高科数学专题复习课件：第一章 1_1集合及其运算基础知识

高科数学专题复习课件：第一章 1_1集合及其运算基础知识

§1.1 　 集合 及其运算 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 1. 集合与元素 (1) 集合中元素的三个特征 ： 、 、 . (2) 元素与集合的关系 是 或 两种 ，用 符号 或 表示 . (3) 集合的表示法 ： 、 、 . (4) 常见数集的记法 知识梳理 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 _________ 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ 列举法 描述法 图示法 N N * ( 或 N ＋ ) Z Q R 2. 集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn 图 子集 集合 A 中所有元素都在集合 B 中 ( 即若 x ∈ A ，则 x ∈ B ) 真子集 集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中 集合相等 集合 A ， B 中的元素相同或集合 A ， B 互为子集 A ⊆ B ( 或 B ⊇ A ) A  B ( 或 B  A ) A ＝ B 3. 集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn 图 交集 由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合 A ∩ B ＝ { x | x ∈ A 且 x ∈ B } 并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合 A ∪ B ＝ { x | x ∈ A 或 x ∈ B } 补集 由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合 ∁ U A ＝ { x | x ∈ U 且 x ∉ A } 1. 若有限集 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数 为 ， 真子集的个数 为 . 2. A ⊆ B ⇔ A ∩ B ＝ ⇔ A ∪ B ＝ . 3. A ∩ ∁ U A ＝ ； A ∪ ∁ U A ＝ ； ∁ U ( ∁ U A ) ＝ . 知识 拓展 2 n 2 n － 1 A B ∅ U A 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 任何一个集合都至少有两个子集 .( 　　 ) (2){ x | y ＝ x 2 ＋ 1} ＝ { y | y ＝ x 2 ＋ 1} ＝ {( x ， y )| y ＝ x 2 ＋ 1}.( 　　 ) (3) 若 { x 2 ,1 } ＝ {0,1} ，则 x ＝ 0,1.( 　　 ) (4){ x | x ≤ 1} ＝ { t | t ≤ 1}.( 　　 ) (5) 对于任意两个集合 A ， B ，关系 ( A ∩ B ) ⊆ ( A ∪ B ) 恒成立 .( 　　 ) (6) 若 A ∩ B ＝ A ∩ C ，则 B ＝ C .( 　　 ) × × × √ √ × 思考辨析 考点自测 A.{ a } ⊆ A B. a ⊆ A C.{ a } ∈ A D. a ∉ A 答案 解析 A. [1,3] B . [1,5] C . [3,5] D .[1 ，＋ ∞ ) 根据题意，得 A ＝ { x | x 2 － 6 x ＋ 5 ≤ 0} ＝ { x |1 ≤ x ≤ 5} ， 所以 A ∩ B ＝ { x |3 ≤ x ≤ 5} ＝ [3,5]. 答案 解析 3. 已知集合 A ＝ { x | x 2 － x － 2 ≤ 0} ，集合 B 为整数集，则 A ∩ B 等于 A.{ － 1,0,1,2} B .{ － 2 ，－ 1,0,1} C.{0,1} D .{ － 1,0} 因为 A ＝ { x | x 2 － x － 2 ≤ 0} ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 2} ， 又 因为集合 B 为整数集 ， 所以 集合 A ∩ B ＝ { － 1,0,1,2} ，故选 A. 答案 解析 4.(2016· 天津 ) 已知集合 A ＝ {1,2,3,4} ， B ＝ { y | y ＝ 3 x － 2 ， x ∈ A } ，则 A ∩ B 等于 A.{1} B .{4} C.{1,3} D .{1,4} 因为 集合 B 中， x ∈ A ， 所以 当 x ＝ 1 时， y ＝ 3 － 2 ＝ 1 ； 当 x ＝ 2 时， y ＝ 3 × 2 － 2 ＝ 4 ； 当 x ＝ 3 时， y ＝ 3 × 3 － 2 ＝ 7 ； 当 x ＝ 4 时， y ＝ 3 × 4 － 2 ＝ 10 ；即 B ＝ {1,4,7,10}. 又因为 A ＝ {1,2,3,4} ，所以 A ∩ B ＝ {1,4}. 故选 D. 答案 解析 5.(2016· 云南名校联考 ) 集合 A ＝ { x | x － 2<0} ， B ＝ { x | x < a } ，若 A ∩ B ＝ A ，则实数 a 的取值范围是 ____________. 由 A ∩ B ＝ A ，知 A ⊆ B ， 从 数轴观察得 a ≥ 2 . [2 ，＋ ∞ ) 答案 解析 题型分类　深度剖析 题型一　集合的含义 例 1 　 (1)(2016· 济南 调研 ) 设 P ， Q 为两个非空实数集合，定义集合 P ＋ Q ＝ { a ＋ b | a ∈ P ， b ∈ Q } ，若 P ＝ {0,2,5} ， Q ＝ {1,2,6} ，则 P ＋ Q 中元素的个数 是 A.9 B.8 C.7 D.6 当 a ＝ 0 时， a ＋ b ＝ 1,2,6 ； 当 a ＝ 2 时， a ＋ b ＝ 3,4,8 ； 当 a ＝ 5 时， a ＋ b ＝ 6,7,11. 由集合中元素的互异性知 P ＋ Q 中有 1,2,3,4,6,7,8,11 共 8 个元素 . 答案 解析 (2 ) 若 集合 A ＝ { x ∈ R | ax 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0} 中只有一个元素，则 a ＝ ______. 答案 解析 ( 1) 用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合 ； (2 ) 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意 . 分类讨论的思想方法常用于解决集合问题 . 思维 升华 跟踪训练 1 　 (1)(2016· 临沂模拟 ) 已知 A ＝ { x | x ＝ 3 k － 1 ， k ∈ Z } ，则下列表示正确的 是 A. － 1 ∉ A B . － 11 ∈ A C.3 k 2 － 1 ∈ A ( k ∈ Z ) D . － 34 ∉ A ∵ k ∈ Z ， ∴ k 2 ∈ Z ， ∴ 3 k 2 － 1 ∈ A . 答案 解析 所以 a ＝－ 1 ， b ＝ 1 ，所以 b － a ＝ 2 . 2 答案 解析 题型二　集合的基本关系 例 2 　 (1)(2016· 唐山一模 ) 设 A ， B 是全集 I ＝ {1,2,3,4} 的子集， A ＝ {1,2} ，则满足 A ⊆ B 的 B 的个数 是 A.5 B.4 C.3 D.2 ∵ {1,2} ⊆ B ， I ＝ {1,2,3,4} ， ∴ 满足条件的集合 B 有 {1,2} ， {1,2,3} ， {1,2,4} ， {1,2,3,4} ，共 4 个 . 答案 解析 (2) 已知集合 A ＝ { x | x 2 － 2 017 x ＋ 2 016<0} ， B ＝ { x | x < a } ，若 A ⊆ B ，则实数 a 的取值范围是 _______________. 由 x 2 － 2 017 x ＋ 2 016<0 ，解得 1< x <2 016 ， 故 A ＝ { x |1< x <2 016} ， 又 B ＝ { x | x < a } ， A ⊆ B ，如图所示， 可得 a ≥ 2 016. [2 016 ，＋ ∞ ) 答案 解析 引申探究 本例 (2) 中，若将集合 B 改为 { x | x ≥ a } ，其他条件不变，则实数 a 的取值范围是 ____________. A ＝ { x |1< x <2 016} ， B ＝ { x | x ≥ a } ， A ⊆ B ，如图所示， 可得 a ≤ 1. ( － ∞ ， 1] 答案 解析 (1) 空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解 . ( 2) 已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、 Venn 图等来直观解决这类问题 . 思维 升华 跟踪训练 2 　 (1) 已知集合 A ＝ { x ∈ R | x 2 ＋ x － 6 ＝ 0} ， B ＝ { x ∈ R | ax － 1 ＝ 0} ，若 B ⊆ A ，则实数 a 的值 为 答案 解析 由题意知 A ＝ {2 ，－ 3}. 当 a ＝ 0 时， B ＝ ∅ ，满足 B ⊆ A ； (2 ) 已知 集合 A ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 7} ， B ＝ { x | m ＋ 1< x <2 m － 1} ，若 B ⊆ A ，则实数 m 的取值范围是 ____________. 当 B ＝ ∅ 时，有 m ＋ 1 ≥ 2 m － 1 ，则 m ≤ 2 ； 当 B ≠ ∅ 时，若 B ⊆ A ，如图， 综上， m 的取值范围为 ( － ∞ ， 4]. ( － ∞ ， 4] 答案 解析 题型三　集合的基本运算 命题点 1 　集合的运算 例 3 　 (1)(2016· 全国乙卷 ) 设集合 A ＝ { x | x 2 － 4 x ＋ 3<0} ， B ＝ { x |2 x － 3>0} ，则 A ∩ B 等于 由 A ＝ { x | x 2 － 4 x ＋ 3<0} ＝ { x |1< x <3} ， 答案 解析 (2)(2016· 浙江 ) 已知集合 P ＝ { x ∈ R |1 ≤ x ≤ 3} ， Q ＝ { x ∈ R | x 2 ≥ 4} ，则 P ∪ ( ∁ R Q ) 等于 A. [2,3] B .( － 2,3] C. [1,2) D .( － ∞ ，－ 2] ∪ [1 ，＋ ∞ ) 由已知得 Q ＝ { x | x ≥ 2 或 x ≤ － 2}. ∴ ∁ R Q ＝ ( － 2,2 ). 又 P ＝ [1,3] ， ∴ P ∪ ∁ R Q ＝ [1,3] ∪ ( － 2,2) ＝ ( － 2,3]. 答案 解析 命题点 2 　利用集合的运算求参数 例 4 　 (1) 设集合 A ＝ { x | － 1 ≤ x <2} ， B ＝ { x | x < a } ，若 A ∩ B ≠ ∅ ，则 a 的取值范围 是 A. － 1< a ≤ 2 B. a >2 C. a ≥ － 1 D. a > － 1 因为 A ∩ B ≠ ∅ ，所以集合 A ， B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知 a > － 1 . 答案 解析 (2) 集合 A ＝ {0,2 ， a } ， B ＝ {1 ， a 2 } ，若 A ∪ B ＝ {0,1,2,4,16} ，则 a 的值 为 A.0 B.1 C.2 D.4 由题意可得 { a ， a 2 } ＝ {4,16} ， ∴ a ＝ 4. 答案 解析 (1) 一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用 Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况 . ( 2) 运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化 . 思维 升华 跟踪训练 3 　 (1)(2016· 山东 ) 设集合 A ＝ { y | y ＝ 2 x ， x ∈ R } ， B ＝ { x | x 2 － 1<0} ， 则 A ∪ B 等于 A.( － 1,1) B .(0,1) C.( － 1 ，＋ ∞ ) D .(0 ，＋ ∞ ) ∵ A ＝ { y | y >0} ， B ＝ { x | － 1< x <1} ， ∴ A ∪ B ＝ ( － 1 ，＋ ∞ ) ，故选 C. 答案 解析 (2) 已知集合 A ＝ { x | x 2 － x － 12 ≤ 0} ， B ＝ { x |2 m － 1< x < m ＋ 1} ，且 A ∩ B ＝ B ，则实数 m 的取值范围 为 A. [ － 1,2) B .[ － 1,3] C.[2 ，＋ ∞ ) D .[ － 1 ，＋ ∞ ) 由 x 2 － x － 12 ≤ 0 ，得 ( x ＋ 3)( x － 4) ≤ 0 ， 即 － 3 ≤ x ≤ 4 ， 所以 A ＝ { x | － 3 ≤ x ≤ 4}. 又 A ∩ B ＝ B ，所以 B ⊆ A . ① 当 B ＝ ∅ 时，有 m ＋ 1 ≤ 2 m － 1 ，解得 m ≥ 2 . 综上， m 的取值范围为 [ － 1 ，＋ ∞ ). 答案 解析 题型四　集合的新定义问题 例 5 　 已知集合 A ＝ {( x ， y )| x 2 ＋ y 2 ≤ 1 ， x ， y ∈ Z } ， B ＝ {( x ， y )|| x | ≤ 2 ， | y | ≤ 2 ， x ， y ∈ Z } ，定义集合 A  B ＝ {( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 )|( x 1 ， y 1 ) ∈ A ， ( x 2 ， y 2 ) ∈ B } ，则 A  B 中元素的个数 为 A.77 B.49 C.45 D.30 答案 解析 如图，集合 A 表示如图所示的所有圆点 “ ” ，集合 B 表示如图所示的所有圆点 “ ” ＋所有圆点 “ ” ，集合 A  B 显然是集合 {( x ， y )|| x | ≤ 3 ， | y | ≤ 3 ， x ， y ∈ Z } 中除去四个点 {( － 3 ，－ 3) ， ( － 3,3) ， (3 ，－ 3) ， (3,3)} 之外的所有整点 ( 即横坐标与纵坐标都为整数的点 ) ，即集合 A  B 表示如图所示的所有圆点 “ ” ＋所有圆点 “ ” ＋所有圆点 “ ” ，共 45 个 . 故 A  B 中元素的个数为 45. 故选 C . 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点 ： ( 1) 紧扣新定义 . 首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在 ； ( 2) 用好集合的性质 . 解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质 . 思维 升华 跟踪训练 4 　定义一种新的集合运算 △ ： A △ B ＝ { x | x ∈ A ，且 x ∉ B }. 若集合 A ＝ { x | x 2 － 4 x ＋ 3<0} ， B ＝ { x |2 ≤ x ≤ 4} ，则按运算 △ ， B △ A 等于 A.{ x |3< x ≤ 4} B .{ x |3 ≤ x ≤ 4} C.{ x |3< x <4} D .{ x |2 ≤ x ≤ 4 } A ＝ { x |1< x <3} ， B ＝ { x |2 ≤ x ≤ 4} ， 由 题意知 B △ A ＝ { x | x ∈ B ，且 x ∉ A } ＝ { x |3 ≤ x ≤ 4}. 答案 解析 典例　 (1) 已知集合 A ＝ {1,3 ， } ， B ＝ {1 ， m } ， A ∪ B ＝ A ，则 m 等于 A.0 或 B.0 或 3 C.1 或 D.1 或 3 或 0 (2) 设集合 A ＝ {0 ，－ 4} ， B ＝ { x | x 2 ＋ 2( a ＋ 1) x ＋ a 2 － 1 ＝ 0 ， x ∈ R }. 若 B ⊆ A ，则实数 a 的取值范围是 ________. 集合 关系及运算 现场纠错系列 1 (1) 集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验 . (2) 当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况 . 错 解展示 现场纠错 纠错心得 故 m ＝ 3 或 m ＝ 0 或 m ＝ 1. (2) ∵ B ⊆ A ，讨论如下： ① 当 B ＝ A ＝ {0 ，－ 4} 时， 解得 a ＝ 1. ② 当 B  A 时，由 Δ ＝ 0 得 a ＝－ 1 ， 此时 B ＝ {0} 满足题意， 综上，实数 a 的取值范围是 {1 ，－ 1}. 答案 　 (1)D 　 (2){1 ，－ 1} 返回 解析 　 (1) A ＝ {1,3 ， } ， B ＝ {1 ， m } ， A ∪ B ＝ A ，故 B ⊆ A ，所以 m ＝ 3 或 m ＝ ， 即 m ＝ 3 或 m ＝ 0 或 m ＝ 1 ，其中 m ＝ 1 不符合题意 ， 所以 m ＝ 0 或 m ＝ 3 ，故选 B . (2) 因为 A ＝ {0 ，－ 4} ，所以 B ⊆ A 分以下三种情况： ① 当 B ＝ A 时， B ＝ {0 ，－ 4} ，由此知 0 和－ 4 是方程 x 2 ＋ 2( a ＋ 1) x ＋ a 2 － 1 ＝ 0 的两个根，由根与系数的关系， 得 解得 a ＝ 1 ； ② 当 B ≠ ∅ 且 B  A 时， B ＝ {0} 或 B ＝ { － 4} ， 并且 Δ ＝ 4( a ＋ 1) 2 － 4( a 2 － 1) ＝ 0 ， 解得 a ＝－ 1 ，此时 B ＝ {0} 满足题意； ③ 当 B ＝ ∅ 时， Δ ＝ 4( a ＋ 1) 2 － 4( a 2 － 1)<0 ， 解得 a < － 1. 综上所述，所求实数 a 的取值范围是 ( － ∞ ，－ 1] ∪ {1}. 答案　 (1)B 　 (2)( － ∞ ，－ 1] ∪ {1} 返回 课时作业 1.(2016· 四川 ) 设集合 A ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 2} ， Z 为整数集，则集合 A ∩ Z 中元素的个数 是 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 由题意可知， A ∩ Z ＝ { － 2 ，－ 1,0,1,2} ， 则 A ∩ Z 中的元素的个数为 5. 故选 C. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2. 已知集合 M ＝ {1,2,3,4} ，则集合 P ＝ { x | x ∈ M ，且 2 x ∉ M } 的子集的个数 为 A.8 B.4 C.3 D.2 √ 由题意得 P ＝ {3,4} ， ∴ 集合 P 有 4 个子集 . 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵ A ∩ B ＝ ∅ ， 综上，实数 m 的取值范围为 [0 ，＋ ∞ ). 4.( 2017· 潍坊调研 ) 已知全集 U ＝ R ，集合 A ＝ {1,2,3,4,5} ， B ＝ { x ∈ R | x ≥ 2} ， 则 右 图 中阴影部分所表示的集合 为 A.{0,1} B .{1} C.{1,2} D .{0,1,2} 因为 A ∩ B ＝ {2,3,4,5} ，而图中阴影部分为 A 去掉 A ∩ B ， 所以 阴影部分所表示的集合为 {1}. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5. 已知集合 A ＝ { x | － 1< x <0} ， B ＝ { x | x ≤ a } ，若 A ⊆ B ，则 a 的取值范围 为 A.( － ∞ ， 0] B .[0 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ， 0) D .(0 ，＋ ∞ ) √ 用数轴表示集合 A ， B ( 如图 ) ， 由 A ⊆ B ，得 a ≥ 0. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.(2016· 河北省衡水中学模拟 ) 已知 U 为全集，集合 A ＝ { x | x 2 － 2 x － 3>0} ， B ＝ { x |2< x <4} ，那么集合 B ∩ ( ∁ U A ) 等于 A.{ x | － 1 ≤ x ≤ 4} B .{ x |2< x ≤ 3} C.{ x |2 ≤ x <3} D .{ x | － 1< x <4} ∵ A ＝ { x < － 1 或 x >3} ， ∴ ∁ U A ＝ { x | － 1 ≤ x ≤ 3} ， B ＝ { x |2< x <4} ， ∴ B ∩ ( ∁ U A ) ＝ { x |2< x ≤ 3}. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7.(2016· 宁夏银川二中考试 ) 已知集合 A ＝ { x | y ＝ lg( x － x 2 )} ， B ＝ { x | x 2 － cx <0 ， c >0} ，若 A ⊆ B ，则实数 c 的取值范围 是 A.(0,1] B .[1 ，＋ ∞ ) C.(0,1) D .(1 ，＋ ∞ ) √ 由题意知， A ＝ { x | y ＝ lg( x － x 2 )} ＝ { x | x － x 2 >0} ＝ (0,1) ， B ＝ { x | x 2 － cx <0 ， c >0} ＝ (0 ， c ). 由 A ⊆ B ，画出数轴，如图所示，得 c ≥ 1. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8.(2015· 浙江 ) 已知集合 P ＝ { x | x 2 － 2 x ≥ 0} ， Q ＝ { x |1 ＜ x ≤ 2} ，则 ( ∁ R P ) ∩ Q 等于 A. [0,1) B .(0,2] C .(1,2) D . [1,2] ∵ P ＝ { x | x ≥ 2 或 x ≤ 0} ， ∁ R P ＝ { x |0 ＜ x ＜ 2} ， ∴ ( ∁ R P ) ∩ Q ＝ { x |1 ＜ x ＜ 2} ，故选 C. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9. 已知集合 A ＝ { x | x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0 ， x ∈ R } ， B ＝ { x |0< x <5 ， x ∈ N } ，则满足条件 A ⊆ C ⊆ B 的集合 C 的个数 为 A.1 B.2 C.3 D.4 由 x 2 － 3 x ＋ 2 ＝ 0 ，得 x ＝ 1 或 x ＝ 2 ， ∴ A ＝ {1,2}. 由题意知 B ＝ {1,2,3,4}. ∴ 满足条件的 C 可为 {1,2} ， {1,2,3} ， {1,2,4} ， {1,2,3,4} ，共 4 个 . √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 已知集合 A ＝ { m ＋ 2,2 m 2 ＋ m } ，若 3 ∈ A ，则 m 的值为 _______. ∵ 3 ∈ A ， ∴ m ＋ 2 ＝ 3 或 2 m 2 ＋ m ＝ 3. 当 m ＋ 2 ＝ 3 ，即 m ＝ 1 时， 2 m 2 ＋ m ＝ 3 ，此时集合 A 中有重复元素 3 ， 不符合集合的互异性，舍去； 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为 A ＝ { x | x ≥ 3 或 x ≤ － 1} ， B ＝ { y | y >1} ， 所以 A ∪ B ＝ { x | x >1 或 x ≤ － 1}. ( － ∞ ，－ 1] ∪ (1 ，＋ ∞ ) 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13. 已知集合 A ＝ { x | x 2 － 2 x ＋ a >0} ，且 1 ∉ A ，则实数 a 的取值范围是 __________. ∵ 1 ∉ { x | x 2 － 2 x ＋ a >0} ， ∴ 1 ∈ { x | x 2 － 2 x ＋ a ≤ 0} ， 即 1 － 2 ＋ a ≤ 0 ， ∴ a ≤ 1. ( － ∞ ， 1] 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 *14. 设 A 是整数集的一个非空子集，对于 k ∈ A ，如果 k － 1 ∉ A ，且 k ＋ 1 ∉ A ，那么称 k 是 A 的一个 “ 孤立元 ”. 给定 S ＝ {1,2,3,4,5,6,7,8} ，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含 “ 孤立元 ” 的集合共有 ________ 个 . 依题意可知，由 S 的 3 个元素构成的所有集合中，不含 “ 孤立元 ” 时，这三个元素一定是连续的三个自然数 . 故这样的集合共有 6 个 . 6 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 *15. 已知集合 A ＝ { x ∈ R || x ＋ 2|<3} ，集合 B ＝ { x ∈ R |( x － m )( x － 2)<0} ，且 A ∩ B ＝ ( － 1 ， n ) ，则 m ＝ ________ ， n ＝ ________. A ＝ { x ∈ R || x ＋ 2|<3} ＝ { x ∈ R | － 5< x <1} ， 由 A ∩ B ＝ ( － 1 ， n ) ，可知 m <1 ， 则 B ＝ { x | m < x <2} ，画出数轴，可得 m ＝－ 1 ， n ＝ 1. － 1 1 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15