2018-2019学年江西省上饶中学高二上学期期中考试数学试题(文科零班 奥赛班用) 解析版

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绝密★启用前 江西省上饶中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(文科零班 奥赛班用)‎ 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数的共轭复数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本题考查共轭复数的概念，先把复数的分母实数化，，根据共轭复数的概念易得答案C。‎ ‎2．命题“若，则”的逆否命题是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据逆否命题的定义即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 根据逆否命题的定义，改写成逆否命题后为 若，则 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了命题与逆否命题的关系，属于基础题。‎ ‎3．某单位有员工147人，其中女员工有63人.为做某项调查，拟采用分层抽样法抽取容量为21的样本，则男员工应选取的人数是（ ）‎ A．8 B．9 C．10 D．12‎ ‎【答案】D ‎【解析】男员工84人，女员工63人，所以当样本容量为21人时，男员工为，‎ 故选D。‎ ‎4．已知实数满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A．5 B．3 C．1 D．-4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义确定最优解的取值之处，据此求解最大值即可.‎ 详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，‎ 结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A处取得最大值，‎ 联立直线方程：，可得点的坐标为：，‎ 据此可知目标函数的最大值为：.‎ 本题选择A选项.‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎5．若为实数，则“”是“”的 ( )‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 时包含了的情况，然后进行判断 ‎【详解】‎ 由题意，当时，可得，则可以推出 而当时，则不能推出 如果当时，‎ 故“”是“”的必要不充分条件 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是充分必要条件判断问题，在不等式求解过程中不要忽略小于零的情况。‎ ‎6．如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合题目条件计算，则可以判定加到，即求出结果 ‎【详解】‎ 根据程序框图，要得到 则需要循环次，每次循环加，的初始值为，的最大值为，‎ 故判断框内填入的条件应为 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了循环结构，解答本题的关键是根据程序的功能判断出最后一次进入循环的条件，考查了逻辑推理能力。‎ ‎7．某校为了提高学生身体素质，决定组建学校足球队，学校为了解报名学生的身体素质，对他们的体重进行了测量，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如右图），已知图中从左到右3个小组的频率之比为1:2:3，其中第2小组的频数为12,则该校报名学生总人数（ ）‎ A．40 B．45 C．48 D．50‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据频数关系，求出前三段每段的频数，由直方图求出四五组的频率，进而求出前三组的频率和，从而可求该校报名学生的总人数.‎ ‎【详解】‎ 从左到右个小组的频率之比为，其中第2小组的频数为12，‎ 从左到右个小组的频数分别为，共有人，‎ 第4,5小组的频率之和为，‎ 则前3小组的频率之和为，‎ 则该校报名学生的总人数为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查频率分布直方图的应用，属于中档题. 直方图的主要性质有：（1）直方图中各矩形的面积之和为；（2）组距与直方图纵坐标的乘积为该组数据的频率；（3）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标相乘后求和可得平均值；（4）直观图左右两边面积相等处横坐标表示中位数.‎ ‎8．在中，内角的对边分别为，，，，则（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得外接圆半径，然后结合合分比的性质求解的值即可.‎ ‎【详解】‎ 由三角形面积公式可得：，即，解得：，‎ 结合余弦定理可得：，则 由正弦定理有：，‎ 结合合分比定理可得： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正弦定理、余弦定理及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎9．已知，是椭圆的两个焦点，过且垂直于轴的直线与交于，且，则的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由条件可得A（1,）,B（1,-）,因|AB|=-（-）==3,即2b2=3a,所以解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C.‎ ‎10．用反证法证明命题：“已知是自然数，若，则中至少有一个不小于2”，提出的假设应该是（ ）‎ A．至少有二个不小于2 B．中至少有一个不小于2‎ C．都小于2 D．中至少有一个小于2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据反证法证明数学命题的方法和步骤，应先假设命题的否定成立，而命题“已知是自然数，若，则中至少有一个不小于”的否定为“都小于”，故选C．‎ 考点：反证法．‎ ‎11．一同学在电脑中打出若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2012个圈中的●的个数是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把每个实心圆和它前面的连续的空心圆看成一组，每组只有一个实心圆，且每一组圆的个数等于2，3，4，…, 这是一个等差数列．根据等差数列的求和公式可以算出第2012个圆在之前有多少个整组，即可得答案 ‎【详解】‎ 根据题意，将圆分组：‎ 第一组：○●，有2个圆；‎ 第二组：○○●，有3个圆；‎ 第三组：○○○●，有4个圆；‎ ‎…‎ 每组的最后为一个实心圆；‎ 每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n组圆的总个数为sn=2+3+4+…+（n+1）= ‎ 易得 ，则在前2012个圈中包含了61个整组，‎ 即有61个黑圆，故答案为：C ‎【点睛】‎ 本题考查归纳推理的应用，解题的关键是找出图形的规律，构造等差数列，然后利用等差数列的求和公式计算 ‎12．设分别是椭圆E：的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于两点，，若，则椭圆E的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设.则,由余弦定理得,解得.所以,故三角形等腰直角三角形.故,离心率为.故选.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将条件关系转化为集合的包含关系；据集合的包含关系得到集合的端点的大小关系，列出不等式，求出a的范围．‎ ‎【详解】‎ ‎∵“a＜x＜a+2”是“x＞3”的充分不必要条件 ‎∴{x|a＜x＜a+2}{x|x＞3}‎ ‎∴a≥3，‎ 故答案为：[3，+∞）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用集合关系来判断条件关系．当A⊆B时，A是B的充分条件；当A⊊B时，A是B的充分不必要条件；当A=B时，A是B的充要条件．‎ ‎14．为了防止职业病，某企业采用系统抽样方法，从该企业全体名员工中抽名员工做体检，现从名员工从到进行编号，在中随机抽取一个数，如果抽到的是，则从这个数中应抽取的数是__________．‎ ‎【答案】52‎ ‎【解析】‎ 由题意可知，抽取的人数编号组成一个首项为7，公差为15的等差数列，‎ 则从这个数中应抽取的数是：.‎ 故答案为： 52．‎ ‎15．春节期间，某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额（单位：万元）与当天的平均气温（单位：）有关．现收集了春节期间这个销售公司4天的与 的数据列于下表：‎ 平均气温（）‎ 销售额（万元）‎ ‎20‎ ‎23‎ ‎27‎ ‎30‎ 根据以上数据，求得与之间的线性回归方程的系数，则________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出样本中心，代入回归直线方程．求解即可．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：==﹣4，==25，‎ ‎∴==25+=．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 回归直线中样本中心一定在回归直线上，可以利用这一条件求出方程中的参数。‎ ‎16．设是坐标原点，AB是圆锥曲线的一条不经过点且不垂直于坐标轴的弦，M是弦AB的中点，分别表示直线AB,OM的斜率。在圆中，，在椭圆中，类比上述结论可得_____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用点差法计算即可 ‎【详解】‎ 设，两点在椭圆上故①，②‎ ‎①-②式可得，整理可得，方程两边同时除以整理可得③，因为，代入③式，整理可得。‎ ‎【点睛】‎ 点差法的结论是用来表示弦的中点坐标和原点的直线的斜率与弦所在直线斜率关系的。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知命题p：，命题q:|2a-1|<3．‎ ‎(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据命题为真命题，分类讨论a是否为0；再根据开口及判别式即可求得a的取值范围。‎ ‎（2）‎ ‎【详解】‎ 根据复合命题真假，讨论p真q假，p假q真两种情况下a的取值范围。‎ ‎（1）命题是真命题时，在范围内恒成立，‎ ‎∴①当时，有恒成立； ‎ ‎②当时，有，解得：； ‎ ‎∴的取值范围为：.‎ ‎（2）∵是真命题，是假命题，∴.一真一假， ‎ 由为真时得：，故有：①真假时，有得：；‎ ‎②假真时，有得： ； ‎ ‎∴的取值范围为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题。‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）若都是从集合中任取的一个数，求函数有零点的概率；‎ ‎（2）若都是从区间上任取的一个数，求成立的概率.‎ ‎【答案】（1）（2）。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）本题为古典概型且基本事件总数为个，函数有零点即即，数出满足条件的时间数目7个；故概率为。（2）由条件知是两个变量，且事件个数有无穷个，故为几何概型，找到总事件表示的区域和题干条件满足的条件，根据面积之比得到结果.‎ 解析：‎ ‎（1）都是从集合中任取的一个数本题为古典概型且基本事件总数为个，设“函数有零点”为事件 则即，包含个基本事件，.‎ ‎（2）都是从区间上任取的一个数本题为集合概型且所有基本事件的区域为如图所示矩形，‎ 设“函数”为事件则，即，‎ 包含的基本事件构成的区域为图中阴影部分 ‎.‎ ‎19．如图所示，在中，D是BC边上一点，，．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求AC的长．‎ ‎【答案】（1）;（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据余弦定理得到，进而得到角的大小；（2），根据两角差的正弦公式得到正弦值，再由正弦定理得到边长.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)在中，由余弦定理得．‎ 因为 ，所以．‎ ‎（2）由，可知 ，所以 ‎ ‎．在中，由正弦定理得 ， ‎ 即，所以.‎ ‎【点睛】‎ 在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现 及 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.‎ ‎20．为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝以上为“常喝”，体重超过为“肥胖”．‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎2‎ 不肥胖 ‎18‎ 合计 ‎30‎ 已知在全部人中随机抽取人，抽到肥胖的学生的概率为．‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由；‎ ‎（3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．‎ 附： ‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意结合古典概型求得肥胖学生的人数，然后完成列联表即可；‎ ‎(2)由题意计算的观测值，然后结合独立性检验的结论可知有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.‎ ‎(3)列出所有可能的事件，结合古典概型计算公式求解恰好抽到一名男生和一名女生的概率即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设全部30人中的肥胖学生共名,则,解得.∴常喝碳酸饮料且肥胖的学生有6名.列联表如下:‎ 常喝 不常喝 合计 肥胖 ‎6‎ ‎2‎ ‎8‎ 不肥胖 ‎4‎ ‎18‎ ‎22‎ 合计 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎（2）有;‎ 理由:由已知数据可求得,因此有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关.‎ ‎（3）根据题意,可设常喝碳酸饮料的肥胖男生为,女生为,则任取两人, 可能的结果有 共15种,其中一男一女有, 共8种.故正好抽到一男一女的概率为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查独立性检验的应用，古典概型的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎21．为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本(单位：万元)与处理量(单位：吨)之间的函数关系可近似表示为，，已知每处理一吨二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品．‎ ‎（1）判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？‎ ‎（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？‎ ‎【答案】（1）工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损；（2）当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品，及处理成本y（万元）与处理量x（吨）之间的函数关系，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论；（Ⅱ）求得二氧化碳的每吨平均处理成本函数，然后利用均值不等式解决问题 ‎【详解】‎ ‎（1）当时，设该工厂获利，‎ 则，‎ 所以当时，，‎ 因此该工厂不会获利，国家至少需要补贴万元，该工厂才不会亏损．‎ ‎（2）由题易知，二氧化碳的平均处理成本，‎ 当时，，‎ 当且仅当，即时等号成立，‎ 故取得最小值为，‎ 所以当处理量为吨时，每吨的平均处理成本最少．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察抽离出函数模型去解决问题，在做题的过程中采用均值不等式求解最值问题，在利用均值不等式时一定注意“一正”“二定”“三相等”条件的验证 ‎22．已知椭圆的焦距为，长轴长为4．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）直线与椭圆交于A,B两点．若， 求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用椭圆的焦距为，长轴长为，求出椭圆的几何量，可得椭圆的标准方程；（2）直线，联立椭圆方程，消去 ,运用韦达定理，由,则有，化简整理即可求的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵椭圆的焦距为，长轴长为，‎ ‎∴，，∴，∴椭圆C的标准方程为 . ‎ ‎（2）设，将直线AB的方程为代入椭圆方程得 ‎， 则， ①. ‎ 又，. ‎ 由OA⊥OB，知 ‎ 将①代入，得，又∵满足，∴．‎ ‎【点睛】‎ 求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎