数学理卷·2017届江西省高三第五次联合测（2017

数学理卷·2017届江西省高三第五次联合测（2017

‎20162017学年高三年级调研考试（五）‎ 数学（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2.已知复数，则复数的虚部为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.已知点，，，，，是抛物线：（）上的点，是抛物线的焦点，若，且，则抛物线的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.公差不为0的等差数列的前项和为，若，且，则的值为（ ）‎ A．15 B．21 C．23 D．25 ‎ ‎5.已知的展开式中，含项的系数为70，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式．已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实线所示，格纸上小正方形的边长为1，则该烟花模型的表面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7.已知等边与等边同时内接于圆中，且，若往圆内投掷一点，则该点落在图中阴影部分内的概率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题：今有物，不知其数．三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？后来，南宋数学家秦九昭在其《数书九章》中对此问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”．如图程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的，的值分别为40，,3，则输出的的值为（ ）‎ A．7 B．9 C．20 D．22 ‎ ‎9.已知函数，则函数的单调递减区间为（ ）‎ A． B．‎ C． D． ‎ ‎10.已知双曲线：（，）的焦距为，直线过点且与双曲线的一条渐近线垂直，以双曲线的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线交于，两点，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎11.如图（1），五边形是由一个正方形与一个等腰三角形拼接而成，其中，，现将进行翻折，使得平面平面，连接，，所得四棱锥如图（2）所示，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，向量，若，则 ．‎ ‎14.已知实数，满足则的取值范围为 ．‎ ‎15.已知公比为的等比数列的前项和为，若，则的值为 ．‎ ‎16.已知函数，将函数的图象向右平移3个单位后，再向上平移2个单位，得到函数的图象，函数若对于任意的（），都有，则实数的最大值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知中，内角，，所对的边分别为，，，其中，．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若边上的中线长为，求的面积．‎ ‎18.某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答，至少答对3个才能通过初试．已知甲、乙两人参加初试，在这8个试题中甲能答对6个，乙能答对每个试题的概率为，且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响．‎ ‎（Ⅰ）求甲通过自主招生初试的概率；‎ ‎（Ⅱ）试通过概率计算，分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大；‎ ‎（Ⅲ）记甲答对试题的个数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎19.已知多面体如图所示，底面为矩形，其中平面，．若，，分别是，，的中点，其中．‎ ‎（Ⅰ）证明：；‎ ‎（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求的长．　‎ ‎20.已知椭圆：（）的离心率为，且过点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线：（）与椭圆交于，两点，记直线，的斜率分别为，，试探究是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎21.已知函数（）．‎ ‎（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若对任意，，恒成立，求实数的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）已知倾斜角为且过点的直线与曲线交于，两点，求的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若，，证明：．‎ ‎20162017学年高三年级调研考试（五）数学（理）卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（Ⅰ）依题意，，‎ 故，所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 即，因为，所以，故，‎ 可得．‎ ‎（Ⅱ）记边上的中线为CD，故，‎ 所以，‎ 结合（1）可知，解得，‎ 所以的面积．‎ ‎18.解：（Ⅰ）依题意，所求概率．‎ ‎（Ⅱ）乙通过自主招生初试的概率； ‎ 因为，故甲通过自主招生初试的可能性更大．‎ ‎（Ⅲ）依题意，的可能取值为2,3,4； ‎ ‎；；；‎ 故的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 所以． ‎ ‎19.（Ⅰ）证明：取的中点，连接，，‎ 因为是正方形，所以，； ‎ 因为分别是,的中点，所以,； ‎ 又因为且，所以，，‎ 所以四边形是平行四边形, 所以. ‎ 因为平面，‎ 又故，故．‎ ‎（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA，DC，DS分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系；设（），则．‎ 因为⊥底面，所以平面的一个法向量为.‎ 设平面SRB的一个法向量为，‎ ‎，，则 即 令x=1，得，所以，‎ 由已知，二面角的余弦值为，‎ 所以得 ，解得a =2，所以SD=2． ‎ ‎20.解：（Ⅰ）依题意，‎ 解得，故椭圆的方程为．‎ ‎（Ⅱ），下面给出证明：设， ，‎ 将代入并整理得， ‎ ‎，解得，且 故，， ‎ 则，‎ 分子=‎ ‎，‎ 故为定值，该定值为0．‎ ‎21.解：（Ⅰ）依题意，，，故， ‎ 又，故所求切线方程为，即； ‎ ‎（Ⅱ）令，故函数的定义域为，． ‎ 当变化时，，的变化情况如下表：‎ 单调减 单调增 单调减 因为，，所以时，函数的最小值为；‎ 因为． 因为，令得，，．‎ ‎（i）当，即时，在上，所以函数在 上单调递增，所以函数．由得，，所以． ‎ ‎（ⅱ）当，即时, 在上，在上，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，由得，，所以． ‎ 综上所述，的取值范围是. ‎ ‎22.解：（Ⅰ）依题意，曲线的普通方程为，即，‎ 故，故，故所求极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线（t为参数），将此参数方程代入中，‎ 化简可得，显然；‎ 设所对应的参数分别为，故 ‎．‎ ‎23.解：（Ⅰ）依题意，‎ 由，解得，故．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，；‎ 因为，‎ 故，故．‎