山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

山西省晋中市祁县第二中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

祁县二中 2019-2020 学年第一学期期中考试试题 高一数学 一、选择题（本题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分） 1.已知全集为 R ，集合  2 3A x x x  ＝ 或 ，  2,0,2 4B   ， ，则 ( )RC A B  （ ） A. { }2,0,2- B.  2,2,4 C.  2,0,3 D.  0,2,4 【答案】A 【解析】 集合  2 3A x x x  ＝ 或 ，  2,0,2 4B   ， ，      | 2 3 ,  2,0,2R RC A x x C A B       . 故选 A. 2.函数     1lg 10 1 f x x x     的定义域是（ ） A. R B.  1,10 C.  1,10 D.    , 1 1,10   【答案】C 【解析】 【分析】 根据对数的真数大于零，被开方数不小于零，分母不为零列不等式组，解不等式组即可. 【详解】解：由已知得 10 0 1 0 x x      ，解得1 10x  ， 函数     1lg 10 1 f x x x     的定义域是 1,10 ， 故选：C. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，关注常见的限制条件，如真数大于零，被开方数 不小于零，分母不为零等，是基础题. 3.已知幂函数 ( )y f x 的图象过点 3,3 3（ ），则 3log (3)f 的值为 A. 1 2 B. 1 C. 3 2 D. ﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，设幂函数   ( )f x x R   ，根据题设条件，求得 3 2   ，即   3 2f x x ，代入即 可求解答案. 【详解】由题意，设幂函数   ( )f x x R   ， 又由幂函数 ( )y f x 的图象过点 3,3 3（ ），则3 3 3 ，解得 3 2   ，即   3 2f x x 所以 3 2 3 3 3log (3) log 3 2f   ，故选 C. 【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式及其对数的应用，其中解答中根据幂函数的定义， 求得幂函数的解析式，再利用对数的运算计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力， 属于基础题. 4.下列函数中，既是偶函数又在区间 ( ,0) 上单调递增的是（ ） A. 2 1( )f x x  B. 2( ) 1f x x  C. 3( )f x x D. ( ) 2 xf x  【答案】A 【解析】 试题分析： A 中 2 1( )f x x  是偶函数，且在 ( ,0) 上是增函数，故 A 满足题意；B 中 2( ) 1f x x  是偶函数，但在 ( ,0) 上是减函数；C 中 3( )f x x 是奇函数；D 中 ( ) 2 xf x  是非奇非偶函数．故 , ,B C D 都不满足题意，故选 A． 考点：1、函数的奇偶性；2、单调性. 5.已知函数 2 2 , 2( ) log ( 1), 2 x xf x x x      ，则 ( (5))f f 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 由函数 2 2 , 2( ) log ( 1), 2 x xf x x x      ，可得   2 25 log (5 1) log 4 2f     ， 所以 2( (5)) (2) 2 4f f f   ，故选 D. 6.已知    3 1 0f x ax bx ab    ，若  2018f k ，则  2018f  等于( ) A. k B. k C. 1 k D. 2 k 【答案】D 【解析】 【分析】 利用     2f x f x   可求  2018f  的值. 【详解】因为   3 1f x ax bx     ，所以     2f x f x   ， 所以    2018 2018 2f f   即  2018 2f k   ，选 D. 【点睛】一般地，如果    f x g x m  ，其中  g x 为奇函数，那么  f x 的图像关于 0,m 对称，且     2f x f x m   . 7.要使   13xg x t  的图象不经过第二象限，则t 的取值范围为（ ） A. 1t   B. 1t   C. 3t £ - D. 3t   【答案】C 【解析】 【分析】 函数   13xg x t  是由指数函数 3xy  平移而来的，根据条件作出其图象，由图象来解． 【详解】解：指数函数 3xy  过定点 (0,1) ， 函数   13xg x t  过定点 (0,3 )t 且为增函数，要使   13xg x t  的图象不经过第二象 限， 只须函数   13xg x t  与 y 轴的交点的纵坐标小于等于 0 即可， 如图所示， 即图象不过第二象限，则3 0t  3t   ， 则 t 的取值范围为： 3t £ - ． 故选：C． 【点睛】本小题主要考查指数函数的图象变换、函数图象的应用、不等式的解法等基础知识， 考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题． 8.设 1 3 2 1 2 1 12 , log , log3 3a b c     ，则（ ） A. a b c  B. a c b  C. b a c  D. b c a  【答案】C 【解析】 试 题 分 析 ： 1 2 2 1log log 33c   ， 函 数 2logy x 在 ( )0,+¥ 上 单 调 递 增 ， 故 2 1 2 1 1log log3 3b c   ， 又 1 3 1 2 2 1 1log log 3 1, 2 , 0 1,3 3 c a a a c           ， 而 2 1log 03b   .综上知b a c  考点：指数函数，对数函数的性质 9.函数 2( ) (4 1) 2f x x a x    ，在 -1,2 上不单调，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1( , )4   B. 1 5- 4 4 （ ，） C. 1 5- 4 4      ， D. 5( , )4  【答案】B 【解析】 【分析】 根二次函数的图象与性质，可得其对称轴的方程为 4 1 2 ax  ，要使得函数  f x 在区间  1,2 上不是单调函数，只需 4 11 22 a    ，即可求解. 【详解】由题意，二次函数 2( ) (4 1) 2f x x a x    的开口向上，对称轴的方程为 4 1 2 ax  ， 又因为函数  f x 在区间 1,2 上不是单调函数，所以 4 11 22 a    ，解得 1 5 4 4a   ， 即实数 a 的取值范围是 1 5( , )4 4  ，故选 B. 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与 性质，合理列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能，以及分析问题和解答问题 的能力，属于基础题. 10.已知函数 2 2( ) log 2 xf x x   ，则函数 ( )f x 的图象（ ） A. 关于 x 轴对称 B. 关于 y 轴对称 C. 关于直线 y x 对称 D. 关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据 f（-x）=-f（x），可得 f（x）为奇函数，故 f（x）的图象关于原点对称． 【详解】∵   2 2log 2 xf x x   ，∴   2 2log 2 xf x x    =- 2 2log 2 x x   =-f（x）， ∴f（x）为奇函数，故 f（x）的图象关于原点对称， 故选：D． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于 y 轴对称. 11.函数 y=loga（-x）（a＞0 且 a≠1）与函数 y=ax（a＞0 且 a≠1）在同一坐标系内的图象可 能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图像形状可以区分出指数函数与对数函数的类型，结合 a 对函数的影响可以求得. 【详解】当 1a  时， xy a 和 logay x 均为增函数，而 log ( )ay x  的图像和 logay x 的 图像关于 y 轴对称，结合选项可得 A. 【点睛】本题主要考查指数函数和对数函数图像的识别.底数 a 的值对函数的单调性起决定作 用，应该从 a 进行分析. 12.若函数  f x 为偶函数，且在  0,  上是减函数，又  3 0f  ，则     0f x f x x    的 解集为（ ） A.  3,3 B.    , 3 3,   C.    3,0 3,   D.    , 3 0,3   【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意和偶函数的性质画出符合条件的图象，利用函数的奇偶性将不等式进行化简，然后 利用函数的单调性确定不等式的解集． 【详解】解：由题意画出符合条件的函数图象： ∵函数  y f x 为偶函数， ∴     0f x f x x    转化为 ( ) 0xf x  ， 由图得， 当 0x  时， ( ) 0f x  ，则 3x  ； 当 0x  时， ( ) 0f x  ，则 3 0x   ； 综上得，     0f x f x x    的解集是： ( 3,0) (3, )   ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，利用数形结合的思想是解决本题的关键． 二、填空题（本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分） 13.若 0a  且 1a  ，则函数 2 4( ) 3xf x a   的图象恒过定点______. 【答案】  2,4 【解析】 【分析】 先根据指数部分为零求解出 x 的值，再根据 x 的值即可计算出对应的  f x 的值，则图象恒过 的定点为   ,x f x . 【详解】令 2 4 0x   ，得 2x  ， 0(2) 3 4f a    ， 函数 2 4( ) 3xf x a   的图象恒过定点 2,4 . 故答案为： 2,4 . 【点睛】对于形如  0bx cy a d b   ， 0a  且 1a  的指数型函数，其恒过的定点的求解 方法： 先令 0bx c  ，计算出 x 的值即为定点的横坐标，再根据 x 的值计算出  f x 的值即为纵坐 标，所以恒过的定点为   ,x f x . 14.已知幂函数 2( ) ( 1) mf x m m x   在 (0, )x  上单调递减，则实数 m  . 【答案】 1 【解析】 试 题 分 析 ： 因 为 函 数 2( ) ( 1) mf x m m x   为 幂 函 数 ， 故 2 21 1 2 0 2m m m m m         或 1m   ，而函数 ( )f x 在 (0, ) 上单调递减，故 0m  ，所以 1m   . 考点：幂函数的图像与性质. 15.已知  3log log ln 0n x    ，则满足条件的 x 的值是__________． 【答案】 3e 【解析】 【分析】 利用式子 log 1 0,log 1a a a  等计算即可. 【详解】解：  3log log ln 0n x    ,  3log ln 1x  ， ln 3x  ， 3x e  ， 故答案为： 3e . 【点睛】本题考查解简单的对数方程，充分利用 log 1 0,log 1a a a  进行计算，是基础题. 16.若函数     , 0 3 4 , 0 xa xf x a x a x       满足      1 2 1 2 0f x f x x x     对定义域中的任 意两个不相等的 1 2,x x 都成立，则 a 的取值范围是____________. 【答案】 10, 4     【解析】 【分析】 首先根据条件判断函数是单调递减函数，那么分段函数在每段都是单调递减函数，并且分界 点处需满足  0 3 0 4a a a    ，列不等式组求解 a 的范围. 【详解】设 1 2x x      1 2 1 2 0f x f x x x     ，    1 2f x f x  ，  f x 是定义域内的单调递减函数， 则分段函数在每段都是单调递减函数，并且分界点处需满足  0 3 0 4a a a    ，  0 0 1 3 0 4 a a a a        ，解得： 10 4a  ， 故答案为： 10, 4     【点睛】本题考查根据分段函数的单调性，求参数的取值范围，属于基础题型，除了每段函 数的单调性和函数的单调性一致，还需保证分界点处的不等式，不要漏掉. 三、解答题（本题共 6 个小题，共 70 分） 17.计算： （1）   1 1 2 30 61 32 3.8 3 124 2               ； （2） 3 4 1lg 2 lg 3lg5 log 2 log 94     . 【答案】（1） 1 2  ；（2）2 【解析】 【分析】 （1）利用指数幂的运算性质计算即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【详解】解：（1）   1 1 2 30 6 31 3 9 3 3 12 3.8 3 12 1 3 12 1 34 2 4 2 2 2                         ； （2） 3 4 1lg 2 lg 3lg5 log 2 log 94     3 2lg 2 2lg 2 3lg5 log 2 log 3      53 lg2 lg 1  2 . 【点睛】本题考查指数对数的运算性质，特别是对数的计算，公式 log log 1,log log na n a b ab a b b   的灵活使用是关键，是基础题. 18.已知集合      |1 7 , | 2 10 , |A x x B x x C x x a        ，全集为实数集 R ． （1）求  , RA B C A B  ，； （2）如果 A C  ，求 a 的取值范围． 【答案】（1） 1 10x x ， | 7 10x x  ；（2） 1a  ． 【解析】 试题分析：（1）根据集合的交集和并集、补集的运算，即可求解  , RA B C A B  ；（2）由 A C  ，画出数轴，即可运算得到 a 的取值范围． 试题解析：（1）  1 10A B x x   ，2 分        | 1 7 | 2 10 | 7 10RC A B x x x x x x x         或 ．5 分 （2）当 1a  时满足 A C   ．10 分 考点：集合的运算． 19.已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x)＝－x2＋2x＋2. (1)求 f(x)的解析式； (2)画出 f(x)的图像，并指出 f(x)的单调区间． 【答案】(1) 见解析； (2)增区间为[－1,0)及(0,1]，减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞) 【解析】 【分析】 （1）只需先求出 x≤0 时的表达式．由奇函数的性质可得 f（﹣0）=﹣f（0），可求得 f（0）； 当 x＜0 时，﹣x＞0，利用已知表达式可求得 f（﹣x），根据奇函数性质可得 f（x）=﹣f（﹣ x），由此可求得 f（x）；（2）根据二次函数的图像的性质可分段求出单调区间； 【详解】(1)设 x<0，则－x>0. ∴f(－x)＝－(－x)2－2x＋2＝－x2－2x＋2. 又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x2＋2x－2. 又 f(0)＝0，∴f(x)＝ (2)先画出 y＝f(x)(x>0)的图像，利用奇函数的对称性可得到相应 y＝f(x)(x<0)的图像，其 图像如图所示． 由图可知，其增区间为[－1,0)及(0,1]， 减区间为(－∞，－1]及[1，＋∞) 【点睛】本题考查利用奇偶性求分段函数的解析式，考查二次函数的单调性，考查分类讨论 思想．求解析式时，一般是求谁设谁，再通过奇偶性将设的自变量的范围转化到已知表达式 的一段上的自变量的范围，直接代入解析式，最终通过奇偶性得到结果即可. 20.某公司试销一种成本单价为 500 元的新产品，规定试销时销售单价不低于成本单价，又不 高于 800 元，经试销调查，发现销售量 y（件）与销售单价 x（元）可近似看成一次函数 y kx b  （如图）. （1）根据图象，求一次函数 y kx b  的表达式； （2）设公司获得的利润（利润=销售总价-成本总价）为T 元。试用销售单价 x 表示利润T ， 并求销售单价定为多少时，该公司可获得最大利润，最大利润是多少？此时的销售量是多少？ 【答案】（1）  1000 500 800y x x     ；（2）当销售单价为 750 元时，可获得最大利润， 为 62500 元，此时销售量为 250 件. 【解析】 【分析】 （1）因为 y kx b  ，由图象可知，当 x＝600 时，y＝400；当 x＝700 时，y＝300，代入一次 函数表达式，列方程组求出 a、b； （2）由销售总价＝销售单价×销售量＝xy，成本总价＝成本单价×销售量＝500y，求出毛利 润的函数关系式，利用配方法，即可求得最大值． 【详解】解：（1）由已知，点 600,400 ， 700,300 在图象上，代入 y kx b  得 600 400 700 300 k b k b      ，解得 1 1000 k b     ， ∴  1000 500 800y x x     . （2）由已知，    500 1000 500 1000T xy y x x x           22 1500 500000 750 62500 500 800x x x x          ， ∴当销售单价为 750 元时，可获得最大利润，为 62500 元，此时销售量为 250 件. 【点睛】本题主要考查运用二次函数解决实际问题，考查配方法的运用，属于中档题． 21.设函数 f(x)＝loga(1＋ 1 2 x)，g(x)＝loga(1－ 1 2 x)，(a>0 且 a≠1)，若 h(x)＝f(x)－g(x)． (1)求函数 h(x)的定义域； (2)判断 h(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若 f(2)＝1，求使 h(x)>0 成立的 x 的集合． 【答案】(1)（-2,2） (2) h(x)为奇函数 (3)  / 0 2x x  【解析】 【分析】 （1）根据函数定义域的定义，列出使得  h x 有意义的条件，即可求解函数的定义域； （2）根据函数的奇偶性性的定义，即可作出证明，得到函数  h x 的奇偶性； （3）由  2 1f  ，求得 2a  ，得到函数  h x 的解析式，再由   0h x  ，得到不等式 1 11 12 2x x   ，即可求得不等式的解集. 【详解】(1)由 1+ 1 2 x>0 且 1- x>0 得-20 得:1＋ 1 2 x>1－ 1 2 x，所以 x>0 又由（1）知 -2

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