高中数学讲义微专题28 三角函数性质

高中数学讲义微专题28 三角函数性质

- 1 - 微专题 28 三角函数及函数 性质 一、基础知识： 1、正弦函数 的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴（最值点）： （5）对称中心（零点）： ，其中 是对称中心，故 也是奇函数 （6）单调增区间： 单调减区间： 2、余弦函数 的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴（最值点）： 其中 是对称轴，故 也是偶函数 （5）对称中心（零点）： （6）单调增区间： 单调减区间： 3、正切函数 的性质 （1）定义域： （2）值域： （3）周期：  siny A x   siny x x R  1,1y  2T   2x k k Z      ,0k k Z   0,0 siny x 2 , 2 ,2 2k k k Z         32 , 2 ,2 2k k k Z        cosy x x R  1,1y  2T   x k k Z  0x  cosy x  ,02 k k Z       2 , 2 ,k k k Z        2 , 2 ,k k k Z    tany x | ,2x x x k k Z        y R T  - 2 - （4）对称中心： （5）零点： （6）单调增区间： 注：正切函数的对称中心由两部分构成，一部分是零点，一部分是定义域取不到的 的值 4、 的性质：与正弦函数 相比，其图像可以看做是由 图像变换得 到（ 轴上方图像不变，下方图像沿 轴向上翻折），其性质可根据图像得到： （1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4）对称轴： （5）零点： （6）单调增区间： 单调减区间： 5、 的性质：此类函数可视为正弦函数 通过坐标变换所得， 通常此类函数的性质要通过计算所得。所涉及的性质及计算方法如下： （1）定义域： （2）值域： （3）周期： （4 ）对称轴（最值点），对称中心（零点），单调区间需通过换元计算所求。通常设 ，其中 ，则函数变为 ，在求以上性质时，先利用正弦函数性质与 图像写出 所满足的条件，然后将 还原为 再解出 的值（或范围）即可 注：1、余弦函数也可看做 的形式，即 ，所以其性 质可通过计算得到。  ,02 k k Z       ,0k k Z  , ,2 2k k k Z         x siny x siny x siny x x x x R  0,1y T   2 kx k Z   x k k Z  , ,2k k k Z      , ,2 k k k Z          sin 0y A x A    siny x x R  ,y A A  2T   t x   0  siny A t t t x  x  siny A x   cos sin 2y x x       - 3 - 2 、对于某些解析式的性质（如对称轴，单调区间等）可根据解析式的特点先变形成为 ，再求其性质 二、典型例题： 例 1：函数 （ ） A. 在 上单调递减 B. 在 上单调递增 C. 在 上单调递减 D. 在 上单调递增 思路： 单调递增区间： 单调递减区间： 符合条件的只有 D 答案：D 例 2：函数 的一个单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 思路：先变形解析式， ，再求出单调区间： ， 时，D 选项符合要求 答案：D 例 3： 的递减区间为（ ） A. B. C. D. 思路：在解函数性质之前首先把 的系数变正： ，再求其  siny A x     3sin 2 cos2f x x x  ,3 6       ,6 3       ,06     0, 6        3 13sin 2 cos2 2 sin 2 cos2 2sin 22 2 6f x x x x x x                  2 2 22 6 2 3 6k x k k x k k Z                     3 22 2 22 6 2 6 3k x k k x k k Z                   22cos 14y x       3,2 2       3,4 4       ,2 2      ,4 4      22cos 1 cos 2 sin 24 4y x x x                     2 2 22 2 4 4k x k k x k k Z                  0k  sin 23y x     52 , 2 ,12 12k k k Z         5 114 , 4 ,3 3k k k Z        5 11, ,12 12k k k Z        5, ,12 12k k k Z         x sin 2 sin 23 3y x x               - 4 - 单调区间： ，由于 ， 所以区间 等同于 答案：D 例 4：已知函数 ，则下列关于函数性质判断正确的是（ ） A. 最小正周期为 ，一个对称中心是 B. 最小正周期为 ，一个对称中心是 C. 最小正周期为 ，一个对称中心是 D. 最小正周期为 ，一个对称中心是 思路： 对称中心： 时，一个对称中心是 答案：A 例 5：函数 的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 思路：求单调区间可设 ，即 ，只需找到 所满足的条件然后解出 的 范围即可。 的取值需要满足两个条件，一是保证 ，二是取 单调增的部分，  52 2 22 3 2 12 12k x k k x k k Z                    k Z 5,12 12k k        5,12 12k k        sin cos12 12y x x              ,012       ,06      2 ,012      2 ,06      1sin cos sin 212 12 2 6y x x x                      2  2T      2 6 12 2 kx k x k Z        0k  ,012        ln sin 2 6f x x          ,12 3k k k Z         ,6 3k k k Z          7,3 12k k k Z         5,3 6k k k Z        2 6t x    ln siny t t x t sin 0t  siny t - 5 - 所以可得： ，即 ，解得： 答案：A 例 6：设函数 ，则下列关于函数 的说法中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 的最小正周期是 C. 图像关于点 对称 D. 在区间 上是增函数 思路：先判断 的周期，可结合图像进行判断，可得： ；对于对称轴，对称中心， 单调区间，可考虑设 ，即 ，借助图像先写出 所符合的条件，再求出 的 值（或范围）即可。 对称轴： ，不是偶函数 对称中心： ，关于点 对称 单调增区间： 答案：C 例 7：函数 的图像的两条相邻对称轴间的距离为（ ） A. B. C. D. 思路：根据 图像的特点可得：相邻对称轴之间的距离是周期的一半 ，所以间距为： 答案：B 例 8：已知函数 的图像关于直线 对称，则 的值为_______ 思路一： 可以利用辅角公式变形为 的形式，但是由于系数含参，所 以辅角只能用一个抽象的 代替：  0 2 22k t k k Z       0 2 2 26 2k x k k Z         12 3k x k k Z         sin 2 3f x x       f x  f x  f x   f x ,06      f x 7,3 12        f x 2T  2 3t x   siny t t x  22 3 2 12 2 kt k x k x k Z                2 3 6 2 kt k x k x k Z            ,06      2 2 2 2 22 3 2 6 12k t k k x k k x k k Z                        2sin 4 6y x      8  4  2    siny A x   2 2T     1 2 4T    sin 2 cos2f x x a x  8x   a  f x  siny A x    - 6 - 因为 关于直线 对称， 思路二：本题还可以利用特殊值法求出 的值，再进行验证即可：因为 关于直线 对称，所以代入一组特殊值： ，再代入验证 ，其一条对称轴为 ，符合题意 答案： 例 9：已知 在 单调递增，求 的取值范围 思 路 ： 的 图 像 可 视 为 仅 由 放 缩 得 到 。 ， 由 在 单 调 递 增 可 得 ： ，即 答案： 例 10：已知函数 在区间 上为增函数，且图像关于点 对称， 则 的取值集合为______________ 思 路 ： 的 图 像 可 视 为 的 图 像 横 坐 标 变 为 了 ， ， 则 ，因为 在 上单调增，所以 ，即 ；另一方面， 的 对 称 轴 为 ， 所 以 解 得 ， 再 结 合    2 2 2 2 11 sin 2 cos2 1 sin 2 ,tan 1 1 af x a x x a x a a a              f x 8x   32 8 2 4k k                 tan 1a     a  f x 8x    0 sin 14 2f f a a                    sin 2 cos2 2 sin 2 4f x x x x        8x   1a      2sin 0f x x   ,3 4         2sinf x x siny x , ,3 4 3 4x x                  f x ,3 4      , ,3 4 2 2                33 2 2 4 2            30 2  30 2   sin 0y x   0, 2       3 ,0  siny x siny x 1  0, 2x     0, 2x      siny x 0, 2      2 2   0 1  siny x  kx k x k Z      3k   3 k  - 7 - 可得 答案： 三、近年好题精选 1、函数 的最小正周期是 ，若其图象向右平移 个单 位后得到的函数为奇函数，则函数 的图象（ ） A．关于点 对称 B．关于直线 对称 C．关于点 对称 D．关于直线 对称 2、（2015，湖南）将函数 的图像向右平移 个单位后得到函数 的图像，若对满足 的 ，有 ，则 （ ） A. B. C. D. 3、（2016，重庆万州二中）若函数 与函数 在 上的单调性相 同，则 的一个值为（ ） A. B. C. D. 4、将函数 的图像向左平移 个单位，得到函数 的 图像，若 在 上为增函数，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 5、（2015，天津）一直函数 ，若函数 在 内单调递增，且函数 的图像关于直线 对称，则 的值为_______ 6、（2014，安徽）若将函数 的图像向右平移 个单位，所得图像关于 0 1  1 2, ,13 3  1 2, ,13 3        sin 0, 2f x x            6   f x ,012      12x  ,06      6x    sin2f x x 0 2        g x    1 2 2f x g x  1 2,x x 1 2 min 3x x     5 12  3  4  6  cos2y x  sin 2y x   0, 4       6  4  3 4  3 2     2sin 03f x x        3    y g x  y g x 0, 4       1 2 3 4    sin cos 0 ,f x x x x R       f x  ,   f x x     sin 2 4f x x       y - 8 - 轴对称，则 的最小正值是__________ 7、（2014，北京）设函数 （ 是常数， ）若 在区间 上具有单调性，且 ，则 的最小正周期为 ______ 8、已知 的图像在 上恰有一个对称轴和一 个对称中心，则实数 的取值范围是______ 9、（2014，福建）已知函数 （1）若 ，且 ，求 的值 （2）求函数 的最小正周期及单调递增区间 10、（2016，山东潍坊中学高三期末）已知函数 （ ）． （1）求 最小正周期和单调递增区间； （2）求 在区间 上的最大值和最小值．     sinf x A x   , ,A   0, 0A    f x ,6 2       2 2 3 6f f f                     f x     2sin cos sin 0f x x x x       0,1x      1cos sin cos 2f x x x x   0 2   2sin 2   f   f x   2 2cos cos 3f x x x       Rx  f x  f x ,3 6      - 9 - 习题答案： 1、答案：B 解析：由最小正周期可得： ，向右平移 个单位后解析式为 ， 即 ，由奇函数可知 ，所以 ，对称轴： ， 对称中心： ，即 ，配合选项可 得 B 正确 2、答案：D 解析： ，由 可知 分别取 到 最 大 最 小 值 ， 不 妨 设 ， 所 以 ，由 可知 3、答案：C 解析：先求出 的单调性， ，解得单调递减区间为： ，即 在 上单调递减。所以 在 单调减， ，所以 ，有 ，可知 C 符合题意 2  6  sin 2 6y x           sin 2 3y x       3     sin 2 3f x x         2 3 2 12 2 kx k k Z x k Z              2 3 6 2 kx k k Z x k Z          ,06 2 k           sin 2 2g x f x x        1 2 2f x g x     1 2,f x g x  1 22 2 ,2 2 2 ,2 2x k x m k m Z           1 2 2x x k m       1 2 min 3x x   2 3 6        cos2y x 0 2 2 2k x k      , ,2k k k Z      cos2y x 0, 4       sin 2y x   0, 4      0, 2 ,4 2x x                 3, 2 , 22 2 2k k                  22 2 23 222 2 k k k k                       - 10 - 4、答案：B 解析：先利用图像变换求出 解析式： ， 即 ，其图像可视为 仅仅通过放缩而得到的图像。若 最大，则要求 周期 取最小，由 为增函数可得： 应恰好为 的第一个正的最大值点 5、答案： 解析： ，由 在 内单调递增，且对称轴为 可知 在 达到最大值，所以 ，由 在 单增可知 ，从而解得 6、答案： 解析：平移后的解析式为： ，由对称轴为 可知 ，令 即得到最小正值 7、答案： 解析：由 可得 为一条对称轴，由 可知 为一个对称中心。因为 在区间 单调，所以可知 与 为相邻 的对称轴与对称中心，所以  g x   2sin3 3 3g x f x x                       2sing x x siny x  T 0, 4      4x   g x 24 2       2    2 sin 4f x x       f x  ,  x   f x x   2 2sin 1 24 4 2 k k Z               f x  ,  2 2 2 T       2   3 8   sin 2 sin 2 24 4y x x                0x   2 4 2 8 2 kk k Z              1k  3 8    2 2 3f f           2 72 3 2 12x      2 6f f            03      ，  f x ,6 2       7 12x  03      ， 74 12 3T           1 3,2 2f x          min max 1 3,2 2f x f x   - 11 - 8、答案： 解析： 由 可得： ，若恰有一个对称轴和对称中心，则对称轴和 对称中心为 ，所以 9、解析：（1）由 及 可得： （2） 解得： 的单调递增区间为 10、解析：（1） 周期 3 5,8 8         2sin cos sin sin 2 1 cos2 2 sin 2 14f x x x x x x x                  0,1x 2 ,24 4 4x x           0,0 , 2x  3 52 ,2 4 8 8               0, 2      2sin 2  2cos 2      1 2 2 2 1 1cos sin cos +2 2 2 2 2 2f                   1cos sin cos 2f x x x x   2 1cos sin cos 2x x x    1 1 cos2 1 1 2sin2 sin2 cos2 sin 22 2 2 2 2 4 xx x x x            T    2 2 22 4 2k x k k Z          3 8 8k x k        f x 3 , ,8 8k k k Z           2 2cos cos 3f x x x       1 cos 2 31 cos2 1 21 cos2 cos 22 2 2 3 xx x x                       1 1 3 11 cos2 cos2 sin 2 1 cos 22 2 2 2 6x x x x                T  - 12 - 单调递增区间： 所以 单调递增区间： （2） 5 112 2 2 26 12 12k x k k x k                  f x 5 11, ,12 12k k k Z        ,3 6x       2 ,6 2 2x           cos 2 0,16x      