2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章　第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式

2021届北师大版高考理科数一轮复习教师用书：第四章　第2讲　同角三角函数的基本关系及诱导公式

第 2 讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1． (2)商数关系：sin α cos α ＝tan_α(α≠π 2 ＋kπ，k∈Z)． 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α π 2 －α π 2 ＋α 正弦 sin α －sin_α －sin_α sin_α cos_α cos_α 余弦 cos_α －cos_α cos_α －cos_α sin_α －sin_α 正切 tan α tan_α －tan_α －tan_α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限 常用结论 1．诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2 的奇数倍和偶数倍，变与不变指函 数名称的变化． 2．同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α α≠π 2 ＋kπ，k∈Z . (3)sin2α＝ sin2α sin2α＋cos2α ＝ tan2α tan2α＋1 ； cos2α＝ cos2α sin2α＋cos2α ＝ 1 tan2α＋1 . 二、教材衍化 1．若 sin α＝ 5 5 ，π 2<α<π，则 tan α＝________． 解析：因为π 2<α<π，所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 5 5 ， 所以 tan α＝sin α cos α ＝－1 2. 答案：－1 2 2．已知 tan α＝2，则sin α＋cos α sin α－cos α 的值为________． 解析：原式＝tan α＋1 tan α－1 ＝2＋1 2－1 ＝3. 答案：3 3．化简 cos α－π 2 sin 5 2π＋α ·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________． 解析：原式＝sin α cos α ·(－sin α)·cos α＝－sin2α. 答案：－sin2α 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角．( ) (3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2 的奇数倍 和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．( ) (4)若 sin(kπ－α)＝1 3(k∈Z)，则 sin α＝1 3.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏 常见误区|Ｋ(1)平方关系没有考虑角的范围导致出错； (2)不会运用消元的思想； (3)π±α的形式没有把 k 按奇数和偶数进行分类讨论导致出错． 1．已知 sin αcos α＝1 8 ，且5π 4 <α<3π 2 ，则 cos α－sin α＝______． 解析：因为5π 4 <α<3π 2 ，所以 cos α<0，sin α<0 且 cos α>sin α，所以 cos α－sin α>0. 又(cos α－sin α)2＝1－2sin α·cos α＝1－2×1 8 ＝3 4 ，所以 cos α－sin α＝ 3 2 . 答案： 3 2 2．已知 tan x＝2，则 1＋sin2x 的值为________． 解析：1＋sin2x＝cos2x＋2sin2x ＝cos2x＋2sin2x sin2x＋cos2x ＝1＋2tan2x 1＋tan2x ＝9 5. 答案：9 5 3．已知 A＝sin（kπ＋α） sin α ＋cos（kπ＋α） cos α (k∈Z)，则 A 的值构成的集合是________． 解析：k＝2n(n∈Z)时， A＝sin（2nπ＋α） sin α ＋cos（2nπ＋α） cos α ＝sin α sin α ＋cos α cos α ＝2. 当 k＝2n＋1(n∈Z)时， A＝sin（π＋α） sin α ＋cos（π＋α） cos α ＝－sin α sin α ＋－cos α cos α ＝－1＋(－1)＝－2. 答案：{2，－2} 同角三角函数基本关系式的应用(多维探究) 角度一 “知一求二”问题 (1)已知 cos α＝k，k∈R，α∈ π 2 ，π ，则 sin(π＋α)＝( ) A．－ 1－k2 B． 1－k2 C．± 1－k2 D．－k (2)若α∈ π 2 ，π ，sin(π－α)＝3 5 ，则 tan α＝( ) A．－4 3 B．4 3 C．－3 4 D．3 4 【解析】 (1)由 cos α＝k，α∈ π 2 ，π 得 sin α＝ 1－k2， 所以 sin(π＋α)＝－sin α＝－ 1－k2.故选 A. (2)因为α∈ π 2 ，π ，sin α＝3 5 ， 所以 cos α＝－4 5 ，所以 tan α＝－3 4. 【答案】 (1)A (2)C 利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的 正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些 问题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问 题的目的． 角度二 弦切互化 (1)已知sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝5，则 cos2α＋1 2sin 2α的值是 ( ) A.3 5 B．－3 5 C．－3 D．3 (2)已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则 tan θ＝________． 【解析】 (1)由sin α＋3cos α 3cos α－sin α ＝5 得tan α＋3 3－tan α ＝5，可得 tan α＝2，则 cos2 α＋1 2sin 2α＝cos2α＋sin αcos α＝cos2α＋sin αcos α cos2α＋sin2α ＝1＋tan α 1＋tan2α ＝3 5.故选 A. (2)由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2 θ＋cos2 θ，得 6 sin θcos θ＝－8cos2 θ，又因为 θ为第四象限角，所以 cos θ≠0，所以 6sin θ＝－8cos θ，所以 tan θ＝－4 3. 【答案】 (1)A (2)－4 3 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以 一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值， 这是同角三角函数关系中的一类基本题型． 角度三 sin α±cos α，sin αcos α之间的关系 (1)(一题多解)(2020·四川成都二诊)已知α为第二象限角，且 sin α＋cos α＝1 5 ， 则 cos α－sin α＝( ) A.7 5 B．－7 5 C．±7 5 D．－1 5 (2)(2020·河南中原名校联盟联考)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于 x 的方程 2x2＋x＋m＝0(m∈R)的两根，则 sin θ－cos θ＝( ) A. 6 2 B． 7 2 C. 5 2 D．1 【解析】 (1)法一：(整体代入法)由 sin α＋cos α＝1 5 两边同时平方，得 1＋2sin αcos α＝ 1 25 ，则 2sin αcos α＝－24 25 ， 所以(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1＋24 25 ＝49 25. 因为α为第二象限角，所以 cos α－sin α＝－7 5. 故选 B. 法二：(换元法)sin α＋cos α＝1 5 ，① 令 cos α－sin α＝t.② 由①2＋②2，得 2sin2 α＋2cos2 α＝ 1 25 ＋t2，即 2＝ 1 25 ＋t2， 整理得 t2＝2－ 1 25 ＝49 25 ，解得 t＝±7 5. 因为α为第二象限角，所以 cos α－sin α<0， 故 cos α－sin α＝－7 5.故选 B. 法三：(列方程法)由 sin α＋cos α＝1 5 两边同时平方，得 1＋2sin αcos α＝ 1 25 ， 则 2sin αcos α＝－24 25 ，即 sin αcos α＝－12 25. 所以 sin α，cos α是方程 x2－1 5x－12 25 ＝0 的两根，解方程得 x1＝－3 5 ，x2＝4 5. 因为α是第二象限角，所以 sin α＝4 5 ，cos α＝－3 5 ， 所以 cos α－sin α＝－7 5.故选 B. (2)因为 sin θ，cos θ是方程 2x2＋x＋m＝0(m∈R)的两根，所以 sin θ＋cos θ＝－1 2 ， sin θ·cos θ＝m 2 ，可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋m＝1 4 ，解得 m＝－3 4. 因为θ为第二象限角，所以 sin θ>0，cos θ<0，即 sin θ－cos θ>0，因为(sin θ－cos θ)2 ＝1－2sin θ·cos θ＝1－m＝1＋3 4 ＝7 4 ，所以 sin θ－cos θ＝ 7 2 .故选 B. 【答案】 (1)B (2)B 对于 sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令 sin α＋cos α＝t，则 sin αcos α＝t2－1 2 ，sin α－cos α＝± 2－t2(注意根据α的范围选取正、 负号)，体现了方程思想的应用． 1．已知 sin(π＋α)＝－1 3 ，则 tan(π 2 －α)的值为( ) A．2 2 B．－2 2 C. 2 4 D．±2 2 解析：选 D.因为 sin(π＋α)＝－1 3 ，所以 sin α＝1 3 ，则 cos α＝±2 2 3 ，所以 tan(π 2 －α)＝ sin（π 2 －α） cos（π 2 －α） ＝cos α sin α ＝±2 2.故选 D. 2．(2020·安阳模拟)已知 sin x＋cos x＝ 3－1 2 ，x∈(0，π)，则 tan x＝( ) A．－ 3 3 B． 3 3 C. 3 D．－ 3 解析：选 D.因为 sin x＋cos x＝ 3－1 2 ，且 x∈(0，π)，所以 1＋2sin xcos x＝1－ 3 2 ，所 以 2sin xcos x＝－ 3 2 <0，所以 x 为钝角，所以 sin x－cos x＝ （sin x－cos x）2＝1＋ 3 2 ，结 合已知解得 sin x＝ 3 2 ，cos x＝－1 2 ，则 tan x＝sin x cos x ＝－ 3. 3．若 3sin α＋cos α＝0，则 1 cos2α＋2sin αcos α的值为________． 解析：3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－1 3 ， 1 cos2α＋2sin αcos α＝ cos2α＋sin2α cos2α＋2sin αcos α ＝ 1＋tan2α 1＋2tan α ＝1＋ －1 3 2 1－2 3 ＝10 3 . 答案：10 3 诱导公式的应用(多维探究) 角度一 公式的直接应用 设 f(α)＝ 2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α） 1＋sin2α＋cos 3π 2 ＋α －sin2 π 2 ＋α (1＋2sin α≠0)，则 f －23π 6 ＝________． 【解析】 因为 f(α)＝（－2sin α）（－cos α）＋cos α 1＋sin2α＋sin α－cos2α ＝2sin αcos α＋cos α 2sin2α＋sin α ＝ cos α（1＋2sin α） sin α（1＋2sin α） ＝ 1 tan α，所以 f －23π 6 ＝ 1 tan －23π 6 ＝ 1 tan －4π＋π 6 ＝ 1 tanπ 6 ＝ 3. 【答案】 3 角度二 “整体代换”的应用 已知 cos π 6 －θ ＝a，则 cos 5π 6 ＋θ ＋sin 2π 3 －θ 的值是________． 【解析】 因为 cos 5π 6 ＋θ ＝cos π－ π 6 －θ ＝－cos π 6 －θ ＝－a，sin 2π 3 －θ ＝ sin π 2 ＋ π 6 －θ ＝cos π 6 －θ ＝a，所以 cos 5π 6 ＋θ ＋sin 2π 3 －θ ＝0. 【答案】 0 应用诱导公式化简求值的注意事项 (1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函 数值求解．转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用． (2)对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用 给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角 函数名出错． 1．(2020·江西临川第一中学等九校 3 月联考)已知α∈(0，π)，且 cos α＝－15 17 ，则 sin π 2 ＋α ·tan(π＋α)＝( ) A．－15 17 B．15 17 C．－ 8 17 D． 8 17 解析：选 D.sin π 2 ＋α ·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，因为α∈(0，π)，且 cos α＝ －15 17 ，所以 sin α＝ 1－cos2α＝ 1－ －15 17 2 ＝ 8 17 ，即 sin π 2 ＋α ·tan(π＋α)＝ 8 17.故选 D. 2．(2020·江西上饶模拟)已知 sin α－ π 12 ＝1 3 ，则 cos α＋17π 12 的值等于( ) A.1 3 B．2 2 3 C．－1 3 D．－2 2 3 解析：选 A.由 sin α－ π 12 ＝1 3 ， 得 cos α＋17π 12 ＝cos α＋3π 2 － π 12 ＝sin α－ π 12 ＝1 3.故选 A. 同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用(师生共研) (1)(2020·聊城模拟)已知α为锐角，且 2tan(π－α)－3cos π 2 ＋β ＋5＝0，tan(π＋α) ＋6sin(π＋β)－1＝0，则 sin α的值是( ) A.3 5 5 B．3 7 7 C.3 10 10 D．1 3 (2)已知α是第三象限角，且 f(α) ＝ sin（－α－π）cos（5π－α）tan（2π－α） cos π 2 －α tan（－α－π） . ①化简 f(α)； ②若 tan(π－α)＝－2，求 f(α)的值； ③若α＝－420°，求 f(α)的值． 【解】 (1)选 C.由已知可得－2tan α＋3sin β＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0，解得 tan α＝3，又α为锐角，故 sin α＝3 10 10 . (2)①由题可得， f(α)＝ sin（－α－π）cos（5π－α）tan（2π－α） cos π 2 －α tan（－α－π） ＝sin α（－cos α）（－tan α） sin α（－tan α） ＝－cos α. ②因为 tan(π－α)＝－2，所以 tan α＝2. 所以 sin α＝2cos α. 所以(2cos α)2＋cos2α＝1.所以 cos2α＝1 5. 因为α是第三象限角，所以 cos α＝－ 5 5 ，所以 f(α)＝ 5 5 . ③因为 cos (－420°)＝cos 420°＝cos 60°＝1 2 ， 所以 f(α)＝－cos α＝－1 2. 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系， 灵活使用公式进行变形． [提醒] 注意角的范围对三角函数符号的影响． 1．(2020·江西吉安期末)已知 tan(－2 019π＋θ)＝－2，则 2 2sin θ－π 6 sin θ＋π 4 ＝( ) A．－2 B．2 3＋1 5 C.2 3＋3 5 D．3 5 解析：选 B.因为 tan(－2 019π＋θ)＝－2， 所以 tan θ＝－2. 则 2 2sin θ－π 6 sin θ＋π 4 ＝( 3sin θ－cos θ)(sin θ＋cos θ) ＝ 3sin2θ－cos2θ＋( 3－1)sin θcos θ ＝ 3sin2θ－cos2θ＋（ 3－1）sin θcos θ sin2θ＋cos2θ ＝ 3tan2θ－1＋（ 3－1）tan θ tan2 θ＋1 ＝4 3－1－2（ 3－1） 4＋1 ＝2 3＋1 5 .故选 B. 2．已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(4)＝3，则 f(2 019)的值为________． 解析：因为 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)， 所以 f(4)＝asin(4π＋α)＋bcos(4π＋β) ＝asin α＋bcos β＝3， 所以 f(2 019)＝asin(2 019π＋α)＋bcos(2 019π＋β) ＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β) ＝－asin α－bcos β＝－3. 答案：－3 [基础题组练] 1．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)若 sin α＋3π 2 ＝3 5 ，且α是第三象限角，则 cos α＋2 019π 2 ＝( ) A.3 5 B．－3 5 C.4 5 D．－4 5 解析：选 D.sin α＋3π 2 ＝－cos α＝3 5 ，所以 cos α＝－3 5 ，因为α是第三象限角，所以 sin α＝－4 5 ，所以 cos α＋2 019π 2 ＝cos 1 008π＋α＋3π 2 ＝sin α＝－4 5. 2．若角α的终边落在第三象限，则 cos α 1－sin2α ＋ 2sin α 1－cos2α 的值为( ) A．3 B．－3 C．1 D．－1 解析：选 B.因为α是第三象限角，故 sin α<0，cos α<0，所以原式＝ cos α |cos α| ＋2sin α |sin α| ＝－1－2＝－3. 3．已知 tan(π－α)＝－2 3 ，且α∈ －π，－π 2 ，则cos（－α）＋3sin（π＋α） cos（π－α）＋9sin α ＝( ) A．－1 5 B．－3 7 C.1 5 D．3 7 解析：选 A.由 tan(π－α)＝－2 3 ，得 tan α＝2 3. cos（－α）＋3sin（π＋α） cos（π－α）＋9sin α ＝ cos α－3sin α －cos α＋9sin α ＝ 1－3tan α －1＋9tan α ＝ 1－2 －1＋6 ＝－1 5.故选 A. 4．(2019·东北三省三校模拟)已知 sin π 3 －α ＝1 3 ，则 cos 5π 6 －α ＝( ) A.1 3 B．－1 3 C.2 2 3 D．－ 2 3 解析：选 B.由题意知，cos 5π 6 －α ＝cos π 2 ＋ π 3 －α ＝－sin π 3 －α ＝－1 3.故选 B. 5．已知α∈[0，2π)，cos α＋3sin α＝ 10，则 tan α＝( ) A．－3 B．3 或1 3 C．3 D．1 3 解析：选 C.因为(cos α＋3sin α)2＝10， 所以 cos2α＋6sin αcos α＋9sin2α＝10， 所以cos2α＋6sin αcos α＋9sin2α cos2α＋sin2α ＝10， 所以1＋6tan α＋9tan2α 1＋tan2α ＝10，所以 tan α＝3，故选 C. 6．(2020·惠州模拟)已知 tan α＝1 2 ，且α∈(π，3π 2 )，则 cos(α－π 2)＝________． 解析：由α∈(π，3π 2 )知α为第三象限角，联立得 tan α＝sin α cos α ＝1 2 ， 得 5sin2α＝1，故 sin α＝－ 5 5 . 答案：－ 5 5 7．若|sin θ|＋|cos θ|＝2 3 3 ，则 sin4θ＋cos4θ＝________． 解析：|sin θ|＋|cos θ|＝2 3 3 ，两边平方得，1＋|sin 2θ|＝4 3 ，所以|sin 2θ|＝1 3 ，所以 sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－1 2sin2 2θ＝1－ 1 2 × 1 3 2 ＝17 18. 答案：17 18 8．若1＋cos α sin α ＝3，则 cos α－2sin α＝________． 解析：由已知得 sin α≠0，且 3sin α＝1＋cos α>0，即 cos α＝3sin α－1，则 cos2 α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得 sin α＝3 5 ，所以 cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α ＝sin α－1＝－2 5. 答案：－2 5 9．已知α为第三象限角， f(α)＝ sin（α－π 2 ）·cos（3π 2 ＋α）·tan（π－α） tan（－α－π）·sin（－α－π） . (1)化简 f(α)； (2)若 cos(α－3π 2 )＝1 5 ，求 f(α)的值． 解：(1)f(α)＝ sin（α－π 2 ）·cos（3π 2 ＋α）·tan（π－α） tan（－α－π）·sin（－α－π） ＝（－cos α）·sin α·（－tan α） （－tan α）·sin α ＝－cos α. (2)因为 cos(α－3π 2 )＝1 5 ， 所以－sin α＝1 5 ， 从而 sin α＝－1 5. 又α为第三象限角， 所以 cos α＝－ 1－sin2α＝－2 6 5 ， 所以 f(α)＝－cos α＝2 6 5 . 10．是否存在α∈ －π 2 ，π 2 ，β∈(0，π)使等式 sin(3π－α)＝ 2cos π 2 －β ， 3cos(－α)＝ － 2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由． 解：假设存在角α，β满足条件． 由已知条件可得 sin α＝ 2sin β，① 3cos α＝ 2cos β，② 由①2＋②2，得 sin2α＋3cos2α＝2. 所以 sin2α＝1 2 ，所以 sin α＝± 2 2 . 因为α∈ －π 2 ，π 2 ，所以α＝±π 4. 当α＝π 4 时，由②式知 cos β＝ 3 2 ， 又β∈(0，π)，所以β＝π 6 ，此时①式成立； 当α＝－π 4 时，由②式知 cos β＝ 3 2 ，又β∈(0，π)， 所以β＝π 6 ，此时①式不成立，故舍去． 所以存在α＝π 4 ，β＝π 6 满足条件． [综合题组练] 1．已知θ为直线 y＝3x－5 的倾斜角，若 A(cos θ，sin θ)，B(2cos θ＋sin θ，5cos θ －sin θ)，则直线 AB 的斜率为( ) A．3 B．－4 C.1 3 D．－1 4 解析：选 D.由题意知 tan θ＝3，kAB＝5cos θ－sin θ－sin θ 2cos θ＋sin θ－cos θ ＝5－2tan θ 1＋tan θ ＝－1 4.故 选 D. 2．A＝{sin α，cos α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cos α，0}，且 A＝B，则 sin2 019α ＋cos2 018α＝( ) A．0 B．1 C．－1 D．±1 解析：选 C.当 sin α＝0 时，sin2α＝0，此时集合 B 中不符合集合元素的互异性，故舍 去；当 cos α＝0 时，A＝{sin α，0，1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时 sin2α＝1，得 sin α＝－1，所以 sin2 019α＋cos2 018α＝－1. 3．已知θ∈ 0，π 2 ，且 12 sin θ ＋ 12 cos θ ＝35，则 tan θ＝________． 解析：依题意得 12(sin θ＋cos θ)＝35sin θcos θ，令 sin θ＋cos θ＝t，因为 θ∈ 0，π 2 ，所以 t>0，则原式化为 12t＝35·t2－1 2 ，解得 t＝7 5 t＝－5 7 舍去 ，故 sin θ＋cos θ ＝7 5 ，则 sin θcos θ＝12 25 ，即 sin θcos θ sin2θ＋cos2θ ＝12 25 ，即 tan θ 1＋tan2θ ＝12 25 ，12tan2θ－25tan θ＋ 12＝0，解得 tan θ＝3 4 或4 3. 答案：3 4 或4 3 4．(2020·襄阳模拟)已知 tan α＋π 3 ＝2，则 sin α＋4π 3 ＋cos 2π 3 －α cos π 6 －α －sin α＋5π 6 ＝________． 解析： sin α＋4π 3 ＋cos 2π 3 －α cos π 6 －α －sin α＋5π 6 ＝ －sin α＋π 3 －cos α＋π 3 sin α＋π 3 －cos α＋π 3 ＝－ tan α＋π 3 ＋1 tan（α＋π 3 ）－1 ， 把 tan(α＋π 3)＝2 代入得，原式＝－2＋1 2－1 ＝－3. 答案：－3 5．已知关于 x 的方程 2x2－( 3＋1)x＋m＝0 的两根分别是 sin θ和 cos θ，θ∈(0，2π)， 求： (1) sin2θ sin θ－cos θ ＋ cos θ 1－tan θ 的值； (2)m 的值； (3)方程的两根及此时θ的值． 解：(1)原式＝ sin2θ sin θ－cos θ ＋ cos θ 1－sin θ cos θ ＝ sin2θ sin θ－cos θ ＋ cos2θ cos θ－sin θ ＝ sin2θ－cos2θ sin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ. 由条件知 sin θ＋cos θ＝ 3＋1 2 ， 故 sin2θ sin θ－cos θ ＋ cos θ 1－tan θ ＝ 3＋1 2 . (2)由已知，得 sin θ＋cos θ＝ 3＋1 2 ， sin θcos θ＝m 2 ， 又 1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，可得 m＝ 3 2 . (3)由 sin θ＋cos θ＝ 3＋1 2 ， sin θcos θ＝ 3 4 ， 得 sin θ＝ 3 2 ， cos θ＝1 2 或 sin θ＝1 2 ， cos θ＝ 3 2 . 又θ∈(0，2π)，故θ＝π 3 或θ＝π 6. 6．在△ABC 中， (1)求证：cos2A＋B 2 ＋cos2 C 2 ＝1； (2)若 cos π 2 ＋A sin 3π 2 ＋B tan(C－π)＜0， 求证：△ABC 为钝角三角形． 证明：(1)在△ABC 中，A＋B＝π－C， 所以A＋B 2 ＝π 2 －C 2 ， 所以 cosA＋B 2 ＝cos π 2 －C 2 ＝sin C 2 ， 所以 cos2A＋ B 2 ＋cos2C 2 ＝1. (2)若 cos π 2 ＋A sin 3π 2 ＋B tan(C－π)＜0， 所以(－sin A)(－cos B)tan C＜0，即 sin Acos Btan C＜0. 因为在△ABC 中，0＜A＜π，0＜B＜π，0＜C＜π且 sin A＞0， 所以 cos B＜0， tan C＞0 或 cos B＞0， tan C＜0， 所以 B 为钝角或 C 为钝角，所以△ABC 为钝角三角形．