高考数学复习专题练习第2讲 一元二次不等式及其解法
第2讲 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x成立，则( )
A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2
C．－＜a＜ D．－＜a＜
解析 (x－a)⊗(x＋a)＜1对任意实数x成立，即(x－a)(1－x－a)＜1对任意实数x成立．
∴x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立，
∴Δ＝1－4(－a2＋a＋1)＜0，∴－＜a＜.
答案 C[来源:学科网]
2．已知不等式ax2＋bx＋1≥0的解集为{x|－5≤x≤1}，则a＋b等于( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析 由题意得：a＜0且－5＋1＝－，
－5×1＝，
∴a＝－，b＝－，∴a＋b＝－1.
答案 B
3．不等式3x2－2x－1＜0成立的一个必要不充分条件是( )
A. B.∪(1，＋∞)
C. D．(－1,1)
解析 由3x2－2x－1＜0解得－＜x＜1，而(－1,1)，所以(－1,1)是3x2－2x－1＜0成立的一个必要不充分条件．
答案 D
4．不等式(x2－2)log2x>0的解集是 ( )．
A．(0,1)∪(，＋∞) B．(－，1)∪(，＋∞)
C．(，＋∞) D．(－，)
解析 原不等式等价于或
∴x>或0
1的解集为 ( )．
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．(－1,0) D．(0,1)
解析 ∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0，
∴函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点，
又f(x)在(－2，－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)<0，
∴(6a＋5)(2a＋3)<0，∴－1即为－x2－x>0，
解得－10对x∈R恒成立，则关于t的不等式a2t＋10对x∈R恒成立，
则Δ＝4a2－4a<0，所以0t2＋2t－3>0，
即所以10的解集为，则不等式－cx2＋2x－a
>0的解集为________．
解析 由ax2＋2x＋c>0的解集为知a<0，且－，为方程ax2＋2x＋c＝0的两个根，由根与系数的关系得－＋＝－，－×＝，解得a＝－12，c＝2，∴－cx2＋2x－a>0，即2x2－2x－12<0，其解集为(－2,3)．
答案 (－2,3)
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
解析 七月份：500(1＋x%)＋500(1＋x%)2.
所以一至十月份的销售总额为：
3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－2.2(舍)或1＋x%≥1.2，
∴xmin＝20.
答案 20
9．已知函数f(x)＝－x2＋2x＋b2－b＋1(b∈R)，若当x∈[－1,1]时，f(x)>0恒成立，则b的取值范围是________．
解析 依题意，f(x)的对称轴为x＝1，且开口向下，
∴当x∈[－1,1]时，f(x)是增函数．
若f(x)>0恒成立，则f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1>0，即b2－b－2>0，∴(b－2)(b＋1)>0，∴b>2或b<－1.
答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)
10．设a∈R，若x>0时均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，则a＝________.
解析 显然a＝1不能使原不等式对x>0恒成立，故a≠1且当x1＝，a≠1时原不等式成立．对于x2－ax－1＝0，设其两根为x2，x3，且x20.当x>0时，原不等式恒成立，故x1＝满足方程x2－ax－1＝0，代入解得a＝或a＝0(舍去)．
答案
三、解答题
11．已知a＝(1，x)，b＝(x2＋x，－x)，m为实数，求使m(a·b)2－(m＋1)a·b＋1＜0成立的x的范围．
解 ∵a·b＝x2＋x－x2＝x，
∴m(a·b)2－(m＋1)a·b＋1＜0⇔mx2－(m＋1)x＋1＜0.
(1)当m＝0时，不等式等价于x＞1；
(2)当m≠0时，不等式等价于m(x－1)＜0
①m＜0时，不等式等价于x＞1或x＜；
②0＜m＜1时，不等式等价于1＜x＜；
③m＝1时，不等式等价于x∈∅；
④m＞1时，不等式等价于＜x＜1.
综上所述，原不等式成立的x的范围为：
当m＜0时是；
当m＝0时是{x|x＞1}；
当0＜m＜1时是；
当m＝1时是∅；[来源:学+科+网]
当m＞1时是.
12．已知抛物线y＝(m－1)x2＋(m－2)x－1(x∈R)．
(1)当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？
(2)若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．
解 (1)根据题意，m≠1且Δ>0，
即Δ＝(m－2)2－4(m－1)(－1)>0，得m2>0，
所以m≠1且m≠0.
(2)在m≠0且m≠1的条件下，
因为＋＝＝m－2，
所以＋＝2－
＝(m－2)2＋2(m－1)≤2.
得m2－2m≤0，所以0≤m≤2.
所以m的取值范围是{m|00的解集；
(2)若a>0，且00，即a(x＋1)(x－2)>0.
当a>0时，不等式F(x)>0的解集为{x|x<－1或x>2}；当a<0时，不等式F(x)>0的解集为{x|－10，且00.
∴f(x)－m<0，即f(x)
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