2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试（二）数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试（二）数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年河南省天一大联考高二上学期阶段性测试（二）数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】化简集合A，求A，B交集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算,属于容易题.‎ ‎2．如果，那么下列不等式错误的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据不等式的性质，结合条件分析，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 由不等式性质知，当时，‎ 有，，，成立，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的基本性质及对数函数、指数函数的单调性，属于容易题.‎ ‎3．命题“，”的否定为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据含量词的命题的否定，即可求出答案.‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定为：‎ ‎，，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查了含量词命题的否定，属于容易题.‎ ‎4．“函数是增函数”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据指数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．‎ ‎【详解】‎ 是增函数，需满足，‎ ‎“函数是增函数”是“”的必要不充分条件，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，考查指数函数的性质，是一道基础题．‎ ‎5．已知是等差数列，且，是函数的两个零点，则（ ）‎ A．8 B． C．2020 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由根与系数的关系及等差中项即可求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，是函数的两个零点，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了根与系数的关系，等差数列的基本性质，等差中项，属于容易题.‎ ‎6．已知双曲线C的离心率为，一个焦点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的实轴长为（ ）‎ A．1 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据双曲线的简单几何性质，焦点到渐近线的距离为b,即可求解.‎ ‎【详解】‎ 设双曲线C的方程为，半焦距为c.双曲线的离心率为，‎ 则双曲线的渐近线方程为，焦点到一条渐近线的距离为，‎ 所以，，‎ 故实轴长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线的简单几何性质，点到直线的距离，属于容易题.‎ ‎7．在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件及余弦定理可求出，由可求出A，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由，可得，‎ 根据余弦定理得，又，‎ 所以.‎ 因为，，‎ 所以或.‎ 当时，；‎ 当时，，不合题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形，余弦定理的应用，分类讨论，属于中档题.‎ ‎8．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在抛物线C上，与直线l相切于点E，且，则的半径为（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】过点M作轴，垂足为H，由知，利用抛物线定义即可知，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，‎ 依题意，过点M作轴，垂足为H，‎ 在中，，‎ 由抛物线定义可得，则，解得，‎ 故的半径为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的性质，直线与圆相切的性质，属于中档题.‎ ‎9．设椭圆与双曲线有公共焦点，过它们的右焦点F作x轴的垂线与曲线，在第一象限分别交于点M，N，若 ‎（O为坐标原点），则与的离心率之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由面积比可得，转化为纵坐标之比，即可得，写出离心率之比即可,‎ ‎【详解】‎ 设右焦点为，则.‎ 依题意，，，‎ 若，‎ 则，‎ 即，‎ 即，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆和双曲线的标准方程和几何性质，属于中档题.‎ ‎10．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，.以点B为原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和PBC的法向量分别为和，则下面选项中正确的是（ ）‎ A．点P的坐标为 B．‎ C．可能为 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据空间直角坐标系，写出点坐标，，，，分别计算即可求值.‎ ‎【详解】‎ 建立空间直角坐标系如图：‎ 由题意可得，，，，‎ 所以，.‎ 设，则，‎ 取，可得.‎ 因为，，‎ 所以平面PAB，‎ 所以平面平面PAB，‎ 所以，‎ 所以.‎ 综上所述，A，B，D错，C正确.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了空间直角坐标系和空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.‎ ‎11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆E交于A，B两点.若四边形面积的最大值为8，则a的最小值为（ ）‎ A． B．2 C． D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】当直线与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，由面积公式及基本不等式求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设椭圆E的半焦距为c.直线过原点，‎ 当其与x轴垂直，即时，四边形的面积最大，此时，‎ 所以，‎ 所以，当且仅当时等号成立.‎ 故 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程和几何性质，利用基本不等式求最值，属于中档题.‎ ‎12．如图所示的三角形数阵叫做“杨辉三角”，出现在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，在欧洲又被称为“帕斯卡三角”.在“杨辉三角”中，从第三行起，每行两端的数都是1，其余的数都为其“肩上”两数之和.现将该数阵从第一行开始，由上到下，由左往右的数字依次排成一列，构成数列1，1，1，1，2，1，1，3，3，1…，若此数列的前m项和，则（ ）‎ A．36 B．45 C．55 D．66‎ ‎【答案】D ‎【解析】先计算每行的和，再计算前k组所有项的和，由得k，再由等差数列求和公式求得m.‎ ‎【详解】‎ 将数列分组：，，，，….‎ 第一组共1项，和为；第2组共2项，和为；…；第k组共k项，猜测其和为.‎ 前k组所有项的和为.‎ 令，可解得，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的基本性质及求和公式,等差数列的求和公式，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13．已知正项等比数列中，，，则的值为________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据等比数列的性质可推出为等比数列，求其前4项之积即可，‎ ‎【详解】‎ 正项等比数列中，，‎ 故是等比数列，首项为，第二项为，‎ 所以，，‎ 因此数列的前12项之积为，.‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的性质，证明数列为等比数列，对数和的运算，属于中档题.‎ ‎14．已知实数满，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的最大值．‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，‎ 其中，‎ ‎，‎ 表示可行域内的任意一点与之间距离的平方，‎ 所以.‎ 故答案为24.‎ ‎【点睛】‎ 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．‎ ‎15．已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为点 ‎.若经过点的直线与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，则线段MN的中垂线l在y轴上截距t的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由渐近线及右顶点求出双曲线方程，设直线方程为，联立双曲线求k范围,写出中垂线方程，求截距范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，双曲线方程为.‎ 设直线方程为，‎ 联立，消去y得.‎ 由题可知此方程有两个正根，所以，‎ 解得.‎ MN的中点为，‎ 所以线段MN的中垂线方程为.‎ 令，得截距.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程和性质，双曲线和直线的位置关系，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎16．已知函数.‎ ‎（1）若，恒成立，求a的取值范围；‎ ‎（2）若的解集为，解不等式 ‎.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】（1）分和两种情况分类讨论求解（2）由根与系数的关系求出参数后解一元二次不等式即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，显然成立；‎ 当时，需满足，得.‎ 综上可得，a的取值范围是.‎ ‎（2）即.‎ 根据题意，和是方程的两个实根，‎ 所以，解得，经检验，符合题意.‎ ‎，解得，‎ 所以不等式的解集为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了一元二次不等式恒成立问题，一元二次不等式求解，属于容易题.‎ ‎17．已知方程表示经过第二、三象限的抛物线；方程表示焦点在x轴上的椭圆.其中，.‎ ‎（1）若，且为真命题，求m的取值范围；‎ ‎（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）m的取值范围是.（2）.‎ ‎【解析】（1）分别求出p，q为真时的m的范围，根据“p且q”是真命题，得到关于m的不等式组，解出即可；（2）先求出q为真时的m的范围，结合p是q 的必要不充分条件，得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）若为真：‎ 解得，‎ 若为真：则 解得 ‎ 若“且”是真命题，‎ 则，‎ 解得；‎ ‎（2）若为真，则，‎ 即，‎ 由是的必要不充分条件，‎ 则可得 Ü 即，‎ 解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了充分必要条件，考查复合命题的判断，考查集合的包含关系，是一道中档题．‎ ‎18．如图所示，在中，已知点D在边BC上，且，，.‎ ‎（1）若，求线段BC的长；‎ ‎（2）若点E是BC的中点，，求线段AC的长.‎ ‎【答案】（1）.（2）AC的长为8.‎ ‎【解析】（1）求出，利用正弦定理求解即可（2）求出，利用，解关于的一元二次方程即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条件可得.‎ 在中，，‎ 所以，‎ 得.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为为钝角，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 解得（负值舍去），‎ 所以线段AC的长为8.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解三角形、正弦定理、诱导公式以及平面向量数量积的应用.‎ ‎19．已知正项等比数列的前n项和为，，，数列中，，.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）记，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）；.（2）.‎ ‎【解析】（1）根据条件，列出关于d,q的方程组求解即可；‎ ‎（2）利用分组求和及等比数列的求和公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公比为q，由已知可得，‎ 由题意得，‎ 所以，‎ 解得，.‎ 因此数列的通项公式为.‎ 由可得，易知，‎ 所以，‎ 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可知.‎ 所以数列的前n项和.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列和等比数列的性质、通项公式，数列求和的运算，属于中档题.‎ ‎20．如图所示，圆锥的顶点为A，底面的圆心为O，BC是底面圆的一条直径，点D，E 在底面圆上，已知，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求直线OC与平面ACE所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）.‎ ‎【解析】（1）由可得，易证平面OAC，即可求得（2）建立空间直角坐标系，利用线面角计算公式求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，，所以，‎ 所以.‎ 在圆锥AO中，AO与底面垂直，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以平面OAC，‎ 因为平面OAC，‎ 所以.‎ ‎（2）由（1）可知0A，OC，OD两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，.‎ 因为，，所以为二面角的平面角，‎ 所以，从而可得.‎ 所以，，.‎ 设平面ACE的法向量为.‎ 则.令，则.‎ 设直线OC与平面ACE所成的角为，‎ 则.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线线垂直，线面垂直的证明，空间向量在立体几何中的应用，属于中档题.‎ ‎21．已知椭圆的右焦点为F，过点的直线l与E交于A，B两点.当l过点F时，直线l的斜率为，当l的斜率不存在时，.‎ ‎（1）求椭圆E的方程.‎ ‎（2）以AB为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）以AB为直径的圆恒过定点.‎ ‎【解析】（1）根据直线的斜率公式求得的值，由，即可求得的值，求得椭圆方程；‎ ‎（2）当直线的斜率存在，设直线的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及以直径的圆的方程，令，即可求得，即可判断以为直径的圆过定点．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设椭圆半焦距为c，由题意，所以.‎ l的斜率不存在时，，所以，.‎ 所以椭圆E的方程为.‎ ‎（2）以AB为直径的圆过定点.‎ 理由如下：‎ 当直线的斜率存在时，设的方程，，，，，‎ 联立方程组，消去，‎ 整理得，‎ 所以，，‎ 所以，，‎ 以为直径的圆的方程：，‎ 即，‎ 令，则，‎ 解得或，‎ 所以为直径的圆过定点．‎ 当直线l的斜率不存在时，，，‎ 此时以AB为直径的圆的方程为.‎ 显然过点．‎ 综上可知，以为直径的圆过定点．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理及圆的标准方程，考查转化思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于中档题．‎