黑龙江省大庆中学2019届高三下学期开学考试数学（理）试题

黑龙江省大庆中学2019届高三下学期开学考试数学（理）试题

大庆中学2018--2019学年度下学期开学考试 高三理科数学试题 考试范围：高考范围；考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共个小题，每题分，总分分)‎ ‎．已知集合,则中所含元素的个数为（ ）‎ ‎ ‎ ‎．若，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎．等比数列的前项和为．已知，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎．设为所在平面内一点，，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．将名教师，名学生分成个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由名教师和名学生组成，不同的安排方案共有（ ）‎ ‎ ‎ ‎．设，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎．已知，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）‎ ‎ ‎ ‎．某公司的班车在发车，小明在至之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过分钟的概率是（ ）‎ ‎ ‎ ‎．圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为）组成一个几何体，该几何体中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为，则（ ）‎ ‎ ‎ ‎．已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，分别为的左、右顶点．为上一点，且轴．过点的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为（ ）‎ ‎ ‎ ‎．设函数．若存在的极值点满足，则的取值范围（ ）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共个小题，每题分，总分分)‎ ‎．若满足约束条件，则的最大值为．‎ ‎．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比甲多，但没去过城市；‎ 乙说：我没去过城市；‎ 丙说：我们三个人去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为．‎ ‎．的展开式中的的奇数次幂项的系数之和为，则．‎ ‎．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则．‎ 三、解答题（本题个答题，题，每题12分，选做题10分，总分70分)‎ ‎．（本大题分）‎ 中，是上的点，平分的面积是的面积的倍．‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）若，求和的长．‎ ‎．（本大题分）‎ 某工厂共有员工人，现从中随机抽取位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：‎ ‎（Ⅰ）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过件的员工，会被评为“生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手”称号与性别有关？‎ ‎（Ⅱ）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额件以内的（包括件），计件单价为元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出件以上的部分，累进计件单价为元.将这段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取人，女员工中随机选取人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过元的人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附： ‎ ‎．（本大题分）‎ 如图，四棱锥中，⊥底面，,，,为线段上一点，，为的中点.‎ ‎（Ⅰ）证明平面;‎ ‎（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.‎ ‎．（本大题分）‎ 已知椭圆，直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，线段的中点为．‎ ‎（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；‎ ‎（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率；若不能，说明理由．‎ ‎．（本大题分）‎ ‎（Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当时，；‎ ‎（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值．设的最小值为，求函数的值域．‎ 选做题：从22，23题中选择一题作答 ‎．（本大题分）‎ 选修：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（‎ 为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标．‎ ‎．（本大题分）‎ 选修：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）当时，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若的图像与轴围成的三角形面积大于，求的取值范围．‎ 大庆中学2018--2019学年度下学期开学考试 理科数学答案 1. D 2.C 3.C 4.A 5.A 6.A 7.B 8.A 9.B 10B 11.A 12.C ‎ ‎13. 14.A 15.3 16.‎ ‎17.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）由题根据面积公式及所给条件不难得到AB=2AC,结合正弦定理可得；（Ⅱ）设，则在与中，由余弦定理可得AC．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题 由正弦定理可知 ‎（II），‎ 设，则 在与中，由余弦定理可知 ‎，‎ ‎，解得 即 考点：三角形面积公式；正弦定理；余弦定理 ‎18.【答案】（1）见解析；(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意先完善列联表，再由计算的观测值，进而可得出结论；‎ ‎(2)先设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为，1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为，由题意易得服从二项分布，进而易求出其分布列，从而可求的分布列和数学期望.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 的观测值 ‎ 所以有95％的把握认为“生产能手”称号与性别有关. ‎ ‎（2）若员工实得计件工资超过3100元，则每月完成合格品的件数需超过3000件. ‎ 由统计数据可知：男员工实得计件工资超过3100元的概率为； ‎ 女员工实得计件工资超过3100元的概率为. ‎ 设2名女员工中实得计件工资超过3100元的人数为，则；‎ ‎1名男员工中实得计件工资超过3100元的人数为，则.‎ 的所有可能取值为0,1,2,3，‎ 随机变量的分布列为 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验，以及离散型随机变量的分布列和期望，属于基础题型.‎ ‎19.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ） ．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形 为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判定定理可证；（Ⅱ）以为坐标原点， 的方向为轴正方向,建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦值来求解与平面所成角的正弦值．‎ 试题解析：（Ⅰ）由已知得.‎ 取的中点，连接，由为中点知，.‎ 又，故，四边形为平行四边形，于是.‎ 因为平面，平面，所以平面.‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连结.由得，从而，且 ‎.‎ 以为坐标原点， 的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意知，‎ ‎，，，，‎ ‎， ， .‎ 设为平面的一个法向量，则 即 可取.‎ 于是.‎ ‎【考点】空间线面间的平行关系，空间向量法求线面角．‎ ‎【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．‎ 视频 ‎20.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）设直线 ，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理求根与系数的关系，并表示直线的斜率，再表示；‎ ‎（2）第一步由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为，直线与椭圆方程联立求点的坐标，第二步再整理点的坐标，如果能构成平行四边形，只需，如果有值，并且满足，的条件就说明存在，否则不存在.‎ 试题解析：解：(1)设直线 ，，，．‎ ‎∴由得，‎ ‎∴，．‎ ‎∴直线的斜率，即．‎ 即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．‎ ‎（2）四边形能为平行四边形．‎ ‎∵直线过点，∴不过原点且与有两个交点的充要条件是， 由 (Ⅰ)得的方程为．设点的横坐标为．‎ ‎∴由得，即 将点的坐标代入直线的方程得，因此．‎ 四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即 ‎∴ ．解得，．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴当的斜率为或时，四边形为平行四边形．‎ 考点：直线与椭圆的位置关系的综合应用 ‎【一题多解】第一问涉及中点弦，当直线与圆锥曲线相交时，点是弦的中点，（1）知道中点坐标，求直线的斜率，或知道直线斜率求中点坐标的关系，或知道求直线斜率与直线斜率的关系时，也可以选择点差法，设,，代入椭圆方程 ‎，两式相减，化简为，两边同时除以得，而,,即得到结果，‎ ‎（2）对于用坐标法来解决几何性质问题，那么就要求首先看出几何关系满足什么条件，其次用坐标表示这些几何关系，本题的关键就是如果是平行四边形那么对角线互相平分，即，分别用方程联立求两个坐标，最后求斜率.‎ ‎21.【答案】（1）在，上单调递增，证明见解析；（2）证明见解析，．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）借助题设条件运用导数的知识推证；（2）借助题设运用导数的知识推证探求．‎ 试题解析：‎ ‎（1）的定义域为，‎ ‎，‎ 且仅当时，，所以在单调递增，‎ 因此当时，，‎ 所以；‎ ‎（2），‎ 由（1）知，单调递增，对任意，‎ 因此，存在唯一，使得，即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增。‎ 因此在处取得最小值，最小值为．‎ 于是，由单调递增，‎ 所以，由，得，‎ 因为单调递增，对任意，存在唯一的，‎ 使得，所以的值域是，‎ 综上，当时，有的值域是．‎ 考点：导数不等式和函数的最值等有关知识的综合运用．‎ ‎【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,先运用求导法则对函数和进行求导,然后再借助题设进行推证和求解．第一问的推证中直接借助单调性和题设即可获证；第二问的推证中,先运用第一问中的条件,将其转化为,最后再依据题设进行推证．‎ ‎22.（1）‎ ‎(2)‎ ‎23.(1)‎ ‎(2)‎