高考数学专题复习:计数原理 习题课(三)

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高考数学专题复习:计数原理 习题课(三)

第一章 计数原理 习题课(三)‎ 一、选择题 ‎1、6人被邀请参加一项活动,必须有人去,去几人自行决定.若最终有n个人去的方法是15种,则n的值为(  )‎ A.2 B.4‎ C.2或4 D.2或3‎ ‎2、从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台,其中至少有甲型与乙型电视机各1台,则不同的取法共有(  )‎ A.140种 B.84种 C.70种 D.35种 ‎3、从正方体ABCD-A1B‎1C1D1的8个顶点中选取4个作为四面体的顶点,可得到的不同四面体的个数是(  )‎ A.C-12 B.C-8‎ C.C-6 D.C-4‎ ‎4、8名运动员参加男子‎100米的决赛,已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道,若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如:4,5,6),则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(  )‎ A.360种 B.4 320种 C.720种 D.2 160种 ‎5、8人排成一排,其中甲、乙、丙三人不能相邻的排法有几种(  )‎ A.AA B.A-AA C.AA D.A-A 二、填空题 ‎6、某校开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有________种.‎ ‎7、现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者服务活动,每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙丁戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是________.‎ ‎8、8名学生和2位老师站成一排合影,2位老师不相邻的排法种数为________.(用式子表示)‎ 三、解答题 ‎9、某晚会已定好节目单,其中小品3个,歌舞2个,相声2‎ 个.后来由于情况有变,需加上诗歌朗诵和快板两个节目,但不能改变原先节目的相对顺序,问节目演出的方式可能有多少种?‎ ‎10、从集合{1,2,3,…,20}中任选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个?‎ ‎11、某次文艺晚会上共演出8个节目,其中2个唱歌、3个舞蹈、3个曲艺节目,求分别满足下列条件的排节目单的方法种数:‎ ‎(1)一个唱歌节目开头,另一个压台;‎ ‎(2)两个唱歌节目不相邻;‎ ‎(3)两个唱歌节目相邻且3个舞蹈节目不相邻.‎ ‎12、从6名运动员中选出4个参加4×‎100 m的接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,则共有多少种不同的参赛方法?‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、C ‎2、C [分两类:(1)甲型1台,乙型2台:CC;(2)甲型2台,乙型1台:CC.所以一共有CC+CC ‎=70(种).]‎ ‎3、A [在正方体中,6个面和6个对角面上的四个点不能构成四面体,所以一共有C-12.]‎ ‎4、B [三个连续数字的可能情况是6种,被选中的运动员全排,剩下的5名运动员全排,所以这8名运动员安排跑道的方式共有‎6AA=4 320(种).]‎ ‎5、A [使用插空法,先排甲、乙、丙外的5人,共A种方法.然后在形成的6个空中插入甲、乙、丙共有A种方法.‎ ‎∴共有A×A种排法.]‎ 二、填空题 ‎6、30‎ 解析 方法一 可分两种互斥情况:A类选1门,B类选2门或A类选2门,B类选1门,共有CC+CC=18+12=30(种)选法.‎ 方法二 总共有C=35(种)选法,减去只选A类的C=1(种),再减去只选B类的C=4(种),故有30种选法.‎ ‎7、126‎ 解析 分类讨论:若有2人从事司机工作,则方案有C×A=18(种);若有1人从事司机工作,则方案有C×C×A=108(种),‎ 所以共有18+108=126(种).‎ ‎8、AA 解析 采用插空法,先排8名学生,共有A种方法;再在8名学生形成的9个空中排2位老师,有A种排法,‎ ‎∴共有排法:A×A种.‎ 三、解答题 ‎9、解 方法一 若所有节目没有顺序要求,全部排列,则有A种排法;但是原先的节目已经定好顺序,需要消除,故有=A=72(种)排法.‎ 方法二 共有9个元素,9个空,先选2个空,安排朗诵和快板,有A种排法;再将剩下的空安排其他元素,由于顺序已定,故只有1种方法,则共有AC=72(种)排法.‎ ‎10、解 设a、b、c∈N,且a、b、c成等差数列,则a+c=2b,即a+c应是偶数.因此从1到20这20个数字中任选出三个数成等差数列,则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数,而1到20这20个数字中有10个偶数和10个奇数.当第一个和第三个数选定后,中间数被唯一确定.因此,选法只有两类.‎ ‎(1)第一、三个数都是偶数,有A种选法;‎ ‎(2)第一、三个数都是奇数,有A种选法;‎ 于是,选出3个数成等差数列的个数为 A+A=180(个).‎ ‎11、解 (1)先排唱歌节目有A种排法,再排其他节目有A种排法,所以共有A·A=1 440(种)排法.‎ ‎(2)先排3个舞蹈节目,3个曲艺节目有A种排法,再从其中7个空(包括两端)中选2个排唱歌节目,有 A种插入方法,所以共有A·A=30 240(种)排法.‎ ‎(3)把2个相邻的唱歌节目看作一个元素,与3个曲艺节目排列共A种排法,再将3个舞蹈节目插入,共有A种插入法,最后将2个唱歌节目互换位置,有A种排法,由分步乘法计数原理,符合要求的排法有:A·A·A=2 880(种).‎ ‎12、解 分两类:若乙跑第一棒,共有A=60(种);‎ 若乙不跑第一棒,则跑第一棒的选择有C种,此时跑第四棒的选择有C种,余下的第
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