【数学】2019届一轮复习人教A版（文）11-3绝对值的不等式教案
绝对值不等式
[必备知识]
考点1 绝对值不等式的解法
1．形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．
2．形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式
(1)绝对值不等式|x|>a与|x|
0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c(c>0)．
考点2 绝对值不等式的应用
1．定理：如果a，b是实数，那么|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
2．如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．
3．由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式
(1)|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|.
(2)||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(3)||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.
[双基夯实]
一、疑难辨析
判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．|ax＋b|≤c(c≥0)的解等价于－c≤ax＋b≤c.( )
2．若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )
3．|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．( )
4．不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.( )
答案 1.√ 2.× 3.√ 4.√
二、小题快练
1．[课本改编]不等式3≤|5－2x|<9的解集为( )
A．[－2,1)∪[4,7) B．(－2,1]∪(4,7]
C．(－2，－1]∪[4,7) D．(－2,1]∪[4,7)
答案 D
解析 由题得⇒
⇒得解集为(－2,1]∪[4,7)．
2．[2017·南宁模拟]若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2,4]
解析 ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
3．若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 y＝|2x－1|＋|x＋2|＝
则y＝|2x－1|＋|x＋2|的最小值为.
∵不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋a＋2对任意实数x恒成立，∴a2＋a＋2≤，∴a2＋a－≤0，∴－1≤a≤，∴实数a的取值范围是.
考向 绝对值不等式的解法
例1 [2016·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)求不等式|f(x)|>1的解集．
[解] (1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由f(x)的表达式及图象，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；
当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5，
故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.
触类旁通
形如|x－a|＋|x－b|≥c(或≤c)型的不等式主要有三种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a]，(a，b]，(b，＋∞)(此处设ac(c>0)的几何意义：数轴上到点x1＝a和x2＝b的距离之和大于c的全体，|x－a|＋|x－b|≥|x－a－(x－b)|＝|a－b|.
(3)图象法：作出函数y1＝|x－a|＋|x－b|和y2＝c的图象，结合图象求解．
【变式训练1】 [2017·贵阳模拟]已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.
(1)求不等式f(x)≤6的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集非空，求实数a的取值范围．
解 (1)不等式f(x)≤6，即|2x＋1|＋|2x－3|≤6，
∴①
或②
或③
解①得－1≤x<－，解②得－≤x≤，解③得4，解此不等式得a<－3或a>5.
故实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
考向 绝对值不等式的证明
例2 (1)[2016·江苏高考]设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|0，
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，
故|1－4ab|>2|a－b|.
考向 绝对值不等式的综合应用
例3 [2016·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
[解] (1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|2x－1|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
触类旁通
含绝对值不等式的应用中的数学思想
(1)利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
(2)利用函数的图象求解，体现了数形结合的思想．
【变式训练3】 英国数学家哈代在著作《不等式》的前言中指出初等的不等式应该有初等的证明，而且应该给出等号成立的证明．已知c>0，a，b为非零实数，且满足4a2－2ab＋4b2＝c，当|2a＋b|最大值时，－＋的最小值为________；取得最小值时a，b，c的值分别为________．
答案 －2
解析 由题知2c＝－(2a＋b)2＋3(4a2＋3b2)．
(4a2＋3b2)≥(2a＋b)2⇔4a2＋3b2≥(2a＋b)2，即2c≥(2a＋b)2，
当且仅当＝，即2a＝3b＝6λ(同号)时，
|2a＋b|取得最大值，此时c＝40λ2.
－＋＝－＝2－2≥－2，
当且仅当a＝，b＝，c＝时，－＋取最小值－2.
核心规律
含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法
(1)分离参数法：运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a，f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题．
(2)更换主元法：不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决问题时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法．
(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可直观解决问题．
满分策略
1．在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏．
2．绝对值不等式|a±b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用，也可利用它消去变量求最值．绝对值不等式是证明与绝对值有关的不等式的重要工具，但有时还需要通过适当的变形使其符合绝对值不等式的条件.
