数学文卷·2019届北京市第四中学高二上学期期中考试（2017-11）

数学文卷·2019届北京市第四中学高二上学期期中考试（2017-11）

北京四中2017-2018学年上学期高中二年级期中考试数学试卷（文科）‎ 试卷分为两卷，卷（I） 100分，卷（II） 50分，满分共计150分 考试时间：120分钟 卷（I）‎ 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. ‎ ‎1. 下面四个条件中，能确定一个平面的条件是 A. 空间任意三点 B. 空间两条直线 C. 空间两条平行直线 D. 一条直线和一个点 ‎2. l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 A. l1⊥l2，l2⊥l3 l1∥l3 B. l1⊥l2，l2∥l3 l1⊥l3‎ C. l1∥l2∥l3 l1，l2，l3共面 D. l1，l2，l3共点l1，l2，l3共面 ‎3. 已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B. 若m⊥α，n⊥α，则m∥n C. 若m∥α，n∥α，则m∥n D. 若m ∥α，m∥β，则α∥β ‎4. 在四面体P-ABC的四个面中，是直角三角形的面至多有 A. 0个 B. 1个 C. 3个 D. 4个 ‎5. 下列命题中错误的是 A. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C. 如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，αβ=l，那么l⊥平面γ D. 如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β ‎6. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是 A. CC1与B1E是异面直线 B. AC⊥平面ABB1A1‎ C. AE，B1C1为异面直线，且AE⊥B1C1‎ D. A1C1∥平面AB1E ‎7. 把正方形ABCD沿对角线BD折，使平面ABD⊥平面CBD后，下列命题正确的是 A. AB⊥BC B. AC⊥BD C. CD⊥平面ABC D. 平面ABC⊥平面ACD ‎8. 如图所示点P为三棱柱ABC-A1B1C1侧棱AA1上一动点，若四棱锥P-BCC1B1的体积为V，则三棱柱ABC-A1B1C1的体积为 A. 2V B. 3V C. D. ‎ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 ‎9. 已知平面α，β和直线m，给出条件：‎ ‎①m∥α; ②m⊥α; ③m α; ④α⊥β; ⑤α∥β ‎（1）当满足条件___________（填序号或序号组合）时，有m∥β；‎ ‎（2）当满足条件_____________（填序号或序号组合）时，有m⊥β. ‎ ‎10. 己知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题正确的是 ‎（1）若l垂直于α内的两条相交直线，则l⊥α；‎ ‎（2）若l平行于α，则l平行于α内所有直线；‎ ‎（3） mα，lβ，且l⊥m，则α⊥β；‎ ‎（4）若lβ，且l⊥α，则α⊥β；‎ ‎（5）mα，lβ，且α∥β，则m∥l. ‎ ‎11. 底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的体对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是_____________. ‎ ‎12. 三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC两两垂直，PA=1，PB=PC=，己知空间中有一个点到这四个点距离相等，则这个距离是__________. ‎ ‎13. 某几何体的三视图如下图所示，则这个几何体的体积为_______________. ‎ ‎14. 如下图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，己知△A'DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，不考虑A'与A、F重合的情形，给出下列命题：‎ ‎①动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上；‎ ‎②BC∥平面A'DE；‎ ‎③三棱锥A'-FED的体积有最大值. ‎ 其中真命题的序号是_______________. ‎ 三、解答题：本大题共3小题，共30分 ‎15. 已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示：‎ ‎（I）求四棱锥P-ABCD的表面积；‎ ‎（II）求四棱锥P-ABCD的体积. ‎ ‎16. 若P为△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC. ‎ 求证：BC⊥AC ‎17. 如图，已知PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，AB=2，C是圆O上的一点，且AC=BC，∠PCA=45°，E是PC中点，F为PB的中点. ‎ ‎（I）求证：EF∥面ABC；‎ ‎（II）求证：EF⊥面PAC；‎ ‎（III）求三棱锥B-PAC的体积. ‎ 卷（Ⅱ）‎ 一、选填题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 ‎1. 下列说法正确的是 A. 一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假 B. 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真 C. 一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真 D. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真 ‎2. 在空间直角坐标系O-xyz中，一个四面体的顶点坐标为分别为（0，0，2），（2，2，0），（0，2，0），（2，2，2）. 画该四面体三视图中的正视图时，以xOz平面为投影面，则得到正视图可以为 ‎3. 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，当点Q在（ ）位置时，平面D1BQ∥平面PAO. ‎ A. Q与C重合 B. Q与C1重合 C. Q为CC1的三等分点 D. Q为CC1的中点 ‎4. 若a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，‎ ‎①当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β；‎ ‎②当bα时，若α⊥β，则b⊥β ‎③当bα时，若a∥α，则a∥b：‎ ‎④若a，b异面，则有无数条直线与a，b都垂直；‎ ‎⑤若α⊥β，a⊥α，b⊥β， 则a⊥b. ‎ 真命题的序号是_________________. ‎ ‎5. 正四棱锥的顶点都在同一球面上. ‎ 若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为____________. ‎ 二、解答题：本大题共2小题，第6题10分，第7题15分. ‎ ‎6. 如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点，‎ 求证：（1）平面EFG∥平面ABC；‎ ‎（2）BC⊥SA. ‎ ‎7. 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2. ‎ ‎（1）求证：DE∥平面A1CB；‎ ‎（2）求证：A1F⊥BE；‎ ‎（3）线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?说明理由。‎ 参考答案 卷（I）‎ 一、1~5：CBBDD 6-8：CBD 二、9.（1）③⑤ （2）②⑤； 10. 1,4 11. 160； 12. 13. ；14. ①②③‎ ‎15. （1） （2） ‎ ‎16. 证明 ∵平面PAC⊥平面PBC，‎ 作AD⊥PC垂足为D，‎ 根据平面与平面垂直的性质定理知：‎ AD⊥平面PBC，又BC平面PBC，‎ 则BC⊥AD，又PA⊥平面ABC，‎ 则BC⊥PA，∴BC⊥平面PAC. ‎ ‎∴BC⊥AC. ‎ ‎17. （1）证明：在△PBC中，EF为中位线，所以EF∥BC，EF平面ABC，BC平面ABC 所以EF∥平面ABC. ‎ ‎（2）∵AB是圆O的直径，∴BC⊥CA;‎ ‎∵PA⊥面ACB，BC面ACB，∴PA⊥BC; BCCA=C，∴BC⊥面PAC，又∵BC∥EF，‎ ‎∴EF⊥面PAC,‎ ‎（3）由第2问知BC⊥面PAC,∴BC是三棱锥B-PAC的高；AC=BC=PA=，‎ ‎∴‎ 卷（Ⅱ）‎ ‎1. D 2. A 3. D 4. ①④⑤ 5. ‎ ‎6. 证：（1）∵SA=BA，AF⊥SB，∴SF=BF，由题SE=EA，∴EF∥AB，∵EF平面ABC AB 平面ABC，∴EF∥平面ABC，同理EG∥平面ABC，∵EF与EG为平面EFG内的两条相交直线，∴平面EFG∥平面ABC，‎ ‎（2）∵平面SAB⊥平面SBC于SB，AF平面SAB，∴AF⊥平面SBC，∴AF⊥BC. ‎ 又AB⊥BC且AB与AF为平面SAB内的两条相交直线，∴BC⊥SA。‎ ‎7. （1）因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC，又因为DE平面A1CB，所以DE∥平面A1CB. ‎ ‎（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，所以DE⊥AC. 所以DE⊥A1D，DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F平面A1DC，‎ 所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE. 所以A1F⊥BE ‎（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ. 理由如下：如图，‎ 分别取A1C，A1B的中点P,Q，则PQ∥BC. ‎ 又因为DE//BC，所以DE//PQ. 所以平面DEQ即为平面DEP. ‎ 由（2）知DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C. ‎ 又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，‎ 所以A1C⊥DP,所以A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ. ‎ 故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ. ‎