2)＝＝＝；
P(ξ＝3)＝＝＝；
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P
故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
新高考创新预测
15.(试题创新)已知随机变量ξi的分布列如下：
ξi
0
1
2
P
(1－pi)2
2pi(1－pi)
p
其中i＝1，2，若0D(2ξ2)
C.E(2ξ1)>E(2ξ2)，D(2ξ1)E(2ξ2)，D(2ξ1)>D(2ξ2)
解析 由分布列知ξi～B(2，pi)(i＝1，2)，
则E(ξ1)＝2p1，E(ξ2)＝2p2，D(ξ1)＝2p1(1－p1)，D(ξ2)＝2p2(1－p2)，
所以E(2ξ1)＝2E(ξ1)＝4p1，E(2ξ2)＝2E(ξ2)＝4p2，D(2ξ1)＝4D(ξ1)＝8p1(1－p1)，
D(2ξ2)＝4D(ξ2)＝8p2(1－p2).
因为0
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